【精选】浙江诗阳市_高二数学上学期期中试题

2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）A.{}3,4 B.{}2,4,6 C.{}1,3,5 D.{}2,42.如果椭圆的方程是22142x y +=，那么它的焦点坐标是（）A.()2,0± B.()0,2± C.()D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）A.1B.5- C.1或5- D.1-或54.已知圆221:4C x y +=和圆222:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AECB.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A ECC.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1BD 6.已知3x，则函数()11f x x x =+-的最小值是（）A.92B.72C.3D.27.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M共线的向量是（）A.22a b c-+-B.2a b c+-C.22a b c --D.2a b c-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪=⎨+<⎪⎩那么()10f =（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）A.z 的实部是3B.5z =C.34iz =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α，则cos 3α=B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3β=C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，若1120,PF Q PQ ∠==，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π4，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求()()Sa b c a b c +++-的值.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14-.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3）过点)F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：211||PQ OD +为定值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.2.C 由2222c a b =-=，则它的焦点坐标是()，故选C.3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.4.A 由222:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.6.B令()12x t t -= ，则()()11,f t t f t t=++在[)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722f =，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得()()1111111111111122222B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++.选项D 中，112222a b c a b c ⎛⎫--=--++ ⎪⎝⎭，与1B M 共线，故选D.8.B记()()()()()11,n n fx f f x f x f x +==，根据()f x 定义可得()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，()()()()()()()()2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）=()()()()43220232024202020212022ff f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.9.ABC34i z =-，则z 的实部是3，故A正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.10.BD1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃==⋃⎣⎦.()41132P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为r，易得4,cos ,A 33AH AH r BAO AB α∠α=====正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1sin 3OH AO β==，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,6n ⎡∈⎢⎣⎦，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦，D 选项正确.故选ACD.12.5由点到直线的距离公式5d ==.13.32πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =，则h ==，由圆锥的体积公式可得211ππ333V Sh r h ===.14.12由1120,PF Q PQ ∠==，可得1260,2F PF PO ∠==.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，由余弦定理和中线长公式得()()2222222212(2)2||,(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪⎨⎪=+---⎩｡即2222222222515242,688,223644,x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得22122c a =，则211,42e e ==，【法二】设()12221200Δ0,,tan23F PF F PF P x y S b b cy ∠===，220022222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22220242202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得4222222223343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得222111,42b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43-，则直线l 的斜率是34，可得直线l 的方程是()3414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π4，则直线l 的斜率是1-，可得:50l x y +-=，则圆心C 到直线l的距离是2d =，则直线l 被圆C截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π3C =，由2c =，可得2sin c R C ==R ABC ∴=∴.（2）()()221sin 2()ab CS a b c a b c a b c =+++-+-2221sin 22ab C a b ab c =⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅+1sin 22cos 212C C =⋅=+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =，所以EF PF PE ===得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.如图建立空间直角坐标系，得()()()2,0,0,,1,A B C -，()2,0,0,0,55D Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =，(),2,55AB AQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.则0,0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取1y =得)n =.设平面QCD 的一个法向量()()4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭0,0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩取1b =-得)1,3m =--.设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，则7cos cos ,13m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为713.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22AM yk x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BMy k x x =≠-，由已知可得()12224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()22124x y x +=≠±.（2）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，设直线:2l y x m =+'，联立方程组22,244,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2210x m ++-=，()222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，直线l '与OD之间的距离477d ==，所以1112227ODE S OD d ==⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2244,x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410t y ++-=，则122122,41,4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()2122414t PQ y t +=-=+，因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22,44,y tx x y =-⎧⎨+=⎩得()22144t x +=，所以D OD ==，得()22241||14t OD t +=+，所以()()22222114145||44141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''此即为坐标变换公式.设22143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,2,x x y y =-⎧⎨=+⎩''所以1,2,x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2212143x y '+-+='.所以新椭圆的方程为22(1)(2)143x y +-+=.（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,sin ,sin ,x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=时，,22,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式.设将22143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.则,2222,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''得()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()22186x y y x '-'+'+='，即22727240x x y y -+'-='''.所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π4α=.先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''，此时()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()())()2222111202222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''化简得2213202222x y x y +++-=''''.利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.把点(),P x y '''向右平移2，向上平移2，得到点(),P x y ''''''，则,2,2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩所以22132022222222x y x y ⎛⎫⎛-+-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.所以点(),P x y 的轨迹是椭。

