2004年全国及各地联赛试题(共7套)

2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛 一、选择题(每小题6分,共60分)1.已知f ( z -i )= z +2z -2i -1.则f (i 3)=( ).(A )2i -1 (B )-2i -1(C )i -1　(D )-i -12.若a ≠0,b >0,分别在同一坐标系内给出函数y =ax +b 和函数y =b ax 的图像(如图1),不可能的是( ).图1(A )①②　(B )③④　(C )①③　(D )②④3.向量集合M ={a |a =(-1,1)+x (1,2),x ∈R },N ={a |a =(1,-2)+x (2,3),x ∈R }.则M ∩N =( ).(A ){(1,-2)} (B ){(-13,-23)}(C ){(-1,1)}(D ){(-23,-13)}4.如果直线l 沿x 轴负方向平移5个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么,直线l 的斜率是( ).(A )-15　(B )-5　(C )15　(D )55.若a 、b 满足0<a <b <1,则下列不等式中,正确的是( ).(A )a a <b b 3”(B )b a <b b (C )a a <b a 3”(D )b b <a a6.设双曲线的右准线与两渐近线交于A 、B 两点,以AB 为直径的圆过右焦点F.则双曲线的离心率为( ).(A )2　(B )22　(C )3　(D )237.已知函数f (x )的定义域为(a ,b ),且b -a >2.则F (x )=f (3x -1)-f (3x +1)的定义域为( ).(A )a -13,b +13　(B )a +13,b -13(C )a -13,b -13(D )a +13,b +138.已知函数f (x )=e x+1e x -1.若g (x )=f -1(-x ),则g (x )在区间( ).(A )(-1,+∞)上是增函数(B )(-1,+∞)上是减函数(C )(-∞,-1)上是增函数(D )(-∞,-1)上是减函数9.已知关于x 的方程sin 2x -(2a +1)cos x -a 2=0有实数解.则实数a 的取值集合是( ).(A )-54,1-2　(B )-54,1+2(C )[1-2,1+2](D )-32,1-2图210.如图2,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠ACB =90°,A E ⊥P B 于E ,A F ⊥PC 于F.若P A =AB =2,∠B PC =θ,则当△A EF 的面积最大时,tan θ的值为( ).(A )2 (B )12 (C )2 (D )22二、填空题(每小题6分,共24分)11.某人有10万元,准备用于投资房地62中等数学产或购买股票.如果根据盈利表(表1)进行决策,那么,合理的投资方案应该是.表 1盈利概率购买股票盈利投资房地产盈利巨大成功01310万元8万元中等成功0153万元4万元失　败012-5万元-4万元 12.已知sinα-cosα=12.则sin3α-cos3α的值是.13.将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球.则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是.14.设A1、A2是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.三、解答题(共66分)15.(12分)已知b>a>0,且a+b=1.给出下面的四个式子b,a+b2,2ab,a4-b4a-b由大到小的排列,并给出相应的证明.16.(12分)在平面四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且　a・b=b・c=m,c・d=d・a=n.(1)当m=n时,四边形ABCD是什么四边形?证明你的结论.(2)当m≠n时,四边形ABCD是什么四边形?证明你的结论.17.(12分)在数列{a n}中,a1=1,其前n 项和S n满足关系式3tS n-(2t+3)S n-1=3t(t>0,n=2,3,…).(1)求证:数列{a n}是等比数列;(2)设数列{a n}的公比为f(t),作数列{b n},使b1=1,b n=f1b n-1(n=2,3,…),求b n;(3)求b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+ b2n-1b2n-b2n b2n+1的值.