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2012 至 2013 学年第二学期 试题答案及评分标准课程名称： 线性代数 （B ）卷 考试形式：（ 闭 卷 ）年级： 2011 专业： ； 层次：（本）一. 选择题(每题4分,共20分)1.(A);2. (D) ;3.（B ）；4.（A ）5. （A ）二. 填空题(每题4分,共20分)1.1≠x 且2≠y ；2. 3；3. 0； (4) 12-； (5)14k k =-=或。
三、综合题1．解：11213141112131411234143111321432-+++=-+-=-M M M M A A A A ………………(2分)1234066501020666--………………………………………………………………(6分)6656651021026666001--=--= ……………………………………(8分)2.解 由2AB =A +B ，得()2-=A E B A …………………………（2分）101211010012-=-=-≠ A E 2∴-A E 可逆()12-=-B A E A ………………………（5分）()1013012110110012014⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭ A E A 213210*********1001223r r r r ⎛⎫- ⎪---- ⎪+ ⎪-⎝⎭100522010*********--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭即 522432223--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B …………………………（10分）3.解：1121112112101423110464a a b b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A …………………………（2分） 1121014202220a a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪++⎝⎭…………………………（4分） 由于()2R =A ，所以1,2a b =-=-。
…………………………（6分）4.解 1231110(,,,)1113111λλλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭αααβ r 1110300(3)(1)(3)λλλλλλλλλ+⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭………………………（.6分） （1）当0λ≠且3λ≠-时，()123123,,(,,,)3R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一； …………………………….（8分）（2）当3λ=-时，()123123,,(,,,)2R R ==ααααααβ，β可由123,,ααα线性表示且表达式不唯一； …………………………….（10分）（3）当0λ=时，()123,,1R =ααα，123(,,,)2R =αααβ，β不能由123,,ααα线性表示且表达式不唯一 …………………………….. （12分）5.解: 记()12345,,,,=αααααA ，对矩阵A 施行初等行变换12102032210003100000r --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ， ………………………………（4分） （1）()R A 3= ……………………（6分）（2）A 的列向量组的最大无关组含3个向量，124,,ααα就是A 的列向量组的一个最大线性无关组。
线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。
<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。
<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。
则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。
<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。
< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。
( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。
< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。
2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。
线性代数B 期末试题解答一、判断题(正确填√，错误填×。
每小题2分，共10分)1．A 是n 阶方阵，且｜A ｜≠0，则n 元方程组AX ＝b 有唯一解。
（√ ） 2．A ，B 是同阶相似方阵，则A 与B 有相同的特征值。
（√ ）3．如果X 1 与X 2 皆是AX =b 的解，则X 1 ＋X 2 也是AX =b 的解。
( × ) 4．若A 为n 阶方阵，其秩r < n ,那么A 任意r 个行向量线性无关。
( × ) 5．从A 中划去一行得到矩阵B ，则A 的秩≥B 的秩。
（√ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 是n 阶矩阵，其伴随矩阵为A ＊，E 为单位矩阵。
则A A *为 ( A ) （A ）|A |E (B) E (C) A * (D) 不能乘2．设A 、B 、C 同为n 阶方阵，且满足ABC ＝E ，则必有（ C ）。
（A ）ACB =E （B ）CBA =E （C ）BCA = E （D ）BAC =E 3．设A 为n 阶方阵，且｜A ｜＝5，则｜（3A －1）T ｜＝（ C ）(A)n53 (B) n 35 (C)3n ·51(D) 3·5n4．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r <n ，则方程组（ C ）。
（A ）其基础解系可由r 个解组成；（B ）有r 个解向量线性无关； （C ）有n –r 个解向量线性无关；（D ）无解。
5．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，是A 与对角阵相似的（ B ） （A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要 （C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要三、填空题（每小题5分，共25分）1．g fkj ep h s b c d a 0000＝(ab-cd)(pg-ef)。
2．A 为3阶矩阵，且满足=A 6,则1-A =__1/6__，*3A =33·62=972 。
