2010年北京高考文科数学试题及解析

高考数学圆锥曲线复习策略一.圆锥曲线高考大纲文科（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（4）理解数形结合的思想。

（5）了解圆锥曲线的简单应用。

理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.锥曲线知识网络'对称轴兀轴 住占 八、、八、、标准方程y 2=2P x\顶点 离心率 准线 （卩>0）二.试题趋势近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:（1） 圆锥Illi 线的定义及标准方程； （2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题（1）圆锥曲线的定义及标准方程;1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的a 2b 225 9焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o定义：:椭圆l + IF2PI=2a(2a >1 F.F 2 I)标准方程召+令(a > b > 0)2 f 2a =b +对称轴 兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b隹占 八、、八、、定义：:< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a(2a<F }F 2 I)2 2 标准方程才*卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳I 》轴，虚轴长为"隹占八、、JW\（Q 〉O,b 〉O ）彳顶点21 2 a +b =c离心率 渐近线定义• 抛物线 <・\MF\=d答案：（±4,0）= 02 ,22.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1«〉0上〉0）的一条渐近线方程是a b厶y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。

川大附中高2023届高考热身（二）理科数学一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）1. 设全集，集合，，则（ ） U =R {}1,0,1,2A =-{|2}x B y y ==U A B ðA.B. C. D. {}1-{}10-，{}101-，，{}102-，，【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算，先找到，再求交集.U B ð【详解】根据题意，，则, {}{|2}0x B y y y ===>{}|0U B y y =≤ð集合，{}1,0,1,2A =-.{}1,0U B A ∴=- ð故选：B .2. 已知为虚数单位，若复数，则（ ）i 1z =-z =A. B. C. D. 248【答案】B【解析】【分析】利用模长公式求出复数的模长.【详解】.2z ==故选：B3. 某公司有员工15名，其中包含经理一名．保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差 【答案】A【解析】【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解.【详解】由题意，公司15名员工的工资情况组成15个数据，按大小顺序排列，排在中点的数是中位数，取到一个最大值和一个最小值，剩余13个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变；平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化；极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化.故选：A.【点睛】本题主要考查统计知识的应用，其中解答中涉及到中位数、平均数和方差、极差的概念及应用，属于基础题.4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）,αβ,m n A. 若，则//,,m n αβαβ⊂⊂//m n B. 若，则,m αβα⊥⊥//m βC. 若，则,,m n m n αβ⊥⊥⊥αβ⊥D. 若，则,//m αβα⊥m β⊥【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A 的正误；考虑直线是否在平面内可得选项B 的正误；m β选项C 根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D 考虑直线与平面的位置关系可得正误.m β【详解】对于选项A ，缺少共面的条件，因此得不到，直线还可以互为异面直线，故A ,m n //m n ,m n 错误；对于选项B ，直线还可以在平面内，故B 错误；m β对于选C ，由得分别为的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互,,m n m n αβ⊥⊥⊥,m n ,αβ相垂直，故C 正确；对于选项D ，直线与平面或平行，或相交，或直线在平面内，故D 错误.m β故选：C.5. 已知，则（ ） π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C. D. 24252425-725725-【答案】D【解析】【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】 π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2π72sin 1325α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选：D6. 如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），ABCD M CD N AM AN NM <若存在实数和，使得，则（ ） λμBN AB AD λμ=+λμ+=A. B. C. D. 541212-54-【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量的线性运算进行向量的基底表示，即可得的值.,λμ【详解】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所N AM AN NM <13AN AM = M CD 以.又1122DM DC AB == 13BN AN AB AM AB =-=-= ，所以. ()111332AD DM AB AD AB AB ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭ 5163AB AD -+ 511632λμ+=-+=-故选：C. 7. 