2012年高考数学 冲刺60天解题策略 全真模拟试题(六)文

数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．题型一 数列中的不等关系例1设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，104≥S ，155≤S ，则4a 的最大值是 . 点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法求解．解法1：由题意，11434102545152a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．解法2：前面同解法1设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由121221323λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得1213λλ=-⎧⎨=⎩，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩ 11(23)53(2)9a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．解法3：前面同解法1， ⎪⎩⎪⎨⎧+-≤+=+-≥+=dd d a a d d d a a 3)23(3323531414 ∴d a d +≤≤+32354 ∴d d +≤+3235，即1≤d∴41334=+≤+≤d a ，4a 的最大值是4．易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点的坐标．变式与引申1：（1）等比数列}{n a 的公比1>q ，第17项的平方等于第24项，求使nn a a a a a a 1112121+++>+++ 恒成立的正整数n 的取值范围． （2）（2011年浙江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*N n ∈，试比较n a a a a 2322221...111++++与11a 的大小．题型二 数列、函数与不等式例2 已知函数),0(,12)(+∞∈++=x x x x f ，数列{}n x 满足*+∈=N n x f x n n ),(1，且11=x ．（1）设2-=n n x a ，证明：n n a a <+1；（2）设（1）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明22<n S ． 点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.【解】（1）12)12(212211+--=-++=-=++n nn n n n x x x x x a 由条件知0>n x 故n n n n a x x a =-<--<+22)12(1 （2）由（1）的过程可知2)12(2)12(121--<--<-+n n n x x a 11)12(2)12(+-=--<<n n x ，n n S )12()12()12(2-++-+-< 22)12(112=---<. 易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明．放缩法可通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．变式与引申2： 已知数列}{n a 是首项41=a 的等比数列，其前n 项和为n S ，且423,,S S S 成等差数列。

第四节 填空题的解题策略（2）二 开放型填空题解法示例【题型一】多选型给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论. 这类题不论多选还是少选都是不能得分的，相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的演绎推理，而是要求从结论出发逆向探究条件，且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因此，要求同学们有扎实的基本功，能够准确的阅读数学材料，读懂题意，根据新的情景，探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须通过推理证明，而判断命题是假命题，举反例是最有效的方法.例1一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱点拨：此题考查立体图形的三视图，多选题，应逐个验证，由于几何体摆放的位置不同，正视图不同，验证时应考虑全面.解：如下图所示，三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥四种几何体的正视图都可能是三角形，所以应填①②③⑤．易错点：忽略三棱柱可以倒置，底面正对视线，易漏选③例2甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件； ⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关.点拨：此题考查概率有关知识，涉及独立事件，互斥事件的概念.题型为多选型，应根据题意及概念逐个判断.解：易见123,,A A A 是两两互斥的事件，事件B 的发生受到事件1A 的影响，所以这两事件不是相互独立的.而()()()1235524349()|||10111011101122P B P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯=. 所以答案②④. 易错点：容易忽略事件B 的发生受到事件123,,A A A 的影响，在求事件B 发生的概率时没有分情况考虑而导致求解错误.【题型二】探索型从问题给定的题设中探究其相应的结论，或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的条件.常见有：规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索型命题，解题时要求学生要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻，推理得出应具备的条件，进而施行填空；如果是结论探索型命题，解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论.例3观察下列等式：①2cos 22cos 1αα=-;②42cos 48cos 8cos 1ααα=-+;③642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-;④8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+⑤108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=++++-可以推测，m n p -+=.点拨：此题给出多个等式，出现的系数存在规律，需对此规律进行探索，猜测，推理得出答案.解：因为122,=382,=5322,=71282,=所以92512m ==；观察可得400n =-，50p =，所以962m n p -+=.例4观察下列等式：3323332333321231+2+3=61+2+3+4=10+=⋅⋅⋅，，，，根据上述规律，第五个等式．．．．．为____________.点拨：此题给出多个等式，需寻找规律，探索答案.解：（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4…，右边的底数依次分别为3,6,10…（注意：这里1046,633=+=+），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为6,5,4,3,2,1，右边的底数为216510=++.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为233333321654321=+++++.（方法二）∵易知第五个等式的左边为333333654321+++++，且化简后等于441，而221441=，故易知第五个等式为233333321654321=+++++【题型三】新定义型定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题.这样必须紧扣新信息的意义，将所给信息转化成高中所学习的数学模型，然后再用学过的数学模型求解，最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系，要求同学有较强的分析转化能力，不过此类题的求解较为简单. 例5对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）.点拨：此题给出凸集这样一个新概念，需对此新定义理解，对照定义验证各个选项.解：在各个图形中任选两点构成线段，看此线段是否包含于此图形，可以在边界上，故选②③.易错点：忽略④是由两个圆构成一个整体图形，从两个圆上各取一点构成的线段不包含于此图形，易误选④.例6若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}*()n a 是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *=，(())n a **= ．点拨：此题定义了一个新数列，应透过复杂的符号理解简单的定义，并严格依照定义进行正确推理，寻找规律，大胆猜想.解：因为5m a <，而2n a n =，所以m=1,2,所以5()a *=2.因为1()0,a *=234 ()1,()1,()1,a a a ***===5678910111213141516 ()2,()2,()2,()2,()2,()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,a a a a a a a a a a a a ************============所以1(())a **＝1,2(())a **＝4，3(())a **＝9，4(())a **＝16，猜想2(())n a n **=.易错点：容易对定义不理解导致思路受阻，或理解错误导致解错.【题型四】组合型给出若干个论断要求学生将其重新组合，使其构成符合题意的命题.解这类题，就要求学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握，通过对题目的阅读、理解、分析、比较、综合、抽象和概括，用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序.