2018-2019学年湖南省五市十校高二下学期期末联考数学(理)试题扫描版含答案

姓名 准考证号 (在此卷上答题无效) 绝密★启用前湖南省五市十校2019年上学期高二年级期末考试试题理科数学命题单位:宁乡一中本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={0<2|-x x } ,N= {1|+=x y x }，则M∪N =A. {-1>|x x }B. {2<1|x x ≤-}C. { 2<<1|x x -}D. R 2.已知复数iz -=12，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B. 2||=z C. 2z 为纯虚数 D. i z +-=1 3.等比数列{n a }的各项均为正数，且187364=+a a a a ,则=++++93332313log ......log log log a a a aA. 12B. 10C.9D.2+log 35 4.函数2<||,0>)(sin()(πϕϕωA x A x f 其中+=的部分图像如图所示，为了得到函数x x g ωcos )(=的图像，只需将)(x f 的图像A.向左平移12π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度5.已知函数 x x x x f sin 23)(3+--=,设3.023.02log ,3.0,2===c b a ,则A. )(b f <)(a f <)(c fB. )(b f <)(c f <)(a fC. )(c f <)(b f <)(a fD.)(a f <)(b f <)(c f6.设⎰+=20)cos sin 5(πx x n ，则n xx )1(-的展开式中的常数项为A ，20 B. -20 C. 120 D. -1207.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当岡内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14, 这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（参考数据：sin15°= 0.2588，sin7.5° = 0. 1305) A. 12 B. 24 C. 48 D.968.函数x x y sin ⋅=在],[ππ-的图像大致为9.设正项等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若60572019=S ,则2018241a a +的最小值为 A.1 B.32 C.613D.4 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D,的棱长为4,动点E ，F 在棱A1B1上，动点P ，Q 分别在棱AD,CD 上。

长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。

1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--B. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A.3B. 3-C.13D. 13-【答案】A 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=3.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D.31. 74%【答案】B 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59P ξ<<=. 【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ） A. 2- B. 2C. 23-D.23【答案】D【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解+析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1D.2【答案】C分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解+析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B.【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ） A. 3812π- B. 44π+ C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出2101(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：0023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1C. 1±D. 2±【答案】A 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x =,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解+析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】Bπ1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1c o s2π1si n212c o ss inc o4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=. 点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D.()()0f b g a <<【答案】A由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。

2018-2019学年湖南省永州市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则4a =（ ） A ．-1 B ．3C ．7D ．9【答案】C【解析】直接将4n =代入通项公式，可得答案. 【详解】数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. 所以当4n =时，42417a =⨯-=. 故选：C 【点睛】本题考查求数列中的项，属于基础题.2．已知变量x ，y 满足回归方程$y bx a =+，其散点图如图所示，则（ ）A ．0a <，0b >B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a >，0b <【答案】D【解析】由散点图知变量,x y 负相关，回归直线方程的斜率小于0；回归直线在y 轴上的截距大于0．可得答案. 【详解】由散点图可知，变量,x y 之间具有负相关关系． 回归直线l 的方程$y bx a =+的斜率0b <． 回归直线在y 轴上的截距是正数0a >． 故选：D 【点睛】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．3．以()1,0F 为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．22y x = C ．24x y =- D ．22x y =【答案】A【解析】由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p 的值，即可写出抛物线的标准方程． 【详解】因为抛物线的焦点坐标是()1,0F ， 所以抛物线开口向右，且p =2， 则抛物线的标准方程24y x =. 故选：A ． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题． 4．下列命题正确的是（ ） A ．进制转换：()()210110113=B ．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C ．“若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为真命题D ．若命题p ：0x ∀>，10x ->，则p ⌝：00x ∃≤，010x -≤ 【答案】A【解析】根据进制的转化可判断A ，由中位数的概念可判断B ，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D. 【详解】A .()0123211011202121214813=⨯+⨯+⨯+⨯=++=,故正确. B. 样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C . “若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为: “方程20x x -=,则1x =”，为假命题，故不正确.D. 若命题p ：0x ∀>，10x ->.则p ⌝：00x ∃>，010x -≤，故不正确. 故选：A 【点睛】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.5．“”是 “22a b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】因为a b >不能推出22a b >，而22a b >也不能推出a b >，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．38C ．716D ．12【答案】B【解析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可． 【详解】设“东方魔板”的面积是4， 则阴影部分的三角形面积是1， 阴影部分平行四边形的面积是12则满足条件的概率113248P +== 故选：B 【点睛】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．7．执行如图程序框图，若输入的a ，b 分别为12，20，则输出的a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前,a b 的值，即可得出结论． 【详解】解：由12,20,a b a b ==<，则20128b =-=. 由a b >，则1284a =-=. 由b a >，则844b =-=. 由4a b ==，则输出4a =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题，是基础题．8．设不等式组111x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域为M ，若直线()2y k x =+的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是（ ）A ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，由直线()2y k x =+过定点，数形结合求得定点与可行域内动点连线的斜率的范围，则答案可求． 【详解】由不等式组111x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩作出可行域M ，如图.直线()2y k x =+表示过点(2,0)P -斜率为k 的直线. 直线()2y k x =+的图象经过区域M 即将x 轴绕点P 沿逆时针旋转到点B 的位置.()101022OB k -==--.所以直线()2y k x =+的图象经过区域M ，其斜率102k ≤≤. 故选：C 【点睛】本题考查了直线系方程，考查了直线的斜率，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知曲线C ：()221,0x y a b a b+=>经过点()1,2A ，则+a b 的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．4【答案】B【解析】曲线C 过点()1,2A 得141a b +=，所以()14a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭a b =a b 展开利用均值不等式可求最小值. 【详解】由曲线C ：()221,0x y a b a b+=>经过点()1,2A得141a b+=. 所以()14445259b ab a a b a ba b ⎛⎫+++=++≥⋅+=⎪⎝⎭a b =a b当且仅当2b a =，即36a b =⎧⎨=⎩时取等号. 故选：B 【点睛】本题考查利用均值不等式求满足条件的最值问题，特殊数值1的特殊处理方法，属于中档题.10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB =，13AA =，点F 在1CC 上，且1113C F CC =，则异面直线11B C 与AF 所成角为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【解析】根据题意将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，由11//BC B C ，然后再过点B 作直线AF 的平行线，从而可得异面直线11B C 与AF 所成角. 【详解】由条件将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，如图. 由条件11//BC B C ,设点E 为1DD 的中点，连接BE .则//BE AF ，所以CBE ∠（或其补角）为异面直线11B C 与AF 所成角. 在CBE △中，22BC =，22222222BE CE BD DE ==+=+=所以CBE △为等边三角形，所以60CBE ∠=︒ 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角，要注意补形法的应用，属于中档题.11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1010S =，2030S =，则40S =（ ） A ．270 B ．150C ．80D ．70【答案】B【解析】根据题意等比数列{}n a 的公比1q ≠-，由等比数列的性质有1010S =，20103020,,S S S S --L L 成等比数列，可得答案.【详解】根据题意等比数列{}n a 的公比1q ≠-.由等比数列的性质有1010S =，20103020,,S S S S --L L 成等比数列 所以有1010S =，201020,S S -=则302040S S -=，403080S S -= 所以30204070S S =+=，403080150S S =+= 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和的性质的应用,属于中档题.12．已知(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A ，B 两点，若AF BF ⊥且ABF ∆的周长为42a c +，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．52C ．3D ．2【答案】D【解析】设双曲线的另一个焦点为1F ，则根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，2AB c =，由条件可得4AF BF a +=，由双曲线的定义2BF AF a -=，再由勾股定理可解得离心率. 