已知，则的最小值为 0a b >>412a a b a b +++-A. 6B. 4C. D.【答案】A 【解析】 【详解】因为，而41141[][()()]2a b a b a b a b a a b a b+=+++-+-+-（当且仅当时14114()19[][()()][5][54]2222a b a b a b a b a a b a b a a b a b a a+-+++-=++≥+=+--+3a b =取等号），故（当且仅当取等号），应选答案A ． 412a a b a b +++-9262a a ≥+≥32a =8. 将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）124057A.B. C. 216 D.152180312【答案】D【解析】【分析】由题意，分末尾是或，末尾是，即可得出结果.240【详解】由题意，末尾是或，24不同偶数个数为， 114244C C A 192=末尾是，0不同偶数个数为，55A 120=所以共有个.312故选：D9. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为若函[]0,1()[]1,,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有，当时，()f x ()()20f x f x ++=[]0,1x ∈，则（ ） ()()f x R x =()2022ln 25f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭A. B. C. D. 152525-15-【答案】D【解析】【分析】根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由，得，则()()20f x f x ++=()()2f x f x +=-，所以的周期为，()()()42f x f x f x +=-+=()f x 4因为函数是定义在实数集上的偶函数， 所以，()f x ()()ln 2ln 2f f -=为无理数，所以，()ln 20,1∈()ln 20f -=， 2022221()5555f f R ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. ()202211ln 20555f f ⎛⎫--=-=-⎪⎝⎭故选：D. 10. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球A BCD -2AB CD ==3AD BC ==3AC BD ==A BCD -的表面积为（ ）A. B. C.D.11π22π44π【答案】B【解析】【分析】将三棱锥补全为长方体，各条棱分别为长方体的面对角线，根据长方体外接球为其体对角线的一半可求得所求的外接球半径，由球的表面积公式可得结果.【详解】可将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方A BCD -体的外接球即为三棱锥的外接球.A BCD -设长方体的长、宽、高分别为，则，，,,a b c 222222949a c b c a b ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22211a b c ∴++=所求外接球的半径∴R ==三棱锥的外接球的表面积.∴A BCD -2411S R ππ==故选：B .【点睛】关键点点睛：本题考查多面体外接球的求解问题，解题关键是能够通过将三棱锥补全为长方体，将问题转化为长方体外接球的求解.11. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于拋物线的轴.如图所示，从拋物线的焦点向轴上方发出的两条光线分别经抛物线上的2:2(0)C y px p =>F x ,a b 两点反射，已知两条入射光线与轴所成角均为，且，则两条反射光线之间,A B x 3π8FB FA +=,a b ''的距离为（ ）A.B. 4C. 2D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，则可求出直线的方程，分别与抛物线方程联立表示出的坐,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,AF BF ,A B 标，由结合抛物线的定义可求出，从而可求出两点纵坐标的差，即可得两条反射8FB FA +=p ,A B 光线之间的距离.,a b ''【详解】由题意得， ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭因为，所以直线的斜率为，3OFA π∠=FA tan 3π-=所以直线为， FA 2p y x ⎫=-⎪⎭由，得， 222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩2322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得或， 16x p =32x p=所以， 16A p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭同理直线的方程为， BF 2p y x ⎫=-⎪⎭由，得，222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩2322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得或， 16x p =32x p =所以，32B p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，8FB FA +=所以，8A B x x p ++=所以，解得， 13862p p p ++=3p =所以两条反射光线之间的距离为,a b ''B A y y -==故选：D12. 关于函数，有以下三个结论：2()(1)e x f x x ax =+-①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；1-②函数的极值点不可能是；1-③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】D【解析】【分析】把函数的零点转化为函数的零点，即可判断①；求得后代入，根据()f x 21y x ax =+-()f x '=1x -是否为0即可判断②；设的两个实数根为，且，结合①可()f x '()2210x a x a +++-=3x 4x 34x x <得当时，，再证明即可判断③；即可得解.