匀速圆周运动专题

圆周运动的向心力及其应用【要点梳理】要点一、物体做匀速圆周运动的条件要点诠释：物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。

要点二、关于向心力及其来源1、向心力要点诠释（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力.（2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。

（3）向心力的大小：22vF ma m mrrω===向向向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。

如果是匀速圆周运动则有：22222244vF ma m mr mr mr fr Tπωπ=====向向（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。

（5）关于向心力的说明：①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。

2、向心力的来源要点诠释（1）向心力不是一种特殊的力。

重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。

（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释：（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。

例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。

匀速圆周运动双基训练★1. 对于匀速圆周运动的物体，以下说法中错误的选项是(). 【】(A) 线速度不变(B) 角速度不变(C) 周期不变(D) 转速不变答案:A★2. 对于向心加快度的物理意义，以下说法中正确的选项是(). 【】(A)它描绘的是线速度方向变化的快慢(B)它描绘的是线速度大小变化的快慢(C)它描绘的是向心力变化的快慢(D)它描绘的是角速度变化的快慢答案:A★★ 3. 如下图，甲、乙两球作匀速圆周运动，向心加快度随半径变化. 由图像能够知道( ). 【1】(A)甲球运动时，线速度大小保持不变(B)甲球运动时，角速度大小保持不变(C)乙球运动时，线速度大小保持不变(D)乙球运动时，角速度大小保持不变答案:AD★★ 4. 如下图，小物体 A 与圆柱保持相对静止，跟着圆盘一同作匀速圆周运动，则 A 受力状况是受 (). 【】(A)重力、支持力(B)重力、向心力(C)重力、支持力和指向圆心的摩擦力(D)重力、支持力、向心力和摩擦力答案:C纵向应用l★★★ 5. 质量为 m的小球，用长为 l 的线悬挂在O点，在 O点正下方2处有一圆滑的钉子O′，把小球拉到与O′在同一水平面的地点，摆线被钉子拦住，如下图. 将小球从静止开释. 当球第一次经过最低点P时，(). 【1】(A) 小球速率忽然减小(B) 小球加快度忽然减小(C) 小球的向心加快度忽然减小(D) 摆线上的张力忽然减小答案 : BCD★★★ 6. 一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内作半径为R的圆周运动，如下图，则().【1】(A)小球过最高点时，杆所受弹力能够为零(B)小球过最高点时的最小速度是gR(C)小球过最高点时，杆对球的作使劲能够与球所受重力方向相反，此时重力必定大于杆对球的作使劲(D)小球过最高点时，杆对球的作使劲必定跟小球所受重力的方向相反答案:AC★★★ 7. 质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不离开轨道的最小速度是v，则当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是(). 【 1】(A)0(B)mg(C)3mg(D)5mg答案:C★★★ 8. 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确立. 若在某转弯处规定行驶的速度为v，则以下说法中正确的选项是(). 【】①当火车以v 的速度经过此弯路时，火车所受重力与轨道面支持力的协力供给向心力②当火车以v 的速度经过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的协力供给向心力③当火车速度大于v 时，轮缘挤压外轨④当火车速度小于v 时，轮缘挤压外轨(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D) ②④答案:A★★★ 9. 