图318.(15分)如图3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M、N、P分别是棱CC1、CB、CD的中点.(1)求证:A1P⊥平面DMN;(2)求四面体A1DMN的体积.19.(15分)如图4,圆盘上有一指针,开始时指向圆盘的正上方.指针每次顺时针方图4向绕圆盘中心转动一角α,且316°<α<180°,经2004次旋转,第一次回到了其初始位置,即又指向了圆盘的正上方.试问:α有多少个可能的不同值?参考答案一、1.B.令 z-i=i3=-i,所以, z=0,z=0.故f(i3)=-2i-1.2.D.观察图像①,可得出a>0,b>1,函数y=ax+ b和y=b ax的图像均满足要求,排除(A)、(C).观察图像②,由y=ax+b得出a>0,0<b<1;由y=b ax得出a>0,b>1或a<0,0<b<1,矛盾,排除(B).3.B.若a=(a1,a2)∈M∩N,则有a1=-1+x1=1+2x2,a2=1+2x1=-2+3x2.整理,得x1-2x2=2,2x1-3x2=-3.解得x1=-12,x2=-7.于是,有M∩N={(-1-12,1-24)}={(-13,-23)}.4.A.722005年第2期依题意,直线l沿向量a=(-5,1)平移后,回到原位.设直线l的方程为y=ax+ b.平移后方程仍有y′=ax′+b的形式,这里y′=y+1, x′=x-5]y=y′-1,x=x′+5.故平移后,直线l的方程为y′-1=a(x′+5)+b,即　y′=ax′+b+5a+1.所以,5a+1=0,a=-15.5.C.根据幂函数及指数函数的单调性,按题意应有b a>a a,b a>b b.而a a、b b大小关系不确定.6.A.设双曲线方程为x 2a2-y2b2=1.则右准线方程为x=a2c,渐近线方程为y=±bax.由此可得,点A、B的坐标分别为a2c,abc、a2c,-abc.从而知|AB|=2abc.设右准线与x轴的交点为K.则有|KF|=c-a2c=b2c.又|KF|=12|AB|,所以,b2c=abc.故a=b,即知e=2.7.B.由题意得a<3x-1<b,a<3x+1<b.a+13<x<b+13,a-13<x<b-13.因为b-a>2,则b-13-a+13=(b-a)-23>0,即　a+13<b-13.所以,不等式组的解为a+13<x<b-13.因此,F(x)的定义域为a+13,b-1 3.8.C.设y=e x+1e x-1.解得x=lny+1y-1.所以,f-1(x)=ln x+1x-1.故g(x)=f-1(-x)=ln-x+1-x-1=ln x-11+x.由x-11+x>0,得x<-1或x>1.所以,g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).选项(A)、(B)均不正确.由g(x)=ln x-1x+1=ln1-2x+1在(-∞,-1)上,2x+1随x的增大而减小,则1-2x+1随x的增大而增大.因为ln x是增函数,所以,g(x)随x的增大而增大,即g(x)在区间(-∞,-1)上是增函数.9.B.将方程变形为cos2x+(2a+1)cos x+a2-1=0.令t=cos x,则方程变形为t2+(2a+1)t+a2-1=0.设f(t)=t2+(2a+1)t+a2-1,t∈[-1,1].由题意知实数a应满足(2a+1)2-4(a2-1)≥0,f(1)≥0,f(-1)≥0,-1≤-2a+12≤1,或　f(1)f(-1)≤0.解得-54≤a≤1+2.所以,实数a的取值集合是-54,1+2.10.D.因为P A⊥面ABC,则P A⊥BC.又BC⊥AC,故BC⊥面P AC.所以,面P BC⊥面P AC.因为AF⊥PC,则AF⊥面P BC,有AF⊥EF.又P A=AB=2,AE⊥P B,所以,AE=2.在Rt△AEF中,因为AF2+EF2=AE2=(2)2=2,所以,AF・EF≤AF2+EF22=1.因此,S△AEF=12AF・EF≤12×1=12.当且仅当AF=EF时,上式中的等号成立,即S△AEF取得最大值12.82中等数学这时,AE・EF=EF2=1]EF=1.又AF⊥面P BC,AE⊥P B,由三垂线定理的逆定理,得FE⊥P B.在Rt△PEF中,由PE=2,EF=1,知tanθ=12=22.二、11.投资房地产.购买股票盈利的期望值为013×10+015×3+012×(-5)=315(万元).