柱坐标系和球坐标系教案

人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。

通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。

本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。

•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。

•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。

课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。

•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。

课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。

•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。

•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。

课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。

在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。

这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。

四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。

球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。

在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。

球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。

7 柱坐标系和球坐标系主备： 审核：学习目标：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程： 一、课前准备阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题：空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系.二、新课导学： （一）新知： 1.柱坐标系：（1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.（2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.（3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.2.球坐标系：（1）设P 是空间任意一点，连接O P ， 记||OP r =，O P 与O z 轴正向所夹的角为ϕ.设P 在xOy 平面的射影为Q ，O x 轴按逆时针方向旋转到O Q 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示.空间的点与有序数组(,,)r ϕθ之间建立了一种对应关系.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<.（2）点P 球坐标(,,)r ϕθ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式：①2222x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.（二）典型例题【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点.【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1,,0)2A π，12,,0)4A π，2,,)24B ππ，13,,)4B πϕ，其中tan 2ϕ=α为锐角，(1,,)22C ππ，1(2,,)42C ππ，(0,0,0)D ，1(1,0,0)D .动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下：(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，2,,0)4B π，12,,1)4B π，(1,,0)2C π， 1(1,,1)2C π，(0,0,0)D ，1(0,0,1)D .【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP ,2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP ,求21P P .【解析】点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP 转化为直角坐标为,1,16sin2,36cos2=====z y x ππ，即)1,1,3(1P ，点2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP 转化为直角坐标为,3,3232sin4,232cos4-===-==z y x ππ，即)3,32,2(2--P ，所以，126P P ==.zyxD 1C 1B 1A 1DC BA动动手：在球坐标系中，求)6,3,3(ππP 与)32,3,3(ππQ 两点间的距离.【解析】将球坐标)6,3,3(ππP 化为直角坐标：93sincos364x ππ==，3sin sin 36y ππ==，33cos 32z π==，即P 的直角坐标为9333()42.将球坐标2(3,,)33Q ππ化为直角坐标：2333sincos33x ππ-==293sin sin 334y ππ==，33cos 32z π==， 即P 的直角坐标为3393,)42-. 所以22339933||()()4444PQ =--+-36=.三、总结提升：1．理解柱坐标系和球坐标系下各个量的几何意义，会在图中标出点的坐标. 2．能够将柱坐标或球坐标转化为直角坐标，在直角坐标系中解决问题. 四、反馈练习：1.在空间直角坐标系，已知点)1,1,1(-A ，则点A 关于原点对称的点的坐标)1,1,1(-- ，点A 关于z 轴对称的点的坐标)1,1,1(-.2.在以O 为极点的柱坐标系中，若点⎪⎭⎫⎝⎛1,6,4πQ ，则||OQ =17，面xOz 与半平面zOQ所成的角是6π .3. 点P 的球坐标是)2,4,2(ππ，则它的直角坐标是)1,1,0(.4. （1）球坐标满足方程3r =的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. （2）柱坐标满足方程2ρ=的点所构成的图形是什么?【解析】(1)构成的图形是一个球面，球心在坐标系的原点，半径为3，其直角坐标方程为2229x y z ++=.(2) 图形是以z 为轴，横截面为圆（圆的半径为2）的圆柱面.5.长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为1、16，建立适当的球坐标系，写出各个顶点的坐标.【解析】如图建立球坐标系，则各个点的坐标如下：,0)A α，1(1,,0)2A π，,)64B ππ，1,)24B ππ，,)2C πα， 1(1,,)22C ππ，0,0)D ，1(0,0,1)D.其中tanϕ=α为锐角.五、学后反思：。

302m，17 ，1.8m
12
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思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，17 ，1.8)表示点A的准确位置， 么那这个1空2 间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系 Ox，过极点O作水平面的垂 线 Oz.
O
x
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思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐
标系，对于空间一点P，点P的柱坐标如
P
以与零子午线相交
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴，再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
xθ
Q
一条极轴.
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思考4：上述坐标系称为球坐标系或空
间极坐标系，因为极角是极径与极轴所
成的角，那么航天器的纬度角φ可换成
哪个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
P
o
赤道 地轴
南极
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南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与 子午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成 的角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
Q
θ
O
x
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思考6：若按如图所示建立空间直角坐
标系和柱坐标系，那么点P的直角坐标
(x，y，z) 和柱坐标(ρ，θ，z)之间的
互化公式是什么？
z
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，

庖丁巧解牛知识·巧学一、柱坐标系定义：如图1—4—1，建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点,它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z)(z∈R )表示.这样，就建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ，z ）叫做点P 的柱坐标，记作P （ρ,θ,z），其中ρ≥0，0≤θ<2π,—∞<z〈+∞。

图1—4—1空间点P 的直角坐标（x,y ，z ）与柱坐标（ρ,θ,z）之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ要点提示 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.二、球坐标系定义：如图1-4—2，建立空间直角坐标系O-xyz ，设P 是空间任意一点，连结OP,记｜OP|=r,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ。

这样点P 的位置就可以用有序数组（r ，φ,θ)表示。

这样，空间的点与有序数组（r ，φ，θ）之间就建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r ，φ，θ）叫做点P 的球坐标,记作P （r,φ，θ）,其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ〈2π。

空间点P 的直角坐标（x,y ，z)与球坐标(r,φ,θ）之间的变换关系为 ⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x图1-4-2要点提示 在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P （r,φ,θ)的方位角，90°-φ称为高低角。

三、坐标系的建立1.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系;2。