如下图，两个质量不一样的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动，则它们的(). 【2】(A) 运动周期同样(B) 运动线速度同样(C) 运动角速度同样(D) 向心加快度同样答案:AC★★★ 10. 如下图，一个大轮经过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的 2 倍，大轮上的一点 s 离转动轴的距离是半径的 5， 20，当大轮边沿上 P 点的向心加快度是 10m／ s2时，大轮上的S 点和小轮上的 Q点的向心加快度为S2Q2a =______m／s ， a =______m／ s 【】答案 : 5，20★★★ 11. 如下图，半径为r 的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块 A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的静摩擦因数为μ，现要使 A 不着落，则圆筒转动的角速度ω起码应为 ______. 【 1】g答案 :r★★★ 12. 如下图，在半径为R的半圆形碗的圆滑表面上，一质量为m的小球以角速度ω 在水平面内作匀速圆周运动，该平面离碗底的距离 h=______. 【】g答案: R2★★★ 13. 一个圆盘边沿系一根细绳，绳的下端拴着一个质量为m的小球，圆盘的半径是r ，绳长为l ，圆盘匀速转动时小球跟着一同转动，而且细绳与竖直方向成θ 角，如下图，则圆盘的转速是______. 【 1】1gtan答案 :r lsin2★★★ 14. 甲、乙两个质点都作匀速圆周运动，甲的质量是乙的 2 倍，甲的速率是乙的 4 倍，甲的圆周半径是乙的 2 倍，则甲的向心力是乙的______倍 . 【 1】答案:16★★★ 15. 如下图，一圆环，其圆心为O，若以它的直径 AB为轴作匀速转动，则 :(1) 圆环上 P、 Q 两点的线速度大小之比是 ______.(2) 若圆环的半径是 20cm，绕 AB 轴转动的周期是，环上Q 点的向心加快度大小是______m/s 2. 【2】答案 : (1) 3 (2) 4000 2★★★16. 如下图，质量为 m的小球用长为 L 的细绳悬于圆滑斜面上的O点，小球在这个倾角为θ的斜面内作圆周运动，若小球在最高点和最低点的速率分别为 v1和 v2，则绳在这两个地点时的张力大小分别是多大【 2】mv 12mv 答案: T1mgsin ,T2L L 22mgsin★★★ 17. 如下图，长为 l 的绳索下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳索拉直，绳索与竖直线夹角为60°，此时小球静止于圆滑的水平桌面上. 问 :(1) 当球以gT 为多作圆锥摆运动时，绳索张力l大桌面遇到压力N 为多大(2) 当球以4g作圆锥摆运动时，绳索张力及桌面遇到压力各为多大【5】l答案:(1) T mg, N mg(2)T=4mg,N=0 2横向拓展★★★★ 18. 如下图， M、N 是两个共轴的圆筒，外筒半径为R，内筒半径比 R 小好多，能够忽视不计，筒的两头是关闭的，两筒之间抽成真空，两筒以同样的角速度ω 绕此中心轴线( 图中垂直于纸面) 作匀速转动. 设从 M筒内部能够经过平行于轴线的窄缝S，不停地向外射出两种不一样速率v1和v2的微粒 . 微粒从S 处射出时的初速度的方向沿筒的半径方向，微粒抵达N 筒后就附着在N 筒上，假如R、v1和v2都不变，而ω 取某一适合的值，则().【 2】(A)有可能使微粒落在 N 筒上的地点都在 a 处一条与 S 缝平行的窄条上(B)有可能使微粒落在 N 筒上的地点都在某处如 b 处一条与 S 缝平行的窄条上(C) 有可能使微粒落在N 筒上的地点分别在某两处如 b 和 c 处与 S 缝平行的窄条上(D)只需时间足够长， N 筒大将各处落有微粒答案 : ABC★★★★ 19. 如下图，一圆盘能够绕其竖直轴在水平面内运动，圆柱半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ 倍，两物体用长为L 的轻绳连在一同，L<R. 若将甲物体放在转轴地点上，甲、乙连线正好沿半径方向拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆回旋转的角速度最大不得超出( 两物体看作质点)(). 【 3】(A)(M m)g(M m)g(M m )g(M m)g(B)(C)(D)mL mL ML ML答案:D★★★★ 20. 