人教A版高中数学必修2课后习题答案(截取自教师用书)

2020年人教A版必修2课后练习（20）一、解答题（本大题共15小题，共180.0分）1.写出下列圆的标准方程：(1)圆心在C(−3,4)，半径长是√5；(2)圆心在C(−8,3)，且经过点M(−5,−1)．2.已知圆的方程是(x−3)2+(y+2)2=16，利用计算器，判断下列各点在圆上、在圆外、还是在圆内？(1)M1(4.30,−5.72)；(2)M2(5.70,1.08)；(3)M3(3,−6)．3.已知两点P1(4,9)，P2(6,3)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)在圆上，在圆内，还是在圆外(可利用计算器)？4.已知三角形AOB的顶点的坐标分别是A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，求三角形AOB外接圆的方程．5.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：(1)x2+y2−6x=0；(2)x2+y2+2by=0；(3)x2+y2−2ax−2√3ay+3a2=0．6.判断下列方程分别表示什么图形：(1)x2+y2=0；(2)x2+y2−2x+4y−6=0；(3)x2+y2+2ax−b2=0．7.如图，四边形ABCD中，AB//CD，AD=BC，且AB=6，CD=4，AB与CD间的距离为3，求四边形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长．8.求下列各圆的圆心坐标和半径长，并画出它们的图形：(1)x2+y2−2x−5=0；(2)x2+y2+2x−4y−4=0；(3)x2+y2+2ax=0；(4)x2+y2−2by−2b2=0．9.求下列各圆的方程，并画出图形：(1)圆心为点C(8,−3)，且过点A(5,1)；(2)过A(−1,5)，B(5,5)，C(6,−2)三点．10.已知圆C的圆心在直线l：x−2y−1=0上，并且经过原点和A(2,1)，求圆C的标准方程．11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(−1,1)和B(1,3)，求圆C的方程．12.已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1)，B(x2,y2).求证此圆的方程是(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0．13.平面直角坐标系中有点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(−1,2)，这四点能否在同一个圆上？为什么？14.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一个端点B的坐标是(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程．并说明它是什么图形．15.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)∵圆心在C(−3,4)，半径长是√5，故圆的标准方程为(x+3)2+(y−4)2=5．(2)∵圆心在C(−8,3)，且经过点M(−5,−1)，故半径为MC=√(−5+8)2+(−1−3)2=5，故圆的标准方程为(x+8)2+(y−3)2=25．解析：(1)根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．(2)先求出圆的半径，可得圆的标准方程．本题主要考查圆的标准方程的求法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．2.答案：解：圆的方程是(x−3)2+(y+2)2=16，圆心O(3,−2)，半径r=4．(1)|OM1|2=(4.30−3)2+(−5.72+2)2=0.09+13.8384=13.9284<16，∴点M1在圆内．(2)|OM2|2=2.72+3.082=16.7764>16，可得点M2在圆外．(3)|OM3|2=(3−3)2+(−6+2)2=16，可得点M3在圆内．解析：分别利用两点之间的距离公式求出|OM i|2，与r2比较即可得出结论．本题考查了圆的标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：解：两点P1(4,9)，P2(6,3)，线段P1P2的中点为圆心O(5,6)，半径r=√(5−4)2+(6−9)2=√10．∴以线段P1P2为直径的圆的方程为：(x−5)2+(y−6)2=10．∵|OM|2=(6−5)2+(9−6)2=10，∴点M在圆上．∵|ON|2=(3−5)2+(3−6)2=13>10，∴点M在圆外．∵|OQ|2=(5−5)2+(6−3)2=9<10，∴点M在圆内．解析：两点P1(4,9)，P2(6,3)，线段P1P2的中点为圆心O(5,6)，半径r=√(5−4)2+(6−9)2=√10.即可得出以线段P1P2为直径的圆的方程．分别计算|OM|2，|ON|2，|OQ|2，与r2比较即可得出结论．本题考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：解：设三角形AOB的外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)三点代入，得：{16+4D+F=0 9+3E+F=0F=0，解得D=−4，E=−3，F=0，∴三角形AOB外接圆的方程为x2+y2−4x−3y=0．解析：设三角形AOB的外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)三点代入能求出圆的方程．本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．5.