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《近世代数》作业
一．概念解释
1．代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。 2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：
1）G 对乘法运算封闭；
2）结合律成立： )()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。 3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。 3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。
4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。
5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；
（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。 6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若： （1）N b a N b a ∈-⇒∈, （2）N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,
7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ: ，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。
若：b a b a ≠⇒≠。
8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。 （2）R 有单位元。
（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。 10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。
11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。 12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。 二．判断题
1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。(×) 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。(×)
3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。(√) 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。(×) 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。(√) 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：
1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。(√)
7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。(√) 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。(√)
9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。(√) 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。(√)
11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。(×)
12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*
F 的任何有限子群
G 必为循环群。(√) 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 (√) 14. 设1
H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。 (×) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 (√)
三．证明题
1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且1±=⋅=B A AB ， 故G AB ∈，即G 对乘法封闭。结合律显然成立，且E 是G 单位元。
又设G A ∈，由于A 是整数方阵，故A 的伴随矩阵*
A 也是整数方阵； 又,1±=A 故**-±==
A A A
A 11
，即1
-A 也是整数方阵，即G 中每一个元在G 中都有逆元，从而证得G 作 成一个群。
2． 设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。 证：设∞=a ，则当n m ≠时，n m
a a
≠，于是映射Φ：m a m →就是G=（a ）到整数加群Z 的一个一
一映射。又n m a
a a n
m n m +→=⋅+，故Φ是G 到Z 的同构映射。即G=（a ）与整数加群Z 同构。
3． 证明：高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ，i ±。
证：i ±±,1显然是Z[i]的单位，设x=a+bi 是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di ][i Z ∈使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
从而 a abd c a =-2 又ad= –bc 代入前式有：（a c b a =+)(2
2
，即)(2
2
b a +|a 若a=0,则由（1）有bd= –1,只有b=1±,即i x ±=。
若0≠a ，则由)(2
2
b a +|a 得b=0, a=1±,即x=1±,因此证得：Z[i] 的单位元只有i ±±,1。 4．设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a 证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。
证：由题设可列乘法表：
a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a
由此表可知：方阵普通乘法是G 的代表运算，a 是G 的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G 中都有逆元，结合率显然成立。故G 对方阵普通乘法作成一个交换群。
5.证明：在群G 中只有单位元满足方程x x =2。
证：设e 是群G 的单位元，则e 显然满足方程另外设,G a ∈且a a =2，则有a a a a 121--= 即a=e, 即
只有e 满足方程x x =2
。
6．证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。 证：因为5212
=±i
为素数，则i 21±（以及i i i ±-±±-2,2,21）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：
)21)(21(5i i -+= 若设i n a a a a (521 =不可约） 则
2222125n a a a ⋅=且25,12
2
≠≠i
i
a a ，这只有2=n ，且52
=i
a 不妨设
5=ab 且52
2
==b a
则只能b a =，即5=a a ，即5有唯一分解。