例7,αβ是两个不同的平面，m,n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：（1）m n ⊥,（2）αβ⊥,（3）n β⊥（4）m α⊥，若以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________________________.点拨：此题是开放性填空题，只需填一个正确的答案，考查的是线面关系.解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：（1）m α⊥,n β⊥,αβ⊥m n ⇒⊥；（2）m α⊥,n β⊥,m n ⊥αβ⇒⊥. 所以可以填m α⊥,n β⊥,αβ⊥m n ⇒⊥ (或m α⊥,n β⊥,m n ⊥αβ⇒⊥).三 减少填空题失分的检验方法【方法一】回顾检验：解答之后再回顾，即再审题，避免审题上带来某些明显的错误，这是最起码的一个环节.【方法二】赋值检验：若答案是无限的、一般性结论，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.【方法三】估算检验：当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.【方法四】作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验即数形结合，一避免一些脱离事实而主观臆断导致错误.【方法五】变法检验：一种方法解答之后，再用其他方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.【方法六】极端检验：当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.点评：填空题是介于选择题和解答题之间的一种题型. 它既有选择题的小、活、广，又有解答题的推理运算严谨，考查全面的特点. 因此，在解题过程中可灵活选用选择题、解答题的有效方法灵活解题，以达到正确、合理、迅速的目的.因此在平时训练时要注意以下几点：① 注意对一些特殊题型结构与解法的总结，以找到规律性的东西；② 注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用，以快速得到提示与启发；③ 注意从不同角度、不同方法对题目的“再解答”，以保证解答的正确性.习题7-41. 已知命题“若数列{}n a 为等差数列，且(),,,m n a a a b m n m n N +==≠∈，则.m n bn am a n m +-=-”现已知数列{}n b ()0,n b n N +>∈为等比数列，且(),,,m n b a b b m n m n N +==≠∈，若类比上述结论，则可得到m n b +=.2.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）3.,,,a b c d R ∈,有以下三个论断：①0ab >；②bc ad <；③c d a b<.若以其中两个为条件，余下一个为结论，写出所有正确的命题：_______________________________________________________.4.若规定{}1,210,...,E a a a =的子集{}12,...,n i i i a a a 为E 的第k 个子集，其中 12111222n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则（1）{}1,3,a a 是E 的第_________个子集；（2）E 的第211个子集是____________.5. ①在ABC 中，90B =的充分必要条件是cos c b A =；②函数2254x y x +=+的最小值是52； ③数列{}n a 的前项和为n S ，若21n S n =+，则数列{}n a 是等差数列；④空间中，垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线750x y +-=分圆221x y +=所成的两部分弧长之差的绝对值为π.其中正确的结论的序号为：___________.6．平面几何中的射影定理为：直角ABC ∆中，,90︒=∠A BC AD ⊥则有BC BD AB ⋅=2，如图1；将此结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中，AB 、AC 、AD 三边两两互相垂直，A 在面BCD 的射影为点O ，则得到的类比的结论中 , , ABC BOC BCD S S S ∆∆∆ 有怎样的关系.【答案】习题7-4 1.n m n m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭提示：（新定义型）（1）根据新定义113122=5k --=+.（2）要使得12111222=211n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，需12111222=1+2+16+64+128n i i i ---++⋅⋅⋅+，即要使得1234511111i i i i i -----，，，，分别为1，2，16，64，128，故12345i i i i i ，，，，分别为1，2，5，7，8.5.①②⑤.提示：（多选型）①利用正弦定理边化角可证明正确.②不满足均值不等式条件，考虑对钩函数单调性证明正确.③等差数列前n 项和为关于n 的二次式，且常数项为0.④由正方体从一个定点出发的三条棱两两垂直可知错误⑤圆心到直线的距离22d =，半径1r =，劣弧所对圆心角为2π. 6．BCD BOC ABC S S S ∆∆⋅=2提示：（探索型）类比猜测答案. 实际上，延长DO 交BC 于H ，则DH ⊥BC ,AH ⊥BC .1 =, 2ABC S BC AH ∆⋅⋅1 , 2BOC S BC OH ∆=⋅⋅12BCD S BC DH ∆=⋅⋅而 直角AHD ∆中，90,DAH ∠=︒AO DH ⊥则有2AH OH DH =⋅故BCD BOC ABC S S S ∆∆⋅=2B D O H。

函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在0.3～0.6之间.考试要求：①了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法；②了解函数单调性与导数的关系；③能求函数的最大（小）值；④掌握用导数研究函数的单调性. 题型一 已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值.例1 设函数ax x a x x f 2)2(36)(23+++=.（1）若)(x f 的两个极值点为21,x x 且121=x x ，某某数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得)(x f 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.点拨因为是三次函数，所以只要①利用“极值点0)(='⇔x f 的根”，转化为一元二次方程根的问题；②利用)(x f 在(,)-∞+∞上单调)(x f '⇔＞0（＜0），转化为判断一元二次函数图像能否在x 轴上方的问题.解2()186(2)2f x x a x a '=+++ （1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122181a x x ==,所以9a =； （2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>，得()0f x '=总有两个不等的实根，()f x 不恒大于零，所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.易错点①三次函数的极值点21,x x 与原函数)(x f 的导数关系不清；②含参变量a 的问题是逆向思维，学生易出现错误；③学生不会将)(x f 在(,)-∞+∞上是单调函数的问题转化为()0(0)f x '><恒成立问题. 变式与引申1：(2011年高考某某卷理) 设()f x x x ax 3211=-++232（1）若()f x 在(,2+∞3）上存在单调递增区间，求a 的取值X 围；（2）当a 0<<2时，()f x 在[,]14上的最小值为16-3，求()f x 在该区间上的最大值． 题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的X 围.例2已知函数32()(1) (2)()f x x a x a a x b a b =+--++∈R ，．（1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 在区间（-1，1）上至少有一个极值点．．．．．．．．，求a 的取值X 围． 点拔：第（1）问利用已知条件可得()00,(0)=0f f '=，求出a ，b 的值.第（2）问利用“极值点()0f x '⇔=”的根转化为一元二次方程根的分布问题.解析：（1）由函数()f x 的图像过原点，得0b =，又2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+，()f x 在原点处的切线斜率是3-，则(2)3a a -+=-，所以3a =-，或1a =．（2）法一：由()0f x '=，得1223a x a x +==-，．又()f x 在(1,1)-上至少有一个极值点， 即1123a a a -<<⎧⎪+⎨≠-⎪⎩，，或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪≠-⎪⎩，．解得1112a a -<<⎧⎪⎨≠-⎪⎩，，或5112a a -<<⎧⎪⎨≠-⎪⎩，． 所以a 的取值X 围是115122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． 法二：2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+,由题意①'()0f x =必有一根在(-1,1)上,故''(-1)(1)0f f ⋅<,即22(54)(1)0a a a ---<,解得51a -<<-；或'(-1)=0f ，则1a =±，当1,(1)0a f ==（舍去），当1a =-时，经检验符合题意； 同理'(1)=0f ，则15a =或，经检验，均不符合题意，舍去.