高一三角函数的最值问题

三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。

求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步 利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为 ．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ） 当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】 试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ） 个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（ ）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。

以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。

1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。

例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。

这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。

3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。

对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。

4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。

通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。

在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。

1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。

答案]3。

三角函数的最值问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020三角函数的最值问题三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。

今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！一 化为单名函数的形式例1 函数f(x)=x x x x 44sin cos sin 2cos --① 求f(x)得最小正周期;② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。

解:(1) x x x x x f cos sin 2sin cos )(22--= x x 2sin 2cos -= )222sin 222(cos 2⋅-=x x )42cos(2π+=x ∴ f(x)最小正周期是π=T（2）20π≤≤x ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+45,422πππx ∴ 442ππ=+x 即0=x 时最大值是1 ππ=+42x 即83π=x 时最小值是－2 注意① 辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 的应用② 注意三角函数区间最值的正确取舍二 单名函数的复合型例2 31sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最值解：∵ x y sin 31sin -= ∴ 1sin 311≤-≤-x ∴ 34sin 32≤≤-x ∴ 1211)21(sin cos sin 22--=-=x x y u ∴ 21sin =x u 的最小值为1211- ； 32sin -=x u 的最大值为94 注意：隐含条件不可忽视！三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin例3 求函数xx x x y cos sin 1cos sin ++=的最值 解：令x x t cos sin += 则 x x t cos sin 12+=∴ )1(211212-=+-=t t t y ∴ 22≤≤-t 且 1≠t∴ )12(21)12(21-≤≤+-y 且 1-≠y注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！四 限量代换例4 求函数21x x y -+=的值域解：函数的定义域[]1,1-∈x令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4sin(2sin cos πθθθ+=+=y ∴ 21≤≤-y注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性”五 建立关系等式整体带入或转化例5 设A y x =+，求y x sin sin 的最值解：∵ y x y x y x sin sin cos cos )cos(+=- y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+∴ )cos(cos )cos()cos(sin sin 2y x A y x y x y x +-=+--=∴21cos sin sin 21cos +≤≤-A y x A ∴ y x sin sin 最大值为21cos +A ， 最小值为21cos -A 注意：找沟通已知与未知的一个或两个函数！练习：1求)3cos(sin 3π++=x x y 的最值 2 Rt ABC ∆中，090=∠C ，求B A sin sin +的最大值 3 求x x y cos sin +=的最大值与最小值4 求x x a x f 2cos sin 42)(--=的最值5已知A y x =+，求y x cos sin 的最值 6 )2sin(5)(ϕ+=x x f 对任意都有)3()3(x f x f +=-ππ （1）求ϕ的最小值；（2）ϕ取最小值时若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππx ，求f(x) 的最小值。