基于李群的两种1R3T并联机构自由度分岔

0 前言*
少自由度并联机器人的机构自由度数少于 6。 对于实际应用中大量要求自由度少于 6 的操作任 务，多余的自由度增加了系统硬件、软件以及后期 维护的复杂性，成本也相应增加。和传统的 6 自由
* 国家自然科学基金资助项目(50605055)。20081210 收到初稿，20090508 收到修改稿
本文运用位移群理论分析 1R3T 4 自由度并联 机构的自由度分岔特性，得到其分支位移流形和动 平台位移流形，以及该类机构发生自由度分岔所必 须满足的结构几何条件，根据分支位移流形和结构 几何条件，可用 LEE 等[3]给出的分支运动链来构建 自由度分岔 1R3T 4 自由度并联机构。
1 基于位移子群的自由度分析
第 46 卷第 1 期 2010 年 1 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vo l . 4 6 N o . 1
Jan.
2010
DOI：10.3901/JME.2010.01.055
基于李群的两种 1R3T 并联机构自由度分岔*
陈巧红 李秦川 武传宇 胡旭东
虽然目前对 1R3T 4 自由度并联机器人构型综 合和自由度分析均已取得重要进展[5, 8-9]，绝大多数 研究仍集中于具有确定自由度的并联机构。对于具 有自由度分岔特性的并联机构，基本没有系统深入 的研究。
少自由度并联机构的自由度分岔可定义为当 机构处于某一奇异位型时，改变机构的关节变量可 使动平台具有不同的连续自由度。这一概念源于 WOHLHART[10]在 1996 年提出的运动转向机构。当 运动转向机构经过某一点时，机构的连续自由度发 生变化，然而杆件数目并无变化，机构的拓扑结构 也未改变。这和 DAI 等[11-12]提出的变胞机构有所不 同。变胞机构其特征在于机构的连续运动中有效杆 件数目发生变化，从而导致机构自由度的变化。对 运动转向机构的研究在很长的时间内一直局限于单 环机构[13]，直到 2006 年 FANGHELLA 等[14]才提出 数种自由度分岔的少自由度并联机构。2007 年 REFAAT 等[15]研制了具有自由度分岔特性的并联机 床。2009 年李秦川等[16]用螺旋理论提出的变自由度 4-xPxRxRxRyRN 也属于具有自由度分岔特性的 1R3T 4 自由度并联机构。
度并联机器人相比，使用经过优化设计的少自由度 并联机构在系统设计、制造和控制等方面可望有效 降低成本。典型范例是目前广泛应用的 Delta 3 自由 度移动机器人[1]。少自由度并联机器人的研究和应 用近 10 年来一直受到国际相关学术界和工业界的 高度关注，特别是少自由度并联机器人机构学中构 型综合理论与设计方法更成为热点问题。
n
{M} = I{Li}
(1)
i =1
式中，{M}表示动平台的刚体运动集合，{Li}表示 分支运动链末端刚体运动集合，{M}和{Li}可以是 位移子群，也可以是位移流形。对于一般位移流形 的求交，总可以归结为相邻的位移子群的求交集 运算。
根据前文中自由度分岔的定义和式(1)，当并联 机构具有自由度分岔特性时，其动平台的刚体运动 集合是
令 u、v、w 表示空间 3 个单位正交矢量。三维 位移子群{G(u)}也称为平面运动群，表示一个平 面内的两维移动和绕该平面法线 u 的一维转动。 {G(u)}可由 3 个不同的一维位移子群的乘积生成。 {G−1(u)} 是 三 维 位 移 子 群 {G(u)} 所 包 含 的 一 个 二 维位移流形，须满足{T(w)}{G−1(u)}＝{G(u)}[3]。 利用位移子群运算的封闭性，可以列出所有生成
{G(u)}和{G−1(u)}位移子群生成链以及对应的运动 链，参见表 2。
1.1 自由度分岔的位移子群表示 刚体在空间的六维运动或位移集{D} 是一个李
群，又称为位移群。而刚体在空间的任何运动集都
是 {D} 的一个子集或包括在 {D} 中的一个光滑流 形，如这个子集具有群的代数结构，则为李群{D} 的
一个李子群，又称为位移子群。如刚体的运动集合 不具有群的代数结构，则只是一个位移流形。
因为
{S(N )}{C(N, u)} =
{R(N, i)}{R(N, j)}{R(N, u)}{R(N, u)}{T (u)} =
{R(N, i)}{R(N, j)}{R(N, u)}{T (u)} =
{S(N )}{T (u)}
式中 i、j、k 表示空间三个线性无关的单位矢量。 所以与 SuN CN 等价的运动链为 SuN P ，圆柱副运动产 生的转动位移子群为冗余部分，即 SuN CN 运动链中 存在 1 局部自由度。 1.3 {G(u)}、{G−1(u)}和{X(w)}
示表 1 中 12 种位移子群中的任意一种。 在并联机构分析与综合中，该性质被广泛用来变换
分支运动链的结构和消除冗余子群。如生成位移流
形 {S(N)}{C(N ， u)} 的 运 动 链 为 SuN CN ， 下 标 N 表示球铰中心点，同时该点也在圆柱副的轴线上。
(浙江理工大学浙江省现代纺织装备技术重点实验室 杭州 310018)