投资房地产盈利的期望值为013×8+015×4+012×(-4)=316(万元).所以,合理的投资方案应该是投资房地产.12.11 16.sin3α-cos3α=(sinα-cosα)(sin2α+sinα・cosα+cos2α)=(sinα-cosα)(1+sinα・cosα).已知sinα-cosα=12,且(sinα-cosα)2=sin2α-2sinα・cosα+cos2α=14,故sinα・cosα=38.从而,有sin3α-cos3α=1116.13.0165.将5个小球分别放入5个盒子内的放法共有N=5!=120(种).红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的放法分为两类:(1)红球在黄盒内,这时有放法n1=4!=24(种);(2)红球不在红盒内也不在黄盒内时,有放法n2=C13C13A33=54(种);红球不在红盒内且黄球不在黄盒内,共有放法n=n1+n2=24+54=78(种).所以,红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P=nN=78120=0165.14.x 2a2-y2b2=1.设点P1的坐标为(x0,y0),则有P2(x0,-y0)、A1(-a,0)、A2(a,0).A1P1所在直线的方程为y=y0x0+a(x+a).A2P2所在直线的方程为y=-y0x0-a(x-a).两式相乘,并利用x20a2+y20b2=1,消去x0、y0有y2=-y20a2-x20(a2-x2)=-b2a2(a2-x20)a2-x20(a2-x2)=-b2a2(a2-x2).整理得x2a2-y2b2=1.三、15.四个式子由大到小的排序是b>a4-b4a-b>a+b2>2ab.因为b>a>0,且a+b=1,所以,a4-b4a-b=(a+b)(a2+b2)=a2+b2,(a+b)22=12=a+b2.由b-(a2+b2)=b-a2-b2=b(1-b)-a2=a(b-a)>0,有b>a2+b2,即b>a4-b4a-b.由a2+b2>2ab,得2(a2+b2)>(a+b)2,则a2+b2>(a+b)22,即a4-b4a-b>a+b2.由a+b>2ab,12>ab,14>ab,12>2ab,有a+b2>2ab.所以,b>a4-b4a-b>a+b2>2ab.16.(1)当m=n时,即a・b=b・c=c・d=d・a.由a+b+c+d=0,得b+d=-(a+c).因为a・b+d・a=b・c+c・d,所以,a・(b+d)=c・(b+d).则a・(a+c)=c・(a+c),a2+a・c=a・c+c2.因此,a2=c2,即|a|2=|c|2,|a|=|c|.同理可得|b|=|d|.故四边形ABCD是平行四边形.又cos(180°-∠B)=a・b|a|・|b|=b・c|b|・|c|=cos(180°-∠C),所以,∠B=∠C.又由AB∥CD得∠B+∠C=180°,所以,922005年第2期∠B=∠C=90°.因此,四边形ABCD是矩形.(2)当m≠n时,四边形ABCD是等腰梯形.由(1)得|a|=|c|,∠B=∠C.同理可得∠A=∠D.因此,∠A+∠B=∠C+∠D=180°.故AD∥BC.下面用反证法证明AD≠BC.假设AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形.由此得a=-c,b=-d,则a・b=(-c)・(-d)=c・d.因为a・b=m,c・d=n,则m=n,这与m≠n 矛盾.所以,AD≠BC.又|a|=|c|,则AB=CD.所以,四边形ABCD是等腰梯形.17.(1)由已知3tS2-(2t+3)S1=3t,即　3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t.由a1=1,解得a2=2t+33t.所以,a2a1=2t+33t.当n≥2时,有3tS n+1-(2t+3)S n=3t,①3tS n-(2t+3)S n-1=3t.②①-②得3ta n+1-(2t+3)a n=0.则a n+1a n=2t+33t.综上所述,知a n+1a n=2t+33t(n≥1).因此,{a n}是等比数列. (2)由(1)知f(t)=2t+33t,则b1=1,b n=2・1b n-1+33・1b n-1=23+b n-1.所以,b n-b n-1=23(n=2,3,…).因此,{b n}是等差数列,且b1=1,d=b n-b n-1=2 3.故b n=b1+(n-1)d=23n +13.