【详解】设双曲线的另一个焦点为1F ，由AF BF ⊥.根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，如图，12AB F F c ==. 又ABF ∆的周长为42a c +，则4AF BF a +=…………①.由双曲线的定义2BF AF a -=………………② 由①，②得3,BF a AF a ==.在直角三角形ABF V 中,222AB AF BF =+ . 则()22243c a a =+，即22410c a =，所以10e =. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.二、填空题13．一个总体有200个个体，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则分组间隔为___________. 【答案】10【解析】系统抽样的抽样间隔为200÷20=10，可得答案． 【详解】利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本. 所以应该将总体编号后分成20组，每组200÷20=10个 所以分组间隔为10. 故答案为：10. 【点睛】本题考查系统抽样的定义和方法，考查系统抽样的抽样间隔，属于基础题.14．某人从A 处向正东方向走x 千米，然后向南偏西30°的方向走3千米，此时他离点A 的距离为33x =___________千米.【答案】6【解析】根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案. 【详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走x 千米到处B ，然后向南偏西30°的方向走3千米到C 处. 即3,33,60BC AC ABC ==∠=︒,由正弦定理得：sin sin BC ACA ABC=∠. 所以33sin 12sin 233BC ABC A AC ⨯⋅∠=== 又AC BC >,所以60BAC ABC ∠<∠=︒. 所以30BAC ∠=︒，则90BCA ∠=︒. 所以()2222233336AB AC BC =+=+=.则6x =. 故答案为：6【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为()03,y 时，AEF ∆为正三角形，则p =______. 【答案】2【解析】设点A 在第一象限，根据题意可得直线l 的倾斜角为60︒，过点A 作AH x⊥轴，垂足为H ，由抛物线的定义可得32p AF =+,32pFH =-，通过解直角三角形可得答案. 【详解】设点A 在第一象限，过点A 作AH x ⊥轴，垂足为H , 由AEF ∆为正三角形，可得直线l 的倾斜角为60︒. 由抛物线的定义可得32pAF AE ==+, 又32p FH OH OF =-=-, 所以在Rt AHF △中有：2AF FH =. 即32322p p ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得：2p =. 故答案为：2【点睛】本题考查抛物线中过焦点的弦的性质，属于难题.16．如图所示的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列.在此表中，数字“121”出现的次数为___________. 2 3 4 5 6 7 …… 3 5 7 9 11 13 …… 4 7 10 13 16 19 …… 5 9 13 17 21 25 …… 6 11 16 21 26 31 …… 7 13 19 25 31 37 …… ……………………………………【答案】16【解析】第1行数组成的数列()11,2,3,j a j =L L 是以2为首项，公差为1的等差数列，第j 列数组成的数列()1,2,3,ij a i =L L 是以1j +为首项，公差为j 的等差数列，求出通项公式，可求出结果． 【详解】根据题意，第i 行第j 列的数记为ij a ．那么每一组i 与j 的组合就是表中一个数． 因为第一行数组成的数列()11,2,3,j a j =L L 是以2为首项，公差为1的等差数列， 所以()1211j a j j =+-=+，所以第j 列数组成的数列()1,2,3,ij a i =L L 是以1j +为首项，公差为j 的等差数列， 所以()()111ij a j i j ij =++-⨯=+． 令1121ij a ij =+=.则3120235ij ==⨯⨯ ，则120的正约数有4×2×2=16个. 所以121在表中出现的次数为16次 故答案为：16． 【点睛】本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用,和正约数的个数的求解，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，三、解答题17．已知命题p ：方程210x mx -+=有实数解，命题q ：31,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，m x ≥.（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 为假命题，且q 为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2m ≥或2m ≤-；（2）322m ≤< 【解析】（1）由方程有实数根则0∆≥，可求出实数m 的取值范围. (2)q 为真命题,即max m x ≥从而得出m 的取值范围,由（1）可得出p 为假命题时实数m的取值范围.即可得出答案.【详解】解：（1）方程210x mx -+=有实数解得，0∆≥，解之得2m ≥或2m ≤-； （2）p 为假命题，则22m -<<，q 为真命题时，m x ≥，31,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，则max m x ≥故32m ≥. 故p 为假命题且q 为真命题时，322m ≤<. 【点睛】本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题.18．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin b A =. （1）求角B 的大小；（2）若b =5a c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2【解析】(1)2sin sin A B A =，从而可得答案. (2)由余弦定理可得6ac =，再由面积公式可求答案. 【详解】解：（1） 2sin b A =2sin sin A B A =，sin 0A ≠，∴sin B =， 又因为ABC ∆为锐角三角形，∴3B π=.（2）由余弦定理可知，2222cos b a c ac B =+-， 即()223b a c ac =+-，解得6ac =，∴1sin 2S ac B ==. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题.19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占55%.（1）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）从收集的结算时间不超过．．．1min 的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为0.5min 的概率.（注：将频率视为概率） 【答案】（1）18x =，25y =，()1.41min ；（2）710【解析】（1）由条件可得201055y ++=，从而可求出x ，y 的值，再计算顾客一次购物的结算时间的平均值（2）结算时间不超过．．．