训练一：2019年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：已知0
90=∠ACB ，P 为平面ABC 外一点，2=PC ，点P 到
ACB ∠两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 。
本题解答：如下图所示：
假设：⊥PO 平面ABC ，OD 、⊂OE 平面OD PO ABC ⊥⇒，OE PO ⊥。
22223PO PO PD OD OD PO -=-=⇒⊥，22223PO PO PE OE OE PO -=-=⇒⊥ OE OD OE OD =⇒=⇒22。
⊥PO 平面ABC ，AC ，⊂BC 平面AC PO ABC ⊥⇒，BC PO ⊥。
AC PO ⊥，AC PD ⊥，PO 、⊂PD 平面⊥⇒AC PDO 平面PDO ，⊂OD 平面OD AC PDO ⊥⇒。
BC PO ⊥，BC PE ⊥，PO 、⊂PE 平面⊥⇒BC PEO 平面PEO ，⊂OE 平面OE BC PEO ⊥⇒。 OD AC ⊥，OE BC ⊥，⇒=∠090ACB 四边形CEOD 是矩形，⇒=OE OD 四边形CEOD 是正方形。
在COD Rt ∆中：2
2
2
2
2
2
2633PO PO PO CD OD CO -=-+-=+=。
⊥PO 平面ABC ，⊂OC 平面222222226=-+⇒=+⇒⊥⇒PO PO PC OC PO OC PO ABC
⇒=⇒=⇒222PO PO P 到平面ABC 的距离为2。
训练二：2019年高考文科数学新课标Ⅰ卷第19题：如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，41=AA ，
2=AB ，060=∠BAD ，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，D A 1的中点。
（Ⅰ）证明：//MN 平面DE C 1； （Ⅱ）求点C 到平面DE C 1的距离。
本题解答：（Ⅰ）证明：连接ME 和C B 1。
M 是1BB 的中点，E 是BC 的中点ME ⇒是C BB 1∆的中位线C B ME 1//⇒，C B ME 12
1
=
。
AB B A //11，CD B A CD AB ////11⇒。AB B A =11，CD B A CD AB =⇒=11，CD B A //11
⇒四边形CD B A 11是平行四边形C B D A 11//⇒，C B D A 11=。
C B
D A 11//，M
E ND ME D A C B ME //////11⇒⇒。
N 为D A 1的中点D A ND 121=
⇒，C B ND C B D A 11121=⇒=，ME ND C B ME =⇒=12
1
，ME ND // ⇒四边形NMED 是平行四边形DE MN //⇒，⊂DE 平面DE C 1//MN ⇒平面DE C 1。
（Ⅱ）解答：⊥1CC 平面ABCD ，三棱锥DE C C 1-中点C ，D ，E 是底面ABCD 的三个点
⇒底面CDE ，上顶点1C ，高1CC 。
根据等体积法得到：DE
C CDE C CDE DE C C CDE C DE C C S S CC h S CC S h V V 11111131
31∆∆∆∆--⨯=⇒⨯⨯=⨯⨯⇒=。 ①计算高：411==AA CC 。 ②计算CDE ∆的面积：如下图所示：
2
3
231221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯=
∆DCE CE CD S CDE 。 ③计算DE C 1∆的面积：如下图所示：
根据余弦定理得到：332
1
41460cos 122120
2
2
2
=⇒=⨯
-+=⨯⨯⨯-+=DE DE 。 根据勾股定理得到：52204162412221=⇒=+=+=D C D C ；17171412
221=⇒=+=E C E C 。
在DE C 1∆中：32=DE ，2021=D C ，E C DE D C E C DE E C 12
12122117⊥⇒=+⇒=。如下图所示：
2
51
173212111=⨯⨯=⨯⨯=∆E C DE S DE C 。
所以：1717417
42
5123
411==⨯
=
⨯=
∆∆DE
C CDE
C S S CC h 。
训练三：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第12题：已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，
PC PB PA ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，090=∠CEF ，则球O 的体
积为（ ）
A.π68
B.π64
C.π62
D.π6 本题解答：第一步：计算ABC ∆的外接圆半径和圆心1O 坐标。如下图所示：
)0,0,1(-A ,)0,0,1(B ,)0,3
3
,0()3000,3300,3011(
)0,3,0(11O O C ⇒++++++-⇒。)0,0,0(F 。 3
3
234311)00()330()01(222111=
=+=-+-
+--====C O B O A O r 。 第二步：计算正三棱锥上顶点P 的坐标和PA 的中点E 的坐标。
正三棱锥上顶点P 与下底面外接圆圆心1O 的连线垂直于底面⊥⇒1PO 底面ABC ，假设a PO =1，)0,3
3
,
0(1O ),33,
0(a P ⇒。E 为),33,0(a P 和)0,0,1(-A 的中点)2
,63,21(a E -⇒。 第三步：处理0
90=∠CEF 。
)2,635,21()2,63,21()0,3,0(a a -=--=，)2
,63,21()2,63,21()0,0,0(a
a --=--=。
