下载文档原格式
级数holder不等式
Holder不等式是一种用于证明数学中的不等式的重要工具。
它用于描述两个函数之间的积分或求和的关系。
Holder不等式的一般形式如下：
对于非负实数集合上的两个函数f(x)和g(x)，以及正实数p和q，满足1/p + 1/q = 1，则有：
∫f(x)g(x) dx ≤ ( ∫f(x)^p dx )^(1/p) * ( ∫g(x)^q dx )^(1/q)
或者对于离散情况：
∑f(x)g(x) ≤ ( ∑f(x)^p )^(1/p) * ( ∑g(x)^q )^(1/q)
其中积分范围可以是实数轴上的整个区间或者离散场景中的所有元素。
Holder不等式是在L^p空间和L^q空间中的幂函数范数之间建立了联系。
当p=q=2时，Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
Holder不等式的应用非常广泛，特别是在概率论、实变函数论、凸函数理论以及一些优化问题中都有重要的应用。
（1） 设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立()0tr AB >。
证明 因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵T 使得，A TT '=，1()AB T T BT T -'=，显然T BT '是n 阶正定矩阵，它的特征值全为正的，由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是1()(())()tr AB tr T T BT T tr T BT -''==。
（2） 设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立()0tr AB ≥。
证明 对任意0ε>，有,I A I B εε++为n 阶正定矩阵，(()())0tr I A I B εε++>令0ε+→，由连续性,可知, ()0tr AB ≥。
定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。
证明 证法一 对区间],[b a 的任意分割∆：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 任取 ],[1i i i x x -∈ξ，，n i ,,2,1 =，记1--=∆i i i x x x ，i ni x ∆=∆≤≤1max )(λ；由于成立 |)()(|1i i i ni x g f ∆∑=ξξ 21212121)|)(|()|)(|(i i ni i ini x g x f ∆∆≤∑∑==ξξ，在上式中，令0)(→∆λ取极限，则得到212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤ ；证法二 考虑二次函数dx x g x f ba2)]()([)(λλϕ+=⎰0)()()(2)(222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f dx x f bab ab aλλ，),(+∞-∞∈∀λ；如果0)(2>⎰dx x gba，在上式中取dxx g dxx g x f b aba⎰⎰-=)()()(2λ，得到0))()(()(1)(222≥-⎰⎰⎰dx x g x f dxx g dx x f bababa，从而dx x g dx x f dx x g x f bab ab a)()())()((222⎰⎰⎰≤，于是成立212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤；如果0)(2=⎰dx x g ba，则对),(+∞-∞∈∀λ，成立0)()(2)(2≥+⎰⎰dx x g x f dx x f babaλ ，必有0)()(=⎰dx x g x f b a，此时自然成立，212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤。
基本不等式的历史背景及几何意义作者：***
来源：《新高考·高一数学》2017年第05期
1.赵爽的“弦图”
我们先来看一张图片，2002年第24届国际数学家大会在我国召开，图1是大会会标，是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.
公元3世纪，中国数学家赵爽“负薪余日，聊观《周髀》”，他在给
“以图考之，倍弦实，满外大方，而多黄实.黄实之多，即勾股差实.以差实减之，开其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”
用数学符号语言表达，即：若直角三角形两直角边为为a，b，a≥0，b≥0，则
（a+b）2=4ab+（b-a）2，（a+b）2=2c2-（b-a）2=2（a2+b2）-（b-a）2，
因此，可得不等式4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）.
2.歐几里得的矩形之变
古希腊数学家似乎并没有对各类中项的大小进行比较，但他们已经研究过部分中项的几何作图法以及它们之间的数量关系，欧几里得在《几何原本>卷六命题13中给出了两条已知线段之间的几何中项的作图法.如图3，以AB为直径作半圆ADB，则CD即为AC和CB之间的几何中项.
3.芝诺多鲁斯的等周问题
在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯（Zenodorus，约公元前2世纪）.他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题.在书中，他给出了许多命题，其中一个是：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大.”