②'()0f x =有两个不同的根在(-1,1)上 故''(-1)0(1)00f f ⎧>⎪>⎨⎪∆>⎩解得：111122a a -<<--<<或 所以，a 的取值X 围115122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 易错点：①解不等式()0f x '>出错；②第（2）问的解法一，不易分析.；③第（2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整.变式与引申2：将（2）中改为“()f x 在区间（-1，1）上有两个极值点”，或改为“()f x 存在极值点，但在区间（-1，1）上没有极值点”，如何求a 的取值X 围？题型三函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题例3 设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（1）求a 和b 的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）设3223()g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小． 点拔此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数()f x 与()g x 的大小，可构造新函数()()()F x f x g x =-，再通过分析函数()F x 的单调性来讨论()F x 与0的大小关系. 解（1）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++， 又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-． （2）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =． 因为当(2)x ∈-∞-，(01)⋃，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-⋃+∞，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的．（3）由（1）可知21321()e 3x f x x x x -=--，故21321()()()e (e )x x F x f x g x x x x x --=-=-=-，令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增．故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x≥，因此()()()0F x f x g x =-≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥．习题1—31. 已知：函数⎩⎨⎧>+-≤<=)9(11)90(log )(3x x x x x f ，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ⋅⋅的取值X 围是（ ）.A )9,0(.B )9,2(.C )11,9(.D )11,2(2.已知函数)()(x g x f 与的定义域均为非负实数集，对任意的0≥x ，规定)()(x g x f * 的最大值为是若)()(,52)(,3)()},(),(min{x g x f x x g x x f x g x f *+=-==.3. 已知函数32()33 1.f x x ax x =-++（1）设2a =，求()f x 的单调区间；（2）设()f x 在区间(2,3)上不单调，求a 的取值X 围.4.已知函数()f x x =()ln ,g x a x a R =∈.（I ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；（II ）设函数()()()h x f x g x =-，当()h x )存在最小值时，求其最小值()a ϕ的解析式； （III ）对（2）中的()a ϕ，证明：当(0,)a ∈+∞时，()a ϕ≤1.5.设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．（1）当21>b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）0b ≤时，求()f x 的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式21ln )1ln(nn n >-+都成立． 【答案】变式与引申2：解：①若()f x 在区间(-1,1)上有两个极值点，则''(-1)0(1)00f f ⎧>⎪>⎨⎪∆>⎩解得：111122a a -<<--<<或 ②同理，()f x 存在极值点，但在区间(-1,1)上有没有极值点，则51a a ≤-≥或. 变式与引申3： 解与原例题3的方法相同.习题1—31. C 本小题主要考查对数函数的性质、函数的图像，考生在做本小题时极易忽视a ，b 的关系.解：：因为)()(b f a f =，所以b a lg lg =，所以b a =(舍去)，或1b a=，根据图像可以判断9<c <11，即a b c ⋅⋅的取值X 围是(9,11).2. 答案 132-3.解：（1）当2a =时, 32()63 1.f x x x x =-++'2()3123f x x x =-+.当(,2x ∈-∞时'()0f x >，()f x在(,2-∞单调递增；当(22x ∈-时'()0f x <，()f x在(22-+单调递减；当(2)x ∈++∞时'()0f x >，()f x在(2)++∞单调递增.综上，()f x 的单调增区间是(,2-∞-和(2)++∞,()f x 的单调减区间是(22-.（2）'2()363f x x ax =-+，236(1)a ∆=-.当0∆≤，即210a -≤时，'()0f x ≥,()f x 为增函数，舍去. 当0∆>，即210a ->时，'()0f x =有两个根1x a =，2x a =由题意知23a <<①或23a <<②①式无解,②式的解为5543a <<. 因此a 的取值X 围55(,)43.4.解 （I ）()f x '=,()g x '=a x (x >0),由已知得ln ,,a x a x== 解得2,2e x e a ==. ∴两条曲线交点的坐标为),(2e e 切线的斜率为ee f k 21)(2='=. ∴切线的方程为)(212e x e e y -=-. （II ）由条件知)0(ln )(>-=x x a x x h ，（i ）当a >0时，令()0,h x '=解得24x a =，∴ 当0 <x < 24a 时，()0,h x '<，()h x 在（0，24a ）上递减；当x >24a 时，()0,h x '>，()h x 在2(4,)a +∞上递增. ∴ 24x a =是()h x 在(0,)+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()h x 的最小值点. ∴ 最小值22()(4)2ln 42(1ln 2).a h a a a a a a ϕ==-=- （ii ）当0a ≤时，2()0,2a h x x'=>()h x 在（0，+∞）上递增，无最小值. 故()h x 的最小值 ()a ϕ的解析式为 ()2(1ln 2)(0).a a a a ϕ=->（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ()2(1ln 2ln ).a a a ϕ=--则()2ln 2a a ϕ'=-，令 ()0a ϕ'=解得12a =. 当102a <<时， ()0a ϕ'>，∴ ()a ϕ在1(0,)2上递增； 当12a >时， ()0a ϕ'<，∴ ()a ϕ在1(,)2+∞上递减. ∴ ()a ϕ在12a =处取得最大值1 ()1,2ϕ= ∵ ()a ϕ在(0,)+∞上有且只有一个极值点，所以1 ()12ϕ=也是 ()a ϕ的最大值. ∴当(0,)a ∈+∞时，总有() 1.a ϕ≤ 5.解（1）由题意知，()f x 的定义域为),0(+∞，)0( 21)21(22222)('22>-+-=+-=+-=x x b x x b x x x b x x f ．∴当21>b 时，()0f x '>，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增． （2）令222'()220b x x b f x x x x-+=-+==， 得221211b x --=，211222b x -=+． 0b ≤时，11120(0,)22b x -=-≤∉+∞(舍去)， 而21121(0,)22b x -=+≥∈+∞， 此时()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：x ),0(2x 2x 2()x +∞，()f x ' - 0 +()f x减 极小值 增 由此表可知：0≤b Q 时，()f x 有惟一极小值点22121 ,2b x -+=，。