(3)b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)=-43(b2+b4+…+b2n)=-43・n(b2+b2n)2=-43・n53+4n+132=-89n2-43n.18.(1)如图3,联结AP,则Rt△ADP≌Rt△DCN.有∠DAP=∠CDN,∠DAP+∠ADN=∠CDN+∠ADN=90°.故AP⊥DN.又A1A⊥平面ABCD,AP是A1P在平面ABCD内的射影,所以,A1P⊥DN.同理,A1P⊥DM.因为DM与DN相交于点D,所以,A1P⊥平面DMN.注:也可以建立坐标系利用向量证明.图5(2)如图5,联结A1D、B1C,B1C与MN相交于点E,联结DE交A1P于点H,则AH为四面体A1DMN的面DMN上的高.因正方体的棱长为2,则B1C=22,CE=14B1C=22.在Rt△CDE中,有DE=DC2+CE2=322.因为Rt△DHP∽Rt△DCE,所以,HPCE=DPDE.从而,HP=CE・DPDE=13.又A1P=DA21+DP2=3,所以,A1H=83.在△DMN中,由DM=DN,MN=CM2+CN2=2,且E是MN的中点,有DE⊥MN.则S△DMN=12MN・DE=32.故V四面体A1DMN=13×32×83=43.19.显然有316°<α=n×360°2004<180°.①(下转第42页)故DNTB =CD CB,即DN・CB=CD・TB.因此,DN・CB=CN・AB.(2)因为N为BM的中点,则BN=MN=6.又DM∥AB,所以,∠DMB=90°.如图5,过A作AG⊥MD交MD的延长线于点G,延长DN交AB的延长线于点F,设E为AD的中点,联结EF.因为∠ADN=∠BAD,所以,EF⊥AD.因为∠ABC=∠DMB=∠AG D=90°,AB=BM =12,所以,四边形ABMG为正方形.由于∠G AD=∠AFE,所以,△AG D∽△FE A.故G DAE =ADAF,即AD2=2G D・AF.①设B F=DM=x,则AF=12+x,G D=12-x.由勾股定理,有AD2=122+(12-x)2.代入式①,得122+(12-x)2=2(12+x)(12-x).解得x=8.因此,S△DMN=12・DM・MN=12×6×8=24.三、设这个四位数为abcd.由题意,得1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=2004,即　1001a+101b+11c+2d=2004.①显然a=1或2,否则1001a>3000.(1)当a=1时,式①两边同时减去1001,得101b+11c+2d=1003.因为11c+2d的最大值为99+18=117,故101b ≥886,所以,b=9.从而,有11c+2d=1003-909=94.由于0≤2d≤18,则有94-18≤11c≤94.故c=7或8.当c=7时,11c+2d=77+2d=94,得d=172 (舍去);当c=8时,11c+2d=88+2d=94,得d=3.此时,这个四位数为1983.(2)当a=2时,式①两边同时减去2002,得101b+11c+2d=2.所以,b=0,c=0.故d=1.此时,这个四位数为2001.综上所述,所求的四位数为1983和2001.(杨　晋　安徽省芜湖市第13中学,241002)(上接第30页) 这里n是当指针第一次回到其初始位置时已经转过的圈数.因n是正整数,式①整理后可得21≤n≤1001.同时n必与2004互质,即(n,2004)=1.设d=(n,2004).若有d>1,则令n1=nd,n2=2004d.此时有α=n1×360°n2.这意味着指针转动n2次,每次转动角α,指针则旋转n1圈之后,回到其初始位置,与题设矛盾.由上述讨论可知,对任一满足21≤n≤1001,且(n,2004)=1的n,对应一个可能的α.反之亦然.故问题成为求满足上述两个条件的所有n的个数.因为2004=22×3×167,所以,(n,2004)=1Ζ28n,38n,1678n.在不大于1001的正整数中,不能被2或3整除的正整数共有1001-10012+10013-10012×3=1001-(500+333-166)=334(个).(符号[a]表示不超过a的最大整数.)其中只有1×167及5×167能被167整除,所以,不大于1001且满足条件的n共有334-2=332个.再去掉1,5,7,11,13,17,19这7个不大于20的数,知同时满足两个条件的n共有332-7=325个.因此,α共有325个可能的不同值.(李耀文　提供)。