这些历史材料，再现了基本不等式的“源头”，通过挖掘数学历史文化背景，揭示了基本不等式的几何意义，值得我们细细品味.。
格朗沃尔不等式在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。
格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。
积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。
格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。
比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。
格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。
格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。
格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明[1]。
而积分形式则是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1943年证明[2]。
微分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a < b。
又设β和u为定义在I上的实数值的连续函数。
假设u是一个在I的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：那么对于所有的，函数u都小于等于以下微分方程的解：注意：不等式对函数β和u的符号没有任何要求。
证明如果设是以下微分方程其中v(a) = 1 的解，那么对所有的t都有v(t) > 0，因此根据复合函数求导法则中的除法定则：对所有的t > a成立，因此于是格朗沃尔不等式得证。
积分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a < b。
又设α、β和u为定义在I上的实数值的函数。
假设β和u是连续的，则有：(a) 如果β是非负函数并且u满足如下的积分不等式：，那么。
(b) 如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么注意：不等式的成立条件里并没有限制α和u的符号；相比于微分形式，积分形式中对函数u的可微性没有做要求；证明(a) 定义则运用复合函数求导法则中的乘法法则、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：，由于注意到括号中的部分小于α，可以得到相应的不等式，并进行积分。
Gronwall 不等式及其应用1. 引言众所周知, Gronwall 不等式在分析的许多领域,例如常微分方程及积分方程,都有着重要的应用.本文将一维空间(即实数范围内)的Gronwall 不等式推广到无穷维的有序Banach 空间中去,然后给出它在常微分方程中的若干重要的应用.其中的一些定理是新给出的或对某些教科书中的定理给出新的证明. 2. 一个抽象的Gronwall 不等式设P 为Banach 空间E 中的一个锥，即P 是E 中的一个非空凸闭集，并满足： (i) P x P x ∈⇒≥∈∀λλ0 , (ii) θ=⇒∈-∈x P x P x ,给定E 中的一个锥P 后,则可在E 中的元素间引入半序:P x y E y x y x ∈-⇔∈≤),( ,则E 按上述定义的半序""≤成为一个有序的Banach 空间。
又若存在常数0>N ,使当y x ≤≤θ时,恒有y N x ≤,则称锥P 是正规的,而这里的正数N 称为正规常数, θ为E 中的零元素，有了上述概念之后,我们就可以将实数空间中的Gronwall 不等式推广到无穷维有序的Banach 空间上.定理2.1 设P 是实Banach 空间E 中的正规锥, N 为正规常数, E 按上述定义的半序""≤成为有序的Banach 空间.设 ),],,([)(E b a C t x ∈)],,([)(1R b a C t L ∈,(这里及以后假定n R 为n 维实的欧几里得空间),E Z ∈满足: (1.1) ,)()()( b t a ds s x s L Z t x ta ≤≤+≤≤⎰θ则 {}(1.2) , )(ex p )( b t a ds s L N Z N t x ta≤≤≤⎰当θ=Z 时，即由 [](1.3) , ,)()()( b a t ds s x s L t x ta ∈∀≤≤⎰θ可得[]b a t t x , ,)(∈∀≡θ证明 首先设θ≠Z ，则由锥P 正规及（1.1）得4)(1. )()()()()( b t a ds s x s L N Z N dss x s L Z N t x tata ≤≤⋅+≤+≤⎰⎰(i)证法1令⎰⋅+=tads s x s L N Z N t )()()(ϕ 则)(t ϕ在],[b a 上可导，且0)(>t ϕ,],[ )()( )()()(b a t t t L N t x t L N t ∈∀⋅≤⋅='ϕϕ[]b a t t L N t t , )()()(∈∀≤'ϕϕ 对上式从a 到],[b a t ∈积分得 )()()(ln⎰≤t a ds t L N a t ϕϕ ],[ })(exp{ })(exp{)()( b a t ds s L N Z N ds s L N a t tata∈∀⋅=≤⎰⎰ϕϕ],[ })(ex p{)()( b a t ds s L N Z N t t x ta∈∀≤≤⎰ϕ当θ=Z 时，由（1.3）得 ⎰⋅≤tads s x s L N t x )()()(所以0>∀ε有 ],[ )()()( b a t ds s x s L N t x ta∈∀⋅+≤⎰ε从而 ],[ })(ex p{)( b a t ds s L N t x ta∈∀⋅≤⎰ε而 +∞<<⎰ })(ex p{0 tads s L Nε为任意小正数，故只能],[ ,0)(b a t t x ∈∀≡ 即],[ ,)(b a t t x ∈∀≡θ 证法2令 ⎰⋅=ta ds s x s L t )()()(ϕ 