正则系综理论在理想气体中的应用

第九章 系综理论1.教学内容（1） 相空间 刘维尔定理； （2） 微正则分布（3） 微正则分布的热力学公式 （4） 正则分布（5） 正则分布的热力学公式 （6） 实际气体的物态方程 （7） 固体的热容量（8） 液4He 的性质和朗道超流理论 （9） 伊辛模型的平均场理论 （10） 巨正则分布的热力学公式 （11） 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点（1） 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式； （2） 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题例题 1 证明在正则分布中熵可表为∑-=ss skS ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率 解证: )ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑)2(ln ∑∑---=∂∂k E kE k kkee E Zβββ由(1)知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵解证：()222121;iz iy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=i iz iy ixdp dp dpdp符号∏=iiiidzdy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p pN m h N V Z dp e h N V dpeh N Vdpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iziy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。

1. 对于B-E, F-D 统计，利用S = k B ln Ω证明∑ε−μ±±=−μ+iTk i ie g T k E T k N k S )1ln(B B B B与宏观热力学公式G =E +PV -TS 类比(G =μN )，求出全同独立Bosons 和Fermions 组成的气体的状态方程(即PV /k B T 的表达式)。

如果Tk ieB ε−μ− >> 1（此时B-E ，F-D 近似为玻尔兹曼统计），试证明这一状态方程即是理想气体的状态方程(PV =Nk B T ) （提示，利用当|x |<1时，ln(1+x ) =x -x 2/2+…）。

解：对于F-D 统计：[][][]()()T k ET k N e g n n e e g e e n e e g n g n g n g n n g n n g g g n g n g n n g g n g n g n g n n n g g g n g n g Ωn g n g ΩB B Tk i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ii B i i ii +μ−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+=βε+α++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=−−−−=−+−−−+−−=−−−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∏ε−μβε−α−βεαβεα1ln 1ln ln 1111ln 1ln 11ln ln ln )ln()(ln ln )()ln()(ln ln )!ln(!ln !ln ln )!(!!对于B-E 统计[][][]()()T k ET k N e g n n e e g e e n e e g n g n g n g n n g n g n g g g g n n n g n g Ωn g g g g n n n g n g g g g n n n n g n g n g g n n g Ωg n n g ΩB B Tk i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i i i B i i i i +μ−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=βε+α+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=−−++=>>+>>−−−−−+−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−−+−−+−−+−+=−−−−+=−−+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∏ε−μβε−α−βεαβεα1ln 1ln ln 111ln 1ln 1ln ln ln ln ln )ln()(ln 1and ,1 if )1ln()1(ln )1ln()1()1()1ln()1(ln )1()1ln()1()!1ln(!ln )!1ln(ln )!1(!)!1(所以Ξ=±±=−μ+∑ε−μln )1ln(B B B B iTk i i e g T k E T k N k S因G = μN = E +PV -TS ，所以Ξ=±±=−−++∑ε−μln )1ln(B B B B iTk i i e g T k E T k TS PV E k SΞ=±±=∑ε−μln )1ln(B B iTk i i e g T k PV当Tk ie B ε−μ− >> 1，即Tk i eB ε−μ << 1∑∑ε−με−μ=±±≈iTk i iTk i i ieg e g T k PVB B B因为当Tk i eB ε−μ−>>1时，对于F-D, B-E 统计来说Tk i i i i i eg e e g n B ε−μβε−α−=≈所以∑=i n Tk PVBT Nk PV B =2. 证明对于B-E ，F-D 统计，体系的能量是β∂Ξ∂−=ln E ， 其中Ξ是B-E, F-D 统计的配分函数。

