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排列组合综合应用一、教学目标（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力．二、教学重点难点重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用难点：解题思路的分析．三、教学过程（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性．（二）情景导入、展示目标上一节，我们已经分别对排列组合的三类问题做了较深入的研究．排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口．因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题的解题方法得以快速准确求解．今天我们再解决以下几类综合问题．（三）合作探究、精讲点拨1．能排不能排问题（即特殊元素在特殊位置上有特别要求）例1（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？（4）7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？解析：解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法．解：（1）先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共种方法；（2）先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有种，共5522A A ⋅种方法；（3）先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有种，再在余下的5个位置排另外5位同学排法有种，共5525A A ⋅种方法；本题也可考虑特殊位置优先，即两端的排法有，中间5个位置有种，共5522A A ⋅种方法；（4）分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有种，中间5个位置选1个安排乙的方法有，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有，故共有⋅+1566A A 5515A A ⋅种方法；本题也可考虑间接法，总排法为，不符合条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有7657652A A A -+种．点评：上述问题归结为能排不能排问题，从特殊元素和特殊位置入手解决，抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然．变式训练1 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？简答：对特殊元素—数学和体育进行分类解决（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有种，其他有种，共有2444A A ⋅种；（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有种，共有种；（3）数学排在第一节、体育不在第六节有种，其他有种，共有1444A A ⋅种；（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有种，其他有种，共有1444A A ⋅种；所以符合条件的排法共有()214444442121504A A A A ++==种本题也可采用间接排除法解决．不考虑任何限制条件共有种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节有种；（2）体育排在第一节有种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况种所以符合条件的排法共有6546542504A A A -+=种．变式训练2 （2005北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种简答：本题在解答时将五个不同的子项目理解为5个位置，五个工程队相当于5个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排排列问题（即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题），先排甲工程队有，其它4个元素在4个位置上的排法为种，总方案为种．故选B ．2．相邻不相邻问题（即某些元素不能相邻的问题）例2 7位同学站成一排，（1）甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？解析：相邻排列组合问题一般采用大元素法，即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”．不相邻排列问题（即某两或某些元素不能相邻的排列问题）一般采用“插空法”．解：（1）第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为种，第二步、“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有种，所以共5353720A A ⨯=种；（2）第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共种方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空挡中的任何3个都符合要求，排法有种，所以共有43451440A A ⋅=种；（3）先排甲、乙，有种排法，甲、乙两人中间插入的2人是从其余5人中选，有种排法，将已经排好的4人当作一个大元素作为“新人”参加下一轮4人组的排列，有种排法，所以总的排法共有224254960A A A ⋅⋅=种．点评：相邻问题一般采用 “捆绑法”．不相邻问题（即某两或某些元素不能相邻的排列问题）一般采用“插空法”．变式训练3 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）简答：第一步、将1和2“捆绑”成一个大元素，3和4“捆绑”成一个大元素，5和6“捆绑”成一个大元素，第二步、排列这三个大元素，第三步、在这三个大元素排好后产生的4个空挡中的任何2个排列7和8，第四步、“释放”每个大元素（即大元素内的每个小元素在“捆绑”成的大元素内部排列），所以共有3234222576A A ⨯⨯⨯⨯=个数． 