所以0)(=∴a ϕ且有Zt L N t t L N t t t L N Z t L N ds s x s L N Z N s L t x s L t ta ⋅≤-'⇒+⋅=⋅+≤⋅='⎰)()()()( )()()( ))()(()( )()()( ϕϕϕϕ{}{}⎰⎰-⋅⋅≤-⋅-'tatads s l N Z t L N ds s l N t t L N t )(ex p )()(ex p )]()()([ϕϕ{}{}⎰⎰-⋅⋅≤'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-t a t a ds s L N Z t L N ds s L N t )(ex p )()(ex p )(ϕ此不等式两边同时从a 到t 积分, 得到{}{}{}τϕϕτd ds s L N s L Z N dss L N a ds s L N t taaaata⎰⎰⎰⎰-≤--- )(exp )()(exp )()(exp )({}{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡---≤-⎰⎰1)(exp )1()(exp )( tatads s L N N Z N ds s L N t ϕ{}{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡---≤-⎰⎰1)(exp )(exp )( tat a ds s L N Z ds s L N t ϕ{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤⎰tads s L N Z t )(exp 1)(ϕ 得到{}bt a ds s L N Z N ds s L N Z N Z N t x tat a ≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+≤⎰⎰ , )(exp )(exp 1)( (ii) 当θ=Z 时,由上式得 ],[ , 0)(b a t t x ∈∀≡ 即 ],[ , )(b a t t x ∈∀≡θ在定理1.1中取n R E =,则(){}n i x x x x x P i Tn ..., ,2 ,1 ,0 ..., , , ,321=≥=为n R 中的正规锥(正规常数为1), n R 由P 导出的半序成为有序的Banach 空间,其中n R 的范数由下列之一给出()n Tn R x x x x x ∈=∀ ..., , , ,321∑==ni ixx 12 ∑==ni i x x 1i ni x x ≤≤=1max则由定理1.1可得推论2.1 设()...... ,2 ,1 ],,[)(),(1=∈i R b a C t L t x i 满足:存在常数) ..., ,3 ,2 ,1(n i c i =使得...... ,3 ,2 ,1 ],[ )()()(0 =∈∀+≤≤⎰i b a t ds s x s L c t x tai i i则{}...... ,3 ,2 ,1 ],[ )(ex p)( =∈∀≤⎰i b a t ds s L C t x t a其中[]()n Tn Tn R c c c C t x t x t x t x ∈== , , , ,)( , ),( ),()(2121 ,它们的范数为n R 中的范数。
高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。
它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。
2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。
霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。
霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。
3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。
4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。
当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。
5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。
根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。
holder不等式取等条件
holder不等式（又称霍尔德不等式）是一种数学不等式，其中左右两边的表达式的平方和小于等于两边的乘积，即：
(a^p + b^p)^(1/p) ≤a + b
其中，a、b 是实数，p 是大于 1 的常数。
holder不等式取等条件是指使得holder 不等式成立的条件。
通常来说，holder 不等式取等条件是a=b 或p=1。
当a=b 时，holder 不等式左右两边的表达式都是相等的，因此不等式成立。
当p=1 时，holder 不等式的左边表达式就是绝对值的形式，而右边表达式也是绝对值的形式，因此不等式成立。
holder不等式在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在描述偏微分方程的解的性质时，holder不等式可以帮助证明解的连续性。
格朗沃尔不等式在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。
格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。
积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。
格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。
比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。
格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。