如下图，小球由细线 AB、 AC拉住静止， AB保持水平， AC与竖直方向成α角，此时 AC对球的拉力为 T1. 现将 AB 线烧断，小球开始摇动，当小球返同原处时， AC对小球拉力为 T2，则 T1与 T2之比为 (). 【2】(A)1:1(B)1:cos 2α(C)cos 2α:1(D)sin 2α:cos 2α答案:B★★★★21. 如下图，质点 P 以 O为圆心、 r 为半径作匀速圆周运动，周期为了 T，当质点 P 经过图中地点 A 时，另一质量为 m、初速度为零的质点Q遇到沿 OA方向的拉力 F 作用从静止开始在圆滑水平面上作直线运动，为使P、 Q在某时辰速度同样，拉力 F 一定知足条件 ______. 【3】答案: F2 rm(n=0,1,2,3, ···)3)T 2(n4★★★★ 22. 劲度系数为k=103N／ m的轻弹簧长 l=0.2m ，一端固定在圆滑水平转台的转动轴上，另一端系一个质量为m=2kg 的物体 . 当转台匀速转动时，物体也随台一同转动，当转台以转速 n=180r ／ min 转动时，弹簧伸长了______m.【 2】答案 :★★★★23. 质量为 m的小球用绳索系住在竖直平面内作圆周运动，则小球运动到最低点和最高点时绳索所受拉力大小之差为 ______. 【 2】答案 : 6mg★★★★24. 如下图，直径为 d 的纸筒以角速度ω绕轴 O匀速转动，从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒 . 若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下 a、 b 两个弹孔，已知 aO 和 b0 夹角为φ，则子弹的速度大小为______. 【】答案 :d★★★★25. 如下图，在水平转台的圆滑水平横杆上穿有两个质量分别为 2m和 m的小球 A 和 B，A、B 间用劲度系数为 k 的轻质弹簧连结，弹簧的自然长度为 L，当转台以角速度ω绕竖直轴匀速转动时，假如 A、 B还能相对横杆静止而不碰左右两壁，求:(1)A 、 B 两球分别走开中心转轴的距离 .(2) 若转台的直径也为 L，求角速度ω的取值范围 . 【 4】答案 : (1)r B kLr A2(2)03k 23k2m2m★★★★ 26. 如下图，在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h 处，水平抛出一小球，圆板作匀速转动. 当圆板半径OA 与初速度方向一致时开始抛出小球，要使球与圆板只碰一次，且落点为A，则小球的初速度v0应为多大圆板转动的角速度为多大【 5】答案 : v0g2g(n=0,1,2,3,···) R,n2h h★★★★ 27. 如下图， A、 B 两球的质量分别为m 与 m，用一劲12度系数为 k 的弹簧相连，一长为l 1的细线与 A 球相连，置于水平圆滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上 . 当 A 球与 B 球均以角速度ω绕 OO′轴作匀速圆周运动时，弹簧长度为 l 2. 问 :(1)此时弹簧伸长量多大绳索张力多大(2) 将线忽然烧断瞬间，两球加快度各多大【5】答案 :(1) x m 22(l1l2), T m22 (l 1 l 2 ) m12l 1 k(2) a A m22(l1l2),a B2 (l1 l 2 )m1★★★★ 28. 如下图，一根轻质细杆的两头分别固定着A、 B 两只质量均为 m的小球， O点是一圆滑水平轴，已知 AO=a， BO=2a，使细杆从水平地点由静止开始转动，当 B 球转到 O 点正下方时，它对细杆的拉力大小是多大【4】9mg答案 :★★★★ 29. 如下图，细绳一端系着质量M=0.6kg 的物体，静止在水平平板上，另一端经过圆滑小孔吊着质量m=0.3kg 的物体， M的中点与圆孔距离为 0.2m，并知 M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平板绕中心轴线转动，问角速度ω 在什么范围内，物领会与平板处于相对静止状态2(g 取 10m／s ) 【 3】答案 : 5 3rad / s5 15rad / s 33★★★★ 30. 如下图，有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线 AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向一直瞄准狐狸，某时辰狐狸在 F 处，猎犬在 D 处， FD⊥AB，且F D=L，试求猎犬此时的加快度大小. 【 6】答案: v1 v 2L。