2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222a b c bc ca ab++的值是（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p,q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a,a,b ，另一个三角形的边长分别为b,b,a ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则ab的值等于（ ）(A)12 (B) 12 (C) 22+ (D) 224．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥(B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤ 6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题 1．计算2003++= .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC= .D A C B3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .第二试（A）一．已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。

二．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。

2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则q 的弧度数为A ．6πB 。

12512ππ或C 。

1256ππ或D 。

12π答：[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B 。

（26,26-）C 。

（332,332-） D 。

[332,332-] 答：[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A ．[2，3]B 。

（2，3）C 。

[2，4]D 。

（2，4） 答：[ ]4、设O 点在△ABC 内部，且有032=++OC OB OA ，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A ．2B 。

23C 。

3D 。

35答：[ ]5、设三位数abc n =，若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A ．45个B 。

81个C 。

165个D 。

216个 答：[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 是PA 的中点，则当三棱锥O —HPC 的体积最大时，OB 的长是A ．35B 。

352C 。

36D 。

362 答：[ ]二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数)0(cos sin )(〉+=a ax ax a x f 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2+=a x g 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cos=0有重根，则的弧度数为( )A．B．或C．或D．2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是( )A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]3．不等式+log x3+2>0的解集为A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]4．设点O在ABC的内部，且有+2+3=，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A．2 B．C．3 D．5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A．45个B．81个C．165个D．216个6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )A．B．C．D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是；8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则的值是；12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P 在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[，]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则++ <．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=，直线A n B n在x轴上的截距为a n，点B n的横坐标为b n，n∈N*．⑴证明a n>a n+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cot=0有重根，则的弧度数为( )A．B．或C．或D．解：由方程有重根，故=4cos2－cot=0，∵ 0<<，2sin2=1，=或．选B．2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是( )A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，2b2≤3，b∈[－，]．选A．3．不等式+log x3+2>0的解集为A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]解：令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选C．4．设点O在ABC的内部，且有+2+3=，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A．2 B．C．3 D．解：如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3选C．5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A．45个B．81个C．165个D．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C．6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )A．B．C．D．解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．而OCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30，OB=PO tan30=．又解：连线如图，由C为PA中点，故V O－PBC=V B－AOP，而V O－PHC∶V O－PBC==(PO2=PH·PB)．记PO=OA=2=R，∠AOB=，则V P—AOB=R3sincos=R3sin2，V B－PCO=R3sin2．===．V O－PHC=R3．∴令y=，y==0，得cos2=－，cos=，∴OB=，选D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是；解：f(x)=sin(ax+)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．又解：∫[1－sin(ax+)]dx=∫(1－sin t)dt=．