格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。
格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明[1]。
而积分形式则是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1943年证明[2]。
微分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或[a, b] 或[a, b)，其中a < b。
又设β和u为定义在I上的实数值的连续函数。
假设u 是一个在I的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：那么对于所有的，函数u都小于等于以下微分方程的解：注意：不等式对函数β和u的符号没有任何要求。
证明如果设是以下微分方程其中v(a) = 1 的解，那么对所有的t都有v(t) > 0，因此根据复合函数求导法则中的除法定则：对所有的t > a成立，因此于是格朗沃尔不等式得证。
积分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或[a, b] 或[a, b)，其中a < b。
又设α、β和u为定义在I上的实数值的函数。
假设β和u是连续的，则有：∙(a) 如果β是非负函数并且u满足如下的积分不等式：，那么(b) 如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么注意：∙不等式的成立条件里并没有限制α和u的符号；∙相比于微分形式，积分形式中对函数u的可微性没有做要求；证明(a) 定义则运用复合函数求导法则中的乘法法则、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：由于注意到括号中的部分小于α，可以得到相应的不等式，并进行积分。
gronwall 不等式的三种证明及其应用
一、证明：
1、反证法：假设存在$t_0$使得$u(t_0) > \varphi(t_0)$，则有
$$u(t) \geq u(t_0) > \varphi(t_0) \geq \varphi(t)$$
反之，则有$u(t) \leq \varphi(t)$，从而得证。
2、数学归纳法：设$u(t_0) \leq \varphi(t_0)$，则有
$$u(t_0+h) \leq u(t_0) + \lambda h \leq \varphi(t_0) + \lambda h \leq \varphi(t_0+h)$$ 令$h \rightarrow 0$，则有$u(t) \leq \varphi(t)$，从而得证。
3、函数分析法：假设$u(t)$和$\varphi(t)$都是连续函数，则有
$$\frac{d}{dt}(u(t)-\varphi(t))=u'(t)-\varphi'(t) \leq \lambda (u(t)-\varphi(t))$$
从而有$u(t) \leq \varphi(t)$，从而得证。
二、应用：
1、可以用来证明解的存在性和唯一性；
2、可以用来证明一些积分不等式；
3、可以用来证明一些微分不等式；
4、可以用来证明一些动力系统的稳定性；
5、可以用来证明一些最优化问题的最优性；
6、可以用来证明一些经济学模型的稳定性。
Hölder不等式的几种不同形式及其证明和应用Several Hölder inequalities and their proofs and applications专业:数学与应用数学**:*******:***湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳摘要在初步掌握了Hölder不等式的基础上，我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好Hölder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础.关键词: Hölder不等式; Young 不等式;Hölder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用AbstractAfter mastering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the Hölder inequality and its applications.Keywords:Hölder i nequality; Young inequality; several Hölder inequalities; the method of proof; extension and application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1预备知识 (1)2 Hölder不等式的几种不同形式及其证法 (5)2.1 Hölder不等式的离散形式及其证法 (5)2.2 Hölder不等式的积分形式及其证法 (7)2.3 Hölder不等式的概率形式及其证法 (9)3 Hölder不等式的推广及应用 (10)3.1 Hölder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103.2 Hölder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 参考文献 (14)0 引言Hölder 不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥 了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中Hölder 不等式的证明出现较晚, 限制了它的早期传播和使用.