答案：解：(1)方程x2+y2−6x=0可化为(x−3)2+y2=9，圆心为(3,0)，半径为3；(2)方程x2+y2+2by=0可化为x2+(y+b)2=b2，圆心为(0,−b)，半径为|b|；(3)方程x2+y2−2ax−2√3ay+3a2=0可化为(x−a)2+(y−√3a)2=a2，圆心为(a,√3a)，半径为|a|．解析：把圆的方程化为标准方程，再求圆心和半径．本题考查了圆的一般方程的圆心和半径的求法问题，是基础题．6.答案：解：(1)x 2+y 2=0，则x =y =0，表示点(0,0)；(2)x 2+y 2−2x +4y −6=0，即(x −1)2+(y +2)2=11，表示以(1,−2)为圆心，√11为半径的圆；(3)x 2+y 2+2ax −b 2=0，即(x +a)2+y 2=a 2+b 2，a =b =0时，表示点(0,0)；a 2+b 2≠0时，表示圆．解析：利用所给方程，结合圆的方程，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查配方法，正确理解圆的方程是关键．7.答案：解：建立如图所示的坐标系，由题意可得C(2,3)、D(3,0)，圆心E 在y 轴上，设E(0,b)，3>b >0． 故有CE =BE ，∴22+(b −3)2=32+b 2，求得b =23，∴半径BE =√32+(23)2=√853，圆心为(0,23 )．解析：建立如图所示的坐标系，由题意可得C 、D 的坐标，设圆心E(0,b)，3>b >0，再根据CE =BE ，求得b 的值，可得圆心坐标和半径长BE ．本题主要考查等腰梯形、圆心和半径的性质，属于基础题．8.答案：解：(1)x 2+y 2−2x −5=0，即(x −1)2+y 2=6，故圆心为(1,0)，半径为√6．(2)x 2+y 2+2x −4y −4=0，即即(x +1)2+(y −2)2=9，故圆心为(−1,2)，半径为3．(3)x 2+y 2+2ax =0；即(x +a)2+y 2=a 2，故当a ≠0时，圆心为(−a,0)，半径为|a|．(4)x 2+y 2−2by −2b 2=0.即(x −b)2+y 2=3b 2，故圆心为(b,0)，半径为√3|b|．解析：把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．9.答案：解：(1)圆心为点C(8,−3)，且过点A(5,1)，故半径为AC =√(8−5)2+(−3−1)2=5， 故圆的标准方程为(x −8)2+(y +3)2=25．(2)设过A(−1,5)，B(5,5)，C(6,−2)三点的圆的方程为x 2+y 2+dx +ey +f =0，则由{1+25−d +5e +f =025+25+5d +5e +f =036+4+6d −2e +f =0，求得{d =−4e =−2f =−20，则圆的方程为x 2+y 2−4x −2y −20=0．解析：(1)先求出半径，可得圆的标准方程．(2)用待定系数法求圆的一般方程．本题主要考查求圆的方程的方法，属于中档题．10.答案：解：设圆的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，圆心(a,b)，半径r ．∵圆C 的圆心在直线l ：x −2y −1=0上，并且经过原点和A(2,1)，∴{a −2b −1=0a 2+b 2=r 2(2−a)2+(1−b)2=r 2解得{a =65b =110r 2=2920． 故圆C 的标准方程为(x −65)2+(y −110)2=2920．解析：设圆的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，圆心(a,b)，半径r.利用圆C 的圆心在直线l ：x −2y −1=0上，并且经过原点和A(2,1)，可得{a −2b −1=0a 2+b 2=r 2(2−a)2+(1−b)2=r2解得即可． 本题考查了圆的标准方程，属于基础题．11.答案：解：设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(−1,1)和B(1,3)在圆C 上∴|CA|=|CB|，即√(a +1)2+(0−1)2=√(a −1)2+(0−3)2解之得a =2，可得圆心为C(2,0)半径|CA|=√(2+1)2+(0−1)2=√10∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=10．解析：设圆心坐标为C(a,0)，根据A 、B 两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a 的方程，解出a 值．从而算出圆C 的圆心和半径，可得圆C 的方程．本题给出圆C 满足的条件，求圆的方程．着重考查了两点间的距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题．12.答案：证明：∵圆的一条直径的端点分别是A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴圆心为C(x 1+x 22,y 1+y 22)，半径为AB 2=12√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2，∴此圆的方程是(x −x 1+x 22)2+(y −y 1+y 22)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24， 即x 2−(x 1+x 2)x +(x 1+x 2)24+y 2−(y 1+y 2)y +(y 1+y 2)24=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24， 即x 2−(x 1+x 2)x +x 1⋅x 2+y 2−(y 1+y 2)y +y 1⋅y 2=0，即(x −x 1)(x −x 2)+(y −y 1)(y −y 2)=0．解析：由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．