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2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2．()
3
1+3i
=
（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 3．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()
m n m n +⊥-，则=λ
（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为
（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．函数()()21=log 10f x x x ⎛
⎫+
> ⎪⎝⎭
的反函数()1
=f x - （A ）
()1021x x >- （B ）()1021
x
x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x
x -> 6．已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-
，则{}n a 的前10项和等于 （A ）(
)10
613
---
（B ）()10
1
139
-- （C ）()10
313-- （D ）()10
31+3- 7． ()()8
4
11+x y +的展开式中2
2
x y 的系数是
（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168
8．椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是
（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
（D ）314
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 9．若函数()2
1=f x x ax x ++
在1,+2⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
是增函数，则a 的取值范围是 （A ）[-1,0] （B ）[1,)-+∞ （C ）[0,3] （D ）[3,)+∞
10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于
（A ）2
3
（B）
3
3
（C
）
2
3
（D）
1
3
11．已知抛物线2
:8
C y x
=与点()
2,2
M-，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于,A B两点，若0
MA MB=，则k=
（A）
1
2
（B）
2
2
（C）2（D）2
12．已知函数()=cos sin2
f x x x，下列结论中错误的是
（A）()
y f x
=的图像关于(),0
π中心对称（B）()
y f x
=的图像关于直线
2
x
π
=对称（C）()
f x的最大值为
3
2
（D）()
f x既奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知α是第三象限角，
1
sin
3
a=-，则cot a= .
14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）
15．记不等式组
0,
34,
34,
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域为D，若直线()1
y a x
=+与D公共点，则
a的取值范围是 .
16．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，
3
2
OK=，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）等差数列{}n a的前n项和为n S，已知2
32
=
S a，且
124
,,
S S S成等比数列，求{}n a的通项式。
18．（本小题满分12分）设ABC
∆的内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，()()
a b c a b c ac
++-+=。
（I）求B；
（II）若
31
sin sin
A C
-
=，求C。
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD
-中，902,
ABC BAD BC AD PAB
∠=∠==∆
，与PAD
∆都是等边三角形。
（I）证明：;
PB CD
⊥（II）求二面角A PD C
--的大小。
20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，