于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder 不等式的几种不同形式的证明; 其次, Hölder 不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的Hölder 不等式及积分形式的Hölder 不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了Hölder 不等式的概率形式的证明.Hölder 不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础.总之, 著名的Hölder 不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Hölder 不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对Hölder 不等式的应用.1 预备知识为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理．1.1（引理1）设12,n a a a ⋅⋅⋅不全相等且121,0,1,2,,n i q q q q i n ++⋅⋅⋅+=>=⋅⋅⋅，则(,)(,),G a q M a q <即12121122.n q q q n n n a a a q a q a a q ⋅⋅⋅<++⋅⋅⋅+1.2(引理2),r s E ξξξ-设为一个正随机变量，r,s 为任意正实数，且E 存在，)().r ss r E E ξξ--≥则有（1.3(引理3)设,0,1,αβαβ>+= 那么对于0x >， 有x x ααβ≤+（1x =时，等号成立）.证明:考察函数()0,f x x x ααβ=--<我们发现(1)10,f αβ=--=又由于 '1()(1).f x x αα-=-当1x >时，'1(1)0,f x x αα--≤（）= 函数()f x 在∞（1，+）上是减函数. 所以，()(1)0,f x f ≤=因此，当1x >时不等式成立. 当01x <≤时，'1()(1)0,f x x αα-=->函数()f x 在（0，1]上是增函数.所以，()(1)0,f x f ≤=因此对一切0,x >不等式0x x ααβ-+≤成立. 由此引理得证.1.4 (引理4)（基础关系式）设,0,A B ≥ 则()[]11,0,1.A B A B ααααα-≤+-∈ (1) 证明：若,A B 中有一个0, 则（1）式显然成立.设A,B 均不为零, 将（1）式两边同时处以B , 得()1.A A B B ααα⎛⎫⎛⎫≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令=.Ax B则上式变为 ()1.x x ααα≤+- （2）所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了. 令()()+-10,01)f x x x x αααα=-><<，(，则()()'111,(0,01).f x x x x αααααα--=-=-><<令()()'111=0f x x x ααααα--=-=-，得1.x =对()'f x 再求导, 得()()''21.f x x ααα-=-以1x =代入()''f x 的表达式中, 得()()()''1=10,01,10.f αααα-<<<∴-<由则1x =是()f x 的极大值点.故()1=0f 是函数在()0,+∞上的最大值.所以，当0x >时()+1(01)x x αααα≤-<<成立, 从而（1）式成立. 证毕.设0,a x b=>由引理4的不等式可以得到,a b a b αβαβ≤+这个不等式对任何,0a b >都成立, 同时这个不等式是引理1的二元形式.1.5 (引理5)（Young 不等式）设,0,,1a b p q ≥> .且111,p q+=则以下不等式成立：p q a b ab p q ≤+， 当且仅当p q a b =等号成立.证法一：当0ab =时, 以上不等式显然成立.当0ab ≠时, 令11=,1,p q αα-=则1111,(1)11p q p p qα==>+=-- 其次, 对于1,(0,01),x x x αααα-≤-><<上式两端同时乘以()0,q q b b > 有.q p q q pa b abp q--≤ 由111p q +=可得 1.q pq qq p p--==所以.p q a b ab p q ≤+ 证毕. 证法二：考察函数().x f x e =显然()f x 是凸函数.因此，1、当0ab ≠时， 11ln ln ln ln ln 11p q p qa b aba b p qab eee e p q+==≤+ 11,p qa b p q =+ 上式不等号是由于凸函数的性质. 2、当 0ab =时，显然有11.p qab a b p q≤+ 由上述1和2, 引理5得证.1.6 (引理6)若()f x 在[],a b 上连续, 将[],a b n 等分 (分点包括两端点)， 有(0,1,,),i b a x a ii n n -=+=⋅⋅⋅ 记等分的每个小区间长度为,b ax n-∆= 而()()+=,i i b a f x f a i f a i x f n -⎛⎫=+∆= ⎪⎝⎭ 则有：()()11111lim lim +.n n b i a n n i i b a f x f a i f x dx n n n b a →∞→∞==⎡-⎤⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑⎰ 证明：由,b a x n -∆=得.b an x-=∆ 又由()f x 在[],a b 上连续，()f x 在[],a b 上存在定积分，而()1ni i f x x =∆∑是()f x 在[],a b 上的“积分和”的一种特殊情况.故有()()1111lim lim ()n n b i i a n n i i x f x f x f x dx n b a b a →∞→∞==∆⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦∑∑⎰.证毕.1.7 (引理7)设E 是R 中给定的可测集, ()f x 是定义在E 上的可测函数.