D习题练习定积分的应用

(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
体积最小 ?
解: (1)
由方程得
即
故得
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
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又
(2) 旋转体体积
又 为唯一极小点, 因此
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
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例1. 求抛物线
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
解: 设抛物线上切点为
则该点处的切线方程为
B
它与 x , y 轴的交点分别为
M A
所指面积
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
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例4. 求由 y 2x 与 y 4x x2 所围区域绕 y 2x
旋转所得旋转体体积.
解: 曲线与直线的交点坐标为 A(2, 4),曲线上任一点
P (x , 4x x2 ) 到直线 y 2x的距离为
u
A y 2x
以y 2x为数轴 u (如图), 则
dV 2 d u (d u 5 d x)
习题课
第六章
定积分的应用
1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、体积、弧长、表面积 .
物理方面 : 质量、作功、侧压力、引力、 转动惯量 .
2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、段、带、片、扇、环、壳 等.
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
0 (R
x)] ( R 2
x2
)
dx
“偶倍奇零”
2 g [(
0
)H
0R]
R
0
(
R2
x2
)
dx
H
ox y
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
x
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例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求
P y 4x x2 du
1 5
(x2
2x)2
故所求旋转体体积为
V
2 0
15( x 2
2x)2
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
5d x
o dx 2
5 d x 16 5
75
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例5. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度 取出, 需做多少功 ?
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得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 且为最小点 . 故所求切线为
B M
A
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
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例2. 设非负函数
曲线
与直线
及坐标轴
所围图形面积为 2 ,
(1) 求函数
ox
g R (2R2 y 3Ry2 y3) dy 0
gR4
4
微元体积: x2 dy 微元的重力 : g x2 dy
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
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作业
P292 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9
微元体积 所受重力
g (R2 x2 )(R x) dx 上升高度
o
x
y
x
(x, y)
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
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因此微功元素为
dW dW1 dW2
球从水中提出所做的功为
W g
R
[(
R
0 )H
y
o
1x
时 V 取最小值 .
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例3. 证明曲边扇形
绕极轴
旋转而成的体积为 Vox
2
3
r 3 (
) sin
d.
证: 先求
上微曲边扇形
r Baidu Nhomakorabear( )
绕极轴旋转而成的体积
d d r
体积微元
r
x
故
Vox
2
3
r 3 (
) sin
d
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
SoYuAtNheGrZnHMOeUdicUaNl IUVnEiRveSrIsTiYty
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的球沉入深为H ( H > 2 R ) 现将其从水池中
解: 建立坐标系如图 . 则对应 [x , x dx]
上球的薄片提到水面上的微功为
dW1 ( 0 ) g y2 dx (H R x)
H
( 0 ) g (R2 x2 )(H R x) dx
提出水面后的微功为
dW2 g y2 dx (R x)
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(1) 求
由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为
y
at (升) , 而高为 h 的球缺的体积为
V (h)
h
(2Ry
y2
)
dy
0
故有
两边对 t 求导, 得
R
h ox
x2 2Ry y2
(2Rh h2 ) a
半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成
a (2Rh
h2
水深为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 .
(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ?
解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.
则半圆方程为
y
R
设经过 t 秒容器内水深为h , 则h h(t).
h
ox
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)
体积元素: x2 dy
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(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提
到池沿高度所需的功.
y
对应于
薄层所需的功元素
R
g (2Ry y2 )(R y) dy
y
故所求功为