()3,x x ∈-∞()0f x >4()0f x <【详解】由题意函数的零点即为函数的零点， ()2()1e xf x x ax =+-21y x ax =+-令，则，所以方程必有两个不等实根，，设，210x ax +-=240a =+> 1x 2x 12x x <由韦达定理可得，故①正确；121x x =-， ()()()22()2e 1e 21e x x x f x x a x a a x x x a ⎡⎤+=+++-⎣=++⎦'-当时，，故不可能是函数的极值点，故②正确；=1x -()1112()e 201a a f x e --=--+-'=-≠1-()f x 令即，， ()0f x '=()2210x a x a +++-=()()2224180a a a =+--=+> 设的两个实数根为，且， ()2210x a x a +++-=3x 4x 34x x <则当，时，，函数单调递增，()3,x x ∈-∞()4,x x ∈+∞()0f x '>()f x 当时，，函数单调递减，所以为函数极小值；()34,x x x ∈()0f x '<()f x 4()f x 由①知，当时，函数，所以当时，，()1,x x ∈-∞()0f x >()3,x x ∈-∞()0f x >又 ，所以，所以，(0)0x f e =-<()30,x ∈+∞()4()00f x f ≤<所以为函数的最小值，故③正确.4()f x 故选：D.【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：______．2lg 2lg 2lg 5lg 5++=【答案】1【解析】【分析】利用可得结果.lg 2lg 51+=【详解】.2lg 2lg 2lg 5lg 5++=lg 2(lg 2lg 5)lg 5++lg 2lg10lg 5lg 2lg 5lg101=+=+==故答案为：1【点睛】本题考查了常用对数，考查了对数的运算法则，属于基础题.14. 数独是一种非常流行的逻辑游戏.如图就是一个数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出66⨯所有剩余空格的未知数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线官内的数字均含1—6这6个数字()32⨯（每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现），则图中的______.a b c d +++=【答案】17【解析】【分析】根据题中要求每一行、每一列、每一个粗线官内的数字均含1—6这6个数字，且不重()32⨯复，分析每行、每列所缺数字，填入表中，即可得答案.【详解】由题意得：第2列缺少2，则第4行第2列为2，所以第3行第1列为5，所以第1列缺少1和6，则a+c =7,第4行缺少5，所以第4行第6列为5，所以第6列缺少4和6，则b+d =10，所以71017a b c d +++=+=故答案为：1715. 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>M C 2MF 相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为______222x y b +=E E 2MF C【解析】【分析】根据中位线定理，圆的切线的性质得理解三角形，结合椭圆定义利用勾股定理得出关系，,,a b c并结合得出关系从而得离心率．222a b c =+,a c 【详解】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点，连接OE ，，∵E ，O 分别是，2MF E 1MF 2MF 的中点，∴EO ，且||=2|EO |=2b ，OE ⊥，∴⊥，||=2c ，∴||=12F F //1MF 1MF 2MF 1MF 2MF 12F F 2MF，根据椭圆的定义，||+||=2a ，∴1MF 2MF 22,b a a b +=∴-=，代入并化简得：，，， 22222a ab b c b -+=-222c a b =-23a b =2,3b a c ∴==c e a ==．16. 已知函数的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实π()sin(4f x x x ωω=+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦数的取值范围为______.ω【答案】 5π3π3π5π(,][,)4444-- 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的对称轴和对称中心可求出结()f x 果.【详解】 π()sin()4f x x x ωω=+ππ(sin cos cos sin 44x x x ωωω=+, sin 2cos 21x x ωω=++π14x ω=++当时，为常数，不合题意， 0ω=()f x 当， 时， ， 0ω>102x ≤≤πππ2444x ωω≤+≤+要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心， ()f x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，即， π3ππ42ω≤+<3π5π44ω≤<当， 时，， 0ω<102x ≤≤πππ2444x ωω+≤+≤要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心， ()f x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，即. πππ42ω-<+≤-5π3π44ω-<≤-故答案为：. 5π3π3π5π(,[,)4444-- 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 数列前项和为，满足：，. {}n a n n S 12a =122n n a S +=+（1）求证：数列是等比数列； {}1n S +（2）求和：.12n S S S ++⋅⋅⋅+【答案】（1）证明见解析；（2）.13322n n +--【解析】 【分析】（1）由递推关系结合可得即可证明；11n n n a S S ++=-()1131n n S S ++=+（2）由（1）求出，分组求和法即可求出.31nn S =-【详解】（1）由可得，即 122n n a S +=+122n n n S S S +-=+()1131n n S S ++=+∵，， 112S a ==132n n S S +=+∴，∴， 0n S >10n S +>∴对任意恒成立，1131n n S S ++=+*n ∈N 故数列是以为首项，公比为3的等比数列；{}1n S +113S +=（2）由（1）知：，即，11333n n n S -+=⋅=31nn S =-故.1212313131nn S S S +++=-+-++- 1133331322n n n n +-=⋅-=---18. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢局或打满局时比赛结束.设甲、乙26在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛相互独立，用表示比赛结束时的比赛局数. 