证明:简谐运动关于时间的图像是正弦函数(非高数证法)
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为什么弹簧振子关于时间的图像是正弦函数?
物理选修3-4中对弹簧振子关于时间的图像的性质进行了详细的分析,但如何从理论上证明弹簧振子关于时间的图像是正弦函数呢?
正弦函数与圆关系紧密,而匀速圆周运动在x 轴上的运动与简谐运动十分相似,本次证明将以此为切入点。
设有点P 在x 轴上在简谐运动,平衡位置为原点,劲度系数为k ,振幅为l ,最大速度为0v 。点Q 在以l 为半径的圆上,以0v 的速度做匀速圆周运动。
(以下均为代数式)
OP k F p ∙=
Q 的向心力为l v m F 20=向
Q 的向心力在x 轴上的分力为l
t v l v m F x 020sin = l t v l OP 0sin
= 2202121kl mv =
k l mv l
t v l l t v l v m OP F x ===2200020sin sin 可知点Q 在x 轴上的投影就是点P 又已知l
t v l OP 0sin = m
kl v 2
0= 可知t m k l l t v l OP sin sin 0==
可知弹簧振子关于时间的图像为正弦函数。
振幅为l ,周期为k
m T π
2=
孙腾编辑
2013.03.31