1min 的顾客有45人，则按分层抽样抽取5人，从结算时间为0.5min 的人中抽取2人，从结算时间为1min 的人中抽取3人，列举出基本事件数，再列举出至少有1人结算时间为0.5min 所包含基本事件数，用古典概率可求解. 【详解】解：（1）由已知得201055y ++=，∴25y =，2745x +=，∴18x =.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计， 其估计值为()0.518127 1.520225 2.5101.41min 100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）结算时间不超过1min 共有45人，其中结算时间为0.5min 的有18人， 结算时间为1min 的有27人，结算时间为0.5min 的人数：结算时间为1min 的人数2:3=， 则按分层抽样抽取5人，从结算时间为0.5min 的人中抽取25=22+3⨯人， 从结算时间为1min 的人中抽取35=32+3⨯人. 记抽取结算时间为0.5min 的2人分别为1a ，2a ，抽取结算时间为1min 的3人分别为1b ，2b ，3b ，(),x y 表示抽取的两人为x ，y ，基本事件共有10个： ()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b .记至少有1人结算时间为0.5min 为事件A ，A 包含基本事件共有7个：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，∴()710P A =，故至少有1人结算时间为0.5min 的概率710. 【点睛】本题考查统计中求平均数和分层抽样以及用古典概率公式计算概率,属于基础题.20．设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，11a =，()*21n n S n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21log n n b a +=，数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使12n T >时n 的最小值.【答案】（1）()121n n a n -=≥；（2）3 【解析】（1）根据1111n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩结合n S 的递推关系可求解.（2）由（1）可得21log n n b a n +==，则()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，用裂项相消可求和，从而解决问题. 【详解】解：（1）由两式112121,2n n n n S S n --⎧=-⎨=-≥⎩相减得到，11222n n n n a ---==，2n ≥； 当1n =，也符合12n n a -=，综上，()121n n a n -=≥.（2）由12n n a -=得，21log n n b a n +==，∴()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴1111111112324352n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭， 易证明n T 在n *∈N 时单调递增，且231112124240T T =<<=， 故n 的最小值为3. 【点睛】本题考查根据n S 的递推关系求数列的通项公式和用裂项相消法求和，属于中档题. 21．如图，在多面体PABCDE 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，//DE PA .（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）若60ABC ∠=︒，2PA AB ==，当DE 长为多少时，平面PAC ⊥平面PCE . 【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】(1)先证明面//PAB 面CDE ，从而可得//CE 平面PAB .（2）设BC 的中点为M ，以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，设()0DE λλ=>,易知平面PAC 的法向量为()3,3,0m BD ==-u r u u u r，求出平面PCE 的法向量，根据法向量垂直可求解. 【详解】证明：（1）：∵//AB CD ，CD ⊂面CDE ，AB ⊄面CDE ， ∴//AB 面CDE .同理//PA 面CDE ，又AB PA A ⋂=，AB Ì面PAB ，AP ⊂面PAB ， ∴面//PAB 面CDE ，又CE ⊂面CDE ， ∴//CE 平面PAB .（2）∵2PA AB ==，60ABC ∠=︒，∴AC AB =，设BC 的中点为M ，连接AM ， 则AM BC ⊥.以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -.则()002P ,,，()3,1,0C ，()0,2,0D ，令()0DE λλ=>，则()0,2,E λ，()3,1,2PC =-u u u r ，()3,1,CE λ=-u u u r.设平面PCE 的法向量为()111,,n x y z =r ，则00n PC n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ， 即11111132030x y z x y z λ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩，令11y =，则()113222x z λλ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩， ∴()2,1,232n λλ⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭r .易知平面PAC 的法向量为()3,3,0m BD ==-u r u u u r，当平面PAC ⊥平面PCE 时，()()231300232n m λλ⋅=⨯-+⨯+⨯=--r u r，解之得1λ=.所以当1DE =时，平面PAC ⊥平面PCE .【点睛】本题考查线面平行的证明和根据面面垂直求线段的长度，属于中档题.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为2313,2M ⎫⎪⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 方程；（2）设直线l ：()0,0y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率之和为0.①求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标；②求OPQ ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）①证明见解析；②1 【解析】(1)由条件有c =12M ⎫⎪⎭代入椭圆方程结合222a b c =+，可求解椭圆方程.(2) ①设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线OP ，PQ ，OQ 的斜率分别为12,,k k k ，由条件有121212120y y kx m kx mk k x x x x ++++=++=，将直线方程与椭圆方程联立，将12x x +，12x x ⋅代入化简可得m ，得到直线过定点.②由①利用弦长公式可求出PQ ，再求出原点O 到直线PQ 的距离，则OPQ ∆的面积可表示出来，从而可求其最大值. 