线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。
答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(2, 1, 0)，则α·β等于：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 设A为n阶方阵，且A^2=I，则A的行列式|A|等于：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关？A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B为2阶方阵，且B^2=0，则称矩阵B为______。
答案：幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B为______。
答案：可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2)，β=(3, 4)，则向量α和β的夹角的余弦值为______。
答案：3/54. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征值为1, 2, 3，则矩阵A的迹为______。
答案：6三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。
答案：矩阵A的转置矩阵记为A^T，其元素满足A^T_{ij}=A_{ji}，即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时，方程组的解，通常表示为零向量。
3. 说明矩阵的相似对角化的条件。
答案：矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵A的阶数。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为：\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。
线代A期末考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由α1，α2，α3构成的矩阵的行列式不等于0B. 由α1，α2，α3构成的矩阵的行列式等于0C. 由α1，α2，α3构成的矩阵的秩为3D. 由α1，α2，α3构成的矩阵的秩小于3答案：C2. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. |A|≠0B. |A|=0C. A的秩等于A的阶数D. A的秩小于A的阶数答案：C3. 矩阵A和B等价的充分必要条件是（）。
A. A和B的秩相等B. A和B的行列式相等C. A和B的迹相等D. A和B的转置矩阵相等答案：A4. 向量组α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是（）。
A. 由α1，α2，α3构成的矩阵的行列式不等于0B. 由α1，α2，α3构成的矩阵的行列式等于0C. 由α1，α2，α3构成的矩阵的秩小于3D. 由α1，α2，α3构成的矩阵的秩等于3答案：C5. 设A为n阶方阵，若A的行列式|A|=0，则（）。
A. A可逆B. A不可逆C. A的秩小于nD. A的秩等于n答案：B6. 设A为n阶方阵，若A的行列式|A|≠0，则（）。
A. A可逆B. A不可逆C. A的秩小于nD. A的秩等于n答案：A7. 设A为n阶方阵，若A的秩r(A)=n，则（）。
A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式|A|=0D. A的行列式|A|≠0答案：D8. 设A为n阶方阵，若A的秩r(A)<n，则（）。
A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式|A|=0D. A的行列式|A|≠0答案：C9. 设A为n阶方阵，若A的行列式|A|≠0，则A的秩（）。
A. r(A)<nB. r(A)=nC. r(A)>nD. r(A)=0答案：B10. 设A为n阶方阵，若A的行列式|A|=0，则A的秩（）。
A. r(A)<nB. r(A)=nC. r(A)>nD. r(A)=0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 若矩阵A的秩为2，则A的行列式|A|=______。
线性代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量组的线性相关性是指（）。
A. 至少有一个向量可以由其他向量线性表示B. 所有向量都为零向量C. 所有向量线性无关D. 向量组中存在非零向量答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 行向量线性无关D. 行向量线性相关答案：B3. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）。
A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的秩小于未知数的个数C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 系数矩阵的秩大于未知数的个数答案：B4. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为零矩阵，则（）。
A. A和B中至少有一个是零矩阵B. A和B都是零矩阵C. A和B的行列式都为0D. A和B的行列式乘积为0答案：A5. 向量组的秩是指（）。
A. 向量组中线性无关向量的最大个数B. 向量组中向量的最大个数C. 向量组中向量的最小个数D. 向量组中向量的平均个数答案：A6. 矩阵A的转置矩阵记作（）。
A. A'B. A^TC. A^HD. A^答案：B7. 矩阵A的特征值是指（）。
A. 矩阵A的对角线元素B. 矩阵A的非零特征向量C. 满足|A-λI|=0的λ值D. 矩阵A的行列式答案：C8. 矩阵A和矩阵B相似的充分必要条件是（）。
A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. A和B的特征值相同D. A和B的迹相等答案：C9. 矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A'B. A^TC. A^-1D. A^H答案：C10. 向量组的正交性是指（）。
A. 向量组中任意两个向量的数量积为0B. 向量组中任意两个向量的长度相等C. 向量组中任意两个向量的长度之和为1D. 向量组中任意两个向量的长度之积为1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A的______。
答案：行向量或列向量线性无关的最大个数12. 矩阵A的迹是指矩阵A的______。
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。
