2015-2016学年江苏省徐州市五县二区高二(下)期中数学试卷(理科)

2015-2016学年度第二学期高二第二次质量检测数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

1．函数y________．2．已知1x f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则(1)f -= ． 3．计算 =+⨯+2lg 5lg 2lg )5(lg 2________.4．函数ln y x x =的图象在点1x =处的切线方程为_____________． 5．函数()(3)xf x x e =-的单调递增区间是 ．6．若函数)1(log )(++=x a x f a x在]1,0[上的最小值和最大值之和为a ，则a 的值为 ．7．若“,|||1|2x x a x ∃∈-++≤R ”是假命题，则a 的取值范围是 ．8．已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()10f =，()()()200xf x f x x x ¢->>，则不等式()20x f x >的解集是 .10．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．若函数2()f x x bx c =++（b c R ∈、）在区间(0,1)内有两个零点，则2(1)b c c ++的取值范围是___________．12．已知函数()2log ,0,3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．定义区间[]21,x x 长度为)(1212x x x x >-，已知函数())0,(1)(22≠∈-+=a R a xa x a ax f 的定义域与值域都是[]n m ,，则区间[]n m ,取最大长度时a 的值为___________.14．对定义在区间D 上的函数)(x f 和)(x g ，如果对任意D x ∈，都有1)()(≤-x g x f 成立，那么称函数)(x f 在区间D 上可被)(x g 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题： ①1)(2+=x x f 在区间),(+∞-∞上可被21)(2+=x x g 替代； ②x x f =)(可被x x g 411)(-=替代的一个“替代区间”为]23,41[； ③x x f ln )(=在区间],1[e 可被b x x g -=)(替代，则22≤≤-b e ；④)(sin )(),)(lg()(212D x x x g D x x ax x f ∈=∈+=，则存在实数)0(≠a a ，使得)(x f 在区间21D D ⋂上被)(x g 替代；其中真命题的有二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015～2016学年度第二学期期中考试高二年级数学（文）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知复数i z -=2 (i 是虚数单位)，则=z ▲ ．2. 设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则()U C A B ⋂= ▲ ． 3. 复数2,1z z i=-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ．5. 已知命题p :,sin 1x R x ∃∈≥, 则p ⌝为 ▲ ．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据以上式子可以猜想：<++++2222016131211Λ ▲ ． 7. 21,z z i i i z -=+已知复数满足()则的虚部为 ▲ ．8.“2a =”是“直线210ax y ++=和直线3(1)10x a y ++-= 平行”的 ▲ 条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个填空）9.若命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．10.已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2sr l=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径R = ▲ ．11. 已知复数z 满足243=--i z ，则z 的最大值为 ▲ . 12.sin(2),642y x x A πππ=-≤≤函数的值域为.关于x 的方程210x ax ++=的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，.a B 的取值集合为A B ⋃=则 ▲ ． 13.下列命题正确的序号是 ▲ ．①命题“若a b >，则22a b >”的否命题是真命题； ②若命题1:01p x >-“”，则；1:01p x ⌝≤-“”； ③若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；④方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±.14.已知函数1()3x f x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，则函数()n f x 的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）已知复数)()65()67(22R a i a a a a z ∈--++-=. （1）复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）复数z 在复平面内的对应点在第四象限，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）已知命题p ：方程210x mx ++=有负实数根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围.17.（本题满分14分）（1）证明：当2a ><； （2）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.18.（本题满分16分）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题的实数m 的取值集合为M . （1）求集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．19.（本题满分16分）已知椭圆方程是22143x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点, l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点. （1）若(0,3)P ，求12MF NF ⋅u u u u r u u u u r 的值；（2）若00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅u u u u r u u u u r的值;（3）能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，问12MF NF ⋅u u u u r u u u u r是否为定值？证明你的结论.20.（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m ,n ，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--成立⑴ 求证：数列}a {n 是等差数列；⑵ 探究 ：命题:p “对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--”是命题:q “数列}a {n 是等差数列”的充要条件．．．．吗？请证明你的结论．．．．．．； ⑶若正整数n, m, k 成等差数列，比较k n S S +与m S 2的大小，并说明理由.高二数学文科试题参考答案1.5 2. {}4 3. i -1 4. 1 5. ,sin 1x R x ∀∈< 6.7. 1 8.充要 9. (,2)(2,)-∞-+∞U 10.S V311. 7 12.}121,225|{≤≤-<<-x x x 或 13. ①③ 14. 2(0,)31n-15. 解：（1）由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-06506722a a a a ………………3分解之得,a =1……………………………7分（2）由题设知：⎩⎨⎧<-->+-06506722a a a a ………………10分解之得，⎩⎨⎧<<-><6161a a a 或 …………… 12分所以实数a 的取值范围是 -1<a <1 …………14分16. 解：p ：由题意此方程必为两负根，故2400m m -≥-<且，﹍﹍﹍﹍2分2m ≥解得： ﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分q ：方程无实数根∴1＜m ＜3 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题∴p 、 q 一真一假 ∴1＜m ＜2或m ≥3 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍13分 所以实数m 的取值范围为1＜m ＜2或m ≥3。