2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过()0,1A -、()10B ,两点，则该直线的斜率为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率.【详解】由题意可知，直线AB 的斜率为10101AB k --==-.故选：C.2.已知直线1l ：10x my +-=与2l ：310mx y +-=，若12l l //，则m 为（）A. B.0C.D.【答案】D 【解析】【分析】由12l l //计算可得m =m =或m =时两直线是否重合即可得.【详解】由12l l //，则有2130m ⨯-=，解得m =，当m =时，1l ：10x +-=与2l 310y +-=，两直线不重合；当m =时，1l ：10x -=与2l ：310y +-=，两直线不重合；故m =.故选：D.3.已知1F ，2F 分别为椭圆22193x y+=的左右焦点，P 为椭圆上一点，若12=PF ，则2PF 为（）A.1B.4C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】由椭圆定义计算即可得.【详解】由椭圆定义可得126PF PF +==，故216624PF PF =-=-=.故选：B.4.已知()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则t 的值为（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由空间向量的知识可知，两平面垂直等价于两法向量垂直，从而利用两法向量数量积为0求值.【详解】因为()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，所以m n ⊥ ，即()()2,,53,2,625630m n t t t t t ⋅=-⋅-=--+=-+=，解得2t =，故选：B.5.经过点()1,2M 作圆225x y +=的切线，则切线方程为（）A.250x y +-=B.250x y --= C.250x y +-= D.250x y --=【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得.【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为()12y k x =-+，即20kx y k --+=，则有d ==，化简得()2210k +=，故12k =-，故该切线方程为()1122y x =--+，即250x y +-=.故选：C.6.如图，在三棱锥O ABC -中，已知E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，则OF =（）A.111234OA OB OC -+B.111263OA OB OC -+C.111234OA OB OC ++D.111263OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量加法，减法和数乘运算法则进行求解.【详解】E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，故111222OF OA AF OA AE OA AC CE=+=+=++1111111111122232266263OA OC OA CB OA OC OB OC OA OB OC =+-+⨯=++-=++ .故选：D7.已知圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，则实数a 的取值范围（）A.,00,33⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.2626,33⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.260,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用公切线问题转化为两圆相交问题，再转化为圆心距范围问题，即可求解.【详解】由圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差，()1,5=，解得：,00,33a ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选：A.8.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若24AB F B =uu u r uuu r，122F A F B =，则椭圆C 的离心率为（）A.15B.5C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】设2F B m = ，结合题目所给条件及椭圆定义可得25m a =，即可表示出2AF 、1AF 、2BF 、1BF ，再借助余弦定理及2121cos cos 0BF F AF F ∠+∠=计算即可得解.【详解】设2F B m = ，则244AB F B m == ，1222F A F B m ==，则23AF m =，由椭圆定义可得1252AF AF m a +== ，故25m a =，即有265AF a = ，145AF a = ，225BF a = ，则128255BF a a a =-= ，则有()()22222221212864225555cos cos 026222255a c a a c a BF F AF F a c a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠+∠=+⨯⨯⨯⨯，整理得2252c a =，即5c e a ===.故选：C.二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．9.已知直线l 0y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,0到直线lB.直线l 的截距式方程为11x +=C.直线l 的一个方向向量为(1,D.若直线l 与圆()2220x y r r +=>相切，则32r =【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，根据点到直线距离公式进行求解即可；对于B 选项，根据直线的截距式进行求解即可；对于C 选项，根据直线方向向量的概念进行求解即可；对于D 选项，根据直线与圆相切的关系，根据圆心到直线的距离等于半径进行求解即可.【详解】对于A 选项，已知直线0l y +-，则点()1,0到直线的距离0d ==，故A 选项错误；对于B 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的截距式方程为11x +=，故B 选项正确；对于C 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的一个方向向量为(1,，故C 选项正确；对于D 选项，已知圆222x y r +=，其圆心()0,0到直线l 2=，由于直线l 与圆相切，可得：32r =，故D 选项正确.故选：BCD10.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为棱AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，则下列说法正确的是（）A.BF DE ⊥B.该三棱柱的体积为4C.直线DE 与平面11ABB A 所成角的正切值的最大值为12D.过1A ，1B ，E 5【答案】ABC 【解析】【分析】利用题设建系，对于A ，通过空间向量证明BF ⊥平面11A EB ，即得BF DE ⊥；对于B ，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C ，设点(),0,2D t ，利用空间向量的夹角公式计算得出关于t 的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值；对于D ，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除D.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,1F ，()1,1,0E ，()12,0,2A ，()10,0,2B ，对于A ，()0,2,1BF = ，()11,1,2EB =-- ，()11,1,2EA =-，因1220BF EA ⋅=-+= ，1220BF EB ⋅=-+=，可得1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，因11EA EB E ⋂=，且两直线在平面11A EB 内，则有BF ⊥平面11A EB ，又D 为棱11A B 上的动点，故BF DE ⊥，即A 正确；对于B ，由题意，该三棱柱的体积为122242V =⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ，如图，因1AA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则1AA BC ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，且两直线在平面内，故得⊥BC 平面11ABB A ，故可取平面11ABB A 的法向量为 =0,1,0，又D 为棱11A B 上的动点，可设(),0,2D t ，[]0,2t ∈，则()1,1,2DE t =--，设直线DE 与平面11ABB A 所成角为θ，则sin cos ,DE n θ==，因[]0,2t ∈，故当且仅当1t =时，()215t -+取得最小值为5，此时sin θ取得最大值为5，因π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而正弦函数和正切函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为增函数，故此时tan θ5152=，故C 正确.对于D ，如图，设经过1A ，1B ，E 三点的截面α交BC 于点G ，连接1,EG B G ，因11∥A B AB ，11A B ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则11//A B 平面ABC ，又11A B α⊂，α 平面ABC EG =，故得11A B EG ∥，即截面为梯形11EGB A ，因1A E=，1B G ==，设梯形11EGB A 的高为h 1+=，解得h =则()1112122EGB A S =⨯+=，故D 错误；故选：ABC.【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题.解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明;利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解.11.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，可以转化为点(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数()f x =，下列结论正确的是（）A.方程()5f x =无解B.方程()6f x =有两个解C.()f x 的最小值为D.()f x 的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合题意可得()f x PA PB =+，取()2,2C 计算可得A 、C 、D ；结合椭圆定义计算可得B.【详解】()f x ==+，设(),1P x ，−2,0，()2,0B ，则()f x PA PB =+，如图，取()2,2C ，则()f x PA PB PA PC AC =+=+≥==，当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，又当2x ≥时，()f x 随x 增大而增大，故()f x 无最大值，故C 正确、D 错误；由5>，故()5f x =有解，故A 错误；()6f x =，则64PA PB AB +=>=，则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此时26a =，2c =，即3a =，2945b =-=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =-=，得2365x =，即5x =±，即方程()6f x =有两个解，故B 正确.故选：BC .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线2230x y +-=的倾斜角为______．【答案】34π【解析】【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【详解】由于直线的斜率为1-，故倾斜角为3π4.【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.13.点N 在椭圆2212510x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，M 为NF 的中点，若4OM =，则NF =_________．【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义结合中位线性质即可求解.【详解】如图，设椭圆的另一焦点为1F ，则1210NF NF a +==，由中位线可知：112OM NF =，所以18NF =，所以2NF =，故答案为：214.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1,AD BB 的中点.点P 为正方体表面上的动点，满足1A P EF ⊥.给出下列四个结论：①线段1A P 长度的最大值为；②存在点P ，使得//DP EF ；③存在点P ，使得1B P DP =；④EPF 是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断B ，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,2,1,0,0,2,2,1,0,2,0,0,0,0,2,2,2A E F C D B ，对①，由正方体性质知当P 在C 时，线段1A P 长度的最大值为此时()()12,2,2,1,2,1A P EF =--= ，12420A P EF ⋅=-+-=，所以1A P EF ⊥，即满足1A P EF ⊥，故①正确；对②，取正方形11BB C C 的中心M ，连接,DM MF ，易知//,MF DE MF DE =，所以四边形DMFE 为平行四边形，所以//DM EF ，故P 运动到M 处时，//DP EF ，此时()1,2,1P ，()11,2,1A P =-- ，114120A P EF ⋅=-+-=≠，即不满足1A P EF ⊥，综上不存在点P ，使得//DP EF ，故②错误；对③，设(),,P x y z ，则()12,,2A P x y z =-- ，()1,2,1EF =，若存在，由1B P DP =，1A P EF ⊥可得方程组2220x y z -++-=⎧=化简可得243x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得2,1x z y +==，显然当0,2,1x z y ===时满足题意，即存在点P ，使得1B P DP =，故③正确；对④，设(),,P x y z ，若PE PF =，=24x y z ++=，由③知1A P EF ⊥时可得24x y z ++=，所以不妨取0,1,2x y z ===，此时()0,1,2P 在正方体表面上，满足题意，故④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间三点()2,0,1A -，()1,0,1B -，()3,1,2C -，设a AB = ，b AC = .