12X （1）求双方打满四局且比赛结束，甲获胜的概率； （2）求的分布列和数学期望. X 【答案】（1）18（2）分布列见解析，72【解析】【分析】（1）利用独立重复试验概率公式求解即可；（2）先分析的可能取值，由此计算出对应的概率，可得的分布列，根据分布列可计算出数学期望. X X 【小问1详解】由已知事件双方打满四局且比赛结束，甲获胜等价于甲前两局胜一局，后两局连胜， 又甲在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛相互独立， 12设事件双方打满四局且比赛结束，甲获胜为，则A ； ()312111C 228P A ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭【小问2详解】的可能取值为，，.X 246，则甲或乙连赢两局，所以；2X =()()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则甲或乙在前局比赛中只赢了第一局或第二局， 4X =()4所以； ()31211142C 224P X ⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，则在前局比赛中双方打平， 6X =4所以， ()2211221116C C 224P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的分布列为X X2 46P1214 14.()11172462442E X =⨯+⨯+⨯=19. 如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，C AB O ,A B PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线.4BC =,E F ,PC PB AEF ABC l（1）求证：直线平面；l ⊥PAC （2）直线上是否存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余？若存在，求出l Q PQ AEF EF 的值；若不存在，请说明理由.AQ 【答案】（1）见解析 （2）存在，1AQ =【解析】【分析】（1）证明，可得面，根据线面平行的性质可得，再根据面面垂BC EF ∥BC EFA BC l ∥直的性质可得面，即可得证；BC⊥PAC （2）取中点，连接，，说明，，两两垂直，分别以线段，，AC M PM MO MA MO MP MA MO 所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法可得出答案.MP x y z M xyz -【小问1详解】证明：∵，分别是，的中点，∴， E F PB PC BC EF ∥又平面，面，∴面，EF ⊂EFA BC ⊄EFA BCEFA 又面，面面，∴， BC ⊂ABC ⋂EFA =ABC l BC l ∥又，面面，面面， BC AC ⊥PAC ABC AC =PAC ⊥ABC ∴面，则面；BC⊥PAC l ⊥PAC 【小问2详解】解：取中点，连接，∵，∴， AC M PM PA PC AC ==PM AC ⊥∵平面平面，平面平面， PAC ⊥ABC PAC ABC AC =又∵平面，∴平面， PM ⊂PAC PM ⊥ABC 又∵是以为直径的圆上异于A ，的点，∴，C AB O B AC BC ⊥∵点，分别是，中点， M O AC AB 连接，则，MO MO AC ⊥分别以线段，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，MA MO MP x y z M xyz -则，，，，，，()1,0,0A ()1,4,0B-(P (),0,0C-12E ⎛- ⎝1,2F ⎛- ⎝∴，，33AE ⎛=- ⎝ ()0,2,0=EF 设，，()1,,0Qy (1,,PQ y =设面的法向量为，AEF (),,m x y z =则，取，得，30220AE m x z EF m y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩z=(m =cos ,PQ，cos ,PQ 依题意，得，cos ,cos ,PQEF PQ m =，解得，即，=1y =±()1,1,0Q ±∴，1AQ =∴直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，且．l Q PQ AEF EF 1AQ =20. 已知函数.1()1x f x ae x -=--（1）当时，讨论函数的单调性；a R ∈()f x （2）当时，若，且在时恒成立，求实数a 的取值范围. 0a >()ln ln g x x x a =--()()f x g x ≥0x >【答案】（1）答案见解析；（2）.1a ≥【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论分析单调性即可； 0a ≤0a >（2）由已知不等式可令，通过恒成立，得到；再证明当1()ln ln 1x h x aex a -=-+-(1)0h ≥1a ≥时，在时恒成立.利用放缩法得到，所以只需证1a ≥()0h x ≥0x >1()ln 1x h x e x -≥--1ln 10x e x ---≥在时恒成立.记，求导，结合导数研究函数的最值，即可求解. 0x >1()ln 1x T x ex -=--【详解】解：（1），1()1x f x ae'-=-①当时，恒成立， 0a ≤()0f x '<即函数在递减； ()f x (,)∞∞-+②当时，令， 0a >()0f x '>解得， 1ln x a >-令， ()0f x '<解得，1ln x a <-即函数在上单调递增，在上单调递减. ()f x (1ln ,)a -+∞(,1ln )a -∞-综上，当时，函数在递减；0a ≤()f x (,)∞∞-+当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 0a >()f x (1ln ,)a -+∞(),1ln a -∞-（2）由题意，即当时在时恒成立， 0a >()()0f x g x -≥0x >即在时恒成立. 1ln ln 10x ae x a --+-≥0x >记，1()ln ln 1x h x aex a -=-+-则， (1)ln 10h a a =+-≥记，()ln 1a a a ϕ=+-在递增， 1()10,()a a aϕϕ'=+>(0,)a ∈+∞又，(1)0ϕ=当时， (1)ln 10h a a =+-≥得.1a ≥下面证明：当时，在时恒成立.1a ≥1()ln ln 10x h x ae x a -=-+-≥0x >因为.11()ln ln 1ln 1x x h x aex a e x --=-+-≥--所以只需证在时恒成立. 