【详解】解：（1）由题意可得c =，又由点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上，故得223114a b+=， ∵22223a b c b =+=+，解得24a =，21b =.∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设点()11,P x y ，()22,Q x y .联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=， ∴()()()222222644144416140k m kmk m ∆=-+-=+->，化简得2214m k <+①，122814km x x k +=-+②，21224414m x x k-⋅=+③ 设直线OP ，PQ ，OQ 的斜率分别为12,,k k k直线OP ，PQ ，OQ 的斜率之和为0，∴120k k k ++=，即12121212y y kx m kx mk k x x x x ++++=++()1221283344m x x km k k m x x m +-=+=+⨯-()222243412=04444k m km k m m --==--， ∴23m =，又0m >，∴m . 综上可得，直线l经过定点(. ②由①知212k >.∴PQ ==，原点O 到直线PQ的距离d ==.∴12OPQS PQ d ====，≥251=42k >取“=”. ∴1OPQ S ≤，即OPQ ∆面积的最大值为1. 【点睛】本题考查求椭圆方程和证明直线过定点、求三角形的面积的最值，考查方程联立，利用韦达定理的舍而不求的方法的应用，考查计算化简能力，属于难题.。

湖南省三湘名校教育联盟2018～2019学年高二下学期期末考试数学试题 理本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={0 <)4)1(−+x x x ,B= {1 >xxe }，则=B A A.(0,1) B. (0,4) C.(1,4) D.(4, +∞)2.复数iiz +−=13的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，56,473==S a ，则=7a A.10B.12C.16D.204.下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上为减函数的是A. 1−=x yB. x y 1ln =C.xx y −−=22 D. ⎪⎩⎪⎨⎧−+=0<,20>,222x x x x x x y5.已知βα,为两个不同平面，l 为直线且α⊥l ，则“βα⊥”是“α∥l ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量0),,1(),1,3(=⋅=−=t ，若0 <t ，则=t A.-4B.-3C.-2D.-17.设1.14)21(,2log ,5lg ===c b a ，则 A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为A. 8)(2x x S S i −+=B.8)()1(2x x S i S i −+−=C. i x x S S i 2)(−+=D. ix x S i S i 2)()1(−+−=9.将函数)cos()(ϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关 于2π=x 对称，则=ϕtanA. 33−B. 3−C. 33± D. 3± 10.过双曲线C: )0>0,>(12222b a b y a x =−的一个焦点F 向其一条渐近线x y l 21:=作垂线，垂足为E,0为坐标原点，若△OEF 的面积为1，则C 的焦距为 A. 5− B.3 C. 52 D. 511.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图像关于点（0,2)对称，曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线过点(2,7)，设曲线)(x f y =在0=x 处的切线的倾斜角为α，则)tan()3sin(απαπ−⋅+的值为A.105 B. 105− C. 426− D. 462− 12.已知点M(0,4)，点P 在抛物线y x 82=上运动，点Q 在圆1)2(22=−+y x 上运动，则PQPM 2的最小值为 A.2 B. 38 C.4 D. 316二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省五市十校2019年上学期高二年级期末考试试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}1,2,3,41,3,5M N ==，，P M N =I ，则P 的子集共有（ ） A. 3个 B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B 【解析】 【分析】先求出{}1,3P M N =⋂=，由此能求出P 的子集的个数． 【详解】解：Q 集合{}{}1,2,3,41,3,5M N ==，，{}1,3P M N ∴=⋂=P ∴的子集共有224=．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查集合的子集个数的求法，是基础题．2.已知复数z 满足(1)4z i i +=，则复数z 的实部为（ ） A. 2 B. -2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简根据实部定义得答案． 【详解】解：(1)4z i i +=Q44(1)44221(1)(1)2i i i i z i i i i -+∴====++-+ 则z 的实部为2． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若0.2232,log 3,log a b c ππ===，则（ ）A. c a b >>B. b a c >>C. a b c >>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数，对数函数的图像及运算性质可以得解. 【详解】解: 根据指数对数的图像可知 0.22321,0log 31,log 0a b c ππ=><=<=<所以a b c >> 故选：C ．【点睛】本题考查利用指数，对数函数的图像及运算性质比较大小，属于基础题.4.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】 设公差为d，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程6.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 3a 则双曲线的离心率为（ ） 2 3C. 25【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求得双曲线的离心率． 【详解】解：双曲线的一个焦点为(c,0)F ，一条渐近线方程为0bx ay -=，所以焦点到渐近线的方程为223bca b a=+，整理得223b a =，即223b a = 所以221132b e a=+=+= 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式，属于基础题．7.已知(0,)θπ∈且满足cos2cos θθ=，则tan θ=（ ）A. 3-B. 33-C. 3D.33【答案】A 【解析】 【分析】根据cos2θ的二倍角公式将原式进行整理可求cos θ值，再根据θ的范围即可求出tan θ. 【详解】解：cos2cos θθ=Q22cos 1cos θθ∴-=22cos cos 10θθ∴--=即()()2cos 1cos 10θθ+-=cos 1θ∴=或12-(0,)Q θπ∈23πθ∴=故tan θ=3- 故选：A ．