（1）求2a b +的值；（2）若向量()a kb + 与()a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）23a b +=；（2）3k =±.【解析】【分析】（1）先由题意求出,a b，再结合向量坐标形式的加法运算和模长公式即可计算求解；（2）由向量垂直的表示结合a， b 即可计算求解.【小问1详解】由题得()1,0,0a AB ==，()1,1,1b AC ==- ，所以()21,2,2a b +=- ，所以23a b +=.【小问2详解】因为()()a kb a kb +⊥- ，所以()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= ，又21a = ，2223b === ，所以2130k-=，解得3k =±.16.已知直线1l ：350x y ++=，2l 经过点()3,1M ．（1）若12l l ∥，求直线2l 的方程；（2）在（1）的条件下，求1l 与2l 之间的距离；（3）若2l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的最小值．【答案】（1）360x y +-=（2）10（3）6【解析】【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解；（2）直接由平行线间距离公式即可求解；（3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解.【小问1详解】直线350x y ++=的斜率为13-，所以过点()3,1M 且与直线350x y ++=平行的直线方程为()1133y x -=--，即360x y +-=．【小问2详解】因为10d ==，所以两直线间的距离为10．【小问3详解】设直线方程为()13y k x -=-，0k <．当0x =时，13=-y k ；当0y =时，13=-x k．则()13,0,0,13A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则6MA MB ⋅=，当且仅当221kk =，即1k =-时，等号成立．所以MA MB ⋅的最小值为6．17.已知点32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C ：226210x y x y +--+=．（1）求圆C 过点P 的最短弦所在的直线方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=相交于A ，B 两点，O 为原点，且OA OB ⊥，求a 的值．【答案】（1）4250x y --=（2）1a =-【解析】【分析】（1）过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可；（2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到124x x a +=-+，()21212a x x -=.再由OA OB ⊥转化为向量数量积，综合韦达定理构造方程计算即可.【小问1详解】过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，圆226210x y x y +--+=的圆心()3,1C ，则1322312PCk k -=-=-=-，所以过点P 的最短弦所在的直线方程为()3222y x -=-，即4250x y --=．【小问2详解】()()220,319,x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 得()()22319x x a -++-=，化简后为()()2222810x a x a +-+-=．因为圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，所以()()22Δ28810a a =--->，即24140a a +-<，解得22a --<<-+设1,1，2,2，则124x x a +=-+，()21212a x x -=．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．由1122,,y x a y x a =+⎧⎨=+⎩得()()()()2222212121212161422a a a y y x a x a x x a x x a a a a -++=++=+++=++=．从而()()2221611022a a a a -+++=+=，解得1a =-．18.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，12BC AB AA AC ===，M 是11BC 中点，N 是AC 中点．（1）证明：直线//MN 平面11ABB A ；（2）证明：直线MN BC ⊥；（3）求平面MNA 与平面11BB C C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】【分析】（1）构造中位线判定四边形EMNA 为平行四边形，利用线线平行判定线面平行即可；（2）根据线段关系判定 ABC 为直角三角形，结合棱柱的特征判定11B N C N =，得出11MN B C ⊥即可证明；（3）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】取11A B 中点E ，连接AE ，EM ，E ，M 分别为11A B ，11B C 的中点，11EM A C ∴//，且1112EM A C =，111ABC A B C - 为直三棱柱，N 为AC 中点，//EM AN ∴，且EM AN =，∴四边形EMNA 为平行四边形，AE MN ∴//，AE ⊂ 平面11ABB A ，MN ⊄平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A ；【小问2详解】连接BN ，1B N ，1C N ，2AB BC AC ==，ABC ∴ 为直角三角形，BN NC ∴=111ABC A B C - 为直三棱柱，易得11B BN C CN ≅ ，11B N C N ∴=，M 为11B C 中点，11MN B C ∴⊥，MN BC ∴⊥；【小问3详解】易知1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，分别以AB ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，设12AB BC AA ===，则2,0,0，()0,1,2M ，()1,1,0N ，()2,1,2AM =- ，()1,1,0AN =-，设平面AMN 的一个法向量为 =s s ，则220m AM x y z m AN x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()2,2,1m = ，易得平面11BB C C 的一个法向量为()1,0,0n =，设平面11BB C C 与平面AMN 所成角为θ，则2cos cos ,3m n θ===.19.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 过点()3,1H，离心率为3，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点H 的M ，N 两点，且HM ，HN 均不与x 轴垂直．（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =P 为椭圆的上顶点，求PMN 的面积；（3）记直线HM ，HN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．【答案】（1）221124x y +=（2）6（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得22222911a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解出即可得；（2）借助弦长公式计算可得2m =或2m =-，再利用点到直线的距离公式计算点()0,2P 到直线l 的距离后结合面积公式计算即可得；（3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出12k k 并计算即可得.【小问1详解】根据题意得到22222911a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=；【小问2详解】因为MN ==，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 的方程123y x =-+经过点()3,1H ，不符合题意，舍去；当2m =-时，123y x =--，点()0,2P 到直线l的距离6105d ==，故PMN的面积116225S MN d =⋅==；【小问3详解】设1,1，2,2，直线l 的方程为13y x m =-+，联立方程22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22469360x mx m -+-=，由()()22Δ614440m m =-->，得33m -<<，则1232m x x +=，2129364m x x -=，因为直线HM ，HN 均不与x 轴垂直，所以13x ≠，23x ≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()()22121221212111136193399183x x m x x m m m x x x x m m --++--===-++-，故12k k 为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.【答案】AC10.【答案】BCD11.【答案】ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法可得向量数量积.【小问1详解】，；【小问2详解】由题意易知，则，，则．16.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；122DM a b c =--+ 12BE b c =+ 2()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA b c =+++=-++++=+=+ 2a b c === 2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭0a c ⋅= ()11222DM BE a b c b c ⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭ 2214222a b a c b b c b c c =-⋅-⋅--⋅+⋅+ 2214222a b a c b c =-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=a（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.【小问1详解】∵，∴【小问2详解】每日人均业务量的平均值为：，方案（1）人均日收入为：元，方案（2）人均日收入为：元，∵248元>224元，所以选择方案（2）【小问3详解】∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.由频率分布直方表可知：前5组的频率和为前6组的频率和为∵，设该销售的每日的平均业务量为，则，∴，又∵∴最小取82，故他每日的平均业务量至少应达82单.17.【解析】【分析】（1）设P (x,y )，由，得动点的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【小问1详解】x x ()()0.005320.030.01535251a ⨯+++⨯-=0.02a =()300.005400.005500.02600.03700.02800.015900.0051062⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=100622224+⨯=()20062504248+-⨯=404000.1÷=()0.00520.020.030.02100.8⨯+++⨯=()0.00520.020.030.020.015100.95⨯++++⨯=0.80.90.95<<x ()750.0150.80.9x -⨯+>81.7x >N x *∈x 4PA PB ⋅=- P设P (x,y )，则，，由，得，所以曲线的标准方程为.【小问2详解】曲线是以为圆心，1为半径的圆，过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，有圆心到直线距离，解得，则方程为.过点且与曲线相切直线的方程为或.18.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．【小问1详解】证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，又，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】的(1,2)PA x y =-- (3,6)PB x y =-- ()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ()()22241x y -+-=C ()()22241x y -+-=C ()2,4(1,2)A 1x =C (1,2)A ()21y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =3450x y -+=(1,2)A C 1x =3450x y -+=DE ⊥ABCD D DA x DC y DE z BDF CDE BDM BDF EC M BDM ⊥BDF EM ECADEF ABCD AD AD DE ⊥DE ⊂ADEF DE ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD ED ⊥由（1）可得，，又，如图，以原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量,,，因为，则，令，则，所以,,．设平面与平面所成角的大小为，则．所以平面与平面【小问3详解】若与重合，则平面的一个法向量,由（2）知平面的一个法向量,,，则，则此时平面与平面不垂直．