三角函数与向量
题型一三角函数平移与向量平移的综合
三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.
【例1】把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx ＋?)(A＞0，ω＞0，|?|＝)的图象，则?和B的值依次为（）A．，－3 B．，3 C．，－3 D．－，3
【分析】根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.
【解析1】由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y?＋3＝sin2(x?＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C.
【解析2】由向量＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y＝sin(2x ＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C.
【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.
题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合
此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.
【例2】已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.
【解】（Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝－(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，
又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B
＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.
＝2.
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，y
max
【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.
题型三三角函数与平面向量垂直的综合
此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.
【例3】已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求cos(＋)的值．
【分析】第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．
【解】（Ⅰ）∵⊥，∴·＝0．而＝（3sinα，cosα），＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故·＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．
∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．
（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．
由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，
∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－
【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.
题型四三角函数与平面向量的模的综合
此类题型主要是利用向量模的性质||2＝2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.
【例4】已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.
【分析】利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.
【解】(Ⅰ)∵|－|＝，∴2－2·＋2＝，
将向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)代入上式得
12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝.
(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，
由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，
又sinβ＝－，∴cosβ＝，
∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.
点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|－|为向量运算|－|2＝(－)2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.
题型五三角函数与平面向量数量积的综合
此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.