全真模拟试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（15）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的某某，某某号填写在答题卡上，认真核对条形码上的某某、某某号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式(n s x x =++-13Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh =24S R π=343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,,A B C 是ABC ∆的三内角，则“sin sin B C <”是“B C <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．若复数z 与其共轭复数z 满足:：z =2z z +=，则（ ）A ．2220z z -+=B ．2220z z --= C ．22210z z -+=D ．22210z z --= 3．若将函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的图像向左平移6π个单位得到的图像关于y 轴对称，则ω的值可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．已知某程序框图如下图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．125. 函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（ ）6．下列4个命题中：（1）存在(0,),x ∈+∞ 使不等式 23x x< 成立 （2）不存在(0,1),x ∈ 使不等式23log log x x <成立（3）任意的(0,),x ∈+∞ 使不等式2log 2xx <成立（4）任意的(0,),x ∈+∞ 使不等式21log x x<成立 真命题的是（ ） A ．（1）、（3）B ．（1）、（4） C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7．已知圆221x y +=与x 轴的两个交点为,A B ，若圆内的动点P 使2PA ，2PO ，2PB 成等比数列（O 为坐标原点），则PA PB ⋅的取值X 围为（ ） A ．1(0,]2 B ．1[,0)2- C ．1(,0)2- D ．[1,0)-8．若约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≤--0306230632y x y x y x ，则目标函数3++=y x z 的最大值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12 9．已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ） A ．()10,1 B ．()2,10 C ．()5,7 D ．()7,510．已知双曲线222:1(01)21x y C t t t -=<<+的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上任一点，则1212M PF PF PF PF =+-⋅的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 21t + D.241t t ++第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。

函数测试卷一．选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设,),()(,)()(),()(,sin )(/1/12/010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ 则=)(2009x f ( ) A. x sin B.x sin - C. x cos D. x cos -2．如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=. 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，,132)2(,0)1(+-=>m m f f 则m 的取值X 围是（）A ．)23,(-∞B ．)23,1(- C ．)23,1()1,( -∞D ．),23()1,(+∞--∞4．已知|log |)(3x x f =，则下列不等式成立的是 （ ）A ．)2()21(f f >B ．)3()31(f f >C ．)31()41(f f >D ．)3()2(f f >5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．若函数2()||(0)f x ax b x c a =++≠的定义域R 分成了四个单调区间，则实数c b a ,,满足 ( )A.0,042>>-a ac b B.042>-ac b C.02>-a b D.02<-ab 7．若函数42()f x ax bx c =++满足(1)2,f '= 则(1)f '-=（）A. 1-B. 2-C. 2D.08. 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3f π的值为（ ）A.12-B. 12D. 9.定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，42)(--=x x f ，则（ ）A.⎪⎭⎫⎝⎛6sinπf ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛6cos πf B.)1(sin f ＞)1(cos f C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos πf ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛32sin πf D. )2(cos f ＞)2(sin f10．已知函数()||,()xx a f x e a R e=+∈在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值X 围是（ ）A ． [0,1]a ∈B ．(1,0]a ∈- C. [1,1]a ∈- D. (,1][1,)a ∈-∞-+∞ 二．填空题 本大题共5小题，每小题5分,共25分.11．若函数432()2f x x ax x =-+-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值X 围是 12．定义在R 上的函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=-=+)10(1)01(1)(),()1()(x x x f x f x f x f 且满足，则(3)f =．13. 已知)(344)99(2R x x x x f ∈++=+，那么函数)(x f 的最小值为__ __14．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值X 围是．15．已知函数31(0)()12(0)3x e x x f x x xx ⎧+-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则下列说法①()f x在)+∞上是减函数；②()f x 的最大值是2；③方程()0f x =有2个实数根；④()f x 在R 上恒成立.正确的命题是（写出所有正确命题的序号）三．解答题 本大题共75分.其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤16．（本小题满分12分）设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈均有()(3)0f x f x ++=，且当11x -<≤时，()23f x x =-，求当24x <≤时，()f x 的解析式． 17.(本小题满分12分） 设()nx mx x x f ++=2331. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式； （2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -）18. （本小题满分12分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么X 围内？（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分12分）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()(0)f x g x x ≥>.20．（本题满分13分)已知函数()2f x x x =- （1）画出函数的图像，写出()f x 的单调区间； （2）设0a >，求()f x 在[0,]a 上的最大值 21．（本题14分）设()2ln p xf x px x =--.（Ⅰ）若)(x f 在其定义域内为单调递增函数，某某数p 的取值X 围； （Ⅱ）设2()e xg x =，且0>p ，若在],1[e 上至少存在一点0x ，使得)()(00x g x f >成立，某某数p 的取值X 围.1．C 解：0()sin ,f x x =1()cos f x x =，/21()()sin f x f x x ==-，/32()()cos f x f x x ==-，/43()()sin f x f x x ==，/54()()cos f x f x x ==，函数值呈周期T=4出现，20091()()cos f x f x x ∴==，故选C.2. A 易知充分性成立，举反例： 1.1,0.9x y ==知必要性不成立.3. B 利用()f x 是奇函数，且周期为3，所以(2)(1)(1)f f f =-=-，解不等式即可.4.C 由|log |)(3x x f =知，11()(2),()(3)23f f f f ==，(2)(3)f f <，又知()f x 在(0,1)上单减，故选C.5. D 2038tan14y x π'<=-<=，(x ⇒∈⋃，故知无整数点. 6.C 因为2()||(0)f x ax b x c a =++≠是偶函数，所以由对称性知()f x 在(0,)x ∈+∞上有两个单调区间，由2()(0,0)f x ax bx c a x =++≠> 知，需对称轴02bx a=->. 7．B 由题易知导函数是奇函数.8.C 55()(2)()()3333f f f f πππππ=-=-==9. D [1,1],4[3,5]x x ∈-+∈,则()(4)2f x f x x =+=-，判断自变量距离y 轴远近即可. 10．C 令x t e =，则,[1,]a y t t e t =+∈，若0a >，则au t t=+为双勾函数，且[1,]t e ∈时，0u >，故只需u 在[1,]t e ∈1<，故01a <<；若0a <，因为ay t t=+，在[1,]t e ∈上单增，故需au t t=+在[1,]t e ∈上恒大于0，则只需101a u =+>，因此，10a -<<.若0a =，y t =，在[1,]t e ∈上单增.所以[1,1]a ∈-.11. 提示:322()432(432)f x x ax x x x ax '=-+=-+,易知极值点只有0x =,只需24320x ax -+>恒大于,其方程判别式小于零即可.12. 提示:易知函数周期为2,(3)(1)1f f ==-.13．提示:由f(x 的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到， y=f(x与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的。