匀速圆周运动练习题（选择题，每题4分，共56分）1. 如图所示，带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速为20r/s。

在暗室中用每秒闪光25次的频闪光源照射圆盘，则观察到白点的转动方向和周期为（）A．逆时针转动，周期是0.2sB．顺时针转动，周期是0.5sC．逆时针转动，周期是0.4sD．顺时针转动，周期是0.8s2．如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg。

当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受到3个力的作用。

则ω可能为（）A．12gR B．32gR C．52gR D．72gR3．如图甲所示，和谐号动车的雨刷器由刮水片和悬臂构成，M、N为刮水片的端点，P为刮水片和悬臂的链接点。

悬臂OP绕O点往复转动的过程中，刮水片不绕P点转动，如图乙所示。

下列说法正确的是（）A．M、N两点的线速度不同B．M、N两点的周期相同C．M、N两点的加速度均指向O点D．P点的线速度大小始终不变4. 如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方0 点处，在杆的中点 C 处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C 点与o 点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω 缓缓转至水平（转过了 90°角）．下列有关此过程的说法中正确的是（ ） A ．重物 M 做匀速直线运动 B ．重物 M 做匀变速直线运动 C ．整个过程中重物一直处于失重状态D ．重物 M 的速度先增大后减小，最大速度为ωL5.如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动，则它们的（ ） A.运动周期相同 B.运动线速度一样 C.运动角速度相同D.向心加速度相同6.如图所示，两个啮合齿轮，小齿轮半径为10cm ，大齿轮半径为20cm ，A 、B 分别为两个齿轮边缘上的点，C 为大齿轮中离圆心O 2距离为10cm 的点，则A 、B 、C 三点的（ ） A ．转动周期之比为2:1:1 B ．角速度大小之比为2:1:1 C ．线速度大小之比为1:1:1 D ．向心加速度大小之比为4:2:17. 如图所示，质量均为m 的两相同小球a 、b 由不可伸长的细绳连接，悬挂在小棍c 上置于内壁光滑的倾斜细玻璃管内，小棍c 固定在管口。

《圆周运动》练习题（一）1. A. 线速度不变2. A 和B A. 球A B. 球A C. 球A D. 球A3. 演，如图5A. B. C. D.4.A. B. C. D.5.如图1个质量为应为（ ）6.（M>m 连在一起。

A.mLgm M )(-μC.MLgm M )(+μ7. 如图3A. A 、B C. 若︒=30θ，则8. A. 木块A B. 木块A C. 木块A D. 木块A9. 如图5所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。

圆半径为R ，小球经过A. B.C. D.10. 一辆质量为4t 车对桥面压力的0.0511.和60°，则A 、B12.如图所示，a 、b B r OC =（1）B C ωω:13. 转动时求杆OA 和AB14. 司机开着汽车在一宽阔的马路上匀速行驶突然发现前方有一堵墙，他是刹车好还是转弯好？（设转弯时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。

）（1（21.解析：2. 解析：图4B A 比较线速度时，选用rv m F 2=分析得r 大，v 一定大，A 答案正确。

比较角速度时，选用r m F 2ω=分析得r 大，ω一定小，B 答案正确。

比较周期时，选用r Tm F 2)2(π=分析得r 大，T 一定大，C 答案不正确。

小球A 和B 受到的支持力N F 都等于αsin mg，D 答案不正确。

点评：①“向心力始终指向圆心”可以帮助我们合理处理物体的受力；② 根据问题讨论需要，解题时要合理选择向心力公式。

3. 解析：甲、乙两人做圆周运动的角速度相同，向心力大小都是弹簧的弹力，则有乙乙甲甲r M r M 22ωω=即乙乙甲甲r M r M =且m r r 9.0=+乙甲，kg M 80=甲，kg M 40=乙解得m r 3.0=甲，m r 6.0=乙由于甲甲r M F 2ω=所以)/(62.03.0802.9s rad r M F =⨯==甲甲ω而r v ω=，r 不同，v 不同。

