《平面图形的镶嵌》教学课件

观察能镶嵌的三种图形，你发现 它们与平移、旋转、对称有什么关系？ 整个图案可以由一个基本图形通过 平移、旋转或对称得到。
——平面图形镶嵌的本质
小组活动：哪两种正多边形组合在一起 能进行镶嵌？看谁拼得最多？
它们有什么共同的特征？
（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌 （2） 正三角形与正六边形的平面镶嵌
你能提出哪些有价值的数学问题 供本节课研究呢？
猜一猜：哪些正多边形通过拼接能 进行平面的镶嵌？
小组活动：请通过画图或利用课前准备
好的正三角形、正四边形、正五边形、 正六边形、正七边形纸片，动手操作， 验证自已的猜想。看哪个小组拼得又快 又好！
镶嵌时，如何做到既 无缝隙又不重叠?
60° 60° 60° 60° 60° 60°
1：平面图形镶嵌的条件是边长相等且每个公共顶点处 几个内角的和为360°。本质就是数学知识中的平移、 旋转、对称在实际生活中的综合应用。
2：现实生活中的问题 确立研究课题 搜集相关材料
提出研究子问题
应用研究成果
归纳猜想、实验探究
形成研究报告。
3：利用平面图形镶嵌的定义和对称、旋转、平移的 数学方法可以设计一些简单的漂亮的平面镶嵌的图案。
（3） 正四边形与正八边形的平面镶嵌
只要满足边长相等和每 个公共顶点处几个内角 的和为360°，两个正 多边形就能进行镶嵌。
看老师变魔术啦！
看老师变魔术啦！
看老师变魔术啦！
胜利之星
漂亮的窗户
通向成功的小路
问1：平面图形的镶嵌的本质及条件是什么？ 问2：你知道课题学习的基本模式吗？图形的三种正多边形与不能拼成镶嵌图 形的正五边形究竟有何异同？你发现了什么？
平面镶嵌的条件
1、边长相等。

要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个 平面区域，需使得拼接点处的所有内角之 和等于360°．
还有其它正多边形能镶嵌吗？
设在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，则有
K·
(n-2)×180 。
。 = 360
n
(n-2)(k-2)=4
∵ k 为正整数， n 为大于等于 3 的正整数
k=6 k=4 k=3
人生的价值，并不是用时间，而 是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰
1.正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60°
60° 60°
60°
6个正三角形可以镶嵌。
2.正方形的平面镶嵌
90°
4个正方形可以镶嵌。
3.正六边形的平面镶嵌 3个正六边形可以镶嵌
4.用边长相同的正五边形能否镶嵌？
13
2
∠1+∠2+∠3=?
思考：
为什么边长相等的正五边形不能 镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？
1.要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需 使得拼接点处的所有角之和等于360°。 2.任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌
3.任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌
4.用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、正 方形、正六边形
5.用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等。
上面我们讨论的一般三角形和四边形都
可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是 180°，四边形内角和是360°它们的内角 和是整数倍都是360°，那么其它的一般多 边形能进行镶嵌吗？
例如： 在五边形中，内角和540°，已经超过
360°，即每一个内角拼接在一起时有重 叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数 越大时，内角和也越大，更不符合要求， 因此边数大于4的一般多边形不可以平面镶 嵌。

分别用大小相同的正三角形、 正方形、正六边形能否镶嵌平面？ 简述你的理由。
探索活动 小组合作、讨论 问题：
能否用正五边形镶嵌平面？
思考 探究
除正三角形、正四边形、正 六边形能镶嵌平面外，还能找到 其他能镶嵌平面的正多边形吗？
合作议论归纳
1. 同一种正多边形是否可以 镶嵌平面的关键是：一种正多边形 的一个内角的倍数是否360°。 2. 用大小相同的正三角形、 正四边形、正六边形都可以镶嵌 平面，其他正多边形都不可以镶 嵌平面。
综合与实践
平面图形的镶嵌
观察在线
观察小结 平面图形的镶嵌
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行 拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是 平面图形的镶嵌。 拼接点
•
正三角形的镶嵌
正六边1 4 2 3 1 3 2 4 2 3 1 4 2
探索活动 小组合作、讨论 问题：
问题实践之窗任意三角形的镶嵌实践之窗实践之窗任意三角形的镶嵌任意四边形的镶嵌实践之窗实践小结用同一种三角形可以镶嵌平面用同一种四边形可以镶嵌平面平面图形能镶嵌平面的条件是每个拼接点处的多边形各内角之和能组合成360收获与评价课堂小结课堂小结学习目标学习目标镶嵌的含义镶嵌的条件镶嵌的应用观察感悟实践理解经历感受思想方法观察实验探究合作比较归纳解决问题探索平面图形的镶嵌欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空同时用边长相同的正八边形和正方形能否镶嵌平面
实践之窗
动手操作 小组合作拼拼摆摆
问题
用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌平面？ 如果能，观察每个拼接点处有几个角，它们与这 种三角形的三个内角有什么关系。如果不能，说明 为什么。 用同一种四边形能否镶嵌平面呢？
任意三角形的镶嵌
实践之窗

用（1）（2）组合进行的镶嵌源自用（1）（2）组合进行的镶嵌
补充练习 学以致用:
我来当回工程师
为了活跃农村文化生活，你的家乡计划修建一个休闲娱乐 广场，广场地面用正多边形地砖镶嵌. 请你来当工程师，用所学知识为家乡父老做出自己的贡献. （1）如果用两种不同的正多边形地砖镶嵌旱冰场地面，现 已选好了正六边形地砖，请你选择另一种正多边形地砖. （2）如果用三种不同的正多边形地砖镶嵌主席台地面,使 每个拼接点处每种正多边形的角只有一个,现已选好了正三角形 和正九边形的地砖,请你选择另一种正多边形地砖.
本环节让学生用准备好的全等的三角形和四 边形纸片分小组进行镶嵌实验.并思考：镶嵌时， 在每个拼接点处的各个角与三角形、四边形的各 内角有什么关系? 学生活动过程中，老师巡回指导，然后找代 表展示作品，并用多媒体演示拼图过程。
设计意图：本环节让学生动 手操作，亲身经历结论获得的过
程，养成用事实说话的习惯。充
本环节让学生欣赏一些复杂的镶 嵌图案，并让学生了解：能够镶嵌的 图形，有的是规则的，有的是不规则 的. 设计意图：让学生享受奇妙的镶 嵌之美的同时，放松心情，扩展视野, 减轻课堂学习的紧张与压力，缓解课 本知识的枯燥与乏味.
回 顾 反 思
1、谈一谈：本节课，你有什么收获？
2、想一想：本节课，你还有什么困惑？
“ 观察与思考 ”
让学生讨论课本88页“观察 与思考”的内容：两个镶嵌图形是
由哪些多边形（或其组合）进行镶嵌 的？每个拼接点处的角是不是拼成了 平角或周角？
之后,老师通过多媒体演示总结.
本图是由白色的正八边形与灰色的正 方形镶嵌而成的,每个拼接点处的角拼成 了平角或周角.
本图的基本图形是一五边形.每个拼 接点处的角拼成了平角或周角.