2015—2016学年度第二学期期中测试高二数学（文科）试卷一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1、已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.2、命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是________． 3、幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________． 4、复数－1＋3i 1＋2i(i 为虚数单位)的共轭复数为________． 5、在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．6、函数g (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．7.f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的________条件．8、函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．9、若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.10、函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝)(1x f ， 若f (1)＝－5， 则f (f (5))＝________.11、若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________12、已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为________．13、已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为________． 14、已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是二、解答题15、(本小题满分14分)设a 是实数，已知复数i i i a z (211-+-=为虚数单位)，根据条件，分别求a 的值 （1）若z 为纯虚数；（2）若1=z ；（3）若z 在复平面内对应的点在直线0=+y x 上.16、(本小题满分14分) 已知集合{}02,0152<--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=m x x x B x x x A (1)当3=m 时，求()B C A R ;(2)若{}41<<-=x x B A ，求实数m 的值．17、(本小题满分14分)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．（1）若命题q 真，求实数a 的取值范围（2）若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．图1 图2(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？19、(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有0)()(>++b a b f a f 成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．高二数学（文科）参考答案1、{1,2,4,6}2、∃x ∈R ，x 2＝x 3、2 4、1－i 5、1∶86、[－3,6)7、充分不必要8、⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 9、5±12 10、－1511、⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 12、12(log 9,4) 13、12，2 14、1)2 15、a 是实数，a 1－i ＋1－i 2＝a ＋－＋＋1－i 2＝a ＋a i 2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ，……4分（1）a =—1……7分（2）1±=a ……11分（3）a ＝0. ……14分16、解 由于x －5x ＋1<0， 所以－1<x <5，所以A ＝{x |－1<x <5}．……3分(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，……5分则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x <5}．……9分(2)因为A ＝{x |－1<x <5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. ……13分此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8. ……14分17、（1）若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12. ……3分 （2）若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；……6分由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．……8分若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．……14分18、(1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0) ……4分(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6.所以总利润y ＝8.25万元．……6分②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. ……10分 令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，……14分 此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．……16分19、解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1，f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1.又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2.又f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2，∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，……………………4分又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g (x )＝－x 2＋2x . ……………………7分(2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ，当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ＋λ＝1－λλ＋1，……………………9分又∵F (x )在(－1,1]上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<01－λ1＋λ≤－1∴λ<－1……………………12分或⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ>01－λ1＋λ≥1－1<λ≤0. ……………………15分当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．……………………16分20、解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x2·(x 1－x 2)， 由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………4分(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1. ∴－32≤x <－1. ……………………10分 (3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．……………………13分 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须有g (－1)≥0且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2. ……………………16分。

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．2．（5分）命题“x=π”是“sinx=0”的条件．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是．（用数字作答）5．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．（以数字作答）．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N），并用数学归纳法证明．+20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n ）∈N+求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．2．（5分）命题“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．【解答】解：x=π⇒sinx=0，反之不成立，例如取x=0，满足sinx=0．∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．【解答】解：∵异面直线l 1，l2的方向向量分别为，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴异面直线l1，l2所成角的大小为．故答案为：．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是﹣10．（用数字作答）【解答】解：T r=，+1令5﹣2r=3得r=1，所以x3的系数为（﹣2）1•C51=﹣10．故答案为﹣105．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p（A）=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是（1，+∞）．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（x）＞f（1）e x，得：，即g（x）＞g（1），因为函数不等式，所以g（x）＞g（1），所以，x＞1．故答案为（1，+∞）．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．【解答】解：∵f（k）=+++…+（k∈N*），∴f（k+1）=++…++；（k∈N*），则f（k+1）﹣f（k）=++…++﹣（+++…+）=；故答案为：8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．【解答】解：∵∴又∵f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）∴，…由此归纳推理：∴===故答案为：9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是336．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：336．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=1024．