【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题.8.函数()2()2(xf x x tx e t =-为常数且0t >）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的零点以及零点个数，求函数的导数，研究函数的单调性，利用排除法进行求解． 【详解】解：由()0f x =得220x tx -=，得0x =或2tx =，即函数()f x 有两个零点，排除A ，C ，函数的导数22()(4)(2)[2(4)]xxxf x x t e x tx e x t x t e '=-+-=+--，方程22(4)0x t x t +--=中()2248160t t t =-+=+>V 故()0f x '=有两个不等根，即()f x 有两个极值点，排除D ， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数零点，极值点个数和单调性，结合排除法是解决本题的关键，属于基础题．9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B 【解析】 【分析】列出循环过程中S 与n 的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案． 【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=332， 不满足条件S ≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S ≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056， 满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

2018年上学期高二年级期终考试试题数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合，,则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：模拟程序的运行，可得，不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；满足结束循环的条件，退出循环，输出的值为，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A. B. 15 C. 30 D.【答案】B【解析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．5. 函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为( )A. [，]B. [，3]C. [，]D. [，3]【答案】B【解析】【详解】分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.6. 已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.详解：，且，，，向量在向量方向上的投影为，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7. 某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：8. 设，则二项式展开式的常数项是（）A. 1120B. 140C. -140D. -1120【答案】A【解析】【详解】分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 函数的图像恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为（）A. 13B. 14C. 16D. 12【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点，将点的坐标代入，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：时，函数值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，（当且仅当时取“=”），所以，的最小值为，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.11. 已知圆，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.详解：画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心，半径为，因为圆与轴相切，所以，直线分别与直线与交于点，所以，圆心与点连线斜率为时，；时，所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.12. 已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性与极值，利用数形结合进行求解即可.详解：当时，，则不成立，即方程没有零解，①当时，，即，则，设，则，由得，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极小值，当时，，当时，.②当时，，即，则，设，则，由得（舍去）或，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极大值，当时，，当时，，作出函数和图象如图，要使方程在有三个实数，则或，故选B.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）13. 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.【答案】10080【解析】【详解】分析：首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个安排医生和护士，为第三个安排医生和护士，根据分步计数乘法原理可得结果.详解：为第一个学校安排医生和护士有种结果；为第二个安排医生和护士种结果；为第三个安排医生和护士种结果，根据分步计数原理可得，故答案为.点睛：本题考查组合式的应用、分步计数乘法原理的应用以及分组与分配问题，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14. 现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．【答案】【解析】【详解】分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.详解：所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有，种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.15. 已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.【答案】【解析】【详解】分析：求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出两点坐标，再由的面积为，列出方程列方程求解即可.详解：双曲线的两条渐近线方程，又抛物线的准线方程是，故两点的横坐标坐标分别是，又的面积为1，，得，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系16. 已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________.【答案】【解析】【详解】分析：由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得边的最小值.详解：成等差数列，，又，由，得，，因为，，解得，的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.详解：设数列的公比为.由=得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项公式为(2)点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析( 2)【解析】【详解】分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,, 又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。

