矩形(3)[下学期]--浙教版-

例题演练，掌握新知
例1 已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O， 图中有哪些特殊三角形？
A
D 问题1：
120° 4cm
O
若∠AOD＝120°，你能判断△AOB的形状吗？
问题2：
B
C
若∠AOD＝120°，AB＝4cm，求对角线AC的长.
巩固练习，应用新知
变式1 已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O， AB＝3cm，BC＝4cm，过点A作AE⊥BD于点E，求AE的长.
A
D
O E
B
C
小结新课，梳理新知
角特殊化
平行四边形
边特殊化
矩形
定义： 有一个角是直角的平行四边形是 矩形。
性质
角 对角线
特殊三角形
判定
对称性
边
角
对角线
对称性
平行四边形 对边平行且相等
对角相等 邻角互补
对角线互相平分 中心对称图形
思考：矩形作为一种特殊的平行四边形，它是否具有一般平行四边形不具 有的一些特殊性质呢？
动手测量，提出猜想
你来量一量
任务：小组合作，借助量角器、刻度尺等工具探索矩形的特殊性 质，提出你们的猜想。
A
D
O
B
C
猜想验证，得出性质
小学学过的正方形和
矩形的定义：
长方形都是矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
平行四边形 有一个角 矩形 是直角
矩形是特殊的平行四边形
四边形 平行四边形
矩形
联系生活，欣赏图片
问题2：你能说说在生活中你看到的具有矩形形象的例子吗？
木门
纸张
电脑显示器

小明各投进多少个
2x 12 14
设第一次射击的成绩为x个， 可列方程为_____3______
列出方程后，还必须找出符合方程的未知数的值．
能使方程左右两边的值相等 的未知数的值叫方程的解.
你们知道合作学习中方程 2x 12 14 的解
吗？
3
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投20次.小强投进10个
AD＝10cm， 求线段CE的 长及△AEF的 面积.
2、如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使
纸片折叠压平，设折痕为EF。 （1）连结CF，四边形AECF是 A 什么特殊的四边形？为什么？
G FD
（2）若AB＝4cm，AD＝8cm， B
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
温标的转换公式是F=1.8C+32。请填下表：
华氏(℉)
摄氏(℃) 温度描述
212
100
水沸腾的温度
37
人体温度
68
20
室温
32
0
水结冰的温度
xk121 0 是一元一次方程,则k=___2____
变式1: x|k| 210是一元一次方程,则k=_1_或___-1_
变式2: ( )x|k| 210是一元一次方程,则k=______ 变式3：方程(k+6)x2 +3x-8=7是关于x的一元一次方程，
在小学我们已经学过,方程是指含有未知数的等式.
运用已学的知识，根据下列问题中的条件，分别列
出方程：
1、一件衣服按 8 折销售的售价为72元,这件衣服的原价是多

求证：四边形EFGH是矩形
D
H
O G F
练一练
C
证明：
在矩形ABCD中， AC=BD ， AO=CO=BO=DO ∵AE=CG=BF=DH ∴ OE=OG=OF=OH, EG=FH
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形 ∴四边形EFGH是矩形

［思考］一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，若要从这
有一个角是直角
平行四边形 四边形
矩形 有三个角是直角

练一练
1、判断下命题是否正确，并说明理由。 （1）对角互补的平行四边形是矩形。 （2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。 （3）对角线相等的四边形是矩形。 （4）内角都相等的四边形是矩形。

2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.
理由。


布置作业
1、作业本 2、课后练习

合作学习
1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？ 逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。 真命题 A D 2、要判定一个四边形是矩形只要
说明几个角是直角？为什么？
B C 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形

求证：四边形MNPQ是矩形。 Q A M B

2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
D P C N
做一做
3、在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C
（-a，-b），D（-a，-c）（a≠0，b≠c）。若要使
四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的

矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

5．1 矩形(1)1．在矩形ABCD中，其中三个顶点的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(5，3)，则第四个顶点的坐标是( ) A. (0，3) B. (3，0) C. (0，5) D. (5，0)2．如图，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为( )A．1 B.2C. 3 D．23．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上．若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．3S1＝2S24．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在CD边上的中点F处，折痕为AE.若CD＝6，则AE等于( )A．4 3 B．33C．4 2 D．85．如图，矩形ABCD的周长为20 cm，AC交BD于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则△CDE的周长为( )A．5 cm B．8 cmC．9 cm D．10 cm6．如图，E是矩形ABCD的边AD的延长线上一点，且AD＝DE，连结BE交CD于点O，连结AO，则下列结论不正确的是( )A. △AOB≌△BOCB. △BOC≌△EODC. △AOD≌△EODD. △AOD≌△BOC7．如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是(4，2)，若直线y＝mx－1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为( )A. 1B. 0.5C. 0.75D. 28．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF等于( )A.75B.125C.135D.1459．如图，已知矩形纸片ABCD的长为8，宽为6，把纸片对折，使点A与点C重合，求折痕EF的长．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连结OE，OF.求证：OE＝OF.11.如图，在矩形ABCD中，F是BC上一点，连结AF，AF＝BC，DE⊥AF，垂足为E，连结DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线．12．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18 cm，宽为16 cm的矩形纸板上，剪下一个腰长为10 cm的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积．13．如图，将一个长和宽分别为8和4的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．14.已知矩形的对角线长为10，而它的两邻边a，b的长满足m2＋a2m－12a＝0，m2＋b2m－12b＝0(m≠0)，求矩形的周长．15．阅读以下材料，然后解决问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在矩形这条边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的友好矩形．如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的友好矩形．显然，当△ABC是钝角三角形时，其友好矩形只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形．(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，在图②中画出△ABC的所有友好矩形，并比较这些矩形面积的大小．(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△BAC的所有友好矩形，指出其中周长最小的矩形并加以证明．参考答案1-8ACBADAAB9.解：连结AC ，AE ，CF ，设AC 与EF 交于点O ，由题意可得EF 是AC 的中垂线，∴AE ＝EC .设AE ＝EC ＝x ，则BE ＝8－x .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AO ＝OC ＝12AC . 在Rt △ABE 中，AB 2＋BE 2＝AE 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254. ∵∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10.∴AO ＝12AC ＝5. 在Rt △AOE 中，AO 2＋OE 2＝AE 2，即OE 2＝AE 2－AO 2，∴OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154. 易证△AOF ≌△COE (ASA )，∴OE ＝OF .∴EF ＝2OE ＝152. 10.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BD ，OD ＝12BD ，OC ＝12AC ，∴OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠ADC －∠ODC ＝∠BCD －∠OCD ，即∠EDO ＝∠FCO .在△ODE 与△OCF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CF ，∠EDO ＝∠FCO ，OD ＝OC ，∴△ODE ≌△OCF (SAS )．∴OE ＝OF .11.证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AFB .∵DE ⊥AF ，∴∠DEA ＝∠B ＝90°.∵AF ＝BC ，∴AF ＝AD ，∴△ABF ≌△DEA (AAS )．(2)由(1)知△ABF ≌△DEA ，∴AB ＝DE .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，DC ＝AB .∴DC ＝DE .∵DF ＝DF ，∴Rt △DEF ≌Rt △DCF (HL )，∴∠EDF ＝∠CDF ，即DF 是∠EDC 的平分线．12.解：分三种情况：①如解图①，在△AEF 中，AE ＝AF ＝10 cm ，∴S △AEF ＝12AE ·AF ＝12×10×10＝50(cm 2)．②如解图②，在△AGH 中，AG ＝GH ＝10 cm ，∴BG ＝AB －AG ＝16－10＝6(cm)．根据勾股定理，得BH ＝8 cm.∴S △AGH ＝12AG ·BH ＝12×10×8＝40(cm 2)． ③如解图③，在△AMN 中，AM ＝MN ＝10 cm ，∴MD ＝AD －AM ＝18－10＝8(cm)．根据勾股定理，得DN ＝6 cm.∴S △AMN ＝12AM ·DN ＝12×10×6＝30(cm 2)．综上所述，剪下的等腰三角形的面积为50 cm 2或40 cm 2或30 cm 2.13.解：由折叠知∠AEF ＝∠FEC ，AE ＝CE .设BE ＝x ，则AE ＝CE ＝8－x .在Rt △ABE 中，BE 2＋AB 2＝AE 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3.∴BE ＝3，AE ＝5.过点F 作FH ⊥BC 于点H .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠FEC ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AF ＝AE ＝5，∴BH ＝AF ＝5，∴EH ＝5－3＝2.在Rt △EFH 中，EF ＝22＋42＝20＝2 5.14.解：根据m 2＋a 2m －12a ＝0，m 2＋b 2m －12b ＝0(m ≠0)可得a ，b 恰为方程mx 2－12x ＋m 2＝0的两个根，∴a ＋b ＝12m，ab ＝m . ∵a 2＋b 2＝(10)2，即(a ＋b )2－2ab ＝10， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－2m ＝10， ∴m 3＋5m 2－72＝0，∴(m －3)(m 2＋8m ＋24)＝0，∴m －3＝0或m 2＋8m ＋24＝0.∵m 2＋8m ＋24＝(m ＋4)2＋8>0，∴m 2＋8m ＋24≠0.∴m ＝3.∴矩形的周长为2(a ＋b )＝24m＝8. 15.解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在平行四边形这条边的对边上，那么称这样的平行四边形为三角形的友好平行四边形．（解①)(2)此时共有2个友好矩形，如解图①中的矩形BCAD ，矩形ABEF .易知矩形BCAD ，矩形ABEF 的面积都等于△ABC 的面积的2倍，∴△ABC 的友好矩形的面积相等．(3)此时共有3个友好矩形，如解图②中的矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小．证明如下：（解②)易知这三个矩形的面积相等，令其为S ，设矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则L 1＝2S a ＋2a ，L 2＝2S b ＋2b ，L 3＝2S c＋2c ， ∴L 1－L 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2S a ＋2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2S b ＋2b ＝2(a －b )·ab －S ab. ∵ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1－L 2＞0，即L 1＞L 2.同理，L 2＞L 3，∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小．。