九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 微专题 垂径定理有关的辅助线随堂练习(含解析)(新版)浙教版

微专题__圆周角定理的综合运用_一巧作辅助线教材P91作业题第5题)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数．图1 教材母题答图解：如答图，连结DC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°，∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°.【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；②作弦，构造圆周角．[2016·泰安]如图2，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B )A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°图2 变形1答图【解析】如答图，连结OB.∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，由圆周角定理得∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.故选B.如图3，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( A ) A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°图3 变形2答图【解析】 如答图，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝90°， 根据圆周角定理，得∠BPC ＝12∠BOC ＝45°.如图4，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B ) A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°图4 变形3答图【解析】 如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点C ，D 都在圆上， ∵∠CBD ＝2∠BDC ，∴CD ︵＝2BC ︵，∵∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°.故选B.如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的半径．图5 变形4答图解：如答图，连结AO ，BO ，AO 交BC 于点D . 则根据垂径定理的逆定理，得OA ⊥BC ，BD ＝CD ＝12BC ＝12.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝5. 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OA －AD ＝r －5. 在Rt △OBD 中，由勾股定理得BD 2＋OD 2＝OB 2， 即122＋(r －5)2＝r 2，解得r ＝16.9， 即⊙O 的半径为16.9.如图6，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 交AC 于点D .若∠A ＝30°，OD ＝20，求CD 的长．图6 变形5答图解：如答图，连结BC .∵OD ⊥AB ，∠A ＝30°，OD ＝20，∴AD ＝2OD ＝40，∴OA ＝AD 2－OD 2＝20 3. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ＝2OA ＝403，且∠ACB ＝90°， ∴BC ＝12AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝60，∴CD ＝AC －AD ＝60－40＝20.二 圆周角定理与直角三角形、全等三角形等知识的综合运用教材P93作业题第5题)一个圆形人工湖如图7所示，弦AB 是湖上的一座桥．已知AB 长为100 m ，圆周角∠C ＝45°.求这个人工湖的直径．图7 教材母题答图解：如答图，设圆心为O，连结OA，OB.∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，∴OA＝AB2＝502(m)，∴这个人工湖的直径为2OA＝1002(m)．【思想方法】直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换，利用直角三角形的相关知识求解．[2016·嘉善模拟]如图8，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE.若CE＝2，则BD的长为．图8 变形1答图【解析】如答图，延长BA，CE交于点M.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠CAM＝90°，∠BEC＝∠BEM＝90°，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACM，∴△ABD≌△ACM，∴BD＝CM，∵BE平分∠ABC，∴∠EBM＝∠EBC，∵BE＝BE，∠BEC＝∠BEM，∴△BEC≌△BEM，∴EC＝EM，∴BD＝CM＝2CE＝2 2.如图9，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请添加一个条件__AB＝AC或BD＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD__，使△ABD≌△ACD.图9如图10，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，求⊙O的半径．图10 变形3答图解：如答图，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，连结BD . ∵∠D ，∠C 所对的圆弧都为AB ︵， ∴∠D ＝∠C ＝30°.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°， ∴AD ＝2AB ＝4(cm)，∴AO ＝12AD ＝2(cm)，即⊙O 的半径为2 cm.在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E .(1)如图11①，∠E 的度数为__60°__；(2)如图②，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图③，弦AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．图11解：(1)如答图①，连结OD ，OC ，BD . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DBC ＝30°， ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠E ＝90°－30°＝60°，∴∠E 的度数为60°；(2)补全图形如答图②，直线AD ，CB 交于点E ，连结OD ，OC ，AC . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°， ∵∠DAC ＋∠DBC ＝12×360°＝180°，∴∠DBC＝150°，∴∠EBD＝180°－∠DBC＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°；(3)如答图③，连结OD，OC，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°.①②③变形4答图三圆周角定理的创新应用教材P92例3)如图12，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝50°.问：船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？图12解：当张角∠ASB<∠ACB时，船在弓形暗礁区外；当张角∠ASB＝∠ACB时，船在弓形暗礁区边上；当张角∠ASB>∠ACB时，船在弓形暗礁区内，∴要使船保证不进入暗礁区，必须使∠ASB<∠ACB，即∠ASB<50°.【思想方法】由圆周角定理知，同弧上的圆周角相等，应用在航海上，常常用来考查动点问题．如图13，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为( D )图13A.74 B ．1 C.74或1 D.74或1或94【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵在Rt △ABC 中，BC ＝2 cm ，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝4(cm)． ①当∠BFE ＝90°时，∵在Rt △BEF 中，∠ABC ＝60°，则∠BEF ＝30°， ∴BE ＝2BF ＝2(cm)，∴AE ＝AB －BE ＝2(cm)，∴E 点运动的距离为2 cm 或6 cm ，故t ＝1 s 或3 s ， 由于0≤t ＜3，故t ＝3 s 不合题意，舍去， ∴当∠BFE ＝90°时，t ＝1 s ；②当∠BEF ＝90°时，同①可求得BE ＝12 cm ，此时AE ＝AB －BE ＝72(cm)，∴E 点运动的距离为72 cm 或92 cm ，∴t ＝74 s 或94s.综上所述，当t 的值为1或74或94时，△BEF 是直角三角形．故选D.[2016·山西]请阅读下列材料，并完成相应的任务．阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯学者Al －Biruni(973～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联一家出版社在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图14①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD .① ② ③图14下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程． 证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连结MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点，∴MA ＝MC . …任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是．解：(1)证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连结MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点，∴MA ＝MC .在△MBA 和△MGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝GC ，∠A ＝∠C ，MA ＝MC ，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB ＝MG ， 又∵MD ⊥BC ，∴BD ＝GD ， ∴DC ＝GC ＋GD ＝AB ＋BD ；变形2答图(2)如答图，截取BF ＝CD ，连结AF ，AD ，CD ， 由题意，得AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD ，在△ABF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD ，BF ＝CD ，∴△ABF ≌ACD (SAS )，∴AF ＝AD ， ∵AE ⊥BD ，∴FE ＝DE ，则CD ＋DE ＝BE ， ∵∠ABD ＝45°，∴BE ＝AB2＝2，则△BDC 的周长是2＋2 2.本文档仅供文库使用。