湖南省五市十校2018-2019学年下学期期末考试高二数学（理）试题一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合，,则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可. 详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：模拟程序的运行，可得，不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；满足结束循环的条件，退出循环，输出的值为，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A. B. 15 C. 30 D.【答案】B【解析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．5. 函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为( )A. [，]B. [，3]C. [，]D. [，3]【答案】B【解析】【详解】分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.6. 已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.详解：，且，，，向量在向量方向上的投影为，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7. 某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：8. 设，则二项式展开式的常数项是（）A. 1120B. 140C. -140D. -1120【答案】A【解析】【详解】分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 函数的图像恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为（）A. 13B. 14C. 16D. 12【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点，将点的坐标代入，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：时，函数值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，（当且仅当时取“=”），所以，的最小值为，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.11. 已知圆，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.详解：画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心，半径为，因为圆与轴相切，所以，直线分别与直线与交于点，所以，圆心与点连线斜率为时，；时，所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.12. 已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性与极值，利用数形结合进行求解即可.详解：当时，，则不成立，即方程没有零解，①当时，，即，则，设，则，由得，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极小值，当时，，当时，.②当时，，即，则，设，则，由得（舍去）或，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极大值，当时，，当时，，作出函数和图象如图，要使方程在有三个实数，则或，故选B.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）13. 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.【答案】10080【解析】【详解】分析：首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个安排医生和护士，为第三个安排医生和护士，根据分步计数乘法原理可得结果.详解：为第一个学校安排医生和护士有种结果；为第二个安排医生和护士种结果；为第三个安排医生和护士种结果，根据分步计数原理可得，故答案为.点睛：本题考查组合式的应用、分步计数乘法原理的应用以及分组与分配问题，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14. 现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．【答案】【解析】【详解】分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.详解：所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有，种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.15. 已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.【答案】【解析】【详解】分析：求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出两点坐标，再由的面积为，列出方程列方程求解即可.详解：双曲线的两条渐近线方程，又抛物线的准线方程是，故两点的横坐标坐标分别是，又的面积为1，，得，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系16. 已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________. 【答案】【解析】【详解】分析：由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得边的最小值.详解：成等差数列，，又，由，得，，因为，，解得，的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.详解：设数列的公比为.由=得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项公式为(2)点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析( 2)【解析】【详解】分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,, 又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。