≥p 1, 若()pf x 可积, 称f 是p 幂可积的函数构成一个类， 记成()p E L 或简称为p L , 称为p L 空间，即{}=:pp m EL f fd <∞⎰对于pL 空间的元f , 称{}1pPmpEffd =⎰为f 的范数.2. Hölder 不等式的多种形式及证明方法2.1 Hölder 不等式的离散形式及其证明离散形式：设,0(1,2,),,1k k a b k n p q >=⋅⋅⋅≥以及111,p q+= 则 11111nnnpqp q k kk k k k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 等号成立当且仅当k a 与k b 成比例. 证法一 ：1111111111npqp q kkn k kkn n p q k n n p q p q k k k k k k k k a ba b a b a b ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=≤ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11111111111pq pq n n n k k kk n n n np q p q k k k k k k k k k k k a b a b p q p q a b a b =======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑ 111.p q=+=（应用引理5）因此11111nnnpqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立.当且仅当11=pqk k nnp q kkk k a b ab==∑∑时等号成立.证法二：在引理4中, 取1=,,p k A A pα= 则式子变为11.p qk k k k A B A B p q≤+ 将上式两边对k 求和, 便得11111,nnn p qk kkk k k k A B A B p q ===≤+∑∑∑ 令 1111,k k k k n n pqp q k k k k a b A B a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑代入上式, 即有111111111pn n n n p q p q k k k k k k k k k n p p k k a a b a b p a =====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑11111111.qn n n p q p q k k k k k k n q q k k b a b q b ====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 即11111111111.nnnnnpqpqp q p q k k k k k k k k k k k a b a b a b p q =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑ 所以11111.nn npqp q kkk kk k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑证法三：在引理5中我们取1111,,k kn n p q p q k k k k a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(1,2,3,).k n =⋅⋅⋅ 引理5式变为11111p k kk nn n pqp p q k k k k k k a b a p a a b ===≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1.q knq kk b q b =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑将上面两边对k 求和便得 1nk k k a b =≤∑1111111111.nnnnpqpqp q p q k k k k k k k k a b a b p q ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 所以11111.n n npqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2 .2 Hölder 不等式的积分形式及其证明积分形式：设(),()f x g x 在[],a b 上可积, 其中1,1,p q >>且111p q+=, 则有 11()().pqbbbpqaaaf g dx f dx g dx ⋅≤⎰⎰⎰证法一：令11,,()()pqb b pqaaf g m n f dx g dx ==⎰⎰则利用引理5得1111()()pq bbpqpqbb pqaaa af g fgpqf dxg dxf dxg dx ⋅≤+⎰⎰⎰⎰两边关于x 在[],a b 上积分有11111,()()bap qbbpqaafg dxp qf dxg dx ≤+=⎰⎰⎰从而有11()().pqbbbpqaaafg dx f dx g dx ≤⎰⎰⎰得证.证法二:设,f g 为[],a b 上的非负可积函数，则当()0f x ≡或()0g x =时, 上式显然成立.令(0,1,,),i b a x a i a i x i n n-=+=+⋅∆=⋅⋅⋅（）则由Hölder 不等式的离散形式可知11111()()(),=()pq nnnpqi i i i i i i i i i i f g f g f f x g g x ===≤=∑∑∑ ().