若与不重合，如图设，则,,，设平面的一个法向量,,，则，为AD DE ⊥CD DE ⊥AD CD ⊥D DA DC DE x y z D xyz -1AD =(0D 0)(1B 0)(1F 1)(0C 0)(0E 1)CDE (1,0,0)DA = BDF (n x = y )z ()()1,1,0,1,0,1DB DF == 00n DB x y y x z x n DF x z ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=+=⎩⎪⎩ 1x =1y z ==-(1n = 1-1)-BDF CDE θcos cos ,DA n θ=== BDF CDE M C BDM ()00,0,1m = BDF (1n = 1-1)-010m n ⋅=-≠ BDF BDM M C (01)EM ECλλ=<<(0M 2λ1)λ-BDM 0(m x = 0y 0)z 00m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，，所以，平面平面等价于，即，所以．所以，线段上存在点使平面平面，且．19.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案；（2）确定，求出直线方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.【小问1详解】由题意可得 ,解得故椭圆E 的方程为．【小问2详解】证明：由（1）可知，，则直线的方程为联立方程组,整理得，解得或，则，设，直线的方程为，直线的方程为，设，的000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩01x =01y =-021z λλ=-21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭BDM ⊥BDF 0m n ⋅=r r 21101λλ+-=-1[0,1]2λ=∈EC M ⊥BDFBDM 12EM EC =,a b ()()0,1,1,0A F AF 41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭,AP BP ,C D 2222121423144a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2212x y +=()()0,1,1,0A F AF 1y x =-+22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩224400x x -=0x =43x =41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,P t AP 112t y x -=+BP 31212t y x t +=--()()1122,,,C x y D x y联立方程组，整理得，可得，联立方程组，整理得，则，得从而．因为，，即，所以三点共线，所以直线经过点F ．2212112x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩()()2223410t t x t x -++-=2224421,2323t t t C t t t t ⎛⎫-+-++ ⎪-+-+⎝⎭221231212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩()()22229632422416160t t x t t x t t ++-++++=222416163963x t t t t +=++22244321t t x t t +=++22224421,321321t t t t D t t t t ⎛⎫+-- ⎪++++⎝⎭2222222210212123442121123CF t t t t t t t t k t t t t t t t -++--++---+===-+--++---+22222222210021321441211321DF t t y t t t t k t t x t t t t ------++===+-+--++CF DF k k =,,C D F CD。

一、单选题1．直线 ）2y x =-+A ．2B ．C ．D ． 1212-2-【答案】D【分析】根据斜截式方程，可得答案.【详解】由方程，2y x =-2-故选：D.2．圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）()1,2-3r =A ．B ． ()()22129x y -++=()()22129x y ++-=C ．D ． ()()22123x y -++=()()22123x y ++-=【答案】B【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】根据题意，圆心为，半径()1,2-3r =圆的标准方程为；()()22129x y ++-=故选：B ． 3．已知向量，则（ ）()()2,1,3,1,1,2a b =-=- 2a b +=A ．B ．C ．D ()4,1,1-()5,1,4-【答案】B【分析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果【详解】 2(2,1,3)(2,2,4)(4,1,1)a b +=-+-=- 故选：B.4．点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（ ） P 22125x y +=PA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，， 22125x y +=y 25,a a ==所以到椭圆两个焦点的距离之和为P 2a =故选：C5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，.则直线与直线111ABC A B C -122CA CC CB ===1BC 夹角的余弦值为（ ）1ABA B C D ． 35【答案】A【分析】由空间向量求解，【详解】由题图知，A 点的坐标为，B 点的坐标为，点的坐标为，点的()2,0,0()0,0,11B ()0,2,11C 坐标为.()0,2,0所以，.()10,2,1BC =- ()1=2,2,1AB -所以 cos θ==故选：A6．直线被圆所截得的弦长为（ ）:3410l x y +-=22:2440C x y x y +---=A ．B ．4C ．D ．【答案】C【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.【详解】由题意知，圆心，圆C 的半径为3， ()1,2C故C 到，:3410l x y +-=2故所求弦长为．=故选：C7．已知椭圆，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则22143x y +=的最小值为（ ）PA PF +A ．3BCD121【答案】A【分析】由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性PF P 质可得.【详解】设椭圆的右焦点为，，， 2F (1,0)21AF =22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-又，，2||||PA PF -≤2||AF 222||||||||AF PA PF AF --≤≤当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交2P A F ，，||||PA PF +P 2F A 点），故选：A.8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC 的顶点分别为，，，()1,3A ()2,4B ()3,2C 则△ABC 的欧拉线方程为（ ）A ．B ． 50x y +-=50x y ++=C ．D ． 10x y -+=270x y +-=【答案】A【分析】求出重心坐标，求出AB 边上高和AC 边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC 的重心为，()2,3G 可得直线AB 的斜率为，则AB 边上高所在的直线斜率为，则方程为， 34112-=-1-5y x =-+直线AC 的斜率为，则AC 边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 321132-=--2y x =联立方程可得△ABC 的垂心为， 52y y xx =-+=⎧⎨⎩510,33H ⎛⎫ ⎪⎝⎭则直线GH 斜率为，则可得直线GH 方程为， 10331523-=--()32y x -=--故△ABC 的欧拉线方程为.50x y +-=故选：A.二、多选题9．如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．与B ．与 DO BO AC DB C ．与D ．与AD 11B C u u u u r 1A B u u u r 1D C 【答案】CD 【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.【详解】由正四棱柱可知，A ：，但与方向相反，故A 不符题意；DO BO = DO BO B ：，但与方向不同，故B 不符题意；AC DB = AC DB C ：，且与方向相同，故C 符题意；11AD B C = AD 11B C u u u u r D ：，且与方向相同，故D 符题意. 11A B D C = 1A B u u u r 1D C 故选：CD.10．已知直线，，则（ ）1:(1)20l a x ay +++=2:(1)10l ax a y +--=A ．恒过点B ．若，则 1l (2,2)-12l l //212a =C ．若，则D ．当时，不经过第三象限12l l ⊥21a =01a ≤≤2l 【答案】BD【分析】对于A ，由直接求解即可；对于BC ，根据，时系数系数()2a x y x +=--12l l //12l l ⊥,,A B C 间的关系解决即可；对于D ，分类讨论即可.【详解】对于选项A ：直线的方程可化为：， 1l ()2a x y x +=--令得：， 020x y x +=⎧⎨--=⎩22x y =-⎧⎨=⎩所以直线恒过点，1l (2,2)-故选项A 错误，对于选项B ：若时，显然不平行，0a =12:2,:1l x l y =-=若时，显然不平行，1a =12:220,:1l x y l x ++==所以若，则， 12l l //11a a a a +-=--且， 211a a-≠-解得， 212a =故选项B 正确，对于选项C ：若，则，12l l ⊥(1)(1)0a a a a ++-=解得，0a =故选项C 错误，对于选项D ：若直线不经过第三象限，2l 当时，直线，符合题意，1a =2:1l x =当时，则，解得， 1a ≠01101a a a ⎧-≤⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩01a <…综上，，故选项D 正确，01a ≤≤故选：BD.11．设圆的圆心为， 为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分22:2220x y x y +---=C ()5,1P P C 别为 ，则（ ）,A B A ．B ．四点共圆C ．D ．直线的方程为：PA PB ==,,,P A C B 60APB ∠=o AB 2x =【答案】ABCD【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD ；依题意可得到CPB ∠,A B ()3,1D ,,,P A C B 四点的距离相等，即可判断B ；【详解】解：因为，即，则圆心，半径22:2220C x y x y +---=()()22114x y -+-=()1,1C 2r =，故A 正确；在中，4==Rt BCP △，，所以，即，所以，4PC =2BC =1sin 2CPB ∠=30CPB ∠=︒260APB CPB ∠=∠=︒，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C 、D 正确；60BCP ACP ∠=∠=︒,A B 2AB 2x =如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B PC C ()3,1D 2DC DB DP AD ====,,,P A C B 正确；故选：ABCD12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ） 22193x y +=F (0y m m =<<,A B A ．为定值AF BF +B ．的周长的取值范围是ABF △[]6,12C ．当时，为直角三角形 m =ABF △D ．当时，1m =ABF △【答案】ACD【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C ；求出坐,A B ·0AF BF = ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】设椭圆的左焦点为，则F '||||AF BF '=所以为定值，A 正确；||||||||6AF BF AF AF '+=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 错误；||AB (0,6)ABF △(6,12)将， y =(A B又因为，∴ F 20AF BF ⋅=+= 所以为直角三角形，C 正确；ABF △将与椭圆方程联立，解得，，所以D 正确. 1y =(A B 112ABF S =⨯=A 故选：ACD三、填空题13．设椭圆标准方程为，则该椭圆的离心率为______． 2212516x y +=【答案】## 350.6【分析】求出、的值，即可求得椭圆的离心率.a c【详解】在椭圆中，，，则，2212516x y +=5a =4b =3c ==因此，该椭圆的离心率为. 35c e a ==故答案为：. 3514．在平面直角坐标系中，过圆：上任一点作圆：xOy 1C 22()(4)1x k y k -++-=P 2C 的一条切线，切点为，则当取最小值时，______．22(1)1x y ++=Q PQ k =【答案】 32【解析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为,,半径都是1.(),4k k -+()1,0-如图，因为PQ 为切线，所以，2PQ C Q ⊥由勾股定理，得，要使最小，则需最小，PQ =PQ 2PC 显然当点P 为与的交点时，最小，12C C 1C 2PC 此时，，所以当最小时，就最小，2121PC C C =-12C C 2PC1C C ==当时，最小，得到最小，32k =12C C PQ 故答案是：. 32【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的()1,0B -()0,0O 3x y +=最短总路程是______.【答案】5【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解.