摘要：运用李群理论对 1R3T (R——转动自由度；T——移动自由度)并联机构自由度分岔特性进行分析。简要介绍李群理论 应用于并联机构自由度分析所需理论基础，对 2-xPyRyRxRxR/yPxRxRyRyR 并联机构和 2-xPyRuPxRxR/yPxRvPyRyR 并联机构进行自 由度分析，通过对分支运动链产生的位移流形及所有分支位移流形的交集分析，证明这两种并联机构具有自由度分岔特性， 其动平台的位移集合为{X(x)}∪{X(y)}，进而得到具有自由度分岔特性的 1R3T 并联机构的分支位移流形为{G(x)}{G(y)}或 {X(x)}{R(N，y)}，同时给出机构的结构几何条件。当动平台平行于定平台时，该类机构处于奇异位形，此时动平台具有 5 瞬时自由度，机构的自由度分岔通过这一奇异位形实现，需要 5 个驱动器实现动平台运动的完全可控。 关键词：并联机构 李群 自由度 中图分类号：TH112
Abstract：Mobility bifurcation of 1R3T (R—rotational, T—translational) parallel mechanisms is studied by applying Lie group theory. Some theoretical fundamentals necessary for application of Lie group theory to mobility analysis of parallel mechanisms are briefly reviewed. Mobility analysis of the 2-xPyRyRxRxR/yPxRxRyRyR and 2-xPyRuPxRxR/yPxRvPyRyR parallel mechanisms is performed. It is proved that the two parallel mechanisms have mobility bifurcation with displacement set of the moving platform being {X(x)}∪ {X(y)}. Further, it is obtained that the limb displacement manifold of the 1R3T parallel mechanism with mobility bifurcation is {G(x)}{G(y)} or {X(x)}{R(N, y)}. The structural geometrical conditions of the 1R3T parallel mechanism with mobility bifurcation are also presented. When the moving platform is parallel to the base, the parallel mechanism is in a singular configuration and the moving platform has five instantaneous degrees of freedom. The mobility bifurcation happening in this singular configuration requires five actuators to control the motion of the moving platform. Key words：Parallel mechanism Lie group Mobility
{X(w)}
表示空间的三维移动和绕任意平行于 w 的轴 4 线的转动
表示空间的一般刚体运动，包括 3 个移动和
{D}
6 3 个转动
然而这 12 种位移子群并不能完全解释刚体在 空间的全部运动，在很多情况下，刚体的运动仅是 {D} 中的位移流形。
对于并联机构而言，其动平台的刚体运动集合 是所有分支运动链末端能实现的刚体运动集合的交 集，即
近年来，以李群和李代数为代表的现代微分几 何方法已被引入少自由度并联机器人机构学研究
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机械工程学报
第 46 卷第 1 期期
中，以 HERVÉ 等[2-6]和 MENG 等[7]为代表的学者在 少自由度并联机器人构型综合方面已取得许多重要 进展。当用李群或李子群表示刚体运动时，习惯上 又称之为位移群或位移子群。HERVÉ[2]在 1978 年 基于位移群(李群)的代数结构给运动链进行了分 类，给出了全部 12 种位移子群(李子群)和子群间交 集的运算法则，奠定了基于位移群综合法的基础。 后来 LI 等[4-6]逐步把位移群综合法用于所有类别的 少自由度并联机构的构型综合。MENG 等[7]在 2007 年建立了并联机构的微分几何综合法，该方法的重 要意义不仅在于在数学上更为严格准确，而且可望 为并联机构拓扑结构综合和后续的参数设计提供一 个统一的理论框架。