学业水平测试专题六匀速圆周运动计算专题02二、竖直平面内的圆周运动：解题思路：此类题目的关键在于找准竖直方向的合外力，千万不要忘记重力。

此外此类题目还经常与机械能守恒定律或动能定理结合，应当引起注意。

另外在竖直平面内作圆周运动时注意轻绳模型和轻杆模型的区别。

例2、某辆汽车以速度为72km/h通过凸形桥最高点，这时对桥的压力是车重的一半，则凸形桥圆弧形桥面的半径是多大？欲使该车通过桥最高点时对桥面的压力恰好为零，则此时的汽车的行驶速度应该是多大？（g取10m/s2）。

【变式训练1】用长为L=0.6m的绳子系着装有m=0.5kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”，求：①在最高点水不流出的最小速度为多少？②若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力为多大？【变式训练2】如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对小球的弹力大小为F=mg/2，求此时小球的瞬时速度大小。

【综合演练1】如图所示，一个人用一根长1m，只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1㎏的小球，在竖直平面内作圆周运动，已知圆心O离地面h=6m。

转动中小球在最底点时绳子断了，（1）绳子断时小球运动的角速度多大？（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离。

恰好到达最高点【综合演练2】、如图所示，质量为m的小球以速度V冲上放在竖直平面内的光滑圆轨道，刚好能够到达轨道的顶部，如图所示，求小球飞离轨道顶部后落地点距离圆心O的水平距离,设轨道的半径为r。

和动能定理相结合【综合演练3】如图中圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平的．一质点自A点从静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，求在质点刚要到达B点时的加速度大小及滑过B点后的瞬间加速度大小．【综合演练4】如图，将一质量为m=0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v。

水平抛出，小球飞离平台后由以A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点c，圆轨道ABC的形状为半径R=2．5 m的圆截去了左上角l270的圆弧，CB为其竖直直径，(sin530=0．8 cos530=0．6，重力加速度g取10m／s2)求：(1)小球经过C点的速度大小；(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；(3)平台末端O点到A点的竖直高度H．。

二、重难点提示：重点：1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；2. 会用极限法分析临界条件。

难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。

一、水平面内圆周运动临界产生原因1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。

2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。

二、水平面内圆周运动的两种模型1. 圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）提供小物块做圆周运动所需的向心力。

水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”。

临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝Rg，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。

下图均为平台转动类甲乙丙2. 火车拐弯类如图所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg 和轨道支持力N 的合力F 提供火车拐弯时所需的向心力。

圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”。

临界条件：若v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。

火车转弯问题类变形：12 345【方法指导】临界问题解题思路1. 确定做圆周运动的物体作为研究对象。

2. 确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。

3. 对研究对象进行受力分析。

哪些力存在临界？（摩擦力、弹力）4. 运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F 。

圆周运动考点微专题专题5 圆周运动(3)匀速圆周运动的临界与极值问题一知能掌握（一）临界与极值1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．（二）水平面内圆周运动的临界问题在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题．(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态．(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．(3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解．（三）两类临界极值问题1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝mv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．二、探索提升题型一匀速圆周运动中与摩擦力有关的临界极值问题【典例1】(多选)[2019·陕西汉中一模]如图K11-9所示,两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上,并用不可伸长的轻绳连接,整个装置能绕过CD中点的轴OO'转动.已知两物块质量相等,杆CD对物块A、B的最大静摩擦力相等,开始时绳子恰好伸直但无张力,物块A到OO'轴的距离为物块B到OO'轴距离的两倍.现让该装置从静止开始转动,使转速逐渐增大,从绳子恰好伸长但无张力到两物块A、B即将滑动的过程中,下列说法正确的是()图K11-9A.B受到的静摩擦力一直增大B.B受到的静摩擦力先增大后减小再增大C.A受到的静摩擦力先增大后减小D.A受到的合力一直在增大【答案】BD【解析】开始转速较小时,两物块均靠静摩擦力提供向心力,有F f=mrω2,随着转速的增大,A所受的静摩擦力先达到最大静摩擦力,当绳子刚好产生拉力时,B受静摩擦力作用且未达到最大静摩擦力,随着转速的增大,A由绳子拉力和最大静摩擦力的合力提供向心力,B由绳子拉力和静摩擦力的合力提供向心力,则A受到的摩擦力不变,B受到的静摩擦力先减小,然后反向增大,所以整个过程中A受到的静摩擦力先增大,达到最大静摩擦力后不变,B受到的静摩擦力先增大后减小,再增大,故A、C错误,B正确;根据向心力公式F n=m,在发生相对滑动前,物块运动的半径是不变的,质量也不变,随着转速的增大,向心力增大,而向心力就是物块受到的合力,所以A受到的合力一直增大,故D正确.【典例2】(多选)如图4－3－12所示，两个可视为质点且相同的木块A和B放在水平转盘上，且木块A、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的轻绳连接，木块与转盘之间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力．现让该装置从静止开始转动，角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )图4－3－12A．当ω> 2kg3L时，A、B会相对于转盘滑动B ．当ω> kg2L 时，绳子一定有弹力 C ．ω在kg2L<ω< 2kg3L范围内增大时，B 所受摩擦力变大 D ．ω在0<ω< 2kg3L范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大 【答案】 ABD【解析】 若木块A 、B 间没有轻绳相连，随着ω的逐渐增大，由F f ＝mω2r 可知木块B 先出现相对滑动．木块A 、B 间有轻绳相连时，木块B 刚好要出现相对滑动，此时轻绳上弹力为零，以木块B 为研究对象可知kmg ＝mω2·2L ，则ω＝kg 2L.若木块A 刚好要出现相对滑动，对木块B 有F T ＋kmg ＝mω2·2L ，对木块A 有kmg －F T ＝mω2L ，则ω＝2kg3L.综上所述可知，当0<ω≤ kg2L时，绳子没有弹力，木块A 、B 各自的摩擦力均随ω的增大而增大；当kg2L <ω≤ 2kg3L时，绳子有弹力，且木块B 的摩擦力达到最大值，而木块A 的摩擦力随ω的增大而增大；当ω> 2kg3L时，木块A 、B 会相对于转盘滑动．故A 、B 、D 正确，C 错误．【典例3】如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A 、B 两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）A ．A 、B 都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B ．B 的向心力是A 的向心力的2倍C ．盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍D ．若B 先滑动，则A 、B 间的动摩擦因数A μ小于盘与B 间的动摩擦因数B μ 【答案】 C【解析】A 所受的静摩擦力方向指向圆心，可知A 有沿半径向外滑动的趋势，B 受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故A 错误．因为A 、B 两物体的角速度大小相等，根据F n ＝mr ω2，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力相等，故B 错误．对AB 整体分析，盘对B 的摩擦力f B ＝2mr ω2，对A 分析，B 对A 的摩擦力f A ＝mr ω2，可知盘对B 的摩擦力是B 对A 摩擦力的2倍，故C 正确．对AB 整体分析，μB •2mg ＝2m •r ωB 2，解得B B grμω＝A 分析，μA mg ＝mr ωA 2，解得 A A grμω＝，因为B 先滑动，可知B 先达到临界角速度，可知B 的临界角速度较小，即μB ＜μA ，故D 错误．故选C.【典例4】如图9所示，细绳一端系着质量M ＝8kg 的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m ＝2kg 的物体，M 与圆孔的距离r ＝0.5m ，已知M 与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现使物体M 随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围时m 会处于静止状态．(g ＝10m/s 2)图9【答案】 1rad/s ≤ω≤3 rad/s【解析】设角速度的最小值为ω1，此时M 有向着圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径向外，由牛顿第二定律得：F T －μMg ＝Mω21r ，设角速度的最大值为ω2，此时M 有背离圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心，由牛顿第二定律得：F T ＋μMg ＝Mω22r ， 要使m 静止，应有F T ＝mg ， 联立得ω1＝1rad/s ，ω2＝3 rad/s 则1rad/s ≤ω≤3 rad/s【典例5】如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg 的A 、B 两个物块，B 物块用长为0.25m 的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。