专题九 指数函数
【高频考点解读】
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】
题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x ＋1|；(2)y ＝2
x
2x ＋1
；(3)y ＝.
【提分秘籍】
解决与指数函数的性质问题时应注意
(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝
.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
【热点题型】
题型二指数函数的图象及应用
例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
【答案】(1)A(2)[－1,1]
【提分秘籍】
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：
y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式．
函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
【举一反三】
当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( )
【热点题型】
题型三分类讨论思想在指数函数中的应用
例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
【提分秘籍】
分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a>1或0本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a 取值不定故要分两种情况进行讨论．
【举一反三】
若指数函数y＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
【高考风向标】
1．（2014·福建卷）若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是()
图1-1
A B
C D
2．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝() A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a －
1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1. 3．（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 121
3，则 ( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．c >b >a 【答案】C
【解析】因为0log 121
2
＝1，所以c >a >b .
4．（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【答案】C
【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.
5．（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.
1x 2＋1＞1
y 2
＋1
B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)
C. sin x ＞sin y
D. x 3＞y 3
6．（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )
A ．f (x )＝x 1
2 B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
D ．f (x )＝3x
7．（2014·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
【答案】10
【解析】由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝101
2
＝10.
8．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x
⎪⎪⎪ )x<－1或x>1
2，则f(10x )>0
的解集为( )
A ．{x|x<－1或x>－lg 2}
B ．{x|－1C ．{x|x>－lg 2}
D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D
【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－12，解得x<－lg 2.
9． （2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①x ∈(－∞，1)，f(x)>0；
②
x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0.