1ln 10x e x ---≥0x >记，1()ln 1x T x ex -=--所以， 11(1)0,()x T T x e x'-==-又， 121()0x T x ex-''=+>所以在单调递增， ()T x '(0,)+∞又，(1)0T '=所以，单调递减；(0,1),()0x T x '∈<()T x ，单调递增，(1,),()0x T x '∈+∞>()T x 所以， min ()(1)0T x T ==∴ 在恒成立. ()0T x ≥(0,)+∞即在时恒成立.1()ln ln 10x h x aex a -=-+-≥0x >综上可知，当在时恒成立时， ()()f x g x ≥0x >实数a 的取值范围为.1a ≥【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.21. 已知椭圆E :的一个焦点为,长轴与短轴的比为2:1.直线()222210y x a b a b+=>>(l y kx m=+：与椭圆E 交于P ､Q 两点,其中为直线的斜率. k l (1)求椭圆E 的方程;(2)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线的斜l 率取何值,定圆O 恒与直线相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理k l 由.【答案】(1) (2)存在,.的取值范围是 2214y x +=2245x y +=m ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算出得到答案.2,1a b ==（2）设直线OP 的方程为:点的坐标为,则,联立方程组,y tx P =()00,x y 00y tx =，设坐标原点O 到直线的距离为d ,则有，得到220224414y txxy t x =⎧⎪=⎨++=⎪⎩，解得：l PQ d OP OQ =，计算得到答案. d =【详解】(1)由已知得:解得:椭圆E 的方程为2222c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩2,1a b ==∴2214yx +=(2)假设存在定圆O ,不论直线的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线相切. l l 这时只需证明坐标原点O 到直线的距离为定值即可.l 设直线OP 的方程为:点的坐标为,则,,y tx P =()00,x y 00y tx =联立方程组 220224414y txx y t x =⎧⎪=⎨++=⎪⎩，解得：①()()22222200024114t OP x y t x t+∴=+=+=+以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,,直线OQ 的方程为:OP OQ ∴⊥1y x t=-在①式中以换t ,得② ∴1l -()2222214141=1414t t OQ t t ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭又由知:OP OQ ⊥()()()()()222222222224141201414144t t t PQ OP OQ t tt t+++=+=+=++++设坐标原点O 到直线的距离为d ,则有l PQ d OP OQ =()()()()()22222222222241414414,5201144t t OP OQ l l d d PQ t t t++⋅++∴====+++又当直线OP 与轴重合时,此时 y ()()0,2,1,0P Q ±±d =由坐标原点O到直线的距离为定值知,所以存在定圆O ,不论直线的斜率k 取何值时,定圆O 恒l d =l 与直线相切,定圆O 的方程为:. l 2245x y +=直线与轴交点为,且点不可能在圆O 内,又当k =0时,直线与定圆O 切于点,l y ()0,m ()0,m l0,⎛⎝所以的取值范围是m ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知点在曲线上．(),P x y 221x y +=（1）求动点的轨迹C 的参数方程，并化为直角坐标方程； (),M x y xy +（2）过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且，求直线l 的斜率． 1716OA OB ⋅=【答案】（1）参数方程为，为参数；直角坐标方程为cos sincos sin x y θθθθ=+⎧⎨=''⎩θ(212x y x =+≤≤（2） 14±【解析】【分析】（1）先将曲线化为参数方程，可得到动点，从而得到221x y +=()cos sin ,cos sin M θθθθ+点M 的轨迹C 的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先设l 的参数方程，再代入曲线C 的方程得，再结合韦达定理和同角三22cos 2sin 10t t αα--=角函数的基本关系求解即可．由题意，曲线的参数方程为，为参数，221x y +=cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ则，()cos sin ,cos sin M θθθθ+再设，则，为参数，(),M x y ''cos sin cos sin x y θθθθ=+⎧⎨=''⎩θ消去参数，得到，(212x y x =+≤≤故点M 的轨迹C 的方程为．(212x y x =+≤≤【小问2详解】设l 的参数方程为（t 为参数），且，cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩x ≤≤代入曲线C 的方程得，22cos 2sin 10t t αα--=设A ，B 两点对应得参数分别为，，则，1t 2t 1221cos t t α⋅=-所以，则， 21221171tan cos 16OA OB t t αα⋅=⋅==+=1tan 4α=±即直线l 的斜率为．14±23. 设不等式的解集为，且，. ()*1x a a +>∈N A 32A ∈12A ∉（1）求的值；a（2）若、、为正实数，且，求的最小值. m n s m n a +=222m n s ++【答案】（1）2a =（2）的最小值为 222m n s ++1【解析】【分析】（1）根据，可得出实数的取值范围，结合可得出的值；32A ∈12A ∉a a *∈N a（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得的最小值. 1m n +=222m n s ++【小问1详解】因为，，所以，，即，32A ∈12A ∉131122a +≤<+3522a ≤<因为，则.a *∈N 2a =由（1）可知，，1,,,0m n m n s +=>由柯西不等式可得，()()2222222114m n s m n ⎡⎤++++≥+=⎢⎥⎣⎦当且仅当时，即当，时，等号成立，m n ==12m n ==s =所以，，当且仅当时，即当，时，等2221m n s++≥=m n ==12m n ==s =号成立，因此，的最小值为.222m n s ++1。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共40分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。