3．多元限制问题例3 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？解析：按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数．解：法1 考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，其中0居首位的有314544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A -＝11040个．法2 按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8． 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的．①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法．综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋31415444C C A A ＝11040个．点评：对于受限元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和．变式4．九张卡片分别写着0~8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？简答：无6时有2738A A -个，有6时有2（22173328A C A C -）个；共有（2738A A -）+2（22173328A C A C ）=602个． （四）反思总结，当堂检测教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测．四、板书设计排列组合综合问题第二课时一预习检查2相邻不相邻问题．3． 多元限制问题二合作探究、精讲点拨例2例31．能排不能排问题例1三、小结五、作业布置1．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 多少个．2．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 多少种．3．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有多少个？。
课题：排列组合的综合应用——分书问题教学目标：进一步巩固排列、组合问题的一般解法，能灵活地运用它们解决一类常见的排列组合综合问题（分书问题），掌握它们的几种类型的解法。
教学过程：一、复习回顾1）排列问题：既选又排；2）组合问题：只选不排。
3）考虑问题时，首先要分析所给问题是排列还是组合问题？或既有排列又有组合的综合问题？二、新课问题1、将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？1）分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；2）分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；3）分给甲、乙、丙3人，每人2本；4）分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；5）分成3堆，每堆2 本。
师生一起分析共同归纳出：注意：1）分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的。
2）特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题。
问题2：（接问题1）6）分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；7）分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本。
师生共同分析：6）是部分均匀地分给人的问题：方法数为2233111246P P C C C ⨯；7）是部分均匀地分堆的问题：方法数为22111246P C C C 。
可将上述表格补充成下表：三、练习：1、现有9本不同的书，按下列分法共有多少种不同的分法？ 1）分给三个人，其中1 人得2本，1人得3本，1人得4本； 2）分给三个人，每人得3 本；3）分成三堆，其中一堆2本，一堆3本，一堆4本； 4）分成三堆，每堆3本；5）分给四人，其中1人得3本，另3人每人得2本； 6）分成四堆，其中一堆3本，另3堆每堆2本。
思考：7）分给五人，其中三人每人1本，另2人每人3本； 8）分成三堆，其中三堆每堆1本，另2堆每堆3本。
2、把四封不同的信投入到三个不同的信箱中（每个信箱至少一封），则不同的投法有几种？3、把五封不同的信投入到三个不同的信箱中（每个信箱至少一封），则不同的投法有几种？ 四、小结1、见上表中的三类六种不同的分书问题的模型；2、要将问题转化为六种分书模型来解决。
排列组合综合应用 第1课时一、教学目标1．掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用． 2．认识分组分配和分组组合问题的区别． 3．能够区分和解决分组分配和分组组合问题． 二、教学重点难点重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用； 难点：能够区分和解决分组分配和分组组合问题． 三、教学过程（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性． （二）情景导入、展示目标．前面，我们已经分别对排列组合问题做了较全面的研究，我们知道排列组合相互联系又相互区别．在实际问题中，有些问题既涉及排列问题又涉及组合问题，因此只有将两个知识点结合起来，才能更好的解决实际问题，今天我们先解决以下几类综合问题．（三）合作探究、精讲点拨． 1．分组分配问题 探究：将3件不同的礼品（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？ （2）分成三堆，一堆一件，有几种分法？答案：（1）633 A （2）1种（4）因为没有规定谁得1件，谁得2件和3件，那么谁都可以得1，2，或3件，故应比（2）扩大33A 倍，则一共有36033332516=A C C C 种． （5）解法一：第一堆有26C 种分法，第二堆有24C 种分法，第三堆有22C 种分法，所以一共有222426C C C 种分法，但因为堆与堆之间没有区别，故每33A 种情况只能算一种情况，因此，共有1533222426=A C C C 种分法． 