（1）在（1）两端同时乘以1n, 有 1111111()().pqn n npq i i i i i i i f g f g n n ===≤∑∑∑ （2）（2）式右端11111()()pqnnpqi i i i n f g -==∑∑=111111()()pqnnp q pqiii i nf g ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===∑∑1111.pqpqnni i i i f g nn==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑于是，（2）式就转化为11111.pqpqnnni i i i i i i f g f g n n n ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 而,b ax n-∆=故b a n x -=∆， 将n 代入上式, 得 11111.pqpqnn ni i i i i i i x x x f g f g b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆∆∆≤⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ （3）即11111111pqpqnn n i i i i i i i f g x f x g x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤⋅∆⋅⋅∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑（4） 对（4）式两端取极限，当n x →∞∆→，０时, 并由引理6得1111..pqpqbbb aa a f g dx f dx g dxb ab a ⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 化简上式, 即得11..p qpqbb b aa a f g dx f dx g dx ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰证毕.2.3 Hölder 不等式的概率形式及证明概率形式：设ξ为一个正随机变量, ,r s 为任意正实数且r s E E ξξ-、存在.则有().r ss r E E ξξ--≥（） 证明：令1+(),();r r s s r s r srE a f x a x a x sE ξξ---==+ 则由0a >且()f x 在∞（0，）上有最小值 [()()].s rr ss r s r r sm as r-++=+ 因此有[()()].s rrssrr ss rs r r s a a as rξξ---+++≥+ 取期望得[()()]s r rssrr ss r s r r sa E a E as rξξ---+++≥+， 而()=()()s r r s s r r s s s r r r s s rs ra E a E a a E a E m E E ξξξξξξ------++++=所以()()1s r r s s rs rE E ξξ-++≥ 即 ()().r s s r E E ξξ--≥3 Hölder 不等式的推广及应用3.1 Hölder 不等式的推广 定理 设i p 满足111,ni ip ==∑且0,i p > 则对任何可测函数(),i p i f L E ∈有121212.......nn m np p p Ef f f d f f f ≤⋅⎰证明：当2n =时显然成立.（即Hölder 不等式的积分形式） 假设当n k =时成立, 即 (2)12121kp np p m Ek f f f d f f f ⋅≤⎰（1）这里i p 满足12111...1,0ik p p p p ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭且 下面验证当1+=k n 时结论是否成立. 即验证当121111...1,0i k p p p p ++++=>且时1321121121......+++⋅≤⎰k p k p np p m Ek k f f f f d f f f f 是否成立.令=l 1k p p p 1 (112)1+++，则1111k l p ++=且121111,k p p p l l l=++⋅⋅⋅+由Hölder 不等式得m Ek k d f f f f ⎰+121...1121121...+++⋅⋅⋅⋅≤=⎰k p k lkm k Ek f f f f d f f f f ， （2）由假设得到.})({})({})({ (2)2112121kkp lm Elp lk p lm Elp lp lm Elp lm lEk d f d f d f d f f f ⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kkp lm p Ek p lm p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=．所以lm lEk lkd f f f f f f 12121}...{...⎰=kkp lm p Ek p l m p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kp np p f f f (2)121⋅=代入（2）式即得结论, 命题得证.注：此结论形式上与Hölder 不等式积分形式有细微差别, 但由于1212m m EEf f f dm f f f dm ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⎰⎰恒成立，所以上述命题的结论也可以改成：121212.nm np p p Ef f f dm f f f ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅⎰从定理可以看出, 当2n =时，不等式就是积分形式的Hölder 不等式. 因此，不等式（1）是积分形式的Hölder 不等式的推广.3.2 Hölder 不等式的应用1）卷积形式的Young 不等式：设)1)((),(1∞≤≤∈∈p R L g R L f n p n , 则p pg fgf 1≤*;2）广义形式的Young 不等式：,111),,1)((),(≥+∞≤≤∈∈qp q p R L g R L f n q n p 则有),(n r R L g f ∈* 且有).1111(,rq p g fgf q pr+=+≤* 证明：当1=q 时，p r =，就是通常的Young 不等式. 当∞=q 时，1,=∞=p r ，此时成立是显然的. 