多元表征，让学习深度发生作者：杨晓洁来源：《数学教学通讯·高中版》2019年第03期[摘; 要] 多元表征理论的内涵实际是指的一种学习原则，它是指在数学学习中，不应该让学生的认知只停留于表面特征，而应该是一种结合了动作、听觉、视觉，进入深度学习状态的“思维运动”. 文章以高中数学“等差数列”一课的教学设计为例，深入解析多元化表征理论在高中数学教学中的应用与实践.[关键词] 多元表征;高中数学;等差数列;实践最早源于迪因斯所提出的“多元具体化原则”的数学多元表征，在经过了无数数学家以及教育家的实践与验证后，仍旧没有一个比较清晰且详细的概念定义，但对于它的基本含义目前已经达成共识. 数学多元表征简言之，是指数学表现出的语言化、视觉化等多种不同本质的表征，数学这些多元化表征是学生进行数学学习的一个载体，也是一种方法. 如果将数学这些多元表征具象化和概括化，可以分为动作、肖像和符号. 动作表征是指数学操作特征;肖像表征是指数学文字表面特征;符号表征是指数学知识的内涵与本质. 目前存在于高中数学教学中的问题是，教育者容易侧重于某一表征的学习，有的重表面理论讲解轻实践;有的重操作却不与数学本质相联系;有的忽视动作表征与肖像表征的经历过程，而直接进入相对较为抽象的数学核心......不同表征代表着不同程度的思维活动，只有将三种表征融于一体实施教学，才能够实现多元表征的深度学习. 本文以“等差数列”教学过程为例，对基于多元表征原则下的高中数学教学实践进行深入研究.多元表征下“等差数列”教学设计与过程等差数列是苏教版高中数学必修5的内容，它是等比数列的基础，也是高考重点内容. 等差数列在现实生活中被广泛应用，是培养高中生数学应用能力的最佳素材. 等差数列是引导高中生开始对特殊数列进行探究的起始课，在学生对数列进行后续学习时，在知识与方法上均有着促进作用. 高中生在此阶段，数学概括力与分析力均已具备，对于数列也并不完全陌生，并具备了一定的运用数学公式的技能，思维开始从经验性向抽象性发展，但对于抽象逻辑关系的理解还需要借助必要的具象材料. 基于此，为了实现数学多元表征的融合，本课通过情境创建（肖像表征）、多媒体辅助教学（动作表征）和自主探究（符号表征）等多种教学方法和教学形式，引导学生进行思维上的深层次参与. 具体教学过程如下：1. 创建问题情境师：一起看视频.视频1：2008年北京奥运会女子举重回放. 女子举重按体重设置了七个级别，较轻的四个级别分別是48，53，58，63.视频2：为了保持水库里的鱼享有良好环境，管理员通过定期放水清理水库. 某水库水位是18米，每天自然放水使水位下降2.5米，最低降到5米. 自放水第一天到能够进行清理的时间，每天水库水位的数为18，15.5，13，10.5，8，5.5.师：大家想一想这些数据说明了什么问题，每行数是否存在共同点？绘制表格，并启发：大家可不可以用数学语言对表格中每行的数所具有的共同特征进行描述？（设计意图：两个视频充分说明数学与生活具有紧密的联系，生活中有数学，数学应用于生活. 从生活中抽离出数学问题，就是从肖像表征向符号表征过渡，揭示该数学研究的本质是数，因此抛开情境背景，以表格的形式抽象出此数列的特征. ）生：后一项和前一项差是常数.这时老师通过几组反例加深学生对数列共同特征“同一常数，从第二项起”的深刻理解.师：现在可不可以用数学语言来表述一下？生：an-an+1=d.师：是否等价？生：应该加上“d是常数”，n≥2，n∈N*.师：非常好，那么在生活中有没有其他具有此特征的数列的例子？生：成年女性的鞋码是21，21.5，22， 22.5，23，23.5，24，24.5，25.......师：的确，有很多具有这种特征的数列，我们可以给它起个什么样的名字？生：等差数列.师：我们再回到刚才的表格，计算一下它们的公差？有没有好的办法把数列中的数统一起来？生：如果可以求出通项公式，问题就简单了.2. 多媒体进行启发引导师：如果一个数列是公差为d的等差数列，那么的通项公式是什么？