全真模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第⒂题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁,不折叠,不破损.5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式：锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.球的表面积、体积公式：24S R π=、343V R π=,其中R 为球的半径.样本数据n x x x ,,21的标准差s ,其中x 为样本平均数.用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆni i i ni i x y nx yx nxb==-⋅∑-∑=,ˆay bx =-. 第I 卷一.选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填在答题卷的答题卡内)1. 若集合2{1,3,},{1,},{1,3,},A x B x A B x ==⋃=则满足条件的实数x 的个数有（ ）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个 2.已知325sin()πα-=,则cos(2)πα-=( ).A.725B.2425C.725-D.2425-3.函数3()f x ax bx =+在1ax =处有极值,则ab 的值为( ).A.3B.3-C.0D.1 4.已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数2a y x -=在(0,)+∞上是减函数.若p 且q ⌝为真命题,则实数a 的取值范围是( ).A. 1a >B.2a ≤C.12a <≤D.1a ≤或2a >5.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).A.①②B.①③C.①④D.②④6.已知ABC ∆的三顶点坐标为(3,0)A ,(0,4)B ,(0,0)C ,D 点的坐标为(2,0),向ABC ∆内部投一点P ,那么点P 落在ABD ∆内的概率为( ). A.13B.12C.14D.167.已知正项数列{}n a 的各项均不相等,且112(*,2)n n n a a a n N n -+=+∈≥,则下列各不等式中一定成立的是( ).A.2243a a a ≤B.2243a a a <C.2243a a a ≥D.2243a a a >8.已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y aba b -=>>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若1290F PF ∠=︒,且12F PF ∆的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ).A.2B.3C.4D.59.经过椭圆2221xy +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ,交椭圆于A 、B 两点.设O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于( ).A.3-B.13- C.13-或3- D.13±10.设()f x 和()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数,若对任意的[,]x a b ∈,都有|()()|1f x g x -≤,则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“密切函数”,[,]a b 称为“密切区间”,设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[,]a b 上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是( ).A.[1,4]B.[2,3]C.[3,4]D.[2,4]第Ⅱ卷二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷中对应题号后的横线上)11.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是_________.12. 已知实数x ，y 满足210,||10x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩且3z x y =-+的最大值是 。

全真模拟试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（15）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,,A B C 是ABC ∆的三内角，则“sin sin B C <”是“B C <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．若复数z 与其共轭复数z 满足:：z =2z z +=，则（ ）A ．2220z z -+= B ．2220z z --= C ．22210z z -+= D ．22210z z --= 3．若将函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的图像向左平移6π个单位得到的图像关于y 轴对称，则ω的值可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．已知某程序框图如下图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．125. 函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（ ）6．下列4个命题中：（1）存在(0,),x ∈+∞ 使不等式 23xx< 成立 （2）不存在(0,1),x ∈ 使不等式23log log x x <成立（3）任意的(0,),x ∈+∞ 使不等式2log 2x x <成立 （4）任意的(0,),x ∈+∞ 使不等式21log x x<成立 真命题的是（ ） A ．（1）、（3） B ．（1）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4）7．已知圆221x y +=与x 轴的两个交点为,A B ，若圆内的动点P 使2PA ，2PO ，2PB 成等比数列（O 为坐标原点），则PA PB ⋅的取值范围为（ ） A ．1(0,]2 B ．1[,0)2- C ．1(,0)2- D ．[1,0)-8．若约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≤--0306230632y x y x y x ，则目标函数3++=y x z 的最大值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12 9．已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ） A ．()10,1 B ．()2,10 C ．()5,7 D ．()7,510．已知双曲线222:1(01)21x y C t t t -=<<+的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上任一点，则1212M PF PF PF PF =+-⋅的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 21t + D.241t t ++第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。

运用数学思想方法解题的策略推理证明与算法初步是我们高考关注的几个新课标中重点话题，主要涉及到合情推理和演绎推理，直接证明和间接证明，以及算法初步中的框图知识和算法案例等. 题型可能是选择题、填空题，主要考查类比或归纳推理、循环结构为主的框图等；也可能是解答题，结合多个知识点进行命题的综合试题.其中推理与证明部分常与数列、不等到式问题综合，难度一般在0.3~0.7之间.考试要求 （1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点;② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句. 题型一：合情推理例1（1）若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则∆ABC 的面积S ＝12r (a +b +c ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2 、S 3 、S 4，则四面体的体积＝ ．（2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,则第n个三角形数为( ). A.n B.)1(21+n n C.12-n D.)1(21-n n点拨：（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式. 解：（1）比较两个对象，三边对四面，面积对体积，内切圆对内切球，三边长对四个面的面积，由S ＝12 r (a +b +c )等式两边的量，类比对应到体积、系数13 、半径R 、面积S 1＋S 2＋S 3＋S 4.答：13R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4).（2）在给出的一三角形数中，其中第一个三角形数1，第二个三角形数3=1+2，第三个三角形数6=1+2=3,第四个三角形数10=1+2+3+4，第五个三角形数15=1+2+3+4+5，故推测出的一般结论是：第n 个三角形数为1123(1)2n n n +++⋅⋅⋅+=+ 易错点：（1）类似特征不明确，类比结论错误；（2）不善于寻找数字间的规律，导致结论错误.变式与引申1：（1） 在Rt△ABC 中，CA⊥CB，斜边AB 上的高为h 1， 则2221111CB CA h +=；类比此性质，如图，在四 面体P —ABC 中，若PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为 ；（2）(2011江西文数)观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 题型二：演绎推理例2如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E,F 分别是11A B,AC 的中点，点D 在11B C 上，11A DB C ⊥.