解法二：设6件礼品分3堆有x 种分法，在平均分成3堆后再分给三个人，又有33A 种分法，故将6件礼品分给三个人，每人2件共有x 33A 种分法，再由（1）知它应等于222426C C C 种，列方程得x 33A 222426C C C ，可得x 1533222426==A C C C ． 点评：本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清类型的归属对今后的解题大有裨益．其中：（1）均匀不定向分配问题（2）非均匀定向分配问题（3）非均匀不定向分配问题（4）非均匀分配问题（5）均匀分配问题．这是一个典型的问题，要认真体会．变式训练1 按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ （1）各组人数分别为2，4，6人； （2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间．简答：（1）66410212C C C =13860，（2）334448412A C C C =5775， （3）分两步：第一步平均分成3组，第二步让3个小组分别进入不同车间，故有334448412A C C C 33A =4448412C C C =34650种不同的分法．2．分组组合问题例2 6名男医生，4名女医生（1）选3名男医生，2名女医生，让他们到5个不同的地区巡回医疗，共有多少种不同的分派方法？（2）把10名医生分成2组，每组5人且每组要有女医生，有多少种不同的分派方法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正，副组长2人，又有多少种方法？解析：取部分元素进行排列，一定要先取后排．解：（1）法1：分三步：①从6名男医生中选3名 ②从4名女医生中选2名 ③对选出的5人全排列，故一共有14400552436=C C C 种法2：分两步：从5个地区中选出3个地区，再将3个地区的工作分配给6个男医生中的3个，3635A C再将剩下的2个地区的工作分给4个女医生中的2个24A ，故一共3635A C 1440024=A（2）医生的选法有两类：第一类：一组女医生1人男医生4人，另一组女医生3人男医生2人，因为组合组之间没有顺序，故一共有4614C C 种不同的选法． 第二类：两组都是3男2女，考虑两组没有顺序，因此有种223624A C C 不同的 选法，因此医生不同的选法总数为+4614C C 种120223624=A C C ．分派到两地22A 种方法，每个小组选出正副组长各有25A 种选法，故一共有96000120252522==A A A N ． 点评：对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）．变式训练2．从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A 、B 、C 、D 、E 五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？简答：一般方法是先选后排，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程分步，故有2436C C 55A =14400种方法．3．相同元素的分组分配问题例3 某校高二年级有6个班级，现要从中选出10人组成高二年级女子篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方案？解析：名额分配问题，名额之间没有区别，可以采用隔板法．解：因为名额之间没有区别，所以可以把它们视作是排成一排的10个相同的小球，要把这10个小球分开成6段，且每段至少一个小球，为达到这个目的，我们把这10个球拉开，每两个球之间空出一个位置，两端不留位置，共9个位置，现在要把这9个位置中放入5个隔板，则每一种放法把这10个球都能分成6段，得到的结果对应于一种分配方案，故有12659=C 种放法． 点评：相同元素的分配问题，通常可以采用隔板法． 例4 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数．解析：可以将方程解的问题转化为相同元素的分配问题．解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值，则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为29C =36（个）．点评：该题的转化是关键，将方程的解转化为小球的分配的问题，使问题豁然开朗；既好理解，又便于计算．在做题时注意体会．变式训练3 20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，要求每个盒子里的球数不少于该盒子的编号数，问有多少种不同的方法．简答：由于每个盒子里的球数不少于编号数，则在2号盒子内放入1个球，3号盒子放入2个球，然后把余下的17个小球分成3份放入3个盒子中，相当于16个空位放2个隔板，故一共2C种不同的方法．16变式训练4求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数．简答：注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球．这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解的个数了，故解的个数为2C=66（个）．12（四）反思总结，当堂检测教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测．四、板书设计排列组合综合问题第一课时一、预习检查2分组组合问题．3．相同元素的分组分配二、合作探究、精讲点拨例2例31．分组分配问题例1例4三、小结五、作业布置1．六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？2．有5个男生和3个女生，从中选5 个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数．（1）有女生但人数少于男生（2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须在内，但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表．3．把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至少一本，有多少种分法？。