【解答】解：∵[1+（x+1）]8=a0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，两边分别对x求导数，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得则a1+2a2+…+7a7+8a8=8•27=1024，故答案为：1024．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为312．（以数字作答）．【解答】解：分两类，数学科排在第一节，或不排在第一节，第一类，当数学课排在第一节时，其它课任意排有种，第一类，当数学课排在第二或第三节课时，第一节从语文、政治、英语、艺术四门科种任排一节，再排数学，然后排其它节次，共有=192种，根据分类计数原理得不同的排法种数为120+192=312种．故答案为：312．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（2，2，0），=（0，1，1），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面DEC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是（﹣16，10] ．【解答】解：由题意，f′（x）=x2+ax+b，∵f（x）的两个极值点分别是x1，x2，x1∈（﹣1，1），x2∈（1，3），∴，对应的平面区域如图所示：令z=a﹣4b，得：b=a﹣z，平移直线b=b=a﹣z，显然直线过A（﹣4，3）时，z最小，最小值是﹣16，过B（﹣2，﹣3）时，z最大，最大值是10，故答案为：（﹣16，10]．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积a2hπ．【解答】解：由题意，图形是一个圆环，圆环的半径为AC，BC，其面积S=π（AC2﹣BC2）∵⇒，同理∴AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h 的柱体的体积为a2hπ．故答案为：a2hπ．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．【解答】解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴；（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆．∴在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．【解答】解：的展开式的通项，由已知，得出化简，解得（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和为37=2187．所有项的二项式系数之和27=128．（2）当为整数时，项为有理项．所以r=0，2，4，6．有理项分别为1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N），并用数学归纳法证明．+【解答】解：（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得…4分（2）因为lnE n=2lnn!，F n=n（n+1），所以lnE1=0＜F1=2，lnE2=ln4＜F2=6，lnE3=ln36＜F3=12，…，由此猜想：当n∈N*时，都有lnE n＜F n，即2lnn!＜n（n+1）…6分下用数学归纳法证明2lnn!＜n（n+1）（n∈N*）．①当n=1时，该不等式显然成立．②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），则当n=k+1时，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），要证当n=k+1时不等式成立，只要证：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），只要证：ln（k+1）≤k+1…8分令f（x）=lnx﹣x，x∈（1，+∞），因为，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而f（x）＜f（1）=﹣1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln（k+1）≤k+1成立，则当n=k+1时，不等式也成立．综合①②，得原不等式对任意的n∈N*均成立…10分20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n ）∈N+求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．【解答】解：（1）证明：设ϕ（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），则ϕ'（x）=f'（x）﹣f'（x0）∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）为减函数，则x=x0为ϕ（x）的极大值点．∵ϕ（x）≤ϕ（x0）=0，即f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）（当且仅当在x=x0取到）（2）证明：由（1）可知：f（x1）≤f（x0）+f'（x0）（x1﹣x0），两边同乘以λ1得λ1f（x1）≤λ1f（x0）+λ1f'（x0）（x1﹣x0），λ2f（x2）≤λ2f（x0）+λ2f'（x0）（x2﹣x0），…λn f（x n）≤λn f（x0）+λn f'（x0）（x n﹣x0），上式各式相加，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤（λ1+λ2+…+λn）f（x0）+f'（x0）•[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）]，因为λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λn x n，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn （x n﹣x0）=0，由此，λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n））等号当且仅当在x1=x2=…=x n时成立，（3）证明：记公比为q，q＞0，则f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，取x1′=a，，λ=∈（0，1），则λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，又∵λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）=λf（a）+（1﹣λ）f（aq2），=λf（a）+（1﹣λ）f{f[f（a）]}，=λaq+（1﹣λ）aq3，=aq3+λaq﹣λaq3，=aq3+λaq（1﹣q2），=aq3+aq（1﹣q2），=aq2，即aq3+λaq（1﹣q2）=aq2=f[λx1+（1﹣λ）x2]，在（2）中取n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2⇒q=1，∴f（a）=a．。

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．2．（5分）命题“x=π”是“sin x=0”的条件．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是．（用数字作答）5．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要（以求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．数字作答）．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x 轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．2．（5分）命题“x=π”是“sin x=0”的充分不必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：x=π⇒sin x=0，反之不成立，例如取x=0，满足sin x=0．∴“x=π”是“sin x=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：∵异面直线l 1，l2的方向向量分别为，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴异面直线l1，l2所成角的大小为．故答案为：．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是﹣10．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【解答】解：T r+1=，令5﹣2r=3得r=1，所以x3的系数为（﹣2）1•C51=﹣10．故答案为﹣105．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p（A）=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是（1，+∞）．【考点】63：导数的运算．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（x）＞f（1）e x，得：，即g（x）＞g（1），因为函数不等式，所以g（x）＞g（1），所以，x＞1．故答案为（1，+∞）．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵f（k）=+++…+（k∈N*），∴f（k+1）=++…++；（k∈N*），则f（k+1）﹣f（k）=++…++﹣（+++…+）=；故答案为：8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．【考点】8B：数列的应用；8H：数列递推式；F1：归纳推理．【解答】解：∵∴又∵f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）∴，…由此归纳推理：∴===故答案为：9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是336．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：336．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=1024．