求证：（1）EF ∥ABC 平面；（2）111A FD BB C C ⊥平面平面.点拨：数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，证明线面平行时一定要注意注明直线在平面内及直线在平面外这两个条件.解：证明：（1）因为E,F 分别是11A B,AC 的中点，所以EF//BC ，又EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以EF ∥ABC 平面；（2）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1111BB ABC ⊥面， 11BB A D ⊥，又11A D B C ⊥，所以111AD BC C ⊥面B ，又11A D A FD ⊂面，所以111A FD BB C C ⊥平面平面. 易错点：三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分，在书写证明的过程中，很多学生会出现跳步现象， 逻辑关系不清楚是常见的错误. 变式与引申2：（1）已知①正方形的对角相等；②平行四边形的对角相等；③正方形是平行四边形．根据三段论推理得到一个结论，则这个结论的序号是 . （2）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F为CD 的中点.(Ⅰ)求证：AF ∥平面BCE ；(Ⅱ)求证：平面BCE ⊥平面CDE . 题型三：直接证明例3 已知,0,0>>b a 求证：.b a ab ba +≥+点拨：综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知 条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.DO 图332--AB CDEF图334--证法1：（综合法）,0,0>>b a a b ba 2≥+∴，当且仅当b a =时等号成立，b a ab 2≥+∴当且仅当b a =时等号成立， ,22b a a ab b ba +≥+++∴ 即.b a ab ba +≥+证法2：（分析法） 要证.b a ab ba +≥+，只要证,ab b a b b a a +≥+ 即证0)()(≥-+-a b b b a a ，即证,0))((≥--b a b a 即0)()(2≥+-b a b a由,0,0>>b a ,0)(2≥-b a ,0>+b a 得0)()(2≥+-b a b a ，所以原不等式成立易错点： （1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.变式与引申3：设n a *n N ∈），比较n a 、(1)2n n +、2(1)2n +的大小，并证明你的结论.题型四：间接证明 例4：已知函数y=a x+12+-x x (a ＞1). （1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数； （2）用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.点拨：用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.证明 （1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,由于a ＞1, ∴a 12x x -＞1且a 1x ＞0, ∴a 2x -a 1x =a 1x (a 12x x --1)＞0. 又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴1222+-x x -1211+-x x =)1)(1()1)(2()1)(2(212112+++--+-x x x x x x =)1)(1()(32112++-x x x x ＞0,于是f(x 2)-f(x 1)=a 2x -a 1x +1222+-x x -1211+-x x ＞0, 故函数f (x )在(-1,+∞）上为增函数.（2）方法一 假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f(x 0)=0, 则a 0x =-1200+-x x . ∵a ＞1,∴0＜a 0x ＜1, ∴0＜-1200+-x x ＜1,得21＜x 0＜2，与假设x 0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. 方法二 假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f(x 0)=0, ①若-1＜x 0＜0，则1200+-x x ＜-2,a 0x ＜1, ∴f(x 0)＜-1,与f(x 0)=0矛盾. ②若x 0＜-1,则1200+-x x ＞0,a 0x ＞0, ∴f(x 0)＞0,与f(x 0)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根. 易错点：（1）不是把求证结论的反面作为条件证题（2）不写明与什么相矛盾.变式与引申4：证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根 题型五： 算法初步例5 若程序框图如图输出的 S 是 126，则①应为（ ） A ．n ≤5? B ．n ≤6? C ．n ≤7? D ．n ≤8?点拨 由nS S 2+=知，在第n 次循环时，n S 2...2221+++=，由题意只需找到满足方程1262 (222)1=+++n的n 的值. 再结合语句1+=n n 推出判断框①.解析 因126222222654321=+++++=S ，则当 n ＝7时退出循环，所以 n ≤6.故选 B.易错点 不能准确判断循环终止的条件 变式与引申5. 下面是一个用基本语句编写的程序如图，阅读后解决所给出的问题： INPUT xIF 2<x THEN5+=x yELSEx x x y *-*=2 END IF PRINT y END（1）请说明该算法程序的功能，并写出程序中的函数表达式； （2）将该程序语句转化为相应的程序框图.本节主要考查：（1）知识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图．（2）推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等． 点评：（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大．（2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．（3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程．（4）一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去．（5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性．（6）算法是指解决某类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，且在有限步内完成．算法过程要简练，每一步执行的操作必须为下一步做准备．程序框图是由框图和流程线组成的，是算法的一种表现形式．通常是先写出算法步骤，再转化为程序框图．算法初步在高考中的要求不高，同学们在学习时要通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的基本思想.习题8-51.（2011高考天津卷·理）阅读右边的程序框图，运行相应的 程序，则输出i 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．将正奇数数列1，3，5，7，9，…进行如下分组：第一组含一个数 {1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含 四个数{13，15，17，19}；……记第n 组内各数之和为S n ，则S n 与n 的关系为 ( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝2n ＋1D ．S n ＝3n －13．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是 （填序号）． 4. 已知函数ln ()xf x x x=-. （１）求函数()f x 的单调区间；（2）试证明：对任意n N *∈，不等式211lnn nn n++<恒成立． 5.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM⊥BB 1交AA 1于点M ，PN⊥BB 1交CC 1于点N.（1）求证：CC 1⊥MN；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个 侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.6.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线2222by ax -=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.【答案】变式与引申1【解析】（1）22221111PC PB PA h ++=； （2）答案：B 解析：()()()()()()343***2011,200922011168075,24014,3433,492,7=∴=-=====f f f f f x f x变式与引申2 【解析】（1）演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分．这里②③可推出①，其中②是大前提，③是小前题①是结论； 答：①； （2）19．方法一：（1）证：取CE 的中点G ，连FG BG 、.∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB .又12AB DE =，∴GF AB =.∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE . （2）证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. 