8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②比较①、②得，f(x)=x+1．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，BN=D1M=NM=．A1M=AN=．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NA cos，12=++－2cos，cos=．=60．10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；解：设=n，则(k－)2－n2=，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k=(p+1)2．11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则的值是；解：=+，令b n=+，得b0=，b n=2b n－1，b n=2n．即=，=(2n+2－n－3)．12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使∠MPN更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P的横坐标=1．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？解：⑴设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n>2n，知，n≤4．即最多能过4关．⑵要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率==；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－=；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C==56种，不能过关的概率==，能过关的概率=；∴连过三关的概率==．14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．解：⑴设点P的坐标为(x，y)，AB方程：+=1，4x－3y+4=0，①BC方程：y=0，②AC方程：4x+3y－4=0，③∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，25y2+16x2－(3y－4)2=0，16x2+16y2+24y－16=0，2x2+2y2+3y－2=0．或25y2－16x2+(3y－4)2=0，16x2－34y2+24y－16=0，8x2－17y2+12y－8=0．∴所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0，④或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0．⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+．⑥(a) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b) k=0时，直线y=与圆④切于点(0，)，与双曲线⑤交于(±，)，即k=0满足要求．(c) k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c) k0时，k时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－=0．当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±与k=±．∴所求k值的取值范围为{0，±，±}．15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[，]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则++<．解：⑴ +=t，=－．故<0，>0．当x1，x2∈[，]时，∴f (x)==．而当x∈[，]时，x2－xt<0，于是f (x)>0，即f(x)在[，]上单调增．∴g(t)=－====⑵g(tan u)==≥，∴ ++≤[163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥()2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．∴++≤(75－3)=．由于等号不能同时成立，故得证．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．解：∵BC=25，BD=20，BE=7，∴CE=24，CD=15．∵AC·BD=CE·AB，AC=AB，①∵BD⊥AC，CE⊥AB，B、E、D、C共圆，AC(AC－15)=AB(AB－7)，AB(AB－15)=AB(AB－18)，∴AB=25，AC=30．AE=18，AD=15．∴DE=AC=15．延长AH交BC于P，则AP⊥BC．∴AP·BC=AC·BD，AP=24．连DF，则DF⊥AB，∵AE=DE，DF⊥AB．AF=AE=9．∵D、E、F、G共圆，∠AFG=∠ADE=∠ABC，AFG∽ABC，∴=，AK==．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=，直线A n B n在x轴上的截距为a n，点B n的横坐标为b n，n∈N*．⑴证明a n>a n+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．解：⑴点A n(0，)，B n(b n，)由|OA n|=|OB n|，b n2+2b n=()2，b n=－1(b n>0)．∴ 0<b n<．且b n递减，n2b n=n(－n)= =单调增．∴ 0<n<．令t n=>且t n单调减．由截距式方程知，+=1，(1－2n2b n=n2b n2)∴a n====()2+()=t n2+t n=(t n+)2－≥(+)2－=4．且由于t n单调减，知a n单调减，即a n>a n+1>4成立．亦可由=b n+2．=，得 a n=b n+2+，．∴由b n递减知a n递减，且a n>0+2+=4．⑵即证(1－)>2004．1－===k2(()2－()2)≥>>．∴(1－)>>(+)+(+++)+…+>+++…．只要n足够大，就有(1－)>2004成立．三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．解：⑴当n≥4时，对集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n．①取集合T n={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．但card(T)=[]+[]－[]．故f(n)≥[]+[]－[]+1．②由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．现计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(k0(mod2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故f(n+1)≤f(n)+1．③∴f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．∴对于4≤n≤9，f(n)= []+[]－[]+1成立．④设对于n≤k，④成立，当n=k+1时，由于M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(m，k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是当n≥4时，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[]+[]－[]+1，比较②，知对于n=k+1，命题成立．∴对于任意n∈N*，n≥4，f(n)= []+[]－[]+1成立．又可分段写出结果：f(n)=。