【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
1.4.2排列、组合的综合应用【问题导思】1．区分排列与组合的标志是什么？【提示】区分排列与组合的标志是“有序”与“无序”．有序的是排列问题，无序的是组合问题．2．在解决排列与组合应用题时，如何看待题设中的元素与位置？【提示】在排列、组合问题中，元素与位置没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随着解题者思维方式的变化而变化，要视具体情况而定，有时元素选位置，问题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．在解答排列组合综合问题时，要注意准确地应用两个基本原理，要注意准确区分是排列问题还是组合问题，要注意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A．504种B．960种C．1 008种D．1 108种【思路探究】先安排甲乙，再考虑丙丁，最后安排其他员工．【自主解答】(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A22C14A44＝192种；(2)若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A22C14A44＝192种；(3)若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A22C14A33＝192种；若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4×A22C13C13A33＝432种．所以共有192＋192＋192＋432＝1 008种．【答案】 C1．本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲乙在一起，丙丁不在特殊位置)进行讨论；2．较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72B．96C．108D．144【解析】第一步将2,4,6全排，有A33种；第二步分1,3相邻不与5相邻，有A22A23种，1,3,5均不相邻，有A33种．故总的排法为A33(A22A23＋A33)＝108，故选C.【答案】 C某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，名有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选．【思路探究】这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素．【自主解答】(1)先选正副班长，再从剩下的52人中选4人．由分步乘法计数原理得：C22·C452种．(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人，由分步计数原理得：C12·C552种．(3)∵正、副班长都不选，因此，从剩下的52人中选6人，C02·C652种，即C652种．(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有C12·C552＋C02·C652种，或C654－C22·C452种．(5)某3人可除外，故共有C03·C651种，即C651种．(6)C12·C02·C550种，即C12·C550种．解答组合应用题的总体思路为：(1)整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理．(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理．从52张扑克牌(除大王、小王)中任取5张，计算：(1)有4张数值相同，另外1张不同，有多少种取法？(2)有3张数值相同，另外2张数值也相同，有多少种取法？(3)5张数值顺序连续，花色可以不同，有多少种取法？【解】(1)扑克牌中共有13种数值(1～13)，有4张数值相同，则有13种可能，第5张则在余下的48张中选取．所以符合条件的方法有13·C148＝624种．(2)3张数值相同，有C113·C34种；另外2张数值也相同，则有C112·C24种，所以共有C113·C34·C112·C24＝3 744种．(3)5张数值连续，只有下述9种可能：1,2,3,4,5；2,3,4,5,6；3,4,5,6,7；…9,10,11,12,13.任何一种数值都有4种花色供选择，所以5种数值的花色选配方法有4×4×4×4×4＝45种．所以符合条件的取法共有9×45＝9 216种．从1到9的九个数字中取出三个偶数和四个奇数．试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？【思路探究】排数问题和站队问题是排列、组合中的两类常见问题，要解决问题需考虑特殊元素、特殊位置，常用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法等处理方法．【自主解答】(1)分步完成，第一步在四个偶数中取三个，有C34种方法；第二步在五个奇数中取四个，有C45种方法；第三步，将三个偶数，四个奇数进行全排列，有A77种方法．所以符合题意的七位数共有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起采用捆绑法，则有C34C45A55A33＝14 400个．(3)在(1)的七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起，共有C34C45A22A33A44＝5 760个．(4)在(1)的七位数中，偶数不相邻，采用插空法，可先把选好的四个奇数排好，再把三个偶数分别插入五个空中，共有C34C45A44A35＝28 800个．1．本题展现了特殊元素或位置优先安排，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法等处理方法．2．对于有限制条件的排列、组合问题常常分步进行，一般是先选再排，就是先组合再排列，即先取出元素后再安排元素顺序，这也是分步乘法计数原理的典型应用．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．【解析】若不选0，则可组成没有重复数字的四位数的个数为C23·C22A44＝72.若选0，则可组成没有重复数字的四位数的个数为C12C23C13·A33＝108，则共可组成没有重复数字的四位数的个数为108＋72＝180.