又CD DE D =，故AF ⊥平面CDE . ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . ∵BG ⊂平面BCE ，图335--∴平面BCE ⊥平面CDE .方法二：设22AD DE AB a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -， 则()()()()()000200,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ，，,，，.∵F 为CD的中点，∴3,02F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）证：()()33,,0,,3,,2,0,2AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭， ∵()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ，∴//AF 平面BCE .（2）证：∵()()33,,0,,3,0,0,0,22AF a a CD a a ED a ⎛⎫==-=- ⎪⎪⎝⎭， ∴0,0AF CD AF ED ⋅=⋅=，∴,AF CD AF ED ⊥⊥. ∴AF ⊥平面CDE ，又//AF 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .变式与引申3【解析】∵(1)122n n n a n +=⋅⋅⋅+>+++=又∵n a =1223(1)222n n ++++<+++ 221223(1)222(1)(3)2(1)422n n n n n n n n n ++++<++++++++==<∴(1)2n n +<n a <2(1)2n +变式与引申4证明：假设方程()0f x =在区间[,]a b 上至少有两个不同的实数根α、β,即()()0f f αβ==.不妨设αβ<,由于函数f (x )在区间[,]a b 上是增函数,故()()f f αβ<,这与()()0f f αβ==矛盾,所以方程()0f x=在区间[,]a b 上至多只有一个实数根.5. 解：（1）由算法程序可知，该算法程序的功能是计算分段函数⎩⎨⎧≥-<+=)2(,2)2(,52x x x x x y 的函数值. （2）程序框图如图：习题8-51 . B ；2 .B ；3. 【解析】新背景下的信息转换问题，需要认真分析对应关系，在对应关系下求出原象，如对于第一个接受信息，依据对应关系可知012101a a a =，求得001101h a a =⊕=⊕=，同理求得10h =，故（1）正确；对于（3），若原信息为011，则接收信应为10110．答：（3）；4. 【解析】解：(1)∵21ln '()1xf x x -=- 令'()0f x =得21ln x x =- 显然1x =是上方程的解令2()ln 1g x x x =+-，(0,)x ∈+∞，则1'()2g x x x=+0> ∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴1x =是方程'()0f x =的唯一解∵当01x <<时21ln '()1xf x x-=-0>，当1x >时'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 (2)由（1）知当(0,)x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==-∴在(0,)+∞上恒有ln ()xf x x x=-1≤-，当且仅当1x =时“＝”成立∴对任意的(0,)x ∈+∞恒有ln (1)x x x ≤- ∵11n n +> ∴21111ln (1)n n n n n n n n++++<-=即对n N *∀∈，不等式211ln n n n n++<恒成立．5【解析】（1）∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN.∴BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .（2）在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，有S 211AABB =S 211B BCC +S 211A ACC －2S 11B BCC S 11A ACC cos α.其中α为平面CC 1B 1B与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中， ∵PM 2=PN 2+MN 2－2PN ·MN cos∠MNP∴P M 2·CC 21=PN 2·CC 21+MN 2·CC 21-2（PN ·CC 1）·（MN·CC 1）cos∠MNP ，由于S 11B BCC =PN ·CC 1，S 11A ACC =MN·CC 1，S 11A ABB =PM·BB 1=PM ·CC 1，∴S 211AABB =S 211B BCC +S 211A ACC －2S 11B BCC ·S 11A ACC ·cos α.上，所以n 2=22a b m 2-b 2.同理y 2=22a b x 2-b 2.则k PM ·k PN=m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --=22a b ·2222m x m x --=22a b (定值).。

数学高考的创新试题解题指导研究性学习作为一种适应新局势需要的学习方法，其核心是自主学习，有助于激发学创建动机，提升着手实践能力，建立科学思想，培育创新精神 . 所以，在近些高考命题中都有所表现 . 而要解决高考取的研究性学习问题，就要针对提出的数学识题，充足研究问题的条件和结论之间的联系，运用解决问题和剖析问题的数学能力，发现解题依照，从中追求最正确解题方法 .题型一知识类比问题【例 1】设等差数列{ a n}的前n项和为S n，则S4，S8S4，S12S8， S16S12成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列{ b n } 的前 n 项积为 T n，则 T4，，， T16T12成等比数列 .点拨：依据类比猜想得出T4，T8 ,T12，T16成等比数列.本题观察由等差数列到等比数T4T8T12列的拓展推行，因为类比是数学发现的重要源泉，所以平常的教课与复习中更要注意类比等思想方法的学习 .分析：T8T12对于等比数列，经过类比，有等比数列{ b n} 的前 n 项积为 T ，则 T ，T4,n4 T8T 8 ,T12，T16成等比数列 .T4 T8T12易错点：在等差数列到等比数列类比过程，同学们易掌握不住类比的方向，如等差数列中的“差”类比成等比数列中的“商”.变式与引申1．已知椭圆拥有性质：若M 、 N 是椭圆 C 上对于原点对称的两个点，点P 是椭圆上随意一点，当直线PM 、 PN 的斜率都存在，并记为k PM、 k PN时，那么 k PM与 k PN之积是与点 P 的地点没关的定值. 试对双曲线x2y 21写出拥有近似特征的性质，并加以证a 2 b 2明.题型二条件研究性问题例 2 已知首项为x1的数列{ x n}知足x n 1ax n，此中 a 为常数.x n1( Ⅰ) 若对随意的x1 1 ，有 x n 1x n对随意的 n N 都成立，求 a 的值；( Ⅱ ) 当a 1时，若x10 ，数列{ x n } 是递加数列仍是递减数列？请说明原因；( Ⅲ) 当a确立后，数列{ x n } 由其首项x1确立，当a2时，经过对数列{ x n} 的研究，写出“ { x n} 是有穷数列”的一个真命题（不用证明）.说明：对于第 ( Ⅲ) 小题，将依据写出真命题所表现的思想层次和对问题研究的完好性，赐予不一样的评分 .点拨：本题作为高考的压轴题，观察学生对数列中递推公式的理解和应用，所以可从递推公式下手，求出对于通项x n的方程，求出参数，第( Ⅱ ) 小题可应用证明数列单一性的定义法，直接比较x n与 x n 1的大小，第(Ⅲ)小题属于开放研究型题型，要修业生写出使得结论成立的条件，此时重点在于求出与结论等价的充足必需条件.条件开放的数学识题，可用执果索因的演绎法或由特别到一般的归纳法，也能够从结论出发，利用给定的条件，逆向推理直到终结点即是所研究的条件．①数列 { x n } 知足 x n 1ax n1，若 x11，则数列 { x n} 是有穷数列；x n7②数列 { x n } 知足 x n 1ax n，若 x11， m N ，则数列 { x n}是有穷数列；x n112m③数列 { x n } 知足 x n 1ax n1，则数列 { x n } 是有穷数列的充要条件是存在m N ，x n使得 x11；12m④数列 { x n } 知足 x n 1ax n，则数列 { x n} 是有穷数列且项数为m 的充要条件是x n11x112m，m N.易错点：在求解递推公式时，求解x n与x n 1之间的公式犯错. 判断并证明数列单一性中，没有益用一般的归纳法获得x n0 ，给接下来的证明带来困难.变式与引申2．给定会合A n {1,2,3,...,}A n知足：n ，映照 f : A n①当 i , j A n ,i j 时， f (i ) f ( j ) ；②任取 m A n , 若m 2 ，则有m { f (1), f (2),.., f (m)} .则称映照 f ： A n A n是一个“优映照”. 比如：用表 1 表示的映照 f ： A3A3是一个“优映照” .表 1表 2i123i1234f (i )231 f (i )3已知表 2 表示的映照 f ： A4A4是一个优映照，请把表 2 增补完好（只要填出一个满足条件的映照） .题型三结论研究型问题例 3 如图 9－ 3－1，在直棱柱 ABCD— A1B1C1D1中．(Ⅰ)当 AC B D 时，试确立底面四边形ABCD的形状；111( Ⅱ) 假如底面ABCD是正方形， E 是 C1D1的中点，能否存在实数( 2, 3)，当ABAA时， DE CA．若存在，求出实数的范围；若不存在，说明原因．1点拨： ( Ⅰ) 依据条件，能够考虑四边形的特别性，采纳逆推法；（2）在ABCD是正方形的状况下，能够成立空间直角坐标系，利用向量运算确实定性来转变开放运动的不定条件，方便问题的解决．分析： ( Ⅰ) 依据条件与结论剖析，假如A1C B1D1，则 BD必定垂直平面AA1C，只要知足条件AC BD，就能推出结论，所以对四边形ABCD的形状能够是正方形、菱形、筝形．故 DE CD1因为 D1ED CDE CD1D ，则 CDD 1∽DD1E所以D1E DD1，而 AB CD 2D1E ， DD1AA1，DD 1CD可得AB3) ，故不存在实数( 2, 3)使得DE CA12 (2,AA1易错点：应用三垂线定理中犯错，未能将线斜垂直转变为线影垂直.