§2.4.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=． （2） 所有焦点弦中，通径最短． （3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．（4）以AB 为直径的圆与准线相切．（5）112+=FA FB p．4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =________．（2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =，则焦点到AB 的距离为 ． 变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____________；（2）PM PF +的最小值为______，此时P 点的坐标为_________． 考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：1y kx =- 和抛物线C ：24y x =，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C: 24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________．考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C: 24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．变式1．直线l 和抛物线C: 24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______．变式2．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：24y x =上求一点，使得点 P 到直线3y x =+的距离最短．考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-22．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．82．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 33．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．26．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．127．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．28．过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 11．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．12．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．14．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ．15．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．17．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于10时，求k的值．18．已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB相切．§2.4.2 抛物线的简单几何性质（教师版）1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=．222121212222222212021221πθπθθθθθθθ==∴≠=-=+-⋅-=∴=-+=∴=-=+=:,,,:()tan ,,tan :,tan ,,tan ()tan sin AB p AB p y p l y x x y py p py y p y y pAB y y p 解若则此时为抛物线的通径结论得证若设直线的方程为即代入抛物线方程得（2） 所有焦点弦中，通径最短．()()()2222221221223θθθ=≤∴≥∴:sin sin ,sin ,:;,:;.p AB pp AB p p 解由问题知:的最小值为即通径最短.通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通径的性最短的质（3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．212221212221212222244⋅=-==∴==:,,,()y y p y y x x p p y y P x x P 解由问题的解法知:（4）以AB 为直径的圆与准线相切． （5）112+=FA FB p． 4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =_____4____ （2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =AB 的距离为 2 ． 【答案】（1）4；（2）2；变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____3(,2________； （2）PM PF +的最小值为____72__，此时P 点的坐标为_____(2,2)____．考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：y ＝kx-1 和抛物线C ：y 2＝4x ，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．解：（1）01k k ==-或；（2）10k k >-≠且；（3）1k <- 【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________． 答案：101或或y x y x ===+．解析：（1）若直线与x 轴垂直，则0x =，满足题意． （2）若直线的斜率存在，设直线方程为：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得到2440ky y -+=，①若0k =，则1y =，满足题意②若0k ≠，令0∆=，解得1k =，所以1y x =+ 综上所述，所求直线方程为101或或y x y x ===+考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解法1：直线AB 的方程为1y x =+，代入抛物线方程得：2610x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则126x x +=，121x x =，所以8AB ==．解法2：1212()()62822p pAB x x x x p =+++=++=+= 【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．【解析】︱AB ︱=8变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C:24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．【答案】y ＝x －1考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．【解析】设抛物线的方程为y 2=2px(p≠0),与y=x 联立方程组,消去y,得x 2-2px=0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=2p ，又因为P(2,2)为AB 的中点，所以2p=4,所以y 2=4x ．变式1．直线l 和抛物线C:24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______． 【答案】y ＝2x －3变式2．若直线x-y=2与抛物线y 2=4x 交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，联立直线方程与抛物线方程得方程组整理得x 2-8x+4=0，所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=x 1+x 2-4=4，所以线段AB 的中点坐标为(4,2)．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0),线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程． 【解析】(1)由于抛物线的焦点为(1,0),所以12p=，2p =，所求抛物线的方程为y 2=4x ． (2)方法一:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则2114y x = ①, 2224y x =②,且x 1+x 2=4,y 1+y 2=2，由②-①得(y 1+y 2)(y 2-y 1)=4(x 2-x 1), 所以21212y y x x -=-,所以所求直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．方法二:显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y-1=k(x-2),k≠0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由21(2)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得ky 2-4y-8k+4=0,所以y 1+y 2=4k， 又M 点是AB 的中点，所以y 1+y 2=2,所以k=2，故直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：y 2＝4x 上求一点，使得点 P 到直线 y ＝x+3 的距离最短． 【解析】00(.)P x y 解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点，2004y x =则，d ==2004y x =将代入得：d=20)y R =∈，0min 2,y d ∴==当时(1,2)P 此时方法2：0x y m -+=设直线与抛物线相切，2244400y xy y m x y m ⎧=⇒-+=⎨-+=⎩，0:1m ∆==由得，(1,2)P 此时.考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证:直线AB 过定点．【解析】(1)设点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则有k OA= 11y x ,k OB=22y x ． 因为OA ⊥OB,所以k OA ·k OB =-1,所以x 1x 2+y 1y 2=0．