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：∵[1+（x+1）]8=a0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，两边分别对x求导数，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得则a1+2a2+…+7a7+8a8=8•27=1024，故答案为：1024．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要（以求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为312．数字作答）．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：分两类，数学科排在第一节，或不排在第一节，第一类，当数学课排在第一节时，其它课任意排有种，第一类，当数学课排在第二或第三节课时，第一节从语文、政治、英语、艺术四门科种任排一节，再排数学，然后排其它节次，共有=192种，根据分类计数原理得不同的排法种数为120+192=312种．故答案为：312．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（2，2，0），=（0，1，1），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面DEC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是（﹣16，10]．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：由题意，f′（x）=x2+ax+b，∵f（x）的两个极值点分别是x1，x2，x1∈（﹣1，1），x2∈（1，3），∴，对应的平面区域如图所示：令z=a﹣4b，得：b=a﹣z，平移直线b=b=a﹣z，显然直线过A（﹣4，3）时，z最小，最小值是﹣16，过B（﹣2，﹣3）时，z最大，最大值是10，故答案为：（﹣16，10]．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x 轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积a2hπ．【考点】F3：类比推理．【解答】解：由题意，图形是一个圆环，圆环的半径为AC，BC，其面积S=π（AC2﹣BC2）∵⇒，同理∴AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为a2hπ．故答案为：a2hπ．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2K：命题的真假判断与应用；73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴；（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆．∴在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：的展开式的通项，由已知，得出化简，解得（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和为37=2187．所有项的二项式系数之和27=128．（2）当为整数时，项为有理项．所以r=0，2，4，6．有理项分别为1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得…4分（2）因为lnE n=2lnn!，F n=n（n+1），所以lnE1=0＜F1=2，lnE2=ln4＜F2=6，lnE3=ln36＜F3=12，…，由此猜想：当n∈N*时，都有lnE n＜F n，即2lnn!＜n（n+1）…6分下用数学归纳法证明2lnn!＜n（n+1）（n∈N*）．①当n=1时，该不等式显然成立．②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），则当n=k+1时，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），要证当n=k+1时不等式成立，只要证：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），只要证：ln（k+1）≤k+1…8分令f（x）=lnx﹣x，x∈（1，+∞），因为，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而f（x）＜f（1）=﹣1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln （k+1）≤k+1成立，则当n=k+1时，不等式也成立．综合①②，得原不等式对任意的n∈N*均成立…10分20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．【考点】63：导数的运算；8B：数列的应用．【解答】解：（1）证明：设ϕ（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），则ϕ'（x）=f'（x）﹣f'（x0）∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）为减函数，则x=x0为ϕ（x）的极大值点．∵ϕ（x）≤ϕ（x0）=0，即f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）（当且仅当在x=x0取到）（2）证明：由（1）可知：f（x1）≤f（x0）+f'（x0）（x1﹣x0），两边同乘以λ1得λ1f（x1）≤λ1f（x0）+λ1f'（x0）（x1﹣x0），λ2f（x2）≤λ2f（x0）+λ2f'（x0）（x2﹣x0），…λn f（x n）≤λn f（x0）+λn f'（x0）（x n﹣x0），上式各式相加，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤（λ1+λ2+…+λn）f （x0）+f'（x0）•[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）]，因为λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λn x n，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）=0，由此，λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n））等号当且仅当在x1=x2=…=x n时成立，（3）证明：记公比为q，q＞0，则f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，取x1′=a，，λ=∈（0，1），则λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，又∵λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）=λf（a）+（1﹣λ）f（aq2），=λf（a）+（1﹣λ）f{f[f（a）]}，=λaq+（1﹣λ）aq3，=aq3+λaq﹣λaq3，=aq3+λaq（1﹣q2），=aq3+aq（1﹣q2），=aq2，即aq3+λaq（1﹣q2）=aq2=f[λx1+（1﹣λ）x2]，在（2）中取n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2⇒q=1，∴f（a）=a．。

2015～2016学年度第二学期期中调研测试高二数学参考答案本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.设集合{}54321，，，，=A ，{}8,7542，，，=B ，则=B A {}5,4,22.复数i 32-的实部是 23.函数)2ln(1)(x x x f -+-=的定义域为 [)2,1 4.设幂函数()为实数ααx x f =)(的图像经过点()8,4，则幂函数的解析式为)(x f 23x5. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=-4 ,24,32)(1x x x x f x ，则[]=)3(f f 116. 计算()=+-32272lg 4lg 32lg 12 7. 用反证法证明命题“设,a b 是实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的反设是 （4） （填序号）（1）．方程30x ax b ++=恰好有两个实根 （2）．方程30x ax b ++=至多有一个实根（3）．方程30x ax b ++=至多有两个实根 （4）．方程30x ax b ++=没有实根8.已知函数52lg )(-+=x x x f 的零点在区间()1,+k k ()z k ∈，则=k 29.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，72)(2-=x x f ， 则=-)2(f 1-10.已知212+=a ，函数x x f a log )(=，若正实数n m ,满足)()(n f m f >， 则n m ,的大小关系是 n m >11.若复数z 满足i z z 423+=-，其中i 为虚数单位，则复数z12. 已知函数)(1)()1(x f x f x f +=+，且1)1(=f ，则=)10(f 101 13.将全体正整数排成一个三角形数阵：51 41 31 21 1101 9 8 765 4321按照以上的排列规律，第20行第2个数是 19214.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-=1,21211,22)(x x x x f x ，若存在实数21x x <，使得()()21x f x f =， 则)(12x f x 的取值范围是 ()10,0二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15设集合{}|13A x x =-<<，{}m x x B >=|．（1）若1-=m ，求集合A 在B 中的补集；（2）若B B A = ，求实数m 的取值范围．（1）{}31|<<-=x x A ………………2分1-=m∴{}1|->=x x B ………………4分∴集合A 在B 中的补集为{}3|≥x x ………………7分（2） B B A =∴B A ⊆………………10分又 {}31|<<-=x x A ，{}m x x B >=|∴实数m 的取值范围是1-≤m ………………14分16.已知复数i z +-=21，i z z 5521+-=（其中i 为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数])1()32)[(3(223i m m m z z -+---=所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围。