变式与引申3．如图 9－ 3－ 2 所示，已知：直线m∥n， A、B 为直线 n上两点， C、 P 为直线 m上两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形；（2）假如 A、 B、 C为三个定点，点 P 在 m上挪动，那么，不论 P 点挪动就任何地点，总有 ________与△ABC的面积相等．原因是： _________________.题型四综合研究能力问题例 4 对于函数 f ( x) ，若存在 x0R ，使 f (x0 ) x0成立，则称x0为 f (x) 的不动点.已知函数 f ( x) ax2(b 1)x (b 1) (a0) .（Ⅰ）当 a 1 ， b 2 时，求函数 f ( x) 的不动点；（Ⅱ）若对随意实数 b ，函数 f ( x)恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y f ( x) 图像上A，B两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点，1对称，求 b 的最小值.且 A ， B 两点对于直线 y kx12a2点拨：理解不动点的观点，求出不动点的充要条件 . 本题以高等数学中不动点的观点为背景，观察学生能综合灵巧运用所学数学知识，思想方法. 对新观点、新知识、新信息、新情形、新问题进行剖析、研究、创建性的解决问题的能力.因为 0 a 1，当且仅当2a 122即 a时， b 有最小值. a24易错点：学生未能理解不动点的观点，只是简单地从字面上理解，未能转变为数学语言，这也要求我们在训练学生思想能力方面重要的掌握对观点的理解.变式与引申4. 设f ( x) 是定义在[0,1]上的函数，若存在 x*(0,1) ，使得 f (x) 在 [0, x*] 上单一递加，在 [ x*,1]上单一递减，则称 f ( x) 为 [0,1] 上的单峰函数，x * 为峰点，包括峰点的区间为含峰区间．（I ）证明：对随意的x1， x2 (0,1) ， x1 x2，若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 (0, x2 ) 为含峰区间；若 f (x1) f (x2 ) ，则[ x*,1]为含峰区间；（II ）对给定的r（0r0.5 ），证明：存在x2(0,1)，知足 x2 x1 2r ，使得由（I）所确立的含峰区间的长度不大于0.5r （区间长度等于区间的右端点与左端点之差）本节主要观察：高考数学命题中的研究性创新问题主要有学习能力型、题策略研究型、综合研究能力型等几种种类.研究性创新问题因其思想含量高面广、综合性强，这种创新题在高考取屡次亮相.结论研究型、解、知识覆盖评论：所谓创新意识就是能发现问题、提出问题，综合与灵巧地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段剖析信息，进行独立的思虑、研究和研究，提出解决问题的思路，创建性地解决问题.创新意识是理性思想的高层次表现. 对数学识题的“察看、猜测、抽象、归纳、证明”，是发现问题和解决问题的重要门路，对数学知识的迁徙、组合、交融的程度越高，显示出的创新意识也就越强.高考取的研究性学习问题，就要针对提出的数学识题，充足研究问题的条件和结论之间的联系，运用数学综合能力，发现解题依照，从中追求最正确解题方法 . 如类比是将解题方法、式子结构、运算法例、问题结论等或引申、或推行、或迁徙，由已知研究未知，由旧知研究新知；擅长从若干特别现象中总结出一般规律.高考取对创新意识的观察是对高层次理性思想的观察. 在考试中创建新奇的问题情境，结构有必定深度和广度的数学识题时，常常着重问题的多样化，表现思想的发散性；精心设计观察数学主体内容、表现数学素质的试题；也会有反应数、形运动变化的试题以及研究型、研究型、开放型等种类的试题. 这种试题常常以压轴题的形式出现.习题 9－31．已知F1、F2是椭圆x2y 21的两个焦点， P 是椭圆上一点，且a 2b2F1 PF290 ，则F1PF 2的面积是 b 2，请将题目中所空缺的一个可能条件填入_________处 .2．对于在区间[ m, n]上存心义的两个函数 f (x) 与 g( x) ，假如对随意的 x [m, n] ，均有f (x) g ( x) 1 ，则称f ( x)与g( x)在[ m, n]上是靠近的，不然称 f ( x)与g( x)在[ m, n]上是非靠近的，现有两个函数1，给定f1( x) log a ( x3a) 与 f 2 ( x) log a x a ( a 0, a1)区间 [ a 2, a3] .（Ⅰ）若 f1( x) 与 f2 (x) 在给定区间 [ a2, a3] 上都存心义，求 a 的取值范围;( Ⅱ ) 议论f1( x)与f2(x)在给定区间[ a2, a3] 上是不是靠近的.3．如图 9－3－ 3 所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的表示图，经过多年开垦荒地，现已变为如图9－ 3－ 4 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小道（9－3－ 4 中折线 CDE）还保存着；张大爷想过 E 点修一条直路，直路修睦后，要保持直路左侧的土地面积与承包时的同样多，右侧的土地面积与开垦的荒地面积同样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小道与直路的占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应的图形；（2）说明方案设计原因．4．过椭圆x2y2 1 a b0上的动点 P 引圆222的两条切线 PA、 PB，A、 B b2a2x y b为切点，直线AB 与x轴、y轴分别交于 M、 N.（1）问代数式b2a22的值能否与 P 点的运动有关？并证明你的结论；ON2OM（2）能否存在点P使得PA PB0 ？若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，说明原因 .【答案】变式与引申1．解：近似的性质为：若M、N是双曲线x2y 21上对于原点对称的两个点，点P是a 2b2双曲线上随意一点，当直线 PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN 之积是与点 P 的地点没关的定值.证明：设点 M 、 N 的坐标为（ m, n ）、（ x, y ），则 N （m, n ）.M m,n n2b 2m22，同理 y2b2x2b2因为点（）在已知双曲线上，所以a2b a 2.则 k PM k PN y n y n y 2n 2 b 2 x 2m2 b 2（定值） . x m x m x2m2a2x2m2a22. 解：i1234f (i)2314或i1234f (i)23413. 解：（ l ）△ ABC和△ ABP，△ AOC 和△ BOP、△ CPA 和△ CPB．（2）△ ABP；因为平行线间的距离相等，所以不论点P 在 m上挪动就任何地点，总有△ ABP 与△ ABC同底等高，所以，它们的面积总相等．4. 解：（ I ）证明：设x '为f ( x)的峰点 , 则由单峰函数定义可知, f ( x) 在 [0, x '] 上单一递加,在 [ x ',1]上单调递减．当 f ( x1 ) f ( x2 ) 时,假设 x '( 0x,2,)则 x1x2 x ', 从而f ( x ') f (x2 ) f (x1),这与 f ( x1) f ( x2 ) 矛盾,所以 x '(0, x2 ) ,即 (0, x2 ) 是含峰区间．当f ( x1 ) f ( x2 ) 时,假定 x'(x1,1) ,则 x 'x1x2,进而 f (x ') f (x1) f (x2 ),这与 f ( x1) f ( x2 ) 矛盾,所以 x '( x1,1) ,即 (x1,1) 是含峰区间．（II ）证明：由（ I ）的结论可知：当f ( x1 ) f ( x2 ) 时,含峰区间的长度为l1x2 ;当 f ( x1 ) f ( x2 ) 时,含峰区间的长度为l 21x1.对于上述两种状况 , 由题意得x20.5r①1x1 0.5r由①得 1x2x112r ,即 x2x12r.又因为 x2x12r,所以 x2x12r②将②代入①得x10.5r , x20.5 r③由①和③解得x10.5 r , x20.5r .所以这时含峰区间的长度l1l20.5r ,即存在 x1 , x2使得所确立的含峰区间的长度不大于 0.5 r.习题 9-31．a2b0提示：本题所空缺条件一般是a， b，c 应知足什么条件.第一确立焦点所在的坐标轴. 假定焦点在 y 轴上,PF1PF22bPF1 PF2 2(b2 c 2 )由题意有PF22则从而PF4c212F1PF2的面积 S b 2 c 2b2与题设矛盾,知椭圆的焦点在 x轴上 .于是a b0, 另一方面 ,由 PF122(PF1PF2 )2 PF 22有 4c 22a2 ,即 a22c 2, 亦即a22b 2 , a2b综上应有a2b 0 .故当 0 a 957(x) 与 f2( x) 在 [a2, a3] 上是靠近的，时， f112957时， f1 (x) 与 f2 ( x) 在区间 [ a2, a3] 上是非靠近的.当 a123．（ 1）画法如图9－ 3－ 1 所示 . 连结 EC，过点 D 作 DF∥ EC，交 CM于点 F，连结 EF， EF 即为所求直路地点．（2）设 EF交 CD于点 H，由上边获得的结论可知：S ECF=S ECD，S HCF=S EDH，所以S五边形 ABCDE=S五边形 ABCFE，S五边形 EDCMN=S四边形 EFMN．图 9－ 3－1 4．分析：（Ⅰ）设椭圆上的动点P b cos , a sin，则切点弦AB所在的直线方程为：b cos x a sin y b2令 y0b,0b2 M；令 x 0 N 0,cos asin所以b 2 a 2 b 2 a 2 2a 2 与点 P 的运动没关 .ON222b 2OMb 2 basincos(Ⅱ)假定存在点P b cos , a sin使得PA PB0，即PAPB，又因为O APA, OBP B且OAOB b ，所以 四 边 形OAPB是正方形，OP2b b 2cos2a 2 sin 22b 2获得 sin 2b 2.a2b2b 2当 1时，即 a 2b 时，不存在这样的点 P 知足条件； a 2 b 2当b 2 1时，即 a2b ，存在这样两点P 0, a , P 0, a ；2 b 2a当b 2 b 2 1 时，即 a 2b ，存在这样的四点Pb a 2 2b 2 ,ab .a 2a 2b 2a 2b 2。