微专题__垂径定理有关的辅助线一 连半径构造直角三角形教材P78作业题第2题)如图1，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点D .已知⊙O 的半径为2，AB ＝3，求DC 的长(精确到0.01)．图1 教材母题答图解：如答图，连结OA .∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×3＝32， ∴OD ＝OA 2－AD 2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝72， ∴DC ＝OC －OD ＝2－72≈0.68.【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．[2019·呼和浩特]如图2，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )A ．26πB ．13πC.96π5D.3910π5图2 变形1答图【解析】 如答图，连结OA ，设OM ＝5x ，MD ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，又∵AB ＝12，由垂径定理可得AM ＝6，∴在Rt △AOM 中，(5x )2＋62＝(13x )2，解得x ＝12，∴半径OA ＝132，根据周长公式C ＝2πr ，∴⊙O 的周长为13π.如图3，已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的所有弦中，最短的弦长为( C )图3A ．4B ．6C ．8D ．10 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为( C )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3 cm 或4 3 cm【解析】 如答图，连结AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 位置如答图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，AB ⊥CD ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)；变形3答图当点C 位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm ，∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝25(cm)．故选C.如图4，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为( B ) A.2－12a B.2－24aC ．(2－1)aD ．(2－2)a 【解析】 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，桌子的边长为22a ，用直径a 减去桌子的边长刚好为2x 的长度，∴x ＝2－24a .故选B.图4 图5如图5，一块破残的轮片上，点O 是这块轮片的圆心，AB ＝120 mm ，C是AB ︵上的一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝20 mm ，则原轮片的半径是__100__mm. 如图6是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2 m ，净高CD 为5 m ，则圆拱形门所在圆的半径为__2.6__m.图6 变形6答图【解析】 如答图，连结OA .在Rt △OAD 中，AD ＝12AB ＝1(m)．设⊙O 的半径为R (m)，则OA ＝OC ＝R (m)，OD ＝(5－R ) m ，由勾股定理，得OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝(5－R )2＋12，解得R ＝2.6.如图7，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高线AD 上，AB ＝10，BC ＝12，求⊙O 的半径．图7 变形7答图解：如答图，连结OB .∵AD 是△ABC 的高线，△ABC 外接圆的圆心在AD 上，∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝100－36＝8.设圆的半径是R ，则OD ＝8－R .在Rt △OBD 中，由勾股定理，得R 2＝36＋(8－R )2，解得R ＝254.即⊙O 的半径为254. 二 作圆心到弦的垂线巧解题教材P78作业题第6题)已知：如图8，在⊙O 中，弦AB ∥CD .求证：AC ︵＝BD ︵.图8 教材母题答图证明：如答图，过点O 作OE ⊥AB ，交⊙O 于点E ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD ，则AE ︵＝EB ︵，CE ︵＝ED ︵，∴AE ︵－CE ︵＝EB ︵－ED ︵，即AC ︵＝BD ︵.【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题．如图9，矩形ABCD 与⊙O 相交于点M ，N ，F ，E ，若AM ＝2，DE ＝1，EF ＝8，则MN 的长为( C )A ．2B ．4C ．6D ．8图9 变形1答图【解析】如答图，过点O作OH⊥AB于点H，交CD于点G，则MH＝HN，EG ＝GF，∵四边形ADGH是矩形，∴AH＝DG.∵EG＝12EF＝4，∴DG＝DE＋EG＝1＋4＝5，∴AH＝5.又∵AH＝AM＋MH＝2＋MH＝5，∴MH＝3，则MN＝2MH＝2×3＝6.故选C.[2019·金华]如图10，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(C)A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm图10 变形2答图【解析】如答图，在Rt△OCB中，OC＝5 cm，OB＝13 cm，根据勾股定理，得BC＝OB2－OC2＝132－52＝12(cm)．∴AB＝2BC＝24(cm)．[2019·西宁]如图11，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为(C)A.15 B．2 5 C．215 D．8图11变形3答图【解析】如答图，作OH⊥CD于H，连结OC，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴OH＝12OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝OC2－OH2＝15，∴CD＝2CH＝215.如图12，⊙O的弦AB，CD反向延长交于点P，AB＝CD.求证：OP平分∠BPD.图12 变形4答图证明：如答图，连结OB，OD，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，则由垂径定理，得BM＝12AB，DN＝12CD.又∵AB＝CD，∴BM＝DN.由勾股定理，得OM2＝OB2－BM2，ON2＝OD2－DN2.∵OB＝OD，BM＝DN，∴OM＝ON.又∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴OP平分∠BPD.如图13，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．图13 变形5答图解：不需要采取紧急措施．理由：设OA＝R(m)，在Rt△AOC中，AC＝12AB＝30(m)，OC＝(R－18) m.由勾股定理，得OA2＝AC2＋OC2，即R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.如答图，连结OM，设DE＝x(m)．在Rt△MOE中，ME＝12MN＝16(m)，OE＝(34－x)m.由勾股定理，得OM2＝ME2＋OE2，即342＝162＋(34－x)2，解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，∴DE＝4 m.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．。