2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

在试卷上作答无效。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。

1．设集合21{|2},{1}2A x x B x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤，∴{12}A B x x =-≤< ，故选A.2．已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D.w 【解析】.k.s.5.u.c 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a()1,0=，b()0,1=，若1k =，则c =a +b()1,1=，d =a -b()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b()1,1=-，d =-a +b()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D3．若4(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ）A ．33B ． 29C ．23D ．19 【答案】B.w 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵()()()()()()412341234444441222222CC C C C +=++++1421282417122=++++=+，由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B..k.s.5.u.c 4．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C.w 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg 10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg10x y x -=--=.故应选C.5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120 【答案】C.w 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有122A =种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =⨯⨯=种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448⨯=（个）.故选C.6．“6πα=”是“1cos22α=”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A .w 【解析】本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当6πα=时，1cos2cos32πα==，反之，当1cos22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈，或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.7．若正四棱柱1111ABCD ABC D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 ( )A ．33B ． 1C ．2D ．3【答案】D.w 【解析】.k 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160B AB ︒∠=，如图，11tan603BB ︒=⨯=，故选D.8．设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PPP ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.大光明 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 为各边三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF ，其中，()021,3i P A P A PA i =≤=即点P 可以是点A.第Ⅱ卷（110分） 注意事项：1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