【答案】180有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？【错解】由已知，相当于对1,2,3,4全排列，所以有A44种放法．(2)法一将3个小球放入4个盒子中，有A34种放法，再把余下的1个小球放到3个盒子中的一个，有C13种放法．所以有A34C13＝72种放法．法二从4个小球中任取3个球，有C34种取法．从4个盒子中任取3个盒子，有C34种取法，将3个小球放入到取出的3个盒子中，有A33种放法．再把余下的小球放入到3个盒子中的一个，有3种放法．所以放法共有C34·C34·A33·3＝288种．【错因分析】(1)没有理解题意，这里的任务是把小球放入盒中即可，并没有要求每盒中放一个小球．(2)方法一属于遗漏计数问题．从四个小球中取出3个(不妨设为1号、2号、3号)放入三个盒中，则把4号小球放入三个盒中的一个时，只有1号和4号；2号和4号；3号和4号三种情况，漏掉了1号和2号；1号和3号；2号和3号的情况．方法二属于重复计数问题．若取出的3个小球为1号，2号，3号，则4号小球放入盒中时，其中一种方式为1,4,2,3；若取出的3个小球为2号，3号，4号，则1号小球放入盒中时，其中也有一种方式为2,3,1,4，故出现重复计数．【防范措施】在解排列、组合综合应用题时要注意先选后排；先分组再排列的原则．这样不易出错．【正解】(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法．故共有44＝256种放法．(2)由题设，必有一个盒子内放入2个小球，从4个小球中取出2个小球，有C24种取法，此时把它看作一个小球，与另2个小球共3个小球放入4个盒子中，有A34种放法，所以满足题意的放法为C24·A34＝144种．解排列、组合的应用题要注意三个问题：(1)确定问题的属性，即所给问题是排列问题还是组合问题；(2)确定解题策略，即要分类求解还是分步求解；(3)选择恰当的解题方法，即是直接法还是间接法.1．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种B．48种C．36种D．18种【解析】先把3个不同的商业广告排好序，有A33种排法，此时有四个空，最后1个空排奥运宣传广告，有A12种排法，另一个奥运宣传广告有3种排法，由分步乘法计数原理，得不同的播放方式有A33A12×3＝36种．【答案】 C2．5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放入A盒，则不同放法种数是()A．120 B．72 C．60D．36 【解析】分两类：第一类，A盒只有甲球，则余下4个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有C24种，每一种有A33种放法，共有C24A33种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，则有A44种排法．由分类加法计数原理，得共有放法种数为C24A33＋A44＝60.【答案】 C3．从6双不同的鞋子中任取4只，恰有一双的选法有________种．【解析】先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有C16C25C12C12＝240种选法．【答案】2404．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有多少种？【解】分两种情况：(1)当有1名老队员时，应从3名新队员中选出2名，其排法种数：C12·C23·A33＝36种；(2)当有2名老队员时，应从3名新队员中选出1名，其排法种数：C13·C12·A22＝12种．由分类加法计数原理，得所求排法有36＋12＝48种.一、选择题1．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有()A．16种B．36种C．42种D．60种【解析】若选择了两个城市，则有C24C23A22＝36种投资方案；若选择了三个城市，则有C34A33＝24种投资方案，因此共有36＋24＝60种投资方案．【答案】 D2．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()A．120种B．480种C．720种D．840种【解析】分两步完成：第一步从剩余的6个不同字母中选出3个字母共有C36种方法，第二步把“qu”看成一个字母，连同第一步选出的3个字母全排列共有A44种方法．根据乘法原理共有C36·A44＝480种不同的排列．【答案】 B3．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A．23个B．24个C．18个D．6个【解析】各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有A33＋C13A33＝24个．【答案】 B4．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有()A．36种B．48种C．60种D．64种【解析】依题意分两类：①茄子与辣椒只有一种被选中，则不同的种植方案种数为C12A33＝12；②茄子与辣椒都被选中，则不同的种植方案种数为C23C12A33＝36，故不同的种植方案共有48种．【答案】 B5．(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解．满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种．所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．【答案】 D 二、填空题6．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【解析】 分两种情况第一类：个、十、百位上各有一个偶数，有C 13A 33＋C 23A 33C 14＝90个．第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，有C 23A 33C 14＋C 13C 23A 33C 13＝234个．共有90＋234＝324个．【答案】 3247．某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示)【解析】 在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是C 25＝5×42＝10.选择方式至少为200种，设素菜为x 种，则有C 2x C 25≥200.即x (x －1)2≥20，化简得x (x －1)≥40，解得x ≥7.