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=5（i是虚数单位），则|z|=．2．（5分）“∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD的对角线互相垂直”，则这个推理的大前提是．3．（5分）用反证法证明命题“若a，b∈R，且a2+b2=0，则a=b=0”时，则假设内容是．4．（5分）若C7x=C65+C64，则x=．5．（5分）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个．6．（5分）若（x2+）6的二项展开式中x3的系数为，则a=（用数字作答）．7．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有个．8．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上．9．（5分）设向量=（1，3m﹣1，n﹣2），=（2，3m+1，3n﹣4），若∥，则=．10．（5分）设（x3﹣1）（x+1）7=a0+a1（x+3）+a2（x+3）2…+a10（x+3）10，则a0+a1+a2+…+a10=．11．（5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512012+a能被13整除，则a=．12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB=1，AC=2，AD=3，∠DAB=∠DAC=60°，∠BAC=90°，G为△DBC的重心，则AG=．13．（5分）对于问题：已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0，给出如下解法：解：由关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（，3），则关于x的不等式+＜0的解集为．14．（5分）若函数式f（n）表示n2+1（n∈N*）的各位上的数字之和，如142+1=197，1+9+7=17所以f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…，f k+1（n）=f[f k（n）]，k∈N*．则f2010（17）=．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（14分）已知复数z满足z（1+2i）=5i．（1）求复数z，并判断z是否为方程x2﹣4x+5=0的一个根；（2）求复数+的模．16．（14分）某兴趣小组的3名指导老师和7名学生站成前后两排合影，3名指导老师站在前排，7名学生站在后排．（1）若甲，乙两名学生要站在后排的两端，共有多少种不同的排法？（2）若甲，乙两名学生不能相邻，共有多少种不同的排法？（3）在所有老师和学生都排好后，摄影师觉得队形不合适，遂决定从后排7人中抽2人调整到前排．若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法？（本题各小题都要求列出算式，并用数字作答）17．（14分）（1）已知非零向量，，且⊥．求证：≤．（2）命题“若a1，a2∈R，a12+a22=1，则|a1+a2|≤．”证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，则f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而4（a1+a2）2﹣8≤0，所以|a1+a2|≤．试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．18．（16分）设（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2++…+，若|a0|，|a1|，|a2|成等差数列．（1）求（1﹣x）n展开式的中间项；（2）求（1﹣x）n展开式中所有含x奇次幂的系数和；（3）求a1+2a2+3a3+…+na n的值．19．（16分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的余弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．20．（16分）已知数列{a n}满足a n+1=a﹣na n+1，且a1=2．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：2n n≤a＜3n n．2015-2016学年江苏省淮安市淮阴区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=5（i是虚数单位），则|z|=．【解答】解：∵复数z满足（2﹣i）z=5（i是虚数单位），∴z====2+i．∴|z|==．故答案为．2．（5分）“∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD的对角线互相垂直”，则这个推理的大前提是菱形的对角线互相垂直．【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD是菱形，所以四边形ABCD的对角线互相垂直的结论，∴大前提一定是菱形的对角线互相垂直，故答案为：菱形的对角线互相垂直．3．（5分）用反证法证明命题“若a，b∈R，且a2+b2=0，则a=b=0”时，则假设内容是a≠0或b≠0．【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a=b=0”时，第一步应假设a≠0或b≠0，故答案为：a≠0或b≠0．4．（5分）若C7x=C65+C64，则x=5或2．【解答】解：C7x=C65+C64，可得：C7x=6+15=21．可得x=5或2．故答案为：5或25．（5分）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有25个．【解答】解：若a+bi为虚数，则b≠0，则b=1，2，3，4，5有5种，则对应的a有5种，则共有5×5=25种，故答案为：256．（5分）若（x2+）6的二项展开式中x3的系数为，则a=2（用数字作答）．【解答】解：通项T r+1=C6r•a﹣r x12﹣3r，当12﹣3r=3时，r=3，所以系数为C63•a﹣3=，得a=2．故答案为27．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有24个．【解答】解：根据题意，若得到的三位数中各位数字之和为奇数，则取出的三个数字有2种情况：①3个数全部为奇数，则有A33=6种情况；②3个数中1个奇数、2个偶数，则有C31•1•A33=18种情况；由分类计数原理可得，符合条件的三位数共有18+6=24个；故答案为24．8．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2，增加了2k+1项．即（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2故答案为：（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）29．（5分）设向量=（1，3m﹣1，n﹣2），=（2，3m+1，3n﹣4），若∥，则=18．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ使得，∴，解得，m=1，n=0．∴=（1，2，﹣2），=（2，4，﹣4），∴=2+8+8=18．故答案为：18．10．（5分）设（x3﹣1）（x+1）7=a0+a1（x+3）+a2（x+3）2…+a10（x+3）10，则a0+a1+a2+…+a10=9．【解答】解：∵（x3﹣1）（x+1）7=a0+a1（x+3）+a2（x+3）2…+a10（x+3）10，令x=﹣2，则[（﹣2）3﹣1]（﹣2+1）=a0+a1+a2+…+a9+a10，∴a0+a1+a2+…+a10=（﹣9）×（﹣1）=9．故答案为：9．11．（5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512012+a能被13整除，则a=12．【解答】解：由于512012+a=（52﹣1）2012+a=++++…+++a，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得+a能被13整除，再由0≤a＜13，可得a=12，故答案为12．12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB=1，AC=2，AD=3，∠DAB=∠DAC=60°，∠BAC=90°，G为△DBC的重心，则AG=．【解答】解：∵AB=1，AC=2，AD=3，∠DAB=∠DAC=60°，∠BAC=90°，∴BC=，DB==，DC==，∴DE=，AE=，在△ADE中，有cos∠ADG=，∵DG=2GE，∴DG=，∴在△ADG中，AG=．故答案为：．13．（5分）对于问题：已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0，给出如下解法：解：由关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（，3），则关于x的不等式+＜0的解集为．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2）得，a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1），不等式+＜0的解集为（，3），所以关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，∈（，3），解得x∈，则所求的不等式的解集是，故答案为：．14．（5分）若函数式f（n）表示n2+1（n∈N*）的各位上的数字之和，如142+1=197，1+9+7=17所以f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…，f k+1（n）=f[f k（n）]，k∈N*．则f2010（17）=8．【解答】解：由172+1=290⇒f（17）=2+9+0=11，112+1=122⇒f（11）=1+2+2=5，52+1=26⇒f（5）=882+1=65⇒f（8）=11112+1=122⇒f（11）=5…⇒f n（17）是从第一项起以3为周期的循环数列，又2010÷3的余数为3，故f2010（17）=f3（17）=f（5）=8．故答案为：8二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（14分）已知复数z满足z（1+2i）=5i．（1）求复数z，并判断z是否为方程x2﹣4x+5=0的一个根；（2）求复数+的模．【解答】（本题满分14分）解：（1），…（4分）方程x2﹣4x+5=0的根为2±i，所以复数z是该方程的一个根．…（8分）（也可以将z=2+i代入验证）（2），…（12分）∴．…（14分）16．