NABCDP2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a ＋b ＋c ＝0, 则代数式 a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p ,q 均为质数，且满足5p 2＋3q ＝59，则以p ＋3,1－p ＋q ,2p ＋q －4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a ,a ,b ，另一个三角形的边长分别为b ,b ,a ，其中a ＞b ，若两个三角形的最小内角相等，则 a b的值等于（ ）(A)3＋1 2 (B) 5＋1 2 (C) 3＋2 2 (D) 5＋224．过点P (-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) ab ≥1 8(B) ab ≤1 8(C) ab ≥1 4(D) ab ≤1 46．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题1．计算1 1＋2＋1 2＋3＋1 3＋4＋……＋12003＋2004＝ .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC ＝ .3．实数a ,b 满足a 3＋b 3＋3ab ＝1，则a ＋b ＝ .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m ＝ .l G B C H F A E P QMD 第二试一、 已知方程x 2－6x －4n 2－32n ＝0的根都是整数，求整数n 的值。

2004年全国初中数学联赛答案一、1、A 原式＝()()()b c a a c b a b c bc ac ab -+-+-+++＝a a b b c c b c a c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝3a b ca b c++= 2、B因为253p q +为奇数，故,p q 必为一奇一偶。

而,p q 均为质数，故,p q 中有一个为2。

若2q =，则2535p =，不合题意，舍去； 若2p =，则13q =。

此时，35,112,2413p p q p q +=-+=+-=。

因为22251213+=，所以，以5、12、13为边长的三角形为直角三角形。

3、B如图，设△ABC 中，AB ＝AC ＝a ，BC ＝b 。

D 是AB 上的一点，有AD ＝b 。

因为a b >，故∠A 是△ABC 的最小角，记∠A ＝θ。

则以,,b b a 为三边的三角形的最小角亦为θ。

从而，此三角形与△ADC 全等。

所以，DC ＝b ，∠ACD ＝θ。

又△ABC ∽△CBD ，于是，BC BD AB BC =，即b a b a b -=。

令ax b=，即得方程210x x --=解得a x b ==4、C设满足条件的直线l ：k kx b =+。

因为P(－1，3)在直线l 上，所以，3k b =-+，故3b k =+ 因此，l 为3y kx k =++l 与两坐标轴的交点分别为3,0k A k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,3)B k +故l 与两坐标轴围成的三角形的面积1133522AOB k S OA OB k k∆+=⋅=-⋅+=，即2(3)10k k += ① 当0k >时，方程①即2490k k -+=，此时方程无实数解；当0k <时，方程①即21690k k ++=，此时方程有两个实数解1,28k =-因此，过点P(－1，3)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线有两条。

04全国高中数学联赛试题及参考答案2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1、设锐角q使关于某的方程有重根，那么q的弧度数为A．B。

C。

D。

答：[ ]2、M=，N=，假设对于所有的，均有那么的取值范围是A．[] B。

〔〕C。

〔〕D。

[]答：[ ]3、不等式>0的解集是A．[2，3] B。

〔2，3〕C。

[2，4] D。

〔2，4〕答：[ ]4、设O点在△ABC内部，且有，那么△ABC的面积与△AOC的面积之比为A．2 B。

C。

3 D。

答：[ ] 5、设三位数，假设以为三条边的长可以构成一个等腰〔含等边〕三角形，那么这样的三位数有A．45个B。

81个C。

165个D。

216个答：[ ]6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，那么当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是A．B。

C。

D。

答：[ ] 二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕7、在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数满足，且对任意的，都有=，那么。

9、如图，正方体中，二面角的度数是______________。

10、设是给定的奇质数，正整数使得也是一个正整数，那么=________________。

11、数列满足关系式且，那么的值是______。

12、在平面直角坐标系中，给定两点M〔-1，2〕和N〔1，4〕，点P 在某轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。

三、解答题〔此题总分值60分，每题20分〕13、一项“过关游戏”规那么规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，那么算过关。

问：〔Ⅰ〕某人在这项游戏中最多能过几关？〔Ⅱ〕他连过前三关的概率是多少？〔注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。