【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线与点O 3x y +=()00,A x y AB C由题知，点满足：()00,A x y ，解得：，，即点 0000322010x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩03x =03y =()3,3A 因为OC BC AC BC AB +=+=所以“将军饮马”的最短总路程为5AB ==故答案为：.516．如图，在四棱台中，，，，则ABCD A B C D -''''6AA '=90BAD ∠=︒60BAA DAA ''∠=∠=︒的最小值为___________．()(),R AC xAB y AD x y '-+∈【答案】【分析】先由平面向量的基本定理推得所求为四棱台的高，再结合图形利用线面ABCD A B C D -''''垂直的判定定理证得面，由此依次在，中求得，，最后在AD ⊥A MN 'Rt A AN 'A Rt AMN A A N 'MN 中求得，即为所求.Rt A MN 'A A M '【详解】设，由平面向量基本定理与，可得点(),R AP xAB y AD x y =+∈ (),R AP xAB y AD x y =+∈ 为平面内任一点，P ABCD 故， ()AC xAB y AD AC AP PC '''-+=-= 显然，当平面时，为四棱台的高的长度，取得最小值， PC '⊥ABCD PC ' ABCD A B C D -''''由于过点作高不好解答，不妨过作平面，则也为四棱台C 'A 'A M '⊥ABCD A M 'ABCD A B C D -''''的高，其长度即为所求.再作于，连结，如图，MN AD ⊥N ,A N AM '因为平面，平面，所以，A M '⊥ABCD AD ⊂ABCD A M AD '⊥又，面，所以面，MN AD ⊥,A M MN M A M MN ''⋂=⊂、A MN 'AD ⊥A MN '因为面，所以，A N '⊂A MN 'AD A N '⊥所以在中，，，可得，Rt A AN 'A 60DAA '∠=︒6AA '=sin 606A N AA ''=︒==， 1cos 60632AN AA '=︒=⨯=又由，所以为的平分线（注：此处也可过作的垂线，垂足60BAA DAA ''∠=∠=︒AM BAD ∠M AB 为，同理可得，从而得到证得），Q 3AQ =Rt Rt AMN AMQ ≅A A 所以在中，，故， Rt AMN A 1452MAN BAD ∠=∠=︒3MN AN ==所以在中，Rt A MN 'A A M '===所以四棱台的高为，故的最小值为ABCD A B C D -''''()AC xAB y AD '-+故答案为：.【点睛】本题综合了空间向量，立体几何及三角形知识，难度较大，关键点在于先利用向量基本定理将要求向量的模转化为棱台的高，过作出高，再结合线面垂直的判定以及解三角形的知识加以A '求解即可.四、解答题17．已知两直线l 1：x +8y +7=0和l 2：2x +y –1=0．（1）求l 1与l 2交点坐标；（2）求过l 1与l 2交点且与直线x +y +1=0平行的直线方程．【答案】（1）（1，–1）；（2）x +y =0．【分析】（1）两直线方程联立，可求出交点坐标；（2）所求直线的斜率与x +y +1=0的斜率相同，可设直线方程为 x +y +c =0，将（1）中求出的交点代入即可．【详解】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，870210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=-⎩所以l 1与l 2交点坐标是（1，–1）．（2）设与直线x +y +1=0平行的直线l 方程为x +y +c =0， 因为直线l 过l 1与l 2交点（1，–1）， 所以c =0，所以直线l 的方程为x +y =0．【点睛】本题考查了两直线的交点问题，及平行线间的关系，属于基础题．18．已知向量，.()2,1,2a =- ()1,4,1b =r(1)求的值；2a b - (2)求向量与夹角的余弦值.2a b + a b -【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【详解】（1）∵，， ()2,1,2a =- ()1,4,1b =r∴，， ()24,2,4a =-r()23,6,3a b -=-r r ∴；2a =r （2）设与的夹角为，则， 2a b + a b -θ()()2cos 2a b a b a b a bθ+-=+⋅-r r r rrr r r ，，，()24,7,4a b +=r r29a b+=r r ()1,5,1a b -=-r r a b -= ∴cosθ===∴向量与夹角的余弦值为2a b + a b - 19．如图，在正四棱柱中，已知，，E ，F 分别为，1111ABCD A B C D -2AB AD ==15AA =1DD 1BB 上的点，且．11DE B F ==(1)求证：平面ACF ： BE ⊥(2)求点B 到平面ACF 的距离． 【答案】(1)证明见详解. (2). 43【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明D DA x DC y 1DD z 与平面的一个法向量重合来证明平面.BEACF BE ⊥ACF （2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.B ACF 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图D DA x DC y 1DDz 所示：则,()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F 设面的一个法向量为，， ACF ()=,,n x y z ()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=可得，即，不妨令则, 00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩1z =()=2,2,1n BE --= 平面.BE ∴⊥ACF（2），则点到平面的距离为.()=0,2,0ABB ACF 43AB n n⋅= 20．已知椭圆：过点，长轴长为C 22221(0)x y a b a b+=>>(2,(1)求椭圆的标准方程；C (2)过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程. (1,1)P l C A B P AB l 【答案】(1)22184x y +=(2)230x y +-=【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，得C 2a =a =又椭圆过点，C (2,所以，得.24218b +=24b =所以椭圆的标准方程为:.C 22184x y +=（2）直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为： l (1,1)P l 1x =此时线段中点为，不合题意.AB ()1,0所以直线的斜率必存在，设其为，，，l k ()11,A x y ()22,B x y 因为为的中点，则，所以，P AB 12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩121222x x y y +=⎧⎨+=⎩将、坐标代入椭圆的标准方程为得，， A B C 22184x y +=22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：，整理得：， 22221212084x x y y --+=12121212()()()()084x x x x y y y y -+-++=所以，， 12121212()()()()84x x x x y y y y -+-+=-1212()2()284x x y y -⨯-⨯=-所以. 12124182y y k x x --===--所以直线的方程为，即.AB 11(1)2y x -=--230x y +-=因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. P l 21．已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于的M ，N 两点（点M ，N 异于A 点），若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)； 22(3)25x y -+=(2)证明见解析；定点. (6,12)--【分析】（1）设圆的标准为，求出即得解；222(3)x y r -+=r （2）直线n 斜率不存在时，不存在；直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，y kx t =+1(M x 1)kx t +，，求出直线的方程为即得解.2(N x 2)kx t +26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：设圆的标准为，把代入得， 222(3)x y r -+=(0,4)A =5r 故圆的标准方程为．22(3)25x y -+=（2）证明：当直线n 斜率不存在时，设，，(,)M a b (),N a b -直线，的斜率之积为2，，AM AN (0,4)A ，即， ∴442,0b b a a a---⋅=≠22162,0b a a =-≠点在圆上，(,)M a b ，()22325a b ∴-+=联立，，舍去， ()2222162325b a a b ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩04a b ==±⎧⎨⎩当直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，，， y kx t =+1(M x 1)kx t +2(N x 2)kx t +① ()()()()22121212124422440AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x +-+-⋅=⋅=⇒-+-++-=联立方程， ()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩，，()122261kt x x k --∴+=+2122161t x x k -=+代入①，得，()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=化简得或， 26tk =+4t =若，则直线过，与题设矛盾， 舍.4t =n ()0,4直线n 的方程为：，所以且∴26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(+1)20,+1=066x x t x y +-=∴20x y -=所以. 6,12x y =-=-所以过定点．(6,12)--22．如图，C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面平面为正三角形，AB PAC ⊥,ABC PAC A E ，F 分别是上的动点.,PC PB(1)求证：；BC AE ⊥(2)若E ，F 分别是的中点且异面直线与与平面,PC PB AF BC AEF 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线与平面所成角的取值范围.ABC PQ AEF 【答案】(1)证明见解析 (2) 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明.BC ⊥PAC BC AE ⊥（2）由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，建//BC AEF //BC l 立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解. (2,,0)Q t AEF 【详解】（1）证明：因为C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以， AB BC AC ⊥又平面平面，且平面平面平面， PAC ⊥ABC PAC ,ABC AC BC =⊂ABC 所以平面平面. BC ⊥,PAC AE ⊂PAC 所以BC AE ⊥（2）由E ，F 分别是的中点，连结，所以，由（1）知， ,PC PB ,AE EF BC EF ∥BC AE ⊥所以，所以在中，就是异面直线与所成的角. EF AE ⊥Rt AFE A AFE ∠AF BC 因为异面直线与AFBC 所以tan ∠=AFE AE EF =又平面平面，EF ⊂,⊄AEF BC AEF 所以平面，又平面，平面平面， //BC AEF BC ⊂ABC ⋂EFA =ABCl 所以BC l ∥所以在平面中，过点A 作的平行线即为直线l .ABC BC以C 为坐标原点，所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面的直线为z 轴，建,CA CB ABC立空间直角坐标系，设.2AC =因为为正三角形所以 PAC △AE =2EF =由已知E ，F 分别是的中点，所以,PC PB24BC EF ==则，所以，(2,0,0),(0,4,0),A BP 11,22⎛⎛⎝⎝E F 所以，3,(0,2,0)2⎛=-= ⎝E AF E 因为，所以可设，平面的一个法向量为，BC l ∥(2,,0)Q t AEF (,,)m x yz =则，取，得， 30220x AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩z=m =又，则. (1,,= PQ t 1|cos ,0,2⎛⎤〈〉 ⎝⎦ PQ m设直线与平面所成角为，则. PQ AEF θ1sin 0,2⎛⎤=⎝⎦θ所以直线与平面所成角的取值范围为.PQ AEF 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦。

绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】 平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。

浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．设集合(){}10A x x x =⋅+=，则（）A ．A∅∈B ．0A⊆C ．1A∈D ．1A-∈2．命题“1x ∀>-，使得21x ≤”的否定是（）A ．“1x ∀<-，使得21x ≤”B ．“1x ∀<-，使得21x ≥”C ．“1x ∃>-，使得21x >”D ．“1x ∃>-，使得21x ≤”3．若a 、b 、c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．33a c b c ->-B ．()0ac bc c >≠C ．a b>D ．11a b>4．下列函数中，与函数2y x =+是同一个函数的是（）A ．2y =B ．2y =+C ．2y =D ．22x y x=+5．函数24()22x xx f x -=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f x 在R 上的表达式为（）A ．2()2f x x x=-B ．2()2f x x x=-C ．2()2f x x x =+D ．2()2f x x x=+7．某催化剂的活性指标K （单位：kgPP/gCat ）与反应温度t （单位：C ︒）满足函数关系：e at K b =+（其中a b 、为常数， 2.71828e =···，是一个和π类似的无理数）.若在20C ︒时的活性指标为11kgPP/gCat ，若在40C ︒时的活性指标为83kgPP/gCat ，则该催化剂在50C ︒的活性指标为（）A ．125kgPP/gCatB ．225kgPP/gCatC ．245kgPP/gCatD ．250kgPP/gCat8．设函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x =+，当(]0,1x ∈时()2xf x =，若()8f x ≤，则x 的取值范围是（）A ．7,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．9,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．()73,4,2∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦D ．()7,4,2∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦二、多选题9．若幂函数()af x x =的图象经过点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则幂函数()f x 具有的函数性质有（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的图象过点()1,1C ．()f x 在定义域上单调递减D ．()f x 是奇函数10．已知0,0x y >>，且满足8xy x y ++=则下列正确的是（）A ．xy 的最大值为4B ．x y +的最小值为2C ．2x y +的最小值为3D ．()111x y y ++的最小值为1211．已知22,1(),R 32,1x a x f x a x ax a x -≤⎧=∈⎨-+>⎩，则下列说法正确的是（）A ．当0a =时，()f x 为增函数.B ．当0a ≤时，()f x 的值域为R .C ．(())f f a a =-.D ．()f x 与x 轴有两个交点时，12a >.三、填空题12．计算：22314--⎛⎫+=⎪⎝⎭（用数字作答）.13．函数()f x =的单调递减区间为.14．设函数()122xxf x -=，若1a b -≠且()()1f a f b =+，则当22a b +取得最小值时b a -=.四、解答题15．已知集合{}121A x m x m =-<<+，集合102x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，(1)当1m =时，求()R A B ð；(2)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求m 的取值范围.16．已知函数2()2x x a bf x b⋅-=+是定义在R 上的奇函数，且1(1)3f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2(2)(2)0f m f m +->，求实数m 的取值范围.17．已知函数2()(1),R f x x a x a a =-++∈.(1)求关于x 的不等式()0f x <的解集；(2)若()20f x x +≥在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.18．随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价y (单位：元)与销量x (单位：万件)之间满足关系式25,010,900,10.a x x y b x x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩已知公司每年固定成本为10万元，每生产1万件衣服需要再投入4万元.设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售8万件衣服时，年利润为990万元；当公司销售20万件衣服时，年利润为1145万元．(1)写出年利润W (万元)关于年销量x (万件)的函数解析式；(2)当年产量为多少万件时，公司利润最大?并求出最大利润．19．定义：对函数()1,y f x x D =∈和()2,y g x x D =∈，12D D D = ，若对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，均有()()()()1212f x f x k g x g x -<-，则称“函数()y f x =与()y g x =具有k 类性质”.(1)判断()1f x x=与()[)1,12g x x x =∈+∞，是否具有2类性质，并说明理由；(2)已知()14g x x x=-，[]12x ∈，①若()2f x x ax b =++与()g x 具有1类性质，求a 的取值范围；②若()f x 与()g x 具有2类性质，且()()12f f =，证明：对任意[]12,12x x ∈，，()()1292f x f x -<.。

2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知事件A ，B 相互独立，P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.4，则P （A +B ）＝（ ） A ．0.88B ．0.9C ．0.7D ．0.723．过点(√2，2)，且与椭圆y 225+x 216=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．x 218+y 29=1 B ．y 218+x 29=1C ．x 212+y 23=1D ．y 212+x 23=14．已知A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√1111B ．2√1111C ．√55D ．2√555．点P （x ，y ）在圆x 2+y 2＝2上运动，则|x ﹣y +3|的取值范围（ ） A ．[0，1]B ．[0，4]C ．[1，5]D ．[1，4]6．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →=3EC →，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．3√19010B ．√22C ．3√2D ．√16637．已知A ，B 是圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0）上两点，且|AB|=2√2．若存在a ∈R ，使得直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0与l 2：x +ay ﹣5a ＝0的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0，2√2−1]B ．(0，2√2−2]C ．(0，2√2+1]D ．(0，2√2+3]8．已知动点P ，Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ →=xAB →+yAC →+zAD →，则x+y+2z的最大值为（）A．1+√66B．2√63C．1+√62D．83二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（）A．众数为60或70B．45%分位数为70C．平均数为73D．中位数为7510．已知点P（0，1）和直线l：2x+y+1＝0，下列说法不正确的是（）A．经过点P的直线都可以用方程y＝kx+1表示B．直线l在y轴上的截距等于1C．点P关于直线l的对称点坐标为(−85，15)D．直线l关于点P对称的直线方程为2x+y+3＝011．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C 上一个动点，则（）A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值B ．点E 到直线B 1C 的距离为34√2C ．线段B 1C 上存在点G ，使得FG ⊥BDD ．线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 112．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）A ．若点P 为椭圆上一点，则|PF 2|﹣|PF 1|的最大值是2cB ．若点T 的坐标为(12a ，0)，P 是椭圆上一动点，则线段PT 长度的最小值为12aC ．过F 2作垂直于x 轴的直线，交椭圆于A ，B 两点，则AF 2=a −c 2aD ．若椭圆上恰有6个不同的点P ，使得△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆E 的离心率的取值范围是(13，12)∪(12，1) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有 条．14．已知矩形ABCD ，AB =1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若|BD|=√2，则二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为 ．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，椭圆上的点M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别在第一、二象限内，若△OAN 与△OBM 的面积相等，且x M 2+x N 2=4b 2，则C 的离心率为 ．16．某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为l ：y ＝kx +b ，C ：x 2+y 2＝r 2，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得k ，b ，r ∈{1，2，3，4}，并且他填写的结果为直线与圆相交．若数组（k ，b ，r ）的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是空间中的三个单位向量，且a →⊥b →，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=60°．若OM →=2a →+b →−c →，OA →=a →+b →+c →，OB →=a →+2b →+c →． （Ⅰ）求|MB →|；（Ⅱ）求MB →和OA →夹角的余弦值．18．（12分）为调查高一、高二学生心理健康情况，某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人、40人参加心理健康测试（满分10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩x i （i ＝1，2，3，⋯，60）的平均分x =8，方差s x 2=2，高二学生成绩y i （i ＝1，2，…，40）的统计表如表：（Ⅰ）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差s y 2； （Ⅱ）估计该学校高一、高二全体学生的平均分z 和方差s z 2．19．（12分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号； ②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明． 20．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣12＝0． （Ⅰ）求过点（7，5）且与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）求经过直线x +y ﹣7＝0与圆C 的交点，且面积最小的圆的方程．21．（12分）如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AC =√5，B 1C 1=2BC =2√2，AA 1=2√6，点A 在平面A 1B 1C 1上的射影在∠B 1A 1C 1的平分线上． （Ⅰ）求证：AA 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）若A 到平面A 1B 1C 1的距离为4，求直线AC 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值．22．（12分）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E ． （Ⅰ）写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，过A 且与l 平行的直线与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|AD →⋅PQ →|的取值范围．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意两条直线垂直时，则m （m ﹣3）+m （m ﹣1）＝0，即2m 2﹣4m ＝0， 解得m ＝0或m ＝2，所以“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件． 故选：A ．2．已知事件A ，B 相互独立，P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.4，则P （A +B ）＝（ ） A ．0.88B ．0.9C ．0.7D ．0.72解：因为事件A ，B 相互独立，所以P （AB ）＝P （A ）•P （B ）＝0.5×0.4＝0.2．所以P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7． 故选：C ．3．过点(√2，2)，且与椭圆y 225+x 216=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．x 218+y 29=1 B ．