专题训练(四) 圆中的辅助线►类型一作弦心距1．如图4－ZT－1，⊙O的直径为10 cm，弦AB为8 cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有( )图4－ZT－1A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图4－ZT－2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2 cm，CD＝4 cm.以BC 上一点O为圆心的圆经过A，D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是( )图4－ZT－2A.6cmB.10cmC．2 3cm D．2 5cm3．如图4－ZT－3，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.图4－ZT－3►类型二连半径4．如图4－ZT－4，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为( )图4－ZT－4A. 3 B．2C．2 3 D．45．如图4－ZT－5，在直径为10 cm的⊙O中，有长为5 cm的弦CD，则点O到CD的距离等于( )图4－ZT－5A．5 3cm B．5 15cmC.543cm D.523cm6．如图4－ZT－6，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD＝________°.图4－ZT －67．如图4－ZT －7，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的半径．图4－ZT －78．如图4－ZT －8，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD 是⊙O 的半径，且OD ∥AC .求证：CD ︵＝BD ︵.图4－ZT －8► 类型三 连弦或作直径9．如图4－ZT －9，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，则⊙O 的半径是________．图4－ZT －910．如图4－ZT －10，已知BC 为半圆O 的直径，AB ︵＝AF ︵，AC 与BF 交于点M .(1)若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用α表示)；(2)过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E，求证：BE＝EM.图4－ZT－1011．如图4－ZT－11，⊙O1和⊙O2相交于点A，B，经过点A的直线分别交两圆于点C，D，经过点B的直线分别交两圆于点E，F，且EF∥CD.求证：CE＝DF.图4－ZT－11详解详析专题训练(四) 圆中的辅助线1．[解析]D OP最短为弦AB的弦心距，最长为圆的半径，故3≤OP≤5，而满足OP＝3的点P只有1个，OP＝4或OP＝5的点P各有2个．2．[解析]B 先证△OAB≌△DOC，得BO＝DC＝4 cm，则AO＝2 5cm，于是可求得点O 到AD的距离．3．证明：过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.4．[答案]B5．[答案]D6．[答案] 607．解：如图，连结OA，OB，OC，OA交BC于点D.∵OA＝OB＝OC，AB＝AC，∴△OAB≌△OAC，∴∠OAB＝∠OAC，∴OA⊥BC，且BD＝CD＝12.在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝5.在Rt△BOD中，OB2＝BD2＋OD2，即OB2＝122＋(OB－5)2，解得OB＝16.9.8．证明：连结OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∵OD ∥AC ，∴∠BOD ＝∠A，∠COD ＝∠OCA， ∴∠COD ＝∠BOD，∴CD ︵＝BD ︵. 9．[答案] 510．解：(1)如图，连结CF.∵AB ︵＝AF ︵， ∴∠ACB ＝12∠BCF.∵BC 是半圆O 的直径， ∴∠BFC ＝90°，∴∠BCF ＝90°－∠FBC＝90°－α， ∴∠ACB ＝12(90°－α)．(2)证明：∵BC 是半圆O 的直径， ∴∠BAC ＝90°.又AD⊥BC，∴∠BAD ＝∠ACB. ∵AB ︵＝AF ︵，∴∠ACB ＝∠ABF， ∴∠ABF ＝∠BAD， ∴∠EAM＝∠EMA， ∴BE ＝AE ＝EM.11．证明：如图，连结AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠CAB＋∠E＝180°.又∵∠CAB＋∠DAB＝180°，∴∠E＝∠DAB.又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，∴∠BAD＋∠F＝180°，∴∠E＋∠F＝180°，∴CE∥DF.又∵EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形，∴CE＝DF.。

