二重积分(习题)

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第九章 二重积分

习题9-1

1、设13221)(DdyxI,

其中}22,11|),{(1yxyxD;

又23222)(DdyxI,

其中}20,10|),{(2yxyxD,

试利用二重积分的几何意义说明1I与2I之间的关系.

解：由于二重积分1I表示的立体关于坐标面0x及0y对称,且1I位于第一卦限部分与2I一致,因此214II.

2、利用二重积分的几何意义说明:

(1)当积分区域D关于y轴对称,),(yxf为x的奇函数,即),(),(yxfyxf时,有0),(Ddyxf;

(2)当积分区域D关于y轴对称,),(yxf为x的偶函数,即),(),(yxfyxf时,有1),(2),(DDdyxfdyxf,其中1D为D在0x的部分.

并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222RyxyxD.

(I)Ddxy4; (II)DdyxRy222; (III)Ddyxxy2231cos.

解：令DdyxfI),(,1),(1DdyxfI,其中1D为D在0x的部分,

2 (1)由于D关于y轴对称,),(yxf为x的奇函数,那么I表示的立体关于坐标面0x对称,且在0x的部分的体积为1I,在0x的部分的体积为1I,于是0I;

(2)由于D关于y轴对称,),(yxf为x的偶函数,那么I表示的立体关于坐标面0x对称,且在0x的部分的体积为1I,在0x的部分的体积也为1I,于是12II.

(I)由于}|),{(222RyxyxD关于y轴对称,且4),(xyyxf为x的奇函数,

于是04Ddxy;

(II)由于}|),{(222RyxyxD关于x轴对称,且222),(yxRyyxf为y的奇函数,于是0222DdyxRy;

(III)由于}|),{(222RyxyxD关于x轴对称,且2231cos),(yxxyyxf为y的奇函数,于是01cos223Ddyxxy.

3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:

(1)DdyxI21)(与DdyxI32)(,其中D是由x轴、y轴与直线1yx所围成;

解：由于在D内,10yx,有23)()(0yxyx,所以

1232)()(IdyxdyxIDD.

(2)DdyxI)ln(1与DdyxI22)][ln(,

其中}10,53|),{(yxyxD.

3 解：由于在D内,63yxe,有1)ln(yx,2)][ln()ln(yxyx,所以

221)][ln()ln(IdyxdyxIDD.

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：

(1)DdyxxyI)1(,

其中}20,10|),{(yxyxD；

解：由于D的面积为2,且在D内,8)1(0yxxy,那么

1628)1(200Ddyxxy.

(2)DdyxI)94(22,

其中}4|),{(22yxyxD；

解：由于D的面积为4,且在D内,

25313949222yyx,那么

100425)94(493622Ddyx.

(3)DyxdI22coscos100,

其中}10|||| |),{(yxyxD；

解：由于D的面积为200,且在D内,

1001coscos1001102122yx,那么

2100200coscos1001022005110022Dyxd＝.

4 习题9-2

1、计算下列二重积分：

(1)Ddyx)(22,其中D是矩形区域: 1||,1||yx；

解：

38)31(2)()(11211112222dxxdyyxdxdyxD.

(2)Dyxdxye22,其中},|),{(dycbxayxD；

解：baxcdbadcyxDdxxeeedyxyedxdyx22222)(21)()(22.

))((412222cdabeeee.

(3)Ddyx)23(,其中D是由两坐标轴及直线2yx所围成的闭区域；

解：320)224()23()23(2022020dxxxdyyxdxdyxxD.

(4)Ddyxx)cos(,其中D是顶点分别为)0,(),0,0(和),(的三角形闭区域.

解：23)sin2(sin)cos()cos(000dxxxxdyyxxdxdyxxxD.

2、画出积分区域,并计算下列二重积分：

(1)Ddyx,其中D是由两条抛物线2,xyxy所围成的闭区域；

5 解：556)(3210447102dxxxdyyxdxdyxxxD.

(2)Ddxy,其中D是由直线xyxy2,及2,1xx所围成的闭区域；

解：492321212xdxdyxydxdxyxxD.

(3)Ddyx)2(,其中D是由xyxy1,及2y所围成的闭区域；

解：619)112()2()2(2122211dyyydxyxdydyxyyD.

(4)Dyxde,其中D是由1||||yx所确定的闭区域.

解：10110111xxyxxxyxDyxdyedxdyedxde

eeeeeedxeedxeexx1212232)()(101201112.

a:=0..1;

b:=x-1..-x+1;

f:=exp(x+y);

int(f,y=b);

int(int(f,y=b),x=a);

simplify(");

3、如果二重积分Ddyxf),(的被积函数),(yxf是两个函数)(1xf及)(2yf的乘积,即)()(),(21yfxfyxf,积分区域},|),{(dycbxayxD,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,

6 即

12(,)()()bdacDfxydfxdxfydy.

证明：

badcbadcDdyyfxfdxdxyxfdxdyxf)()(),(),(21

1212()()()()bdbdacacfxfydydxfxdxfydy.

4、化二重积分DdyxfI),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D是：

(1)由曲线xyln、直线2x及x轴所围成的闭区域；

图形>

plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1);

解：2ln0221ln0),(),(yexdxyxfdydyyxfdxI.

(2)由y轴及右半圆22yax所围成的闭区域；

图形>

plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);

7 解：aayaaxaxadxyxfdydyyxfdxI22222200),(),(.

(3)由抛物线2xy与直线32yx所围成的闭区域.

图形> plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);

解：319201(,)(,)yyyyIdyfxydxdyfxydx.

5、改换下列二次积分的积分顺序：

(1)10),(yydxyxfdy；

解：102),(xxdyyxfdxI.

8

(2)10),(eeydxyxfdy；

解：exdyyxfdxI1ln0),(.

(3)101122),(yydxyxfdy；

解：21222),(xxxdyyxfdxI.

(4)2120100),(),(2xxdyyxfdxdyyxfdx； 9 解：102),(yydxyxfdyI.

(5)0sin2sin),(xxdyyxfdx；

图形>

plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1);

解：10arcsinarcsin01arcsin2),(),(yyydxyxfdydxyxfdyI.

(6)21202022),(),(2xaaxxaxdyyxfdxdyyxfdx.

图形>

plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1);

解：aayaaayaaaydxyxfdydxyxfdyI020222222),(),(

aaaaydxyxfdy2222),(.

6、设平面薄片所占的闭区域D由直线xyyx,2和x轴所围成,它的面密度22),(yxyx,求该改薄片的质量.

图形>

plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);

解：10222)(),(xyDdxyxdydyxm

34)384438(1032dyyyy.