（14分）某兴趣小组的3名指导老师和7名学生站成前后两排合影，3名指导老师站在前排，7名学生站在后排．（1）若甲，乙两名学生要站在后排的两端，共有多少种不同的排法？（2）若甲，乙两名学生不能相邻，共有多少种不同的排法？（3）在所有老师和学生都排好后，摄影师觉得队形不合适，遂决定从后排7人中抽2人调整到前排．若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法？（本题各小题都要求列出算式，并用数字作答）【解答】解：（1）…（4分）答：共有1440种不同的排法．…（5分）（2）求甲，乙两名同学不能相邻的排法，考虑到用插空法，把其他4名同学的前后位置放甲乙即可满足甲乙不相邻．答：共有21600种不同的排法．…（10分）（3）首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，∴不同的调整方法有答：共有420种不同的调整方法．…（14分）17．（14分）（1）已知非零向量，，且⊥．求证：≤．（2）命题“若a1，a2∈R，a12+a22=1，则|a1+a2|≤．”证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，则f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而4（a1+a2）2﹣8≤0，所以|a1+a2|≤．试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．【解答】解：（1）∵，∴，即证明||+||≤|+|，即（||+||）2≤2|+|2，即||2+2||||+||2≤2（||2+2|•|+||2），即||2﹣2||||+||2≥0， 即（||﹣||）2≥0成立， ∵（||﹣||）2≥0恒成立， ∴故原不等式成立； …（7分） （2）若a 1，a 2，…，a n ∈R ，，则．…（10分）证明：构造函数，则，因为对一切实数x ，恒有f （x ）≥0， 所以△≤0，从而，所以．…（14分）18．（16分）设（1﹣x ）n =a 0+a 1x +a 2x 2++…+，若|a 0|，|a 1|，|a 2|成等差数列．（1）求（1﹣x ）n 展开式的中间项；（2）求（1﹣x ）n 展开式中所有含x 奇次幂的系数和； （3）求a 1+2a 2+3a 3+…+na n 的值．【解答】解：（1）依题意得 ，r =0，1，…，n ．则a 0=1，，，由2|a 1|=|a 0|+|a 2|得n 2﹣9n +8=0可得n =1（舍去），或n =8． 所以展开式的中间项是．（2），即，令x =1得，令x =﹣1得，两式相减得，即，所以展开式中含x的奇次幂的系数和为．（3）∵，两边求导得：，令x=1得．19．（16分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的余弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．【解答】（本题满分16分）解：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），（1）因为F为中点，则，设是平面BFC 1的一个法向量，则，取x=1，则，…（4分）则，…（6分）所以直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为所以直线BC与平面BFC1所成角的余弦值为…（8分）（2）设，设是平面BFC 1的一个法向量，则，取z=2，则 (11)）是平面FC 1C的一个法向量，则，…（14分）∴，得，即，所以当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．…（16分）20．（16分）已知数列{a n}满足a n+1=a﹣na n+1，且a1=2．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：2n n≤a＜3n n．【解答】解：（1）由已知a n+1=a﹣na n+1，且a1=2．得到a2=﹣a1+1=3，a3=﹣2a2+1=4，a4=﹣3a3+1=5；由此猜测数列{a n}的通项公式为a n=n+1；证明：①n=1，2，3，4显然成立；②假设n=k时成立，即a k=k+1，则n=k+1时，a k+1=﹣ka k+1=（k+1）2﹣k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1；所以n=k+1时，数列a n=n+1也成立；所以数列{a n}的通项公式a n=n+1对任意n∈N+都成立；（2）因为a n=n+1，所以=（n+1）n=＞=2n n；构造函数f（x）=（1+）x，则f′（x）=x（1+）x﹣1（﹣）＜0，所以函数f（x）为减函数，又x≥1，所以f（x）≤f（1）=2＜3，所以=＜3，即（n+1）n＜3n n；所以2n n≤a＜3n n．。

2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．2．（5分）某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k=．3．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．4．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=．5．（5分）从区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于1的概率为．6．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．7．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．8．（5分）的展开式x4的系数是．9．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，则其积为偶数的概率为．10．（5分）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是．11．（5分）有4本不同的书，其中语文书2本，数学2本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的放法有种．12．（5分）已知随机变量是ξ的概率分布为P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，则P（2＜ξ≤5）=．13．（5分）设f（t）=，则f（﹣3）=．（用数字作答）14．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，则集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”元素个数为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．16．（14分）一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？17．（14分）（1）求用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？18．（16分）一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的（未用过的球称为新球），3个旧的（新球用一次即称为旧球）．现从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，设随机变量X表示此时盒中旧球个数．（1）求盒中新球仍是9个的概率；（2）求随机变量X的概率分布．19．（16分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（Ⅰ）求证：AD⊥BF：（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，求PF的长度．20．（16分）在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）•2=4cos x （﹣sin x），化简后得等式sin2x=2cos x sin x．（1）利用上述方法，试由等式（1+x）n=C n0+C n1x+…+C n n﹣1x n﹣1+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），①证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=k x k﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）对于正整数n≥3，求（﹣1）k k（k+1）C n k．2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：∵数据4，6，5，8，7，6的平均数为=（4+6+5+8+7+6）=6，∴这组数据的方差为S2=×[（4﹣6）2+2×（6﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（7﹣6）2]=．故答案为：．2．（5分）某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k=5．【考点】EF：程序框图．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43b=34第二圈k=4 a=44b=44第三圈k=5 a=45b=54，此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．3．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【解答】解：∵B层中每个个体被抽到的概率都为，∴总体中每个个体被抽到的概率是，∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10÷=120故答案为：120．4．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=4．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：本题的伪代码表示一个分段函数f（x）=∵输出值为3∴或∴x=4∴输入值x=4故答案为：45．（5分）从区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于1的概率为．【考点】CF：几何概型．【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1表示的区域为直线x+y=1下方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，如图，易得其面积为；则两数之和小于1的概率是故答案为：6．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．