生1：（通过计算得出了）an=a1+（n-1）d.师：归纳是从第几项开始的？生1：第2项，因此n≥2.师：如果n等于1呢？生1：同样成立，所以等差数列通项公式是“an=a1+（n-1）d（n∈N*）”.师：非常棒，那么是不是还存在别的推导方法？生2用迭代法进行了现场演示，并得出结论.老师将该学生推导过程通过多媒体进行再现，并引导学生按此思路尝试寻找到更多方法. 学生均感到有些困难，这时进行启发：看看第一个方法中第一个式子，是不是可以找到什么规律？生3：还可以采用累加……老师对通项公式推导方法进行总结，并归纳它们的共同特点，加深学生印象.3. 应用探究多媒体出示例题，让学生选出代表进行现场讲解.例题1：求等差数列“8，5，2，…”第20项;“-401”是不是等差数列“-5，-9，-13，…”中的一项，如果是，它是第几项？例题2：假设数列通项公式是“an=pn+q”，且p和q为常数，p≠0，那么是否能判断该数列为等差数列？如果是，公差和首项是什么？师：大家刚才讲解得很好，现在再仔细观察数列通项公式，是否感觉它有些熟悉，与我们之前学过的一些内容相似，大家想到了什么？很自然地引出一次函数.师：通过一次函数图像特点，是不是也可以将等差数列图像作出来？鼓励学生用几何画板进行现场绘制. 最后通过多媒体播放幻灯片：“一次函数‘y=px+q’和等差数列‘an=pn+q’的比较”，让学生进行直观观察.4. 总结和作业布置师：尝试用语言描述一下你今天的所学.不限制标准答案，主要调动学生的参与性，有回答不完整的可以让其他人帮助补充，从而锻炼学生归纳、概括以及表达能力，同时用多媒体将学生的归纳用表格形式呈现出来. 最后布置作业，作业分必答和選答，必答作业为阅读和书面作业，选答作业是一道“弹性作业”：从等差数列定义中是否可以推导出“等和数列”，它会有怎样的定义和性质？多元表征下高中数学深度学习的实践反思在问题情境的引导下，让学生自主开展探究，给高中生数学学习提供了多样化选择，这对于帮助学生从数学表面特征走向深层次的本质内涵有着重要的促进作用. 在问题情境的“催发”下，学生的探究心理更加强烈，参与度也很高. 在探究过程中会积极地进行观察、猜想和推理，这使知识构建与知识理解的过程更加主动.数学教学中，最主要的是教会学生在遇到实际问题时应该采取怎样的思维方式，以及如何找到有效的解决方法. 多元表征背景下的教学过程，引导学生通过运用猜想、归纳等数学思想方法去自主探究问题解决的方法与途径，是数学思想方法的一种自然渗透，也是数学核心素养的重要内容.让多媒体走进数学课堂，是将数学多元化表征最直观地展现于学生面前的最佳方法，愉快而轻松的动感演示，让抽象的表征变得形象丰富，调动学生听觉、视觉等多种感官获取有用的信息，这对于突破教学重点，化解知识难点起到了关键作用. 最后作业的设计，完全是建立在尊重学生个性差异的基础上，通过必答与选答让学习更具选择性，学生可以根据自己的“实力”去努力完成，这在某种程度上更会激发学生学习的积极性，而开放性问题的设计则凸显了注重学生进行数学实践的理念.结语数学的多元表征，是包括了数学文字、公式、概念、性质的“数”，以及涵盖了模型、图形、图像的“形”，所以在高中数学教学中，多元表征本质上就是数形结合的多种形式. 虽然目前多元表征的数学学习并没有可循之法，但只要教育者能够把握住这个内涵，运用多种形式与方法，引导学生在学习中进行实践再实践，认识再认识，创造再创造，深度学习就会自然发生.。
苏教版高中数学教材数列内容的呈现特征与教学建议作者：***来源：《中小学班主任》2020年第06期随着2017年版《普通高中数学课程标准》的发布，数学课程的育人目标转向学科核心素养的培育。
核心素养的落地，或者说课程育人的层级转化离不开教师的教材理解与教学实践。
教材作为师生广泛、高频接触的权威知识媒介，其呈现的特征往往潜移默化地影响着教师的实际教学。
数列既是考试命题的重点，也是初等数学的核心知识。
