模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:
① S i ：S 2 S 4：S 3 或者 3 S 3 S 2 S 4 ② AO:OC S S 2 : S 4 S 3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD 被对角线 AC BD 分成四个部分，△ AOB 面
积为1平方千米，△ BOC 面积为2平方千米，△ COD 勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析】根据蝴蝶定理求得
AOD
3 1 2 1.5平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是1 2 3 1.5 7.5平
任意四边形、梯形与相似模型
方千米，所以人工湖的面积是
7.5 6.92 0.58平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵ 4个三角形，其中三个三角形的面积已知
,
AG:GC ?
【解析】⑴根据蝴蝶定理,
S VBGC
1 2 3
，那么 S
V BGC 6 ；
⑵根据蝴蝶定理,
AG : GC 12:36
1:3 ・（？？？）
D
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且A0 2，D0 3，那么CO的长度是DO的长度的 ___________________ 倍。
3
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S VA BD : S/BCD 1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改
造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：••• AO:OC S ABD : S BDC 1:3 ,
•••OC 2 3 6 ,
【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 6 16，那么△BCO和CDO的面积都是16 2 8 ,所以△OCF的面积为8 4 4;
⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8 6 2 ,
根据蝴蝶定理，EG:FG S COE : S COF 2:4 1:2，所以S GCE :S GCF EG: FG 1:2 ,
1 1 2
那E么S GCE S CEF — 2 _•
1 2 3 3
52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的•••OC:OD 6:3 2:1 •
解法二：作AH
1
S
S BCD ,
3
】CG ,
3
—S DOC ,
3
1CO ,
3
2 3 6 ,
BD 于H , CG BD 于G •
■ S ABD
--S AOD
• AO
•OC
•OC:OD 6:3 2:1 •
【例4】图中的四边形土地的总面积是
面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
CED ，所以 VABE , VCDE 的面积比为(AE EB) :(CE DE)。同 理有 VADE , VBCE 的面积比为(AE DE):(BE EC)。所以有 SV ABE X SV C DE =
SV
A
DE
X SV BCE ，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到
2条对角线，有图形分成上、
下、左、右 4个部分，有：上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即SV A BE 6= SV A DE 7 ,所以有
VABE 与VADE 的面积
21 公顷，SV A DE =
-
39 18 公顷。
6 7
4
ABD 的面积为：2 — 1
2
【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形 ABCD 中，BE 2EC , CF FD ，求三角形 AEG 的面积.
比为
7:6
, 5沧=二
39
显然，最大的三角形的面积为
21公顷。
【例5】 (2008年清华附中入学测试题 为 。
)如图相邻两个格点间的距离是
1，则图中阴影三角形的面积
【解析】 连接 AD 、CD 、BC 。
则可根据格点面积公式，可以得到
ABC 的面积为: ACD 的面积为:
3
1 3.5 ,
2
所以 BO : OD S ABC : S ACD
2:3.5
4:7，所以 S ABO
S ABD
4 11
12 11
【解析】 1，求三角形 ABC 的面积。
因为 BD:CE 2:5，且 BD //CE ，所以 DA: AC 2:5 ,
S ABC S DBC
6
7
【解析】
【巩固】