7．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【考点】87：等比数列的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：8．（5分）的展开式x4的系数是1120．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：因为=T r+1=C8r•x16﹣3r•2r，令16﹣3r=4，解得r=4，所以的展开式x4的系数是：C84•24=1120．故答案为：1120．9．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，则其积为偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，基本事件总数n=4×4=16，其积为偶数包含的基本事件个数m==12，∴其积为偶数的概率p=．故答案为：．10．（5分）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10张奖券中抽5张共有C105=252，满足条件的事件的对立事件是没有人中奖，没有人中奖共有C75=21种结果，根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率P=1﹣=，故答案为：．11．（5分）有4本不同的书，其中语文书2本，数学2本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的放法有8种．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：利用插空法，语文书有A22=2种放法，插入数学书，有2种插法，数学书之间有A22=2种顺序．则同一科目书都不相邻的放法种数有2×2×2=8．故答案为：4．12．（5分）已知随机变量是ξ的概率分布为P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，则P（2＜ξ≤5）=．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：∵随机变量是ξ的概率分布为P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，P（ξ=2）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴P（2＜ξ≤5）=P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）==．故答案为：．13．（5分）设f（t）=，则f（﹣3）=﹣341．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【解答】解：由题意，f（t）==，∴f（﹣3）==﹣341．故答案为：﹣341．14．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，则集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”元素个数为130．【考点】12：元素与集合关系的判断．【解答】解：由x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，由于|x i|只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：×2．∴总共方法数是：++×2=130．故答案为：130．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（5分）（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…（13分）16．（14分）一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）∵一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，答对其中1题即为合格．某位考生会答8题中的5道题，∴这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，∴这位考生及格的概率p=1﹣=1﹣=．（2）一位考生及格的概率小于50%，则他不及格的概率大于，设他最多会n道题，n≤8，则，则=＞14，即n2﹣15n+28＞0，解得n＜或n＞（舍），∵n∈Z*，∴n的最大值为2．∴他最多只会2道题．17．（14分）（1）求用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为：=48．（2）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故恰有1个空盒的放法共有144种．18．（16分）一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的（未用过的球称为新球），3个旧的（新球用一次即称为旧球）．现从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，设随机变量X表示此时盒中旧球个数．（1）求盒中新球仍是9个的概率；（2）求随机变量X的概率分布．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：（1）盒中新球仍是9个的概率：p==．（2）由题意X的可能取值为3，4，5，6，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴随机变量X的概率分布列为：19．（16分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（Ⅰ）求证：AD⊥BF：（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，求PF的长度．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，因为BF⊂平面ABEF，所以AD⊥BF；（Ⅱ）解：因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．所以B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）．所以=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），所以cos＜，＞=，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为=（1，0，0）．设P点坐标为（0，2﹣2t，t），在平面APC中，=（0，2﹣2t，t），=（1，2，0），所以平面APC的法向量为=（﹣2，1，），所以cos＜，＞==，解得t=，或t=2（舍）．此时|PF|=．20．（16分）在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）•2=4cos x （﹣sin x），化简后得等式sin2x=2cos x sin x．（1）利用上述方法，试由等式（1+x）n=C n0+C n1x+…+C n n﹣1x n﹣1+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），①证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=k x k﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）对于正整数n≥3，求（﹣1）k k（k+1）C n k．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（1）①证明：等式（1+x）n=C n0+C n1x+…+C n n﹣1x n﹣1+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），两边对x求导，可得n（1+x）n﹣1=C n1+2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1，即有n[（1+x）n﹣1﹣1]=2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1=k x k﹣1；②由①令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，可得，C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；（2）在①式中，令x=﹣1，可得n[（1﹣1）n﹣1﹣1]=k（﹣1）k﹣1，整理得（﹣1）k﹣1k=0，所以（﹣1）k k=0；由n（1+x）n﹣1=C n1+2C n2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1，n≥3，两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2C n2+3•2C n3x+…+n（n﹣1）C n n x n﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2C n2+3•2C n3（﹣1）+…+n（n﹣1）C n2（﹣1）n﹣2即k（k﹣1）（﹣1）k﹣2=0，亦即（k2﹣k）（﹣1）k=0，又（﹣1）k k=0，两式相加可得，（﹣1）k k2=0，综上可得，（﹣1）k k（k+1）C n k=（﹣1）k k2+（﹣1）k k=0．。