统计物理学基础考试试题一、选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 在统计物理学中，下列哪个量描述了系统的混乱程度？a) 有效微观状态数b) 温度c) 熵d) 可逆过程2. 玻尔兹曼常数的值为多少？a) 6.022 x 10^23b) 1.38 x 10^-23c) 8.314d) 9.813. 下列哪个条件不属于理想气体的状态方程？a) PV = nRTb) PV = NkTc) PV = µRTd) PV = mRT4. 统计物理学中，下列哪个理论用于描述费米子和玻色子？a) 麦克斯韦-玻尔兹曼统计b) 玻尔兹曼分布c) 费米-狄拉克分布d) 波尔兹曼分布5. 帕斯卡原理是关于流体力学中什么性质的定律？a) 压力b) 温度c) 摩擦力d) 密度6. 在满足玻尔兹曼分布的条件下，某系统中气体分子的速率分布呈什么形状？a) 高斯分布b) 均匀分布c) 二项分布d) 泊松分布7. 统计物理学中，下列哪个定理描述了独立粒子系统的可分辨性？a) 第一定理b) 巨正则分布定理c) 统计关系定理d) 等概率定理8. 熵增定理是统计物理学中的一个重要定理，它表明什么？a) 封闭系统的熵总是增加b) 封闭系统的熵总是减少c) 封闭系统的熵保持不变d) 封闭系统的熵可能增加、减少或保持不变9. 物体的热容量与下列哪个量有关？a) 温度变化率b) 质量c) 比热容d) 热传导系数10. 统计物理学中，下列哪种分布函数用于描述具有确定能量的粒子的分布？a) 麦克斯韦-玻尔兹曼分布b) 玻尔兹曼分布c) 费米-狄拉克分布d) 波尔兹曼分布11. 统计物理学中，巨正则系综理论是用于描述什么类型的系统的统计力学理论？a) 封闭系统b) 开放系统c) 平衡系统d) 非平衡系统12. 统计物理学中，下列哪个表达式可用于计算能量守恒系统的微观态数目？a) S = k ln Wb) S = k ln Pc) S = k ln Vd) S = k ln T13. 玻尔兹曼分布定律描述了哪种物理现象？a) 能量守恒b) 牛顿第一定律c) 细胞分裂d) 热平衡14. 系统的熵增定律是一个自发的过程吗？a) 是b) 不是15. 统计物理学中，费米-狄拉克分布函数用于描述哪类粒子？a) 玻色子b) 费米子c) 中微子d) 热中子16. 统计物理学中的平衡态指的是什么？a) 系统的热力学平衡b) 系统的力学平衡c) 系统的电化学平衡d) 系统的热平衡17. 统计物理学中，下列哪个理论描述了粒子之间相互作用的统计力学？a) 玻尔兹曼分布b) 统计关系定理c) 计数原理d) 平衡态理论18. 玻尔兹曼分布是用来描述有多少种微观态？a) 有限种b) 无限种19. 统计物理学中，分子平均速率与温度有什么关系？a) 分子平均速率与温度无关b) 分子平均速率与温度成正比c) 分子平均速率与温度成反比d) 分子平均速率与温度关系无法确定20. 统计物理学中，下列哪个原理描述了一个封闭系统的能量分布？a) 熵增定律b) 流式定理c) 统计关系定理d) 等概率原理二、简答题（共5题，每题20分，共100分）1. 请简要解释费米-狄拉克分布函数的物理意义及其应用。

高等化工热力学期末复习第一部分：作业题 第一次：1.试推导某二元混合物液体中组分1的活度系数可以表示为121,ln E ET pG RT G x x γ⎡⎤∂=+⎢⎥∂⎣⎦式中G E为溶液的摩尔超额Gibbs 自由能。

解：2211222222211111112211ln ln )ln ln ()ln ln (,.ln ,ln ,γγγμγμγμγμμμμμμμμγμμμμθθθθθθRTx RTx x RT x RT x x RT x RT x G thus x x x RT x RT G id ac E id ac id ac E +=--++--+=-=+=+=+=-= 根据 Gibbs-Duhem 公式,在T 和P 恒定的情况下)1:(ln ln ln ln ln ,)1:(lnln ln )()(,,02112122211,1221,12112122112221112211=+=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+=+=-+-==+x x for RT RT x RTx RTx xG x G RT x G so x x for dx RT dx RT dx RT dx dx dG thus d x d x pT EEpT Eidac id ac E γγγγγγγγγγγμμμμμμ2.如果某流体服从范德华方程，试导出该流体的各种偏差函数的表达式。