3.3 垂径定理第1课时 垂径定理知识点一 圆的对称性圆是________图形，每一条____________都是它的对称轴． 1．圆有________条对称轴，它的对称轴是________． 知识点二 垂径定理垂直于弦的直径________，并且平分________． 圆心到圆的一条弦的距离叫做________．2．如图3－3－1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，连结BC ，BD ，则下列结论中不一定正确的是( )图3－3－1A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C.AC ︵＝BC ︵D ．OE ＝DE3．如图3－3－2，在⊙O 中，半径OB ＝5 cm ，OC ⊥AB ，OC ＝3 cm ，则弦AB 的长为________ cm.图3－3－2类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题例1 [教材补充例题] 如图3－3－3，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于点M ，CD ＝15 cm ，OM ∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长．图3－3－3【归纳总结】垂径定理的基本模型如图3－3－4，在⊙O 中，OC ⊥AB ⇒r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋h 2.图3－3－4类型二 运用垂径定理探索圆 中的证明问题例2 [教材补充例题] 如图3－3－5，AB ，CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C .求证：AB ＝CD .图3－3－5【归纳总结】利用垂径定理证明的常见辅助线作圆心到弦的垂线段，它在沟通半径与弦中起着桥梁的作用． 类型三 运用垂径定理解决实际问题例3 [教材例2变式] 要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10 mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8 mm(如图3－3－6)，求此小孔的直径d .图3－3－6【归纳总结】弓形问题的基本模型如图3－3－7，弓形的半径为r ，弦长为a ，弓高为h ，则：①r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋(h －r )2；②r2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋(r －h )2.图3－3－7半径为5 cm的圆中有两条弦，弦长分别为3 cm，4 cm，求两弦之间的距离．解：如图3－3－8，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连结OD，OB. 在Rt△OED中，OE＝OD2－ED2＝52－42＝3(cm)，OF＝OB2－FB2＝52－32＝4(cm)，∴EF＝4－3＝1(cm)，∴两弦之间的距离为1 cm.以上解法正确吗？若不正确，请改正．图3－3－8课时作业(十七)[3.3 第1课时 垂径定理]一、选择题1．如图K －17－1，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论一定错误的是( )图K －17－1A ．CE ＝DEB ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵D ．△OCE ≌△ODE2．如图K －17－2所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON 的长为链接学习手册例1归纳总结( )图K －17－2A ．5B ．7C ．9D ．113．2017·金华如图K －17－3，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形的弦AB 的长为( )链接学习手册例3归纳总结图K －17－3A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm4．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．3 6 C.32 3 D.3265．如图K －17－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长为( )链接学习手册例1归纳总结图K －17－4A ．4 3B ．6 3C ．2 3D ．86．圆的半径为13 cm ，两弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则两弦AB ，CD 之间的距离是( )A ．7 cmB ．17 cmC ．12 cmD ．7 cm 或17 cm 二、填空题7．2017·大连如图K －17－5，在⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC ＝3 cm ，则⊙O 的半径为________cm.图K－17－58．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图K－17－6所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长”. 同学们根据题意可得CD的长为________.链接学习手册例3归纳总结图K－17－69．在半径为2的圆中，弦AC的长为1，M为AC的中点，过点M的最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为________．10．2016·绍兴如图K－17－7①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.链接学习手册例3归纳总结图K－17－711．2017·雅安⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P是弦AB上一点，则OP长的取值范围是________．12．2017·遵义如图K－17－8，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________.链接学习手册例1归纳总结图K－17－8三、解答题13．如图K－17－9，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作OE⊥AC于点E，OD⊥AB于点D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系？写出你的结论和理由.链接学习手册例2归纳总结图K－17－914．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－17－10)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图K－17－1015．如图K－17－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，BC长为半径作圆交AB于点D，求AD的长．图K－17－11探究应用如图K－17－12所示，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求AB2＋CD2的值．图K－17－12详解详析【学知识】知识点一 轴对称 过圆心的直线 1．无数 过圆心的直线知识点二 平分这条弦 弦所对的弧 弦心距 2．[答案] D 3．[答案] 8 【筑方法】例1 [解析] 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出OM 的长，再根据勾股定理求得AM 的长，再由垂径定理得AB ＝2AM.解：连结OA.由垂径定理，得AM ＝BM. ∵CD ＝15 cm ，∴OC ＝7.5 cm. 又∵OM ∶OC ＝3∶5， ∴OM ＝4.5 cm.在Rt △AOM 中，由勾股定理，得AM ＝OA 2－OM 2＝6(cm)，即AB ＝12 cm.例2 [解析] 首先作出两弦AB ，CD 的弦心距OE ，OF ，由垂径定理得AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，然后利用全等三角形证明AE ＝CF.证明：如图，过点O 分别作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥CD 于点F ，则AE ＝12AB ，CF ＝12CD.∵∠A ＝∠C ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF ，∴AB ＝CD.例3 解：如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，DO 的延长线交⊙O 于点C ，连结OB.由垂径定理得CD垂直平分AB.CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm.在Rt△ODB中，BD＝OB2－OD2＝52－32＝4(mm)，∴AB＝2BD＝8 mm.答：此小孔的直径d为8 mm.【勤反思】[小结] 平分弧圆心[反思] 不正确．还有一种情况，即EF＝OE＋OF＝7 cm.如图所示．故两弦之间的距离为1 cm或7 cm.【课时作业】[课堂达标]1．[答案] B2．[答案] A3．[答案] C4．[答案] C5．[解析] A 连结OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC ＝2∠B ，且∠AOD ＝∠COD ＝12∠AOC ，∴∠COD ＝∠B ＝60°， ∴∠OCD ＝30°.在Rt △COD 中，OC ＝4，∠OCD ＝30°， ∴OD ＝12OC ＝2，CD ＝OC 2－OD 2＝2 3，∴AC ＝2CD ＝4 3.6．[全品导学号：63422240][解析] D 分弦AB 和CD 在圆心O 的同侧和异侧两种情况进行讨论．7．[答案] 5 8．[答案] 26[解析] 连结OA ，由垂径定理可知AE ＝12AB ＝5.若设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r －CE ＝r－1，于是由勾股定理可得r 2＝(r －1)2＋52，解得r ＝13，所以⊙O 的直径CD 的长为26.9．[全品导学号：63422241][答案] 2 10．[全品导学号：63422243][答案] 25[解析] 如图，设圆的圆心为O ，连结OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 的半径为R ，∵OC ⊥AB ，∴AD ＝DB ＝12AB ＝20 cm ，∠ADO ＝90°.在Rt △AOD 中，∵OA 2＝OD 2＋AD 2， ∴R 2＝(R －10)2＋202， 解得R ＝25.故答案为25. 11．[答案] 4≤OP ≤5[解析] 当点P 与点A 或点B 重合时，OP 为半径，故OP 最大为5，当OP ⊥AB 时，根据“垂线段最短”可得此时OP 最小．根据垂径定理可知AP ＝BP ＝3，结合勾股定理可得OP ＝52－32＝4.12．[答案] 14[解析] 如图，过点O 作ON ⊥CD 于点N ，连结OC ，∵∠CMA ＝45°，∠ONC ＝90°，∴△MON 是等腰直角三角形．∵AB ＝4，M 是OA 的中点，∴OM ＝1，根据勾股定理解得ON ＝22，在Rt △CON 中，CN ＝OC 2－ON 2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝142，∴CD ＝2CN ＝14.13．解：结论：DE 綊12BC.理由：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AD ＝BD ，AE ＝EC ，∴DE 綊12BC.14．解：(1)证明：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E.易知AE ＝BE ，CE ＝DE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.(2)∵由(1)可知OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连结OC ，OA ， ∴OE ＝6，∴CE ＝OC 2－OE 2＝2 7，AE ＝OA 2－OE 2＝8， ∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.15．解：过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ， 由垂径定理可得M 为BD 的中点． ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，∴CM ＝2.4.在Rt △BCM 中，根据勾股定理，得BC 2＝BM 2＋CM 2，即9＝BM 2＋2.42， 解得BM ＝1.8， ∴BD ＝2BM ＝3.6，∴AD ＝AB －BD ＝5－3.6＝1.4. [素养提升][全品导学号：63422242][解析] 连结AO ，DO ，OE ，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，作ON ⊥AB 于点N ，构造矩形ENOM ，然后利用勾股定理和垂径定理，推知OM 2＝DO 2－DM 2＝4－(DC 2)2，ON 2＝OA 2－AN 2＝4－(AB 2)2，所以OM 2＋ON 2＝4－(DC 2)2＋4－(AB 2)2＝1，由此解得AB 2＋CD 2＝28.解：如图，连结AO ，DO ，OE ，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，作ON ⊥AB 于点N.∵DC ⊥AB ，OM ⊥DC ，ON ⊥AB ， ∴四边形OMEN 为矩形．∵OM 2＋ME 2＝OE 2(勾股定理)，且ME 2＝ON 2， ∴OM 2＋ON 2＝OE 2.∵OM 2＝DO 2－DM 2＝4－(DC 2)2，ON 2＝OA 2－AN 2＝4－(AB 2)2，∴OM 2＋ON 2＝4－(DC 2)2＋4－(AB 2)2＝1，∴AB 2＋CD 2＝28.[点评] 本题考查的是垂径定理和勾股定理．解决本题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将AB2＋CD2联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．。