所以至少应准备7种素菜．【答案】 78．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)【解析】 分两类，若第一棒为丙，则有C 12·A 44种；若第一棒不是丙，则有C 12·C 11·A 44种，故共有C 12·A 44＋C 12·C 11·A 44＝96(种)． 【答案】 96 三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？ (2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？【解】 (1)先将3名男同志安排到车上，有A 34种方法，在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志，有C 13种方法，还有2名女同志有A 23种安排方法．共有A 34C 13A 23＝432种安排方法．(2)男同志分2组有C 23种方法，女同志分2组有C 23种分法，将4组安排到4辆车上有A 44种方法．共有C 23C 23A 44＝216种安排方法．10．从6名运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？【解】法一把上述问题通过分类的思想化归为4个简单问题，对选出的4个参赛运动员进行如下分类：①无甲，无乙，则参赛方法为A44＝24(种)；②有甲，无乙，则参赛方法为C13A34＝72(种)；③有乙，无甲，则参赛方法为C13A34＝72(种)；④有甲，有乙，则参赛方法为(C13＋C12C12)A24＝84(种)；综上可得，不同的参赛方法为24＋72＋72＋84＝252(种)；法二利用集合的思想及正繁则反的原则，把上述问题化归为“参赛总方法数减去限制条件的方法数”这个简单问题．设全集I＝{6人中任取4人的排列}，A＝{甲跑第一棒的排列}，B＝{乙跑第四棒的排列}，A，B有公共部分，根据集合元素个数公式可知方法种数：N＝A46－(A35＋A35－A24)＝252(种)．11．用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数．(1)有多少个四位偶数？(2)若按从小到大排列，3 204是第几个数？【解】(1)法一先排个位数字，分两类：①0在个位时有A34种；②2或4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排，有A12A13A23种，故共有A34＋A12A13A23＝60个四位偶数．法二间接法．若无限制条件，总排列数为A45，其中不符合条件的有两类：①0在千位，有A34种；②1或3在个位，有A12A13A23种．则四位偶数有A45－A34－A12A13A23＝60个．(2)法一(分类法)由高位到低位逐级分为：①千位是1或2时，有A12A34个；②千位是3时，百位可排0,1或2.(i)当百位排0,1时，有A12·A23个，(ii)当百位排2时，比3 204小的仅有3 201一个，故比3 204小的四位数共有A12·A34＋A12·A23＋1＝61个，3 204是第62个数．法二(间接法)A14A34－(A34＋A23＋A12A12)＝62个.(教师用书独具)有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方案？【思路探究】男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决．【自主解答】分两类：第一类甲被选，共有C25·C24C14A44种分派方法；第二类甲不被选，共有：C35·C24A55种分派方法．根据分类加法计数原理：共有C25·C24·C14A44＋C35C24A55＝5 760＋7 200＝12 960(种)．本题是一道“既选又排”的排列组合综合问题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品．现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？【解】法一设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置中的任一个位置上，有C16C14种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有A44种排法．故不同的情形共有C16C14A44＝576种．法二设想有五个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有C14种方法；再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有C16A44种方法．故不同的情形共有C14C16A44＝576种．【知识拓展】1. 学生在学习本节后，往往对于是排列问题还是组合问题，分几类，分几步及如何才能检验结果的准确性是比较模糊的，建议教学时要多从解题总体思路上把握一下：(1)整体分类．对事物进行整体分类，从集合的意义讲，要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏；任意两个集合的交集等于空集，以保证分类的不重复．计算结果时使用分类加法计数原理．(2)局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证步骤的不重复，计算每一类结果时使用分步乘法计数原理，(3)正确判断是“排列”问题，还是“组合”问题．考虑顺序，区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”，无序的是组合问题，有序的是排列问题．(4)辩证地看待元素与位置，排列与组合中的元素与位置设有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随解题者思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时元素选位置，问题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．(5)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接检验结果，就着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏．也可采用不同的方法求解，看看是否相同，在对排列问题分类时，分类标准要统一，不要出现遗漏或重复．2．排列组合问题中的方法总结：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．。