y 218+x 29=1C ．x 212+y 23=1D ．y 212+x 23=1解：根据题意可设所求椭圆方程为：y 225−λ+x 216−λ=1，λ≤16，又该椭圆过点(√2，2)， ∴425−λ+216−λ=1，解得λ＝13，∴所求椭圆方程为y 212+x 23=1．故选：D ．4．已知A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0），则点O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．√1111B ．2√1111C ．√55D ．2√55解：由A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0）， 可得AB →=（1，0，﹣3），AC →=（1，1，﹣2），OA →=（0，0，2）， 设平面ABC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由n →•AB →=n →•AC →=0，即x ﹣3z ＝x +y ﹣2z ＝0，可取n →=（3，﹣1，1），则点O 到平面ABC 的距离是|n →⋅OA →|n →||=29+1+1=2√1111．故选：B ．5．点P （x ，y ）在圆x 2+y 2＝2上运动，则|x ﹣y +3|的取值范围（ ） A ．[0，1] B ．[0，4]C ．[1，5]D ．[1，4]解：|x ﹣y +3|=|x−y+3|√2×√2，√2为（x ，y ）到直线x ﹣y +3＝0的距离， 由题意可得圆心O （0，0）到直线x ﹣y +3＝0的距离d =3√2=32√2， 故=2∈[32√2−√2，32√2+√2]＝[12√2，52√2]，∴|x ﹣y +3|的取值范围为[1，5]． 故选：C ．6．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →=3EC →，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．3√19010B ．√22C ．3√2D ．√1663解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ， 设P （m ，n ，0），B 1（3，3，3），B （3，3，0），C （0，3，0），D 1（0，0，3），B 1P →=（m ﹣3，n ﹣3，﹣3），BC →=3EC →，即3EC →=（﹣3，0，0），E （1，3，0），D 1E →=（1，3，﹣3）， 由B 1P ⊥D 1E ，可得B 1P →•D 1E →=m ﹣3+3n ﹣9+9＝0，即m +3n ＝3， 当m ＝0时，n ＝1；当n ＝0时，m ＝3，即0≤n ≤1，|B 1P |=√(m −3)2+(n −3)2+9=√9n 2+n 2−6n +18=√10n 2−6n +18=√10(n −310)2+17110， 由于0≤n ≤1，可得n =310时，|B 1P |取得最小值3√19010； 当n ＝1时，|B 1P |取得最大值√22． 故选：B ．7．已知A ，B 是圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0）上两点，且|AB|=2√2．若存在a ∈R ，使得直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0与l 2：x +ay ﹣5a ＝0的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0，2√2−1]B ．(0，2√2−2]C ．(0，2√2+1]D ．(0，2√2+3]解：圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0），半径r =√3，设M 恰为AB 的中点，直线与圆相交弦长|AB |＝2√r 2−|MC|2=2√2，所以|MC |＝1， ∴M 的轨迹方程是（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝1．又直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0过定点Q （﹣4，1），直线l 2：x +ay ﹣5a ＝0过定点S （0，5），且l 1⊥l 2， 则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心（﹣2，3），半径为12|QS |＝2√2，∴P 的轨迹方程是（x +2）2+（y ﹣3）2＝8，由于l 1的斜率存在， 所以点P 的轨迹要除去点（﹣4，5）， 由已知得M 的轨迹与点P 的轨迹有公共点，∴2√2−1≤|MP |≤2√2+1，即2√2−1≤|m +2|≤2√2+1， 又m ＞0，所以2√2−1≤m +2≤2√2+1，解得2√2−3≤m ≤2√2−1， ∴实数m 的取值范围为（0，2√2−1]． 故选：A ．8．已知动点P ，Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ →=xAB →+yAC →+zAD →，则x +y +2z 的最大值为（ ） A ．1+√66B ．2√63C ．1+√62D ．83解：由题意，连接AD ，EF ，设交点为M ，则点M 是AD 中点， 设正方体棱长为2，由几何知识得，点A 到面BCM 距离即为AM ， 设内切球半径为r 1，外接球半径为r 2， 三棱锥外接球半径r 2=√22+22+222=√3，而由正三棱锥内切球半径公式 r 1=22√3=√33，取任意一点P ，使得(x +y +2z)⋅AT →=xAB →+yAC →+zAD →=xAB →+yAC →+2zAM →， 则点T 在面BCM 上，∴|(x +y +2z)⋅AT →|=|PQ →|≤r 1+r 2=√3+√33=4√33， 点A 到面BCM 距离为d ＝AM ， 则|AT →|≥d =AM =2√2=√2， x +y +2z =|(x+y+2z)⋅AT →||AT →|≤4√332=2√63． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（ ）A ．众数为60或70B ．45%分位数为70C ．平均数为73D ．中位数为75解：对于选项A ，由频率分布直方图可知：小矩形最高是[60，70]这一小组， 所以众数为60+702=65，故A 错误；对于选项B ，[50，60]这一小组的小矩形面积为0.005×10＝0.05，[60，70]这一小组的小矩形面积为0.04×10＝0.4， 0.05+0.4＝0.45，即45%分位数为70，故B 正确；对于选项C ，平均数为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10＝73，故C 正确；对于选项D ，[70，80]这一小组的小矩形面积为0.03×10＝0.3，设中位数为y ， 则结合B 选项有0.05+0.4+（y ﹣70）×0.03＝0.5，解得y =2153，故D 错误． 故选：BC ．10．已知点P （0，1）和直线l ：2x +y +1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．经过点P 的直线都可以用方程y ＝kx +1表示B ．直线l 在y 轴上的截距等于1C ．点P 关于直线l 的对称点坐标为(−85，15) D ．直线l 关于点P 对称的直线方程为2x +y +3＝0解：对于A 选项．当直线斜率不存在时不能用方程y ＝kx +1表示，故A 选项错误；对于B 选项．直线l ：2x +y +1＝0，即y ＝﹣2x ﹣1，直线l 在y 轴上的截距等于﹣1，故B 选项错误；对于C 选项．设点P 关于直线l 的对称点坐标为（a ，b ），则{b−1a ⋅(−2)=−12⋅a 2+b+12+1=0，解得{a =−85b =15， 所以点P 关于直线l 的对称点坐标为（−85，15），故C 选项正确；对于D 选项．直线l 关于点P 对称直线方程为2x +y +b ＝0， 由题意，√5=√5，得b ＝﹣3或b ＝1（舍去）．∴直线方程为2x +y ﹣3＝0，故D 选项错误． 故选：ABD ．11．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为面对角线B 1C 上一个动点，则（ ）A ．三棱锥A 1﹣EFG 的体积为定值B ．点E 到直线B 1C 的距离为34√2C ．线段B 1C 上存在点G ，使得FG ⊥BDD ．线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1 解：∵B 1C ∥平面AA 1D 1D ，∴G 到平面A 1EF 的距离相等， 又△A 1EF 的面积为定值，∴V A 1−EFG =V G−A 1EF 为定值，故A 正确；以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0）， C 1（0，2，2），E （ 1，0，2），F （ 2，0，1）， B 1（2，2，2），CB 1→=(2，0，2)，CE →=(1，−2，2)， cos ＜CB 1→，CE →＞=CB 1→⋅CE →|CB 1→||CE →|=2+422×3=√22，则cos ＜CB 1→，CE →＞=√22， 可得点E 到直线B 1C 的距离为|CE →|sin ＜CB 1→，CE →＞=3×√22=3√22，故B 错误；设G （t ，2，t ），0≤t ≤2，则DB →=(2，2，0)，FG →=(t −2，2，t −1)，由BD →⋅FG →=2(t −2)+2×2=0，解得t ＝0，即线段B 1C 上存在点G 与C 重合，使得FG ⊥BD ，故C 正确；DB →=（2，2，0），DC 1→=（0，2，2），EF →=（1，0，﹣1）， 设G （m ，2，m ），（0≤m ≤2），则FG →=（m ﹣2，2，m ﹣1）， 设平面BDC 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=2x +2y =0n →⋅DC 1→=2y +2z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，1）， 设平面EFG 的法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅EF →=a −c =0m →⋅FG →=(m −2)a +2b +(m −1)c =0，取a ＝1，得m →=（1，3−2m 2，1），设n →=km →，即（1，﹣1，1）＝k （1，3−2m 2，1），解得k ＝1，m =52，∵0≤m ≤2，∴不合题意，故线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）A ．若点P 为椭圆上一点，则|PF 2|﹣|PF 1|的最大值是2cB ．若点T 的坐标为(12a ，0)，P 是椭圆上一动点，则线段PT 长度的最小值为12aC ．过F 2作垂直于x 轴的直线，交椭圆于A ，B 两点，则AF 2=a −c 2aD．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是(13，1 2)∪(12，1)解：对于选项A：易知|PF2|﹣|PF1|≤|F1F2|，P在左顶点时，等号成立，所以|PF2|﹣|PF1|的最大值为2c，故选项A正确；对于选项B：不妨设P（m，n），m∈[﹣a，a]，因为点P在椭圆上，所以m2a2+n2b2=1，|PT|2=(m−12a)2+n2＝m2﹣am+14a2+b2−b2m2a2=c2a2(m−a32c2)2+14a2+b2−a44c2，若b＜c，可得a2＜2c2，0＜a32c2＜a，所以当m=a32c2时，|PT|2取得最小值，最小值为14a2+b2−a44c2，可得线段PT长度的最小值为√14a2+b2−a44c2；若b≥c，可得a2≥2c2，a32c2≥a，所以当m＝a时，|PT|2取得最小值，最小值为14a2，可得线段PT长度的最小值为12a，故选项B错误；对于选项C：当x＝c时，解得y=±b2a，此时|AF2|=b2a=a2−c2a=a−c2a，故选项C正确；对于选项D：不妨设椭圆左右顶点为A，B，上下顶点为C，D，易知上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，要让椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，此时以F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的P1，P2两点，需满足|F1A|＜|F1Q|，且|F1C|≠|F1P1|，即a﹣c＜2c且a≠2c，解得c a＞13且c a≠12，综上，椭圆E 的离心率的取值范围为(13，12)∪(12，1)，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有 4 条． 解：根据题意，圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2的圆心为（3，4），半径r =√2， 由题意可知切线的斜率存在，当截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，即kx ﹣y ＝0， 所以√k 2+1=√2，化简得7k 2﹣24k +14＝0，因为Δ＝（﹣24）2﹣4×7×14＝184＞0，所以方程有两个不相等的根，所以过原点的切线有两条， 当截距不为零时，设切线方程为x +y ﹣a ＝0， 所以√2=√2，解得a ＝5或a ＝9，所以不过原点的切线为x +y ﹣5＝0或x +y ﹣9＝0，有2条，综上，在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有4条． 故答案为：4．14．已知矩形ABCD ，AB =1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若|BD|=√2，则二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为13．解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，由等面积法知，12AB ⋅BC =12AC ⋅BE =12AC ⋅DF ，所以BE =DF =√32，则AE =CF =12，所以EF ＝1， 因为BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，所以BE →⋅EF →=0，EF →⋅FD →=0，由二面角的概念知，二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角即为EB →，FD →所成角， 因为BD →=BE →+EF →+FD →，所以BD →2=(BE →+EF →+FD →)2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →⋅EF →+2EF →⋅FD →+2BE →⋅FD →=34+1+34+2BE →⋅FD →=2， 所以BE →⋅FD →=−14，即EB →⋅FD →=14，则cos ＜EB →，FD →＞=EB →⋅FD →|EB →||FD →|=14√32×√32=13，所以二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为13．