3.3 垂径定理同步训练2024-2025学年浙教版数学九年级上册一、单选题1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫等弧B．平分弦的直径一定垂直于该弦C．三角形的外心是三条角平分线的交点D．不在同一直线上的三个点确定一个圆2．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．7cm B．5cm C．4cm D．3.5cm3．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）．A．12B．2√30C．8D．10.54．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=3cm，则截面圆中弦AB的长为（）A．√34cm B．8cm C．√21cm D．2√21cm 5．下列说法正确的数量为（）（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等（2）一组对边平行的四边形是梯形（3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧A．0B．1C．2D．36．⊙O的直径是15cm，CD经过圆心O，与⊙O交于C、D两点，垂直弦AB于M，且OM：OC=3 ：5，则AB=（）A．24cm B．12cm C．6cm D．3cm7．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为2cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为()A．2cm B．√3cm C．(2－√3)cm D．(2＋√3)cm 8．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB，连接OA，CB，已知⊙O的半径为2√3，AB＝2，则⊙BCD等于A．20°B．30°C．60°D．70°二、填空题9．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．10．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，则水面下降了m．第1页共6页◎第2页共6页11．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB，AC⊙OB，则⊙BOC的度数为．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．如果AB=10cm，CD=3cm，那么⊙O的半径是cm．13．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中，弦CD的长度始终保持不变，点M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD=3，AB=5，则PM的最大值是 .三、解答题14．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．15．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．16．如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2米的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？请说明理由．17．如图，在△ABC中，已知⊙ACB=130°，⊙BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长18．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；第3页共6页◎第4页共6页(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=24cm，腰AB=13cm，求圆片的半径R．第5页共6页◎第6页共6页。

第3章 圆的基本性质3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理知识点1 圆的轴对称性 1．圆的对称轴有( ) A ．1条 B ．2条 C ．4条 D ．无数条2．下列说法中，正确的是( ) A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点2 垂径定理3．如图3－3－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则CE ＝________，AC ︵＝________，BC ︵＝________，△OCE ≌________.3－3－13－3－24．如图3－3－2，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC 的长为( )A．3 cm B．4 cmC．5 cm D．6 cm5．如图3－3－3，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )A．2 B．4 C．6 D．83－3－33－3－46．如图3－3－4，若⊙O的半径为13 cm，P是弦AB上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cm.7．如图3－3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，DC＝2 cm，则OC＝________cm.图3－3－58．如图3－3－6，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE ＝OF.求证：AB＝CD.图3－3－6知识点3 垂径定理在实际生活中的应用9．课本例2变式在半径为500 mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图3－3－7所示．若圆心O到水面AB的距离OC＝300 mm，则油面宽AB＝________mm.3－3－73－3－810．课本作业题第5题变式如图3－3－8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为________m.11．如图3－3－9，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )A．正方形 B．矩形C．菱形 D．非菱形的平行四边形3－3－9图3－3－1012．如图3－3－10所示，AB，AC为⊙O中互相垂直的两条弦，且AB＝AC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，OM＝3，则⊙O的半径为( )A．3 2 B．2 3 C．3 3 D．2 2图3－3－1113．2017·杭州模拟如图3－3－11，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC＝90°，OA＝8，OC＝6，则AB＝________．14．2016·杭州大江东期中在直径为20的⊙O中，弦AB，CD相互平行．若AB＝16，CD＝10，则弦AB，CD之间的距离是________．15．如图3－3－12，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC 的长．图3－3－1216．如图3－3－13是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？图3－3－1317．如图3－3－14，在半径为5的扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图3－3－14详解详析1．D 2.B3．DE AD ︵ BD ︵△ODE 4．B [解析] 如图，连结OA .∵AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ， ∴AC ＝12AB ＝12×6＝3(cm)． ∵⊙O 的半径为5 cm ，∴OC ＝OA2－AC2＝52－32＝4(cm)． 故选B.5．D [解析] ∵CE ＝2，DE ＝8，∴CD ＝2＋8＝10，∴⊙O 的半径为5，∴OE ＝OC －CE ＝5－2＝3.∵CD ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∠OEB ＝90°.在Rt △OEB 中，OB ＝5，OE ＝3，根据勾股定理，得BE ＝52－32＝16＝4，∴AB ＝4＋4＝8.故选D.6．247．5 [解析] 连结OA ，因为半径OC ⊥AB 于点D ，所以AD ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设⊙O 的半径为x cm ，在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5，所以OC ＝5 cm.8．证明：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ， ∴AE ＝BE ，CF ＝DF .在Rt △OBE 与Rt △ODF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴Rt △OBE ≌Rt △ODF ，∴BE ＝DF ，∴2BE ＝2DF ，即AB ＝CD . 9．80010．0.8 [解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，直线OC 交⊙O 于点D ，E ，连结OA ，则OA ＝0.5 m.∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝0.4 m. 在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 即排水管内水的深度为0.8 m.11C [解析] 由垂径定理知，OC 垂直平分AB ，即OC 与AB 互相垂直平分，所以四边形OACB 是菱形．12．A [解析] 要求圆的半径，连结OA ，构造直角三角形OMA ，已知OM ＝3，故只需求出AM 的长即可．由题意可得四边形OMAN 为正方形，故AM ＝OM ＝3，所以OA ＝3 2.13．12.8 [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB ，可得AD ＝BD . 在Rt △AOC 中，OA ＝8，OC ＝6，根据勾股定理得AC ＝10. ∵S △AOC ＝12OA •OC ＝12AC •OD ， ∴OD ＝4.8.在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得AD ＝OA2－OD2＝6.4，则AB ＝2AD ＝12.8.14．[全品导学号：70392103]5 3±6[解析] 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连结OA ，OC ，如图， ∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝8，CF ＝DF ＝12CD ＝5. 在Rt △AOE 中，OE ＝102－82＝6. 在Rt △OCF 中，OF ＝102－52＝5 3.当点O 在AB 和CD 之间时，EF ＝OE ＋OF ＝5 3＋6； 当点O 在AB ，CD 同一侧时，EF ＝OF －OE ＝5 3－6. ∴弦AB ，CD 之间的距离为5 3±6.15．解：(1)证明：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD .(2)如图，连结OC ，OA . 由(1)可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC2－OE2＝82－62＝2 7，AE ＝OA2－OE2＝102－62＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7. 16．解：(1)如图，连结OD ， ∵直径AB ＝26 m ，∴OD ＝12AB ＝12×26＝13(m)．∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12CD .∵OE ∶CD ＝5∶24，∴OE ∶DE ＝5∶12， 设OE ＝5x ，DE ＝12x ，∵在Rt △ODE 中，OE 2＋DE 2＝OD 2， ∴(5x )2＋(12x )2＝132， 解得x ＝1，∴CD ＝2DE ＝2×12×1＝24(m)．(2)由(1)得OE ＝1×5＝5(m)． 如图，延长OE 交⊙O 于点F ，则EF ＝OF －OE ＝13－5＝8(m)．∵84＝2(时)，∴经过2小时桥洞会刚刚被灌满．17．[全品导学号：70392107]解：(1)∵OD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB2－BD2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长保持不变．如图，连结AB .∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，∴AB ＝OB2＋OA2＝5 2.∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝5 22， ∴DE 的长保持不变，DE ＝5 22.。