解：范德华方程：2m m RT aP V b V =--（1）()ln mV m m m m m m V RTF F P dV RT V V ∞-=---⎰()2()ln ln ln ln ln ln lnmmV mm m m m mV mm m m m m mm m m m m mV RT a RTdV RT V b V V V V aRT V b RT V RT V V V V aRT RT V b V V VaRT V b V ∞∞=-----⎡⎤=---+-⎢⎥⎣⎦=---=--⎰（2）()lnm m mm mm VF F V S S R T V b⎡⎤∂-⎢⎥-=-=-∂-⎢⎥⎣⎦（3）()()m m m m m m m a U U F F T S S V -=-+-=-（4）()()m m m m m mH H U U PV P V -=-+-2m m m m m m V RT a aRT V V b V bRT a V b V ⎛⎫=-+-- ⎪-⎝⎭=--（5）()()m m m m m mG G F F PV P V -=-+-ln 2ln m m m m m m m m mV a bRT a RT V b V V b V V bRT aRT V b V b V ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=+---第二次试用P-V-T 关系表示T U V ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭从Gibbs 基础方程出发，即：dU TdS PdV =-得到热力学状态方程为：T T S U P T V V ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭右边第一项称为动压(Kinetic Pressure)；第二项称为内压，导出在理想气体情况下的动压与内压的常用表达式。

正则系综广义能量均分定理压强压强是气体分子对容器壁施加的压力，它与气体分子的运动有着密切的关系。

根据气体分子的运动规律，我们可以知道，气体分子的平均动能与温度有关。

而广义能量均分定理告诉我们，气体分子的平均能量与每个自由度的平均能量成正比。

我们来看一维简谐振子的情况。

简谐振子是物理学中一个重要的模型，它的运动可以看作是气体分子在某个方向上的振动。

根据统计力学的理论，我们可以得到一维简谐振子的平均能量为(kT)/2，其中k为玻尔兹曼常数，T为温度。

根据广义能量均分定理，对于一个由N个一维简谐振子组成的系统，平均能量为N(kT)/2。

根据理想气体状态方程，我们可以得到压强与温度的关系为P=N(kT)/V，其中P为压强，V为体积。

可以看出，压强与温度成正比。

接下来，我们将讨论三维理想气体的情况。

对于一个由N个自由度为f的分子组成的系统，根据广义能量均分定理，平均能量为N(f/2)(kT)。

根据理想气体状态方程，我们可以得到压强与温度的关系为P=N(f/3)(kT)/V，其中P为压强，V为体积。

可以看出，压强与温度成正比，且与自由度的数量有关。

在实际应用中，广义能量均分定理可以帮助我们理解气体的热力学性质。

通过对气体分子的平均能量进行统计，我们可以得到气体的温度、压强等宏观性质。

而压强与温度的关系则告诉我们，当温度升高时，气体分子的平均动能增加，从而使气体分子对容器壁施加的压力增大，即压强增加。

除了温度，广义能量均分定理还告诉我们，气体的压强与自由度的数量有关。

在三维理想气体中，每个分子有三个自由度，包括x、y、z三个方向上的平动自由度。

而对于其他类型的分子，如含有转动或振动的分子，自由度的数量会更多。

因此，在相同的温度下，不同类型的分子对容器壁施加的压力也会有所不同。

总结起来，广义能量均分定理揭示了气体分子的平均能量与温度、自由度以及压强之间的关系。

压强与温度成正比，且与自由度的数量有关。

通过理解广义能量均分定理，我们可以更好地理解气体的热力学性质，为相关领域的研究和应用提供理论基础。

统计力学中的正则系综与配分函数统计力学是研究宏观系统性质的一种方法。

其中，正则系综是一种重要的统计力学系综，配分函数是正则系综的核心概念。

本文将重点探讨统计力学中的正则系综与配分函数。

一、正则系综正则系综是用来描述与热平衡达到的系统的微观状态的统计力学系综。

正则系综适用于在一个恒定温度和体积的大系统内，与恒温热源接触，并且能够交换能量的系统。

在正则系综中，系统的微观状态可以通过粒子在各个能级上的分布来刻画。

根据玻尔兹曼分布定律，系统中处于能量为E的状态的概率与该状态的简并度g(E)成正比。

简并度是指能量为E的状态的数目。

系统的总简并度用Ω表示，即Ω = Σg(E)。

根据玻尔兹曼分布定律，系统的概率分布可以表达为：P(E) = (1/Ω) * g(E) * exp(-E/(kT))其中，P(E)是系统处于能量为E状态的概率，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。

二、配分函数配分函数是正则系综中的一个重要概念，它用来描述系统在不同能级上的分布情况。

配分函数的定义如下：Z = Σexp(-Ei/(kT))其中，Ei表示系统的第i个能级的能量，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。

通过配分函数，可以计算系统处于某个能级上的概率。

具体地，系统在能级i上的概率可以表示为：Pi = (1/Z) * exp(-Ei/(kT))系统的平均能量可以通过配分函数来计算，即：<U> = ΣEi * Pi = (1/Z) * ΣEi * exp(-Ei/(kT))配分函数还与系统的热力学性质密切相关。