2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（70分）1．（5分）在复平面内，复数z=﹣1+2i对应的点所在的象限是．2．（5分）若空间中的三个点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）共线，则a+b=．3．（5分）若复数（1+bi）•（2﹣i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=．4．（5分）数列1，4，7，10，…，的第8项等于．5．（5分）i+i2+i3+i4=．6．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值为．7．（5分）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=．8．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设．9．（5分）已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=x，则x+y+z=．10．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端在n=k 时的左端加上．11．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦为，则λ等于．12．（5分）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．13．（5分）正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面P AC所成的角是．14．（5分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●〇〇〇〇〇●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前160个圈中的●的个数是．二、解答题（90分）15．（14分）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z=1+i．（1）求复数（1+z）•；（2）求（1+）•z2的模．16．（14分）用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=（n∈N*）17．（14分）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．18．（16分）（Ⅰ）已知是空间的两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量，．求向量与的夹角；（Ⅱ）已知是两个不共线的向量，．求证：共面．19．（16分）已知数列{a n}满足条件a n+1=．（1）若a1=，求a2，a3，a4的值．（2）已知对任意的n∈N+，都有a n≠1，求证：a n+3=a n对任意的正整数n都成立；（3）在（1）的条件下，求a2015．20．（16分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD 的中点．（1）求||（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（70分）1．（5分）在复平面内，复数z=﹣1+2i对应的点所在的象限是第二象限．【解答】解：因为复数z=﹣1+2i的实部﹣1＜0，虚部为2＞0，所以复数z=﹣1+2i 对应的点所在的象限是第二象限．故答案为第二象限．2．（5分）若空间中的三个点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）共线，则a+b=5．【解答】解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2），∴=（1，﹣1，﹣3），=（a﹣1，﹣2，b+4），∵A，B，C三点共线，∴=λ，∴（1，﹣1，3）=λ（a﹣1，﹣2，b+4），∴，解得λ=，a=3，b=2，即a+b=5．故答案为：5．3．（5分）若复数（1+bi）•（2﹣i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=﹣2．【解答】解：（1+bi）（2﹣i）=2+b+2bi﹣i=（2+b）+（﹣1+2b）i，∵（1+bi）•（2﹣i）是纯虚数，∴实部为0，即2+b=0，∴b=﹣2，此时﹣1+2b≠0，∴b=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）数列1，4，7，10，…，的第8项等于22．【解答】解：∵数列1，4，7，10，…中，a1=1，d=3，∴a8=1+3×（8﹣1）=22．故答案为：22．5．（5分）i+i2+i3+i4=0．【解答】解：i+i2+i3+i4=i﹣1+i2•i+i2•i2=i﹣1﹣i+1=0．故答案为：0．6．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值为2．【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴=（k﹣1，k，2），=（2，1，﹣2），又（）⊥（），∴2（k﹣1）+k﹣4=0，解得k=2．故答案为：2．7．（5分）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b= 1．【解答】解：∵=，∴a=0，b=1．则a+b=1．故答案为：1．8．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设三个内角都大于60°．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故答案为三个内角都大于60°．9．（5分）已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=x，则x+y+z=．【解答】解：如图，根据条件：===；又；∴由空间向量基本定理得．故答案为：．10．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端在n=k 时的左端加上（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．【解答】解：n=k时左端为：1+2+3+…+k2，n=k+1时左端为：1+2+3+…+k2+（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．故答案为：（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）211．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦为，则λ等于，﹣2．【解答】解：设与的夹角为θ，则有cosθ===，即=，，55λ2+108λ﹣4=0，解得λ=﹣2或λ=，故答案为．12．（5分）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．【解答】解：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为，故答案为．13．（5分）正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面P AC所成的角是30°．【解答】解：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P．则=（2a，0，0），=，设平面P AC的法向量为n，可求得n=（0，1，1），则cos＜C，n＞═=．∴＜C，n＞=60°，∴直线BC与平面P AC所成的角为90°﹣60°=30°．故答案为：30°14．（5分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●〇〇〇〇〇●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前160个圈中的●的个数是16．【解答】解：由图看出，第一个●含（●）前有2个圈，往下依次是3个圈，4个圈，…圈的个数构成以2为首项，以1为公差的等差数列，其前n项和为，由，解得，∵n∈N*，∴n=16．即那么在前160个圈中的●的个数是16．故答案为：16．二、解答题（90分）15．（14分）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z=1+i．（1）求复数（1+z）•；（2）求（1+）•z2的模．【解答】解：（1）∵z=1+i，∴=1﹣i，∴（1+z）•=（2+i）（1﹣i）=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，（2）（1+）•z2=（2﹣i）（1+i）2=（2﹣i）•2i=2+4i，∴|（1+）•z2|==2．16．（14分）用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=（n∈N*）【解答】证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；②假设n=k时，结论成立，即：（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=则n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1）=+3k+2=故n=k+1时，等式成立由①②可知：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=（n∈N*）成立17．（14分）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．【解答】解：用反证法．假设与都大于或等于2，即，（4分）∵x，y∈R+，故可化为，两式相加，得x+y≤2，（10分）与已知x+y＞2矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．（12分）18．（16分）（Ⅰ）已知是空间的两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量，．求向量与的夹角；（Ⅱ）已知是两个不共线的向量，．求证：共面．【解答】解：（Ⅰ）∵是两个单位向量，所以||=||=1，由于其夹角为60°所以向量=cos60°=∴=（2））=﹣6+=||===同理||=，所以cos＜＞===所以夹角120°…7分（Ⅱ）证明：因为向量是两个不共线的向量设=x（）+y（）=（x+3y）+（x﹣2y）=2+3所以，这表明存在实数，，使根据共面向量定理知：向量共面…14分．19．（16分）已知数列{a n}满足条件a n+1=．（1）若a1=，求a2，a3，a4的值．（2）已知对任意的n∈N+，都有a n≠1，求证：a n+3=a n对任意的正整数n都成立；（3）在（1）的条件下，求a2015．【解答】（1）解：由数列{a n}满足条件a n+1=，a1=，∴a2==2，同理可得：a3=﹣1，a4=．（2）证明：∵，∴，∴．即a n+3=a n对任意的正整数n都成立；（3）解：由前面的结论，可得a2015=a671×3+2=a2=2．20．（16分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD 的中点．（1）求||（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．【解答】解：（1）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），，…（2分）∴…（4分）（2）∵，，∴…（6分）∴直线EC与AF所成角的余弦值为．…（8分）（如果把向量的夹角当成直线的夹角，扣1分）（3）平面ABCD的一个法向量为…（9分）设平面AEF的一个法向量为，∵，，∴，令x=1，则y=2，z=﹣1，…（10分）则…（12分）由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角，其余弦值为．…（14分）（如果把向量的夹角当成二面角的平面角，扣2分）。