第2课时 垂径定理的逆定理知识点一 垂径定理的逆定理1平分弦(________)的直径________，并且平分________．1．如图3－3－9，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )图3－3－9A ．9B ．8C ．6D ．4知识点二 垂径定理的逆定理2 平分弧的直径__________________．2．如图3－3－10，AB 是⊙O 的直径，B 是CD ︵的中点，AB ＝10 cm ，OE ＝3 cm ，则CD 的长为________cm .图3－3－10类型一 运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题例1 [教材补充例题] 如图3－3－11，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC ，垂足为H ，D 是BC ︵的中点，连结AD ，OA . 求证：AD 平分∠HAO .图3－3－11【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路(1)连结圆心与弦的中点；(2)连结圆心与弧的中点．类型二综合运用垂径定理及其逆定理解决问题例2 [教材例3拓展] 有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图3－3－12)，桥拱最高处点C离水面4 m.(1)求该桥拱的半径；(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12 m，则水面涨高了多少？图3－3－12【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”中，为什么强调弦不是直径？详解详析【学知识】知识点一 不是直径 垂直于弦 弦所对的弧 1．[解析] B ∵CE＝2，DE ＝8，∴CD ＝10， ∴OB ＝OC ＝5，OE ＝5－2＝3. ∵直径CD 过弦AB 的中点E ， ∴CD ⊥AB ，∴AE ＝BE.在Rt △OBE 中，∵OE ＝3，OB ＝5， ∴BE ＝OB 2－OE 2＝4， ∴AB ＝2BE ＝8.知识点二 垂直平分弧所对的弦 2．[答案] 8 [解析] 连结OC ，∵AB 是⊙O 的直径，B 是CD ︵的中点， ∴直径AB⊥弦CD ， ∴CE ＝DE.在Rt △OEC 中，OE ＝3，OC ＝5， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝4， ∴CD ＝2CE ＝8(cm)． 【筑方法】例1 证明：连结OD ，交BC 于点E. ∵D 是BC ︵的中点，∴OD ⊥BC. 又∵AH⊥BC，∴OD ∥AH ， ∴∠ODA ＝∠DAH.∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD，∴∠OAD ＝∠DAH， ∴AD 平分∠HAO.例2 解：(1)如图，设点O 为圆心，连结OA ，OC ，OC 交AB 于点D. 由题意，得AB ＝16 m ，CD ＝4 m ，AC ︵＝BC ︵， 所以OC⊥AB，所以AD ＝12AB ＝12×16＝8(m)．设⊙O 的半径为x m ，则在Rt △AOD 中， OA 2＝AD 2＋OD 2，即x 2＝82＋(x －4)2， 解得x ＝10.所以该桥拱的半径为10 m.(2)设水面上涨到EF 位置(如图)．此时EF ＝12 m ，EF ∥AB ，有OC⊥EF(设垂足为M)， 所以EM ＝12EF ＝12×12＝6(m)．连结OE ，则有OE ＝10 m ，所以OM ＝OE 2－EM 2＝102－62＝8(m)． 又因为OD ＝OC －CD ＝10－4＝6(m)， 所以OM －OD ＝8－6＝2(m)， 即大雨过后，水面涨高了2 m. 【勤反思】[小结] 垂直于弦 平分 垂直平分[反思] 因为如果不强调弦不是直径，那么会出现两条相互平分的直径不垂直，并且也不能平分弦所对的弧的情况．如图，弦AB 被CD 平分，但AB 与CD 不垂直，且AC ︵≠BC ︵.。

24.1 圆（第二课时 ）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。

2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。

【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r 、弦a 、弦心d 、和拱高h 中已知两个可求另外两个】 一、选择题1.如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）． A.2 B.3 C.4 D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ,AB =6cm ，CD =8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 BOA5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ． CB DB C ．∠ACD=∠ADC D ．OM =MD·AO MB6．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（ ） A ．3B ．4C ．32D ．427．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ） A ．8 B ．10 C ．16 D ．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD =5，则弦AC = ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．A·C OD3、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．4、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．Θ与x轴交于O,A 5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ的半径为13，则点P的坐标为____________.两点，点A的坐标为（6,0），P6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为．BAC ED OFBOEDCA8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．OP9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 cm ．三、解答题1．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ， E 、F 分别为弦AB 、CD 的中点， 证明：OE=OF 。

32018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3 垂径定理（1）练习（新版）浙教版456编辑整理：7891011尊敬的读者朋友们：12这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3 垂径定理（1）练习（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1414.3垂径定理(1)（见B本21页)A 练就好基础基础达标1．2017·泸州中考如图所示,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( B)A。

错误!B．2错误!C．6 D．81题图2题图2．如图所示，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点,则线段OM长的最小值为（B）A．2 B．3 C．4 D．5第3题图3．如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD交于点P，且点P是半径OB的中点，CD＝6 cm,则直径AB的长是（D)A．2 3 cm B．3 2 cm C．4错误! cm D．4错误! cm4．在半径为3的圆中，一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是( C）A．3 B．4 C. 5 D。

错误!5．如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C,若AB＝3，BC＝1,则与圆环的面积最接近的整数是（D)A．9 B．10 C．15 D．135题图6题图6．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC＝6 cm，则OD＝__3__cm。