因此，笔者以苏教版高中数学教材为例，分析其中数列部分的呈现特征，并据此结合多年的教学经验，提出相应的教学建议。
一、拾阶而上深化认知——苏教版教材数列部分的呈现特征（一）始于情境的感性认知教材的编写通常需要综合学生的认知特点、知识的学科体系以及教师的使用情况等多个方面，但学生的认知应当是教材编写考量的核心尺度。
正如人们对于事物、概念或观点的理解不可能凭空而来，而需要始于情境的初步感知一样，学生的学习发展也是由事实走向认知、从感性走向理性的过程。
因而苏教版教材“数列的概念和简单表示”“等差数列”与“等比数列”三部分内容均以情境为起始点，期望学生能够从简单了解、感性认知，到逐步向思维深处拓展。
高中阶段正处于学生数学思维形成的关键期，教材通过设计大量感性的、生活的情境去调动学生的学习情感，激发他们对数列知识的学习兴趣与探究意识;并用大量的认知情境，充分调动学生的感性认知，启发学生思考，促使他们由被动学习转变为主动学习。
具体而言，首先在数列章节的导语环节，通过设置社会生活中常见的数列问题，引导学生主动思考，发现数学与现实之间的关联，调动学生学习数列知识的积极情感。
尤其是章头图中所呈现的图案生动地展示了大千世界所蕴含的数学规律，既彰显了自然规律与数列之间的关系，又让学生在观看、了解章头图的过程中，认知到“形象美不只体现在文学和艺术中，而且在数学中也随处可见”。
其次，在教材内容设置上遵循由浅到深、由简单到复杂的原则，通过深入浅出的知识概括，让学生对数列知识形成初步的认知。
17.4数学归纳法I 学情分析在学习本节课之前，学生已经理解了数列和与数列有关的基本概念，掌握了两种典型的数列——等差数列和等比数列的概念，以及相应的定义、递推公式、通项公式、前n 项和公式等等，基于我校学生的实际情况，也有过一些探究由这两个数列组成的复合数列的经验。
也就是说，对与数列的认识，既有研究等差数列、等比数列这两个典型数列的常见方法，学生具备了研究数列问题的“严谨性”，也在学习数列的递推公式和通项公式时，有过根据数列的前若干项，进而试写出数列的通项公式的经历，会通过根据数列的变化规律，通过仔细的观察，做合情、合理的猜想和归纳。
与此同时，也然有大量的事实可以说明，这样的“不完全归纳法”得出的结论未必是正确的。
那么对于观察数列前若干项，进而猜想出来的“通项公式”，会不会在将来的哪一项不符合公式，还是的确对于任意*n N 都是成立的，如果确实是成立的，又该如何证明，这些都是学生在学习过程中自然会产生的问题，也是解决与正整数n 有关现实问题的需要，可以顺利地引出数学归纳法。
在学会了数学归纳法之后，学生一方面可以根据学习等差数列、等比数列时掌握的基本方法，研究与通项公式、前n 项和公式等有关的问题，遇到困难时，也可以遵循“归纳-猜想-论证”的思路，来解决与正整数n 有关的问题，对数列的综合学习，起到如虎添翼之用。
II 教学目标理解数学归纳法的概念，学会使用数学归纳法证明与正整数有关问题的步骤，经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法，并通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学归纳法使有限和无限间实现了平衡的科学意义。
III 教学重点与难点了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；理解数学归纳法的思想实质，特别是数学归纳法两个步骤各自的作用；在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
2IV教学过程3451k +时，=2n ++=1=6=6k k++(21)=66V教学设计说明本节课首先从学生已经掌握的数列的递推公式和通项公式讲起，学生既会根据通项公式写出数列的项，也会根据数列的递推公式写出数列的前若干项，进而观察规律，猜测这个数列的通项公式。
