第9章 非线性回归
9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？
答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如：
(1) 乘性误差项，模型形式为
e y AK L αβε
=， (2) 加性误差项，模型形式为
y AK L αβε=
+
对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。
9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表9.14
生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%）
5.2
6.5
6.8
8.1
10.2 10.3 13.0
解：先画出散点图如下图：
5000.00
4000.003000.002000.001000.00x
12.00
10.00
8.006.00
y
从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此
采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS 输出结果如下：
Model Summ ary
.981
.962
.942
.651
R R Square
Adjusted R Square
Std. E rror of the Estimate
The independent variable is x.
ANOVA
42.571221.28650.160.001
1.6974.424
44.269
6
Regression Residual Total
Sum of Squares df
Mean Square
F Sig.The independent variable is x.
Coe fficients
-.001.001-.449-.891.4234.47E -007.000
1.417
2.812.0485.843 1.324
4.414.012
x x ** 2
(Constant)
B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta
Standardized
Coefficients
t
Sig.
从上表可以得到回归方程为：72ˆ 5.8430.087 4.4710y
x x -=-+⨯ 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线
Model Summ ary
.970
.941
.929
.085
R
R Square
Adjusted R Square
Std. E rror of the Estimate
The independent variable is x.
ANOVA
.5731.57379.538
.000
.0365.007
.609
6
Regression Residual Total
Sum of Squares
df
Mean Square
F Sig.The independent variable is x.
Coe fficients
.000.000.970
8.918.0004.003
.348
11.514.000
x
(Constant)
B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta
Standardized
Coefficients
t
Sig.The dependent variable is ln(y).
从上表可以得到回归方程为：0.0002t ˆ 4.003y
e 由参数检验P 值≈0<0.05，得到回归方程的参数都非常显著。
从R 2值，σ的估计值和模型检验统计量F 值、t 值及拟合图综合考虑，指数拟合效果更好一些。
9.3 已知变量x与y的样本数据如表9.15，画出散点图，试用αeβ/x来拟合回归模型，假设：
(1)乘性误差项，模型形式为y=αeβ/x eε
(2)加性误差项，模型形式为y=αeβ/x+ε。
表9.15
序号x y 序号x y 序号x y
1 4.20 0.086 6 3.20 0.150 11 2.20 0.350
2 4.06 0.090 7 3.00 0.170 12 2.00 0.440
3 3.80 0.100 8 2.80 0.190 13 1.80 0.620
4 3.60 0.120 9 2.60 0.220 14 1.60 0.940
5 3.40 0.130 10 2.40 0.240 15 1.40 1.620
解：散点图：
(1)乘性误差项，模型形式为y=αeβ/x eε
线性化：lny=lnα+β/x +ε令y1=lny, a=lnα,x1=1/x .