13.答案：解：设过的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0…(2分)将点A 、B 、D 的坐标分别代入圆的方程，得{1+E +F =04+1+2D +E +F =01+4−D +2E +F =0，解得：D =−2，E =−6，F =5，得圆的方程为x 2+y 2−2x −6y +5=0…(8分)将点C 的坐标代入上述所得圆的方程，方程成立点C 在该圆上，…(10分)四个点在同一个圆上．…(12分)解析：设过的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将点A 、B 、D 的坐标分别代入圆的方程，得圆的方程为x 2+y 2−2x −4y +3=0，将点C 的坐标代入上述所得圆的方程，方程成立，四个点不在同一个圆上．本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．14.答案：解：∵A(4,2)，B (3,5)∴|AB|=√10…(2分)∵等腰三角形的顶点是A ，底边一个端点是B 、C∴|CA|=√10，即C 在以A 为圆心，以√10为半径的圆上，…(4分)∴方程为(x −4)2+(y −2)2=10…(6分)又A ，B ，C 不能共线，故轨迹方程为(x −4)2+(y −2)2=10(x ≠3,5)，…(8分)轨迹是以A(4,2)为圆心，以√10为半径的圆除去(3,5)和(5,−1)两点．…(10分)解析：求出|AB|，等腰三角形的顶点是A ，底边一个端点是B 、C ，可得|CA|=√10，即C 在以A 为圆心，以√10为半径的圆上，从而可得结论．本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，应注意A ，B ，C 不能共线．属于中档题． 15.答案：解：设线段AB 的中点P(x,y)，若A 、B 不与原点重合时，则△AOB 是直角三角形，且∠O 为直角，则OP =12AB ，而AB =2a ，∴OP =a ，即P 的轨迹是以原点为圆心，以a 为半径的圆，方程为x 2+y 2=a 2(a >0)；若A 、B 有一个是原点，同样满足x 2+y 2=a 2(a >0)．故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2=a2(a>0)．解析：设AB的中点坐标为(x,y)，当A、B均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB中点轨迹，验证A、B有一点与原点重合时成立得答案．本题考查轨迹方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．。

描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

B组
1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。
2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。
2. 提示：三角形任意两边之和大于第三边。
3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角边BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，其体积为 ，同理，以直角边AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，其体积为 ，以斜边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥组合而成的简单组合体。
10．它们的表面积分别为 cm2， cm2， cm2；体积分别为 cm3， cm3， cm3；三视图略。
B组
1. (1)略
（2）表面积为 （3117）cm2，体积为 （12728） cm3；
（3）略。
2．水不会从水槽流出。
3．如右图所示的正方体，其中 分别为下底面和上底面中心，以 所在直线为轴，在转动过程中 的轨迹即是纸篓面。
1．略。
2．（1）√ （2）× （3）× （4）√
3．A
4．略
5．略
习题 1．2
A组
1．略
2．（1）三棱柱 （2）圆台 （3）四棱柱 （4）四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体
3~5．略
B组
1~2．略
3．此题答案不唯一，一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体，如图
1．3 空间几何体的表面积与体积
1．2 空间几何体的三视图和直观图
练习（第 15 页）

符号表示：P ∈α ∩β α ∩β = l，且 P ∈l。
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
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新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
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证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
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问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
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2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交