例如，系统的内能、熵等可以通过配分函数来计算。

三、应用举例下面以一个简单的模型来说明正则系综与配分函数的应用。

考虑一个由N个单粒子组成的理想气体系统，每个粒子具有两种能量状态：高能级E1和低能级E2。

在温度为T的情况下，该系统的配分函数可以表示为：Z = exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT))通过计算配分函数，可以得到系统处于高能级和低能级的概率分别为：P1 = exp(-E1/(kT)) / ZP2 = exp(-E2/(kT)) / Z根据系统的能级和概率分布，可以计算系统的内能和熵等热力学量。

数学物理中的统计力学模型统计力学是最早应用概率统计方法探究物质性质和相互作用的学科之一，它在数学物理中扮演着重要的角色。

统计力学模型通过建立一系列理论模型，研究粒子的状态、行为以及宏观性质，为我们理解自然界中的各种现象提供了重要的工具。

本文将重点介绍几种常见的数学物理中的统计力学模型。

一、经典力学中的统计力学模型经典力学中的统计力学模型主要研究宏观物质的性质和行为。

其中最著名的模型之一是理想气体模型。

理想气体模型假设气体由大量的无质量、无相互作用的微粒组成，粒子之间的碰撞是弹性碰撞。

这一模型基于理想气体微观粒子的随机运动推导出了气体的状态方程，研究了气体的压力、体积和温度之间的关系。

另一个重要的经典力学中的统计力学模型是量子力学中的哈密顿正则系综模型。

哈密顿正则系综模型主要用于处理多粒子系统的统计问题。

通过定义一个相应的分布函数，可以求解出多粒子系统的平均状态和性质。

这一模型在分子动力学模拟等领域有广泛的应用。

二、量子力学中的统计力学模型量子力学中的统计力学模型主要研究微观粒子的统计行为以及宏观物质的性质。

其中最重要的模型之一是费米子和玻色子的统计模型。

费米子是遵循费米-狄拉克统计的粒子，它们是一类自旋为1/2的半整数自旋粒子，符合泡利不相容原理。

费米子的统计行为可以由费米-狄拉克分布函数描述，该分布函数描述了粒子在能级上的分布情况。

费米子模型在凝聚态物理和核物理等领域有广泛的应用。

玻色子是遵循玻色-爱因斯坦统计的粒子，它们是整数自旋的粒子，不受泡利不相容原理限制。

玻色子的统计行为可以由玻色-爱因斯坦分布函数描述，该分布函数描述了粒子在能级上的占据情况。

玻色子模型在凝聚态物理和量子场论等领域有广泛的应用。

三、热力学中的统计力学模型热力学是研究宏观物质热现象和能量转化的学科，统计力学在热力学中扮演着重要角色。

其中最重要的模型之一是统计热力学模型。

统计热力学模型通过分析系统的微观状态和宏观状态之间的关系，建立了热力学性质和微观粒子行为之间的统计关系。

课程设计题目：系综理论的讨论及运用学院：电子与信息工程学院专业：物理学师范姓名：学号：指导老师: 时间: 系综理论的讨论及运用姓名：摘要系综是处在相同的给定宏观条件下的大量结构完全相同的系统的集合。

它是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体。

本文从概念开始讨论系综理论内容和运用。

关键词概念；系综理论；正则分布；关系；运用系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。

系综的一个基本假设是各态历经假说：只要等待足够长的时间，宏观系统必将经历和宏观约束相应的所有可达微观态。

1 概念系统的一种可能的运动状态，可用相与中的一个相点表示，随着时间的推移，系统的运动状态改变了，相应的相点在相宇中运动，描绘出一条轨迹，由大量系统构成的系综则可表为相宇中大量相点的集合，随着时间的推移，各个相点分别沿各自的轨迹运动，类似于流体的流动。

若系统具有s个自由度，则相宇是以s个广义坐标p （详写为p、p2 ••…ps）和s个广义动量q（详写为q1、q2 ••…qs）为直角坐标构成的2s 维空间。

在相宇内任一点（p，q ）附近单位相体积元内的相点数目D （p , q ,t ）称为密度函数。

D（p,q,t）在整个相宇的积分等于全部相点数，即等于系综所包含的全部系统数N ，与时间t无关。

定义P p,q,t)=D(p,q,t)/N ,称为系综的概率密度函数。

P(p ,q, t) dpdq表示在t时刻出现在(p, q)点附近相体积元dpdq 内的相点数在全部相点数中所占的比值，即表示任一系统在t 时刻其运动状态处于(p，q )附近的相体积元dpdq内的概率。