下面只考虑1,p q <<∞的情形，由1111p q r+=+得 111111,pq r q r r p q-+=+<+<<，11111()()1p r q r r-+-+=，1111/(1)/(1)p q rp q r r++=--， 利用Hölder 不等式得 ()()nR f g f y g x y dy *=-⎰111()()(()())np q pqr rrR f y g x y f y g x y dy --≤--⎰111(()())np q qprrrp qR f gf yg x y dy --≤-⎰.对上式两端取r 次方，在n R 上积分后，取1r次方，即得结果.3）积分形式的闵可夫斯基不等式：如果1p ≤<∞，对于(),()P p u L v L ∈Ω∈Ω，有()p u v L +∈Ω，并且pp p u vu v +≤+.证明：当1p =时，由绝对值的三角不等式关系，显然成立. 当1p >时，我们应用Hölder 不等式积分形式的技巧来证明. 当1p >时，1pp u v u vu v -+=++11p p u u vv u v--≤+++，因此，由（2.2）Hölder 不等式的积分形式我们有11pp p u v dx u u vdx v u vdx --ΩΩΩ+≤+++⎰⎰⎰1111()()()()p p ppppppppu u v v u v --ΩΩΩΩ≤+++⎰⎰⎰⎰即111()()()ppppppu v dx u dx v dx ΩΩΩ+≤+⎰⎰⎰，即 pp p u v u v +≤+. 证毕.注：当1p >时，上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数12,c c ，使得12()()c u x c u x =；这里, 应用积分形式的Hölder 不等式证明了上述形式的不等式.致谢 本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 王松桂，贾忠贞. 矩阵论中不等式[M]. 合肥：安徽教育出版社，1994.[2] HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G. Inequalities[M].zed. Londan:Cambridge Univ Press,1952.[3] 杨虎. Kantorovieh不等式的延拓与均方误差比效率[J]. 应用数学, 1998,4:85-90.[4] Wang Sonsgui，Yang Hu．Kantorovich—tpye inequalities and the measures of inefficiency of theGLSE[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica.1989,5:372-381.[5] 翟连林．著名不等式[M]．北京：中国物资出版社, 1994．[6] 胡克. 解析不等式的若干问题[M]（第二版），武汉大学出版社，2007.[7] 胡雁军，李育生，邓聚成.数学分析中的证题方法与难题选解[M].河南大学出版社, 1985.[8] D.S密特利诺维奇著. 张小萍，王龙译. 解析不等式[M]. 科学出版社, 1987.[9] 刘玉琏，杨奎元，吕凤编，数学分析讲义指导书[M]，高等教育出版社, 1985.[10] 沈變昌，邵品琮编著. 数学分析纵横谈[M]. 北京大学出版社, 1991.[11] 王声望，郑维行. 实变函数与泛函分析概要：第1册[M].3版. 北京：高等教育出版社,2005:213-215.[12] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析：下册[M]. 北京：高等教育出版社，1993:19-25.。
高中数学基本不等式的内容及几何意义一、基本不等式的内容：1、如果a,b是正数，那么说明：（ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
证明2：要证：，只要证：只要证：只要证：因为最后一个不等式成立，所以不等式成立，当且仅当）证明3：∵即显然，当且仅当2、不等式的几何意义：均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”。
以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b。
过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立。
3、推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：4、关于“平均数”的概念如果则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数。
推广：≥语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、典型例题例1、已知x,y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值。
分析：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（ⅰ）函数式中各项必须都是正数;（ⅱ）函数式中含变量的各项的和或积必须是常数；（ⅲ）等号成立条件必须存在。
证明：因为x,y都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值。
（2）和x+y为定值S时，有上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值。
例2、已知x、y都是正数，求证：（1）≥2；（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3。
分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形。
证明：∵x，y都是正数，∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0（1）＝2即≥2。
（2）x＋y≥2＞0；x2＋y2≥2＞0；x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3。