7．如图所示，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF,则AC＝__错误! __，BC＝__错误!__．7题图第8题图8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与半径OC垂直，垂足为小圆上的点D。

初中数学浙教版九年级上册第三章 3.3垂径定理练习题一、选择题的长)为( )A. B. C. D.94 6 8分， == 2，直线 = 8，则圆的半径M O为( )D.15A. B. C. 1744 3 4 3. 如图．将半径为6 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心cm的长为( )AB A. B. C. D. 6cm3√ 6√6√⊥= 10，= 8，则 的长是( )C E A. B. C. D.41 2 3=，⊥于O CA. B. C. D.6cm 3cm4cm5cm2则ABB. C. D.A.√10√10√62√627.如图，⊙的半径为5，弦心距ABA. B. C. D.4685⊥于点，=，E=，则的长为()BEA. B. C.2cm D.5cm3cm9.往直径为52的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如cm=，则水的最大深度为()A. B. C. D.8cm10cm16cm20cm 10.下列说法正确的是()A. B.弦是直径平分弦的直径垂直弦C. D. 长度相等的两条弧是等弧圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个二、填空题11. 已知⊙ 的直径为 10 ， ， 是⊙ 的两条弦，cm AB C D， =， =，则 与AB C D之间的距离为______ ． cm 12. 在半径为 5的⊙ 中，弦 垂直于弦 ，垂足为 ，C D P== 4，则√ AB =______．⊥于点 ，若E的长是______．C D 的中点，= 3，则⊙ 的AB 15. 如图， 为⊙ 的直径， = 10， ， 为⊙ 上两动点 AB D⊥的中点，则 的最大值为______． E M 三、解答题 16. 如图，△两点，求证：为等腰三角形，底边 交⊙ 于 ，C D A =．B、、列问题：(2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆A D C锥底面圆的半径长(结果保留根号)．18.如图，是⊙直径，弦AB ⊥于点，过点作E C的垂线，交的延长线ABD B于点，垂足为点，连结AC．G F(1)求证：=；(2)若=8，=10，求⊙的半径．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵ 是⊙ 弦 C D 的中点， 根据垂径定理： = 6则有：设 O M 是 x 米， 在 △中，有2=⊥ ， 12= 3，又= 2 +2，即：52 = 32 + 2，解得： = 4， 所以故选 D ．因为 M 是⊙ 弦 C D 的中点，根据垂径定理， 中，有2=2，可求得 O M ，进而就可求得 E M ．= 5 + 4 = 9．⊥ ，则 = = 3，在 △2 +此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距 和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r ，弦长为 a ，这条弦的弦心距为 d ， = + ( ) 则有等式 2 2 2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．22.【答案】C【解析】解：连接 O C ，∵ 是⊙ 弦 C D 的中点， 根据垂径定理：设圆的半径是 x 米， 在 △ 中，有2=⊥，2 +2，即：2 = 22 + (8 −2，17 解得： = ，417 所以圆的半径长是 ．4故选：C ．因为 M 是⊙ 弦 C D 的中点，根据垂径定理， ⊥ ，则 = = 2，在 △中，有2 =2 +2，进而可求得半径 O C ．此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距 和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r ，弦长为 a ，这条弦的弦心距为 d ， = + ( ) 则有等式 2 2 2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．23.【答案】C【解析】解：过点 O 作⊥交 AB 于点 D ，连接 OA ，= =，，∴ ∵ = ⊥ −= √6 − 3 = 3√2222 ， ∴== 6√．故选：C ．通过作辅助线，过点 O 作⊥交 AB 于点 D ，根据折叠的性质可知=，根据勾股定理可将 A D 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 4.【答案】B= 1= 5，2∵⊥∴= 1= 4， 中， 2在 △ −= √5 − 4 = 3，222=2 ∴=−= 5 − 3 = 2，故选：B ．连接OA，根据垂径定理即可求得AE的长，然后利用勾股定理即可求得OE的长，即可得出答案．本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出AE的长是解此题的关键．5.【答案】D∵∴=，⊥，=1=，2在△中，−=√10−8=，=2222故选：D．根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出O C的长．本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．6.【答案】D∵⊙的弦AB垂直平分半径O C，=√2，2∴∴∵=√2，=√2，⊥，∴=√6，2∵∴=，=√6．故选：D．连接O C，由题意即可推出O C的长度可得OA的长度，运用勾股定理即可推出A D的长度，然后，通过垂径定理即可推出AB的长度．本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，关键在于正确地作出辅助线构建直角三角形，认真地进行计算．7.【答案】C【解析】解：连接OA，如图所示：∵∴⊥，=3，=5，=，，=√5−3=4222∵∴==−2=8．故选：C．先根据垂径定理得出=，再根据勾股定理求出A D的长，进而得出AB的长．本题考查的是垂径定理及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵弦⊥，∴=1=4，2在△中，−=3，2=2∴=−=，故选：C．根据勾股定理求出CE，根据勾股定理计算即可．本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：连接OB，过点O作点C，如图所示：⊥∵∴=48，=1=1×48=24，22∵⊙的直径为，52∴==26，在△中，−=√26−24=10，222=2∴=−=26−10=，故选：C．连接OB，过点O作⊥于点D，交⊙于点C，先由垂径定理求出B D的长，再根据勾股定理求出 O D 的长，进而可得出 C D 的长．本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键． 10.【答案】D【解析】解：A 、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误； B 、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误； C 、能重合的两个弧是等弧，选项错误；D 、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确． 故选 D ．根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义即可作出判断．本题考查了垂径定理以及弦的定义，注意垂径定理中平分弦的直径垂直于弦，被平分的 弦不是直径，理解定理是关键． 11.