显然，概率密度函数p( p, q , t)满足归一化条件/p(p,q,t ) dpdq=1 。

统计物理学的认为系统的任意宏观量I (t)是相应微观量L (p , q )在一定宏观条件下对系统一切可能的微观运动状态的统计平均值，即I(t )=几(p , q) p(p , q , t) dpdq。

热力学统计物理第四版汪志诚答案及习题解答热力学统计物理是物理学中一个重要的分支，它研究大量微观粒子组成的宏观系统的热现象和热性质。

汪志诚先生的《热力学统计物理》第四版是许多高校相关专业的重要教材之一。

对于学习者来说，课后的习题解答和答案是巩固知识、检验理解的重要工具。

在这本书中，涵盖了热力学的基本定律、热力学函数、热平衡态的统计分布、系综理论等重要内容。

每一个章节都配有相应的习题，以帮助学生深入理解和掌握所学的知识。

对于热力学第一定律，它指出了能量的守恒。

在解答相关习题时，关键是要明确系统与外界之间的能量交换方式，包括做功和热传递。

例如，对于一个封闭系统经历的绝热过程，我们要根据热力学第一定律判断系统内能的变化。

热力学第二定律则涉及到了熵的概念。

熵的增加表示了系统的无序程度增加。

在处理这部分的习题时，需要准确判断过程的可逆性，并计算熵的变化。

比如，对于热传导过程，我们能够通过计算两个温度不同的物体接触后熵的变化，来验证热力学第二定律。

在热力学函数方面，内能、焓、自由能等的计算和应用是常见的习题类型。

理解这些函数的定义和物理意义，以及它们之间的关系，对于解题至关重要。

热平衡态的统计分布是另一个重点。

麦克斯韦玻尔兹曼分布、玻色爱因斯坦分布和费米狄拉克分布是常见的三种分布。

在解答相关习题时，需要根据给定的条件确定分布类型，然后计算粒子的平均能量、粒子数等物理量。

系综理论为处理复杂的宏观系统提供了有力的工具。

微正则系综、正则系综和巨正则系综的应用是这部分习题的重点。

通过理解系综的概念和相应的统计方法，能够解决诸如计算系统的热力学量的平均值等问题。

下面我们以一道具体的习题为例，来展示如何进行解答。

题目：一个绝热容器被分成两部分，一部分装有理想气体，另一部分为真空。

现将隔板抽去，气体自由膨胀，求这个过程中系统的熵变。

解：由于是绝热自由膨胀过程，系统与外界没有热交换和做功。

对于理想气体，熵变可以通过计算初末状态的熵差来得到。

平衡态统计物理李定平2017北京大学物理学院参考书:1.王竹溪, 统计物理学导论2. Greiner, Neise, Stocker, Thermodynamics and Statistical Mechanics3. Landau, Lifshitz, Statistical Physics, Part 14. K. Huang, Statistical mechanics. New York: Wiley,(1987)5. M. Plischke and B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics6. A History of Thermodynamics, Ingo Müller, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2007)7.Statistical physics of particles, Kardar, Cambridge University Press (2007)科普读物：Short History of Heat,J.B.Fenn边缘奇迹：相变和临界现象,于渌，郝柏林，陈晓松课程内容见文件，可下载统计物理和现代物理研究凝聚态物理是当今物理的一个最主要的方向。

其生命力是在不断发现的新物态，新材料，及其相关的新的物理现象。

历史上，是新的观测到的物理现象推动了物理学的发展。

如果一个物理学分支，没有新实验发现，这个学科就得不到任何发展。

没有纯理论的物理学科（如果理论完全脱离实验论证）。

研究凝聚态物理的主要工具之一是统计物理，用来研究大量粒子在相关外界条件下（比如一定温度，外场），系统所处在的状态（比如超导，固态，液态，量子液态，拓扑绝缘，拓扑超导状态等等），和相关物理特性（其导电性能，热传导等等）.大学的统计物理课程是量子统计物理（或称为量子多体理论）的先修课程。

学好这门课程将为你们进入相关研究生课程打好扎实的基础。