因为21y=2px 1,21y=2px 2,所以2212y y2p 2p+y 1y 2=0．因为y 1≠0,y 2≠0,所以y 1y 2=-4p 2,所以x 1x 2=4p 2． (2)因为221122y 2px y 2px ＝，＝，所以(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2),所以12AB 121212y y 2p 2p,k x x y y y y -=-++所以＝，故直线AB 的方程为y-y 1=122p y y + (x-x 1),所以1112122px 2pxy y ,y y y y +-++＝即211121212y 2px y y 2pxy .y y y y -+=+++ 因为21y=2px 1,y 1y 2=-4p 2,所以212122px 4p y ,y y y y -=+++所以y=122p y y + (x-2p),即直线AB 过定点(2p,0)．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．【解析】(1)因为l :x －y －2=0，所以l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为(2，0)，所以p22=，，所以y 2=8x ． (2)① 设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则211211222222y x y 2px 2p y 2px y x 2p ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩，， 则12PQ221212y y 2p k y y y y 2p 2p==+－，－又因为P,Q 关于直线l 对称， 所以k PQ =－1，即y 1+y 2=－2p,所以12y y p,2+=－又因为P,Q 的中点一定在直线l 上， 所以1212x x y y 22p,22++=+=－ 所以线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p)．②因为中点坐标为(2-p ，-p)，121222222121212y y 2p y y 2p y y x x 42p y y 8p 4p 2p +=⎧+=⎧⎪+⎨⎨+==+=⎩⎪⎩－，－，即－－， 所以12212y y 2p y y 4p 4p +=⎧⎨=⎩－，－，即方程y 2+2py+4p 2－4p=0有两个不等实根．所以Δ>0,(2p)2－4(4p 2－4p)>0⇒ 4p (0,).3∈ 【方法技巧】应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-2【解析】选D ．因为抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,所以=-1,所以=-1,所以y 1+y 2=-1．因为y 1y 2=-1,所以x 1+x 2=+=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=3，所以两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)中点坐标为．代入y=x+b,可得b=-2．2．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．【解析】设抛物线上的点A(y12,y1),B(y22,y2)关于直线l对称．则122212221212y yk1y yy y y yk(1)1 22-⎧-⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩＝，，，得12212y y kk11y y2k2+-⎧⎪⎨+-⎪⎩＝，＝，所以y1,y2是方程22k11y ky02k2-＋＋＋＝的两个不同根．所以Δ=k2-42k11()2k2-＋>0,解得-2<k<0．故实数k的取值范围是-2<k<0．答案:-2<k<01．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A．2 B．1 C．4 D．8【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C．【答案】 C2．(2014·成都高二检测)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2 3 B．4 C．6 D．4 3【解析】据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P⎝⎛⎭⎫m24，m，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝＋2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D ．【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2．∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1． 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 【解析】 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C ．5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．2【解析】选B ．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)．由题意知AB 的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2．由得x 2-4x+1=0,所以x 1+x 2=4,x 1x 2=1．所以|AB|====2．6．(2014·湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C ．【答案】 C7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D ．【答案】 D8．(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】选C ．点(-1,0)在抛物线y 2=x 的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x 轴．9．(2016·西安高二检测)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C ．由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l 与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l 的倾斜角为60°或120°,即直线l 的斜率为±．【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A ．10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋x2，由题意有x ＋14＝x 2＋x2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24．【答案】 ⎝⎛⎭⎫18，±2411．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1．【答案】 0或112．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】 由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝2 3＋14p 2． 由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6． 【答案】 614．直线y=kx+2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k= ．【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y 得:k 2x 2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k -2)2-16k 2=0,解得k=1．答案:0或115．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ． 【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x 2得4x 2-4x+b=0．令Δ=16-16b=0,解得b=1，所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短．由4x 2-4x+1=0,解得x=，所以y=1,所求点为．答案:16．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2． ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p2，解得p ＝2或p ＝4． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y ．17．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3． 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3． 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．18．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1．设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10， 解得k ＝－16或16．19．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|=3．(1)求抛物线E 的方程．(2)已知点G(-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切． 【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ． (2)因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2,由抛物线的对称性, 不妨设A(2,2), 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．方法二:(1)同方法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==．又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r．这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