【答案】1 或 7⊥O C ，如图， ∵ ∴ ， ， ⊥ ，⊥ ∴== 1= 4， == 1= 3，22在 △ 在 △中， 中，− 4 = 3，= √52 2 − 3 = 4， = √522 当点 O 在 AB 与 CD 之间时， 当点 O 不在 AB 与 C D 之间时，= + = 4 + 3 = 7； −= 4 − 3 = 1；=综上所述，AB 与 C D 之间的距离为 1 或 7cm ． 故答案为 1 或 7． 作⊥于 E ，延 长 E O 交 C D 于 F ，连接 OA 、O C ，如图，利用平行线的性质根据垂径定理得到 = 4， == 3，则利用勾股定理可计算出 4，讨论：当点 O 在 AB 与 C D 之间时，=；当点 O 不在 AB 与 C D 之间时，⊥，== 3， =+=−．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．12.1392【答案】或或22【解析】解：作⊥于，E⊥于，连结F、，O D O B12=2，==1=2，则==2如图1，在△中，∵=5，=2，√∴=−=1，22同理可得=1，∵⊥，∴四边形为矩形，O E PF∴∴===1，=1，∴=1×1×1=1；22如图2，=1×3×3=9同理：；22如图3，=1×1×3=3同理：；22139故答案为：或或．222如图1，作⊥于，E ⊥于，连结F、，如图，根据垂径定理得到O D O B==1=2，==1=2，根据勾股定理在△中计算出=1，同22理可得=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到==1，根据三角形面积公式求得即可．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．13.【答案】27√【解析】解：连接O C，由题意，得= = =−==4−1=3，−=√7，22=2√7，故答案为27．√根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．本题考查了垂径定理，利用勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．14.【答案】5【解析】解：连接OA，∵⊙的弦=8，是C的中点，O C过，O AB∴⊥，==12=4，+=√4+3=5，由勾股定理得：=2222即⊙的半径为5，故答案为：5．12=4，根据勾股定理求出OA 连接OA，根据垂径定理求出即可．⊥，==本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AC的长是解此题的关键．15.【答案】5【解析】解：如图，通过画图观察可知，当时，E M的值最大．连接，．O M C E∵∴∵∴=⊥，，，⊥，===90°，∴四边形是矩形，O M C E=5，的最大值为5．∴∴=故答案为5．如图，通过画图观察可知，当形即可解决问题．时，E M的值最大．只要证明四边形是矩O M C E本题考查圆的有关知识、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是发现时的值最大，属于中考填空题中的压轴题．E M16.【答案】证明：过点作O⊥，∵∴==，，又∵在⊙中，∴∴==，．【解析】【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．过点作O⊥，由等腰三角形的性质可知=，再由垂径定理可知AE=，故可得出结论．17.【答案】(−2,0)【解析】解：(1)分别作线段和线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是B CAB圆心，如图，D点正好在轴上，点的坐标是(−2,0)，D x D故答案为：(−2,0)；(2)连接、、，A C A D C D⊙的半径长=+6=210，√2√22+4=25,√=√22=40，22∵∴∴++=20+20=40，2222=2，=90°．设圆锥的底面圆的半径长为，r则√5，=180解得：√5，2=所以该圆锥底面圆的半径长为√5．2(1)分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，AB B C D D可知点的坐标为(−2,0)．D(2)连接、和C D，根据勾股定理的逆定理求出的周长求出答案即可．本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理的逆定理=90°，根据弧长公式和圆A C A D等知识点，能求出点的坐标和求出D=90°是解此题的关键．18.【答案】(1)证明：∵，，⊥⊥∴∵∴∵∴∴=90°，，====，，，．(2)解：设⊙的半径为则=+=+10，∵∴==，⊥，=，==4，2∴=−=，2在△=(中，∵)+42=2+2，∴222，2解得=−10+4√37或−10−4√37(舍弃)，33∴⊙的半径为4√37−10．3【解析】(1)想办法证明(2)设⊙的半径为则=即可解决问题．=+10，在△=+中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．故答案为：(−2,0)；(2)连接 、 、 ，A C A D C D⊙ 的半径长= + 6 = 2 10，√2√22 + 4 = 2 5, √ = √22 = 40， 22 ∵ ∴ ∴+ += 20 + 20 = 40，2 2 2 2 =2，= 90°．设圆锥的底面圆的半径长为 ，r 则√5，=180解得： √5，2= 所以该圆锥底面圆的半径长为√5．2(1)分别作 、 的垂直平分线，两直线交于点 ，则点 即为该圆弧所在圆的圆心， AB B C D D 可知点 的坐标为(−2,0)．D(2)连接 、和 C D ，根据勾股定理的逆定理求出 的周长求出答案即可．本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理的逆定理 = 90°，根据弧长公式和圆A C A D 等知识点，能求出 点的坐标和求出 D= 90°是解此题的关键．18.【答案】(1)证明：∵ ， ， ⊥ ⊥ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴= 90°， ，= = = =， ， ， ．(2)解：设⊙的半径为则=+=+10，∵∴==，⊥，=，==4，2∴=−=，2在△=(中，∵)+42=2+2，∴222，2解得=−10+4√37或−10−4√37(舍弃)，33∴⊙的半径为4√37−10．3【解析】(1)想办法证明(2)设⊙的半径为则=即可解决问题．=+10，在△=+中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．故答案为：(−2,0)；(2)连接 、 、 ，A C A D C D⊙ 的半径长= + 6 = 2 10，√2√22 + 4 = 2 5, √ = √22 = 40， 22 ∵ ∴ ∴+ += 20 + 20 = 40，2 2 2 2 =2，= 90°．设圆锥的底面圆的半径长为 ，r 则√5，=180解得： √5，2= 所以该圆锥底面圆的半径长为√5．2(1)分别作 、 的垂直平分线，两直线交于点 ，则点 即为该圆弧所在圆的圆心， AB B C D D 可知点 的坐标为(−2,0)．D(2)连接 、和 C D ，根据勾股定理的逆定理求出 的周长求出答案即可．本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理的逆定理 = 90°，根据弧长公式和圆A C A D 等知识点，能求出 点的坐标和求出 D= 90°是解此题的关键．18.【答案】(1)证明：∵ ， ， ⊥ ⊥ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴= 90°， ，= = = =， ， ， ．(2)解：设⊙的半径为则=+=+10，∵∴==，⊥，=，==4，2∴=−=，2在△=(中，∵)+42=2+2，∴222，2解得=−10+4√37或−10−4√37(舍弃)，33∴⊙的半径为4√37−10．3【解析】(1)想办法证明(2)设⊙的半径为则=即可解决问题．=+10，在△=+中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．。