故答案为：13．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，椭圆上的点M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别在第一、二象限内，若△OAN 与△OBM 的面积相等，且x M 2+x N 2=4b 2，则C 的离心率为√32． 解：由△OAN 与△OBM 的面积相等可得：12a •y N =12b •x M ， ∴x M 2a 2=y N 2b 2，又x M 2+x N 2=4b 2，∴4b 2−x N 2a 2=y N 2b 2，∴4b 2a 2=x N 2a 2+y N 2b 2=1，∴b 2a 2=14，∴a 2＝4b 2＝4（a 2﹣c 2），∴e =ca =√32． 故答案为：√32． 16．某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为l ：y ＝kx +b ，C ：x 2+y 2＝r 2，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得k ，b ，r ∈{1，2，3，4}，并且他填写的结果为直线与圆相交．若数组（k ，b ，r ）的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为 78．解：易知数组（k ，b ，r ）有43＝64种结果，若要直线与圆相交，需圆心C （0，0）到直线l 的距离d =b√k +1r ⇒b2r2＜k 2+1，显然b ≤r 时，b 2r+2≤1＜k 2+1恒成立，若b ＞r ，①当b ＝2，r ＝1，此时k ＝1不符题意；②当b ＝3，r ＝1，此时k ＝1，2不符题意，当b ＝3，r ＝2，此时k ＝1不符题意； ③当b ＝4，r ＝1，此时k ＝1，2，3不符题意，当b ＝4，r ＝2，此时k ＝1不符题意， 当b ＝4，r ＝3，k 取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为P =1−864=78． 故答案为：78．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是空间中的三个单位向量，且a →⊥b →，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=60°．若OM →=2a →+b →−c →，OA →=a →+b →+c →，OB →=a →+2b →+c →． （Ⅰ）求|MB →|；（Ⅱ）求MB →和OA →夹角的余弦值．解：（Ⅰ）因为MB →=OB →−OM →=a →+2b →+c →−(2a →+b →−c →)=−a →+b →+2c →， 所以|MB →|=√(−a →+b →+2c →)2=√a →2+b →2+4c →2−2a →⋅b →−4a →⋅c →+4b →⋅c →=√1+1+4−4×1×1×12+4×1×1×12=√6；（Ⅱ）因为|OA →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2a →⋅c →+2b →⋅c →=√1+1+1+2×1×1×12+2×1×1×12=√5，MB →⋅OA →=(−a →+2b →+c →)⋅(a →+b →+c →)=−a →2+2b →2+c →2+a →⋅b →+3b →⋅c →=−1+2+1+12+3×12=4， 所以cos ＜MB →，OA →＞=MB →⋅OA→|MB →|×|OA →|=4√6×√5=2√3015．18．（12分）为调查高一、高二学生心理健康情况，某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人、40人参加心理健康测试（满分10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩x i （i ＝1，2，3，⋯，60）的平均分x =8，方差s x 2=2，高二学生成绩y i （i ＝1，2，…，40）的统计表如表：（Ⅰ）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差s y 2； （Ⅱ）估计该学校高一、高二全体学生的平均分z 和方差s z 2．解：（Ⅰ）y =140×(4×1+5×2+6×9+7×15+8×10+9×3)=7， s y 2=140×[（4﹣7）2+2×（5﹣7）2+9×（6﹣7）2+15×（7﹣7）2+10×（8﹣7）2+3×（9﹣7）2]＝1.2； （Ⅱ）z =1100×(60×8+40×7)=7.6，s z 2=1100×[60×2+40×1.2+60×4060+40×(8−7)2]＝1.92．19．（12分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号； ②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．解：（Ⅰ）重复发信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： （1，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）， ∵信号的传输相互独立，∴“至少收到两次1”的概率为P =23×23×23+23×13×23+23×23×13+13×23×23=2027． （Ⅱ）事件A 与事件B 不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没改到正确信号的概率为：P =13×13×12=118， ∴至少收到一个正确信号的概率为P （A ）＝1−118=1718； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能为：（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性， P （B ）=13×13×12+13×13×12+13×23×12+23×13×12=13，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：（0，0，0），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性，P（AB）=13×13×12+13×23×12+23×13×12=518，∵P（A）P（B）≠P（AB），∴事件A与事件B不互相独立．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0．（Ⅰ）求过点（7，5）且与圆C相切的直线方程；（Ⅱ）求经过直线x+y﹣7＝0与圆C的交点，且面积最小的圆的方程．解：（Ⅰ）由圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0，得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，所以圆心为（2，3），半径为5，当过点（7，5）的直线斜率不存在时，直线方程为x＝7，与圆C相切，符合题意，当过点（7，5）的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣7）+5，即kx﹣y﹣7k+5＝0，根据题意可得√k2=5，即√k2=5，化简整理得20k＝﹣21，解得k=−2120，所以直线方程为21x+20y﹣247＝0，综上所述：切线方程为x＝7或21x+20y﹣247＝0；（Ⅱ）设过经过直线x+y﹣7＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0的交点的圆的方程为：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12+k（x+y﹣7）＝0，即x2+y2+（k﹣4）x+（k﹣6）y﹣12﹣7k＝0，即（x+12k﹣2）2+（y+12k﹣3）2＝（12k﹣2）2+（12k﹣3）2+12+7k=12k2+2k+25，半径r2=12k2+2k+25=12（k+2）2+23，则当k＝﹣2时，半径r2最小为23，此时圆面积最小，此时圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝23．21．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=√5，B1C1=2BC=2√2，AA1=2√6，点A在平面A1B1C1上的射影在∠B1A1C1的平分线上．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）若A到平面A1B1C1的距离为4，求直线AC与平面AA1B1B所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：设点A 在平面A 1B 1C 1上的射影为O ，则点O 在∠B 1A 1C 1的平分线A 1D 上， 所以AO ⊥平面A 1B 1C 1，因为B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AO ⊥B 1C 1， 因为AB ＝AC ，△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以A 1B 1＝A 1C 1，所以A 1D ⊥B 1C 1， 又因为AO ∩A 1D ＝O ，AO ⊂平面AA 1O ，A 1O ⊂平面AA 1O ，所以B 1C 1⊥平面AA 1O ，又因为AA 1⊂平面AA 1O ，所以AA 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）解：以O 为原点，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为A 到平面A 1B 1C 1的距离为4，所以A （0，0，4），A 1O =√AA 12−AO 2=√(2√6)2−42=2√2，所以A 1（0，﹣2√2，0），因为B 1C 1＝2BC ＝2√2，所以A 1B 1＝A 1C 1＝2AB ＝2√5，所以A 1D =√(2√5)2−(√2)2=3√2，所以OD =√2，所以B 1（√2，√2，0），C 1（−√2，√2，0），所以AC →=12A 1C 1→=（−√22，3√22，0），A 1A →=（0，2√2，4），A 1B 1→=（√2，3√2，0），设平面AA 1B 1B 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅A 1A →=0n →⋅A 1B 1→=0，即{2√2y +4z =0√2x +3√2y =0，令y ＝﹣1，得x ＝3，z =√22，所以n →=（3，﹣1，√22），设直线AC 与平面AA 1B 1B 所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AC →＞|=|n →⋅AC →||n →||AC →|=|−3√22−3√22+0|√9+1+12×√12+92+0=2√10535．22．（12分）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E ． （Ⅰ）写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，过A 且与l 平行的直线与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|AD →⋅PQ →|的取值范围．解：（Ⅰ）已知圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，所以圆A 的标准方程为（x +1）2+y 2＝16，圆心A （﹣1，0），半径r ＝4， 易知|AD |＝|AC |＝r ＝4，EB ∥AC ， 可得∠EBC ＝∠ADC ＝∠ACD ， 所以|EB |＝|ED |，此时|EA |+|EB |＝|EA |+|ED |＝|AD |， 则|EA |+|EB |＝4，不妨设A （﹣1，0），B （1，0）， 因为|AB |＝2＜|EA |+|EB |，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；（Ⅱ）不妨设直线CD 的方程为x ＝ty +1， 可得直线PQ 的方程为x ＝ty ﹣1，联立{x =ty +1x 2+y 2+2x −15=0消去x 并整理得（t 2+1）y 2+4ty ﹣12＝0， 此时Δ＝16t 2+48（t 2+1）＝64t 2+48＞0， 解得x =−4t±√64t 2+482(t 2+1)=−2t±2√4t 2+3t 2+1，联立{x =ty −1x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3t 2+4）y 2﹣6ty ﹣9＝0，因为点A 在椭圆内，所以该方程一定有两个不相等的实数根， 不妨设P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），第21页（共21页） 由韦达定理得y 3+y 4=6t 3t 2+4，y 3y 4=−93t 2+4， 则(y 3−y 4)2=(y 3+y 4)2−4y 3y 4=(6t 3t 2+4)2−4×(−93t 2+4)=144(t 2+1)(3t 2+4)2，x 4﹣x 3＝ty 4﹣1﹣（ty 3﹣1）＝t （y 4﹣y 3），此时PQ →=(x 4−x 3，y 4−y 3)=（ty 4﹣ty 3，y 4﹣y 3），AD →=(x D +1，y D )， 可得AD →⋅PQ →=(x D +1)(ty 4−ty 3)+y D （y 4﹣y 3）＝（t 2y D +y D +2t ）（y 4﹣y 3）， 因为t 2y D +y D +2t =(t 2+1)⋅−2t±2√4t 2+3t 2+1+2t =±2√4t 2+3，所以|AD →⋅PQ →|=|t 2y D +y D +2t |•|y 4﹣y 3|＝24√(t 2+1)(4t 2+3)(3t 2+4)2，不妨令m ＝3t 2+4，m ≥4，此时|AD →⋅PQ →|=8√m 2−11m+7m 2=8√7m 2−11m +4，不妨令n =1m ，0＜n ≤14，此时|AD →⋅PQ →|=8√7n 2−11n +4，易知函数y ＝7n 2﹣11n +4是开口向上的二次函数，对称轴x =1114，所以函数y ＝7n 2﹣11n +4在（0，14]上单调递减，则当x =14时，函数y ＝7n 2﹣11n +4取得最小值，最小值为2716， 所以y ＝7n 2﹣11n +4∈[2716，4），则8√7n 2−11n +4∈[6√3，16），故|AD →⋅PQ →|的取值范围为[6√3，16）．。