数学试卷 第1页（共24页）数学试卷 第2页（共24页）数学试卷 第3页（共24页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（ ）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 在复平面内,复数10i3i+对应的点的坐标为 （ ）A . (1,3)B . (3,1)C .(1,3)-D . (3,1)-3. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A . π4B . π22-C .π6D .4π4- 4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ）A . 2B . 4C . 8D . 16 5. 函数121()()2x f x x =-的零点个数为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 3 6. 已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A . 1322a a a +≥B . 2221322a a a +≥C . 若13a a =,则12a a =D . 若31a a ＞,则42a a ＞7. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为（ ）A . 5B . 7C . 9D . 11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9. 直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为________.10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________；=n S ________.11. 在ABC △中,若3a =,b π3A ∠=,则C ∠的大小为________. 12. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =,则22()()f a f b +=________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜,则m的取值范围是________.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间.俯视图侧（左）视图正（主）视图434姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共24页）数学试卷 第5页（共24页）数学试卷 第6页（共24页）16.（本小题共14分）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,D ,E 分别为AC ,AB 的中点,点F 为线段CD 上的一点.将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1A F CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：DE ∥平面1A CB ； （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ,使1AC ⊥平面DEQ ？说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值 （结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值； （Ⅱ）当3a =,9b =-时,若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ,直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当AMN ∆时,求k 的值.20.（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表,满足性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-,且0a b c d e f +++++=.记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1,2,3)j =；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,3|()|c A 中的最小值. （Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表A 形如其中10d -≤≤.求()k A 的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ,求()k A 的最大值.D FDE BCA 1F CB 图2图1{|AB x x x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭【提示】求出集合，然后直接求解A B 。

r2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}320,(1)(3)0A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A B I=（ ）A.(,1)-∞-B.2(1,)3--C.2(,3)3-D.(3,)+∞ 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】23A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎭⎩，利用二次不等式的解法可得{3B x x =>或}1x <，画出数轴易得}{3A B x x =>I . 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点坐标为 （ ） A. (1,3) B.(3,1) C.(1,3)- D.(3,1-)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义. 【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A 【试题解析】10i 10i(3i)13i 3i (3i)(3i)-==++++，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A. 3.设0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ）A.π4 B. π22- C. π6 D.4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率. 【参考答案】D【试题解析】题目中0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p ⨯-⨯-==⨯，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）A.2B.4 C ．8 D.16 【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值. 【参考答案】C 【试题解析】0,11,12,23,8,k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==循环结束，输出的S 为8，故选C.5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数. 【参考答案】B【试题解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2xx =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .6. 已知}{n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）A.1222a a a +…B.2221322a a a +…C.若则12a a = ,则132a a a +…D.若31a a >，则42a a >【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质. 【参考答案】B【试题解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0,a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。

数学（文）（北京卷） 第 1 页（共 10 页）绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|24}A x x =<<，{|3B x x =<或5}x >，则A B =I（A ）{|25}x x << （B ）{|4x x <或5}x > （C ）{|23}x x << （D ）{|2x x <或5}x >（2）复数12i2i+=- （A ）i （B ）1i + （C ）i -（D ）1i -（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8 （B ）9 （C ）27 （D ）36（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A ）11y x=- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+（D ）2x y -=数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页）（5）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B ）2 （C（D）（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15（B ）25 （C ）825（D ）925（7）已知(2,5),(4,1)A B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（A ）1- （B ）3 （C ）7（D ）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 10 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1977•北京）计算：．2．（10分）（1977•北京）化简：．3．（10分）（1977•北京）解方程：．4．（10分）（1977•北京）不查表求sin105°的值．5．（10分）（1977•北京）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）（1977•北京）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）（1977•北京）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）（1977•北京）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）（1977•北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1977•北京）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）（1977•北京）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）（1977•北京）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）（1977•北京）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）（1977•北京）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）（1977•北京）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）（1977•北京）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）（1977•北京）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）（1977•北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．。

2010山东文科数学
导言
2010年山东文科数学考试题目是山东省高考文科数学试卷中的一部分。

本文将对该年份的数学试题进行解析和讲解，帮助考生更好地理解和掌握考点和解题方法。

题目解析
题目一
题目一
题目一
该题目是关于……
解题方法：
步骤一…
步骤二…
……
题目二
题目二
题目二
该题目是关于……
解题方法：
步骤一…
步骤二…
……
难点剖析
在2010年的山东文科数学考试中，有几个题目可能会让考生感到困惑，下面列举其中几个难点并给出解析：
1.难点一
题目描述…
解析…
2.难点二
题目描述…
解析…
解题技巧
为了帮助考生在山东文科数学考试中取得好成绩，下面给出一些解题技巧和方法：
1.抓住重点
在解题过程中，一定要抓住题目的重点，弄清楚题目要求，然后有针对性地进行解答。

2.多做练习题
通过多做一些练习题，巩固基本知识，熟悉题型，加深对题目的理解和把握。

3.注意思维逻辑
解题时要注意思维逻辑的合理性，尽量做到不出错，不漏项。

总结
通过对2010年山东文科数学考试试题的解析和讲解，本文对考生在备考过程中遇到的难点进行了剖析，并给出了解题的技巧和方法。

希望通过本文的学习，考生能够更好地应对山东文科数学考试，取得优异的成绩。

1998年北京高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。

2010年全国高考数学模拟试题1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1、已知数列{}n a 的前n 项和2(,)n S an bn a b R =+∈，且25100S =，则1214a a +等于( )A. 16B. 4C. 8D. 不确定2、已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于 （ ） A .12 B. 12- C. 2 D. -2 3、已知,x y Z ∈，则满足000x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的点(x,y)的个数为 ( )A. 9B. 10C. 11D. 124、设函数2()2cos 2f x x x a =++，（a 为实数）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为 -4，那么a 值等于 （ ）A. -4B. -6C. 4D. -3 5、设函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，若1210()50f x x x ⋅⋅=……，则2222110()()()f x f x f x ++……等于（ ）A. 21B. 50C. 100D. 2log 50a6、函数极限00limx x →的值为（ ）B. 02xC. 012x7、若函数1(0)()0(0)2(0)x x x f x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩，则x=0是函数f(x)的 ( )A. 连续点 B .无定义点 C. 不连续点 D. 极限不存在点8、设随机变量ξ服从正态分布N(0,1) ，记()()x P x ξΦ=< , 则下列结论不正确的是 ( ) A. 1(0)2Φ=B. ()1(1)x x Φ=-Φ-C. (||)2()1(0)P a a a ξ<=Φ->D. (||)1()1(0)P a a a ξ>=-Φ->9、一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（735,414等），那么这样的三位数共有 ( ) A. 240 个 B. 249 个 C.285 个 D. 330个10、设12,F F 是双曲线221445x y -=左右两个焦点，P 是双曲线左支上的点，已知1212||||||PF PF F F 、、成等差数列，且公差大于0，则点P 的横坐标为 ( ).A. 167B. 167-C. 167± D. 211、将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线BD 折起，使得点A 到点A '的位置，且1A C '=，则折起后二面角A DC B '--的大小 （ ）A. arctanB. 4πC. D. 3π12、对于任意整数x,y ，函数f(x)满足f(x+y)=f(x)=f(y)+xy+1，若f(1)=1, 则f(-8)等于 （ ）A. -1B. 1C. 19D. 43二、填空题（每小题5分，共20分）13、设方程210x mx -+=两根根为,αβ，且01,12αβ<<<<，则实数m 的取值X 围是____14、若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点12,F F ，P 是两曲线的公共点，则12||||PF PF ⋅的值是__________. 15、若 (1)nx +231n bx ax x =++++，()n N ∈，且:3a b =，则n=_________.AC B DE F16、如图是一个体积为 E 、F ，则线段EF 的长为_________. 三、解答题17、（10分）已知ABC ∆中，角A,B,C 对应的边为a,b,c ，A=2B ,cos 3B =（1）求sinC 的值；（2）若角A 的平分线AD 的长为2，求b 的值。