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第一讲 有理数的概念知识点一、有理数的概念及分类1、正数与负数：正数：像1， 1.1，517，2009等大于0的数，叫做正数； 负数：像-1， -1.1，517-，-2009等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。
正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。
“0”既不是正数，也不是负数。
在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：向东走100米记作－100米，则向西走五十米记作+50米。
盈利100元记作+100元，则亏损100元记作什么？水位升高1.2米，下降0.7米，如何用有理数表示？2、有理数：整数与分数统称为有理数⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零按定义分类： 有理数负整数正分数分数负分数 ⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正整数按符号分类： 有理数零负分数注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；（2）无限不循环小数不是有理数，如π；（3）正数和零统称为非负数；（4）0是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。
3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。
例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。
4、有理数“0”的作用：随堂练习1、气温下降2度记2C-︒，那么上升3度表示为C︒.2、用20+米表示前进20米，那么15-米表示.3、如果向北走10m记作10m+，那么6m-表示（）.A、向东走6mB、向西走6mC、向南走6mD、向北走6m4、有理数包括（）.A、整数、分数和零B、正有理数、负有理数和零C、正数和负数D、正数和分数5、下列说法中，正确的是（）.A、在有理数中，零的意义表示没有B、一个数不是正数就是负数C、正有理数和负有理数组成全体有理数D、零是整数6、0属于（）.A、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是7、既是分数，又是正数的是（）.A、3+B、153-C、0D、2.28、下列说法中错误的是（）.A、2-是负有理数B、零不是整数C、34是正分数D、0.26-是负分数9、已知下列各数：8-，2.1，19，3，0， 2.5-，10，1-，其中非负数的个数有（）.A、2个B、3个C、4个D、5个10、把下列各数填入相应的括号里.1715,,0.62,4,0,1,1,, 6.4,7.-+---363正整数集合{}分数集合{}整数集合{}负数集合{}数轴1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
第一讲 有理数专题 一、知识思维导图：二、数学思想方法：1、利用数形结合的数学思想直观地解决问题数本身是无形的、抽象的，但点线却是直观的，数轴正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，将图形和数有机地结合起来，从而便于学习和研究。
利用数轴上的点来表示有理数，利用数轴理解相反数、绝对值的概念，利用数轴探究有理数的运算法则等，都充分体现了数形结合的思想。
2、在有理数运算中，体现转化思想转化思想的宗旨是把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，如减法可以转换成加法，除法可以转换成为乘法。
3、运用分类讨论思想，全面解答问题在学习相反数、绝对值及有理数乘方运算的符号法则时，应把有理数分成正数、零、负数三类分别研究，运用分类讨论法的思想，在一些看上去比较复杂抽象的计算题中，通过分类讨论，就能全面地把代数式的值一一求出来。
三、典型例题选讲：A 、加强有理数混合运算的训练 例题1 计算：① ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--8143321243532122② ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-913119941531432122222例题2 计算：⎪⎭⎫⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-526110132301例题3 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-211434000321999652000例题4 计算：20191651541431⨯+∙∙∙+⨯+⨯+⨯B 、探索规律问题例题5 （2009黑龙江牡丹江）有一列数21-，52，103-，174，···， 那么第7个数是 。
例题6 （2009湖北恩施）观察数表根据表中数的排列规律，则字母A 所表示的数是 。
例题7 （2009山西）图是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 。
有理数1. 有理数包括 和 ；整数包含： 、 、 ；分数包含： 、 。
正整数和正分数通称为正有理数，负整数和负分数通称为负有理数。
2. 正数都比0大，负数都比0小， 既不是正数也不是负数。
3. 正数和负数经常用来表示 的量。
4. 数轴有三要素： 、 、 。
数轴上的两个点表示的数， 边的总比 边的大。
5. 相反数：只有 不同的两个数互为相反数，a a 和-互为相反数，0的相反数是0。
在任意的数前面添上“ ”号，就表示原来的数的相反数。
6. 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的 叫做该数的绝对值，用“|a|”表示。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
当a 是正数时，a a =；当a 是负数时，a a =-；当a =0时，0a =7. 两个负数比较大小， 大的反而小。
8. 有理数加法法则：·同号两个数相加，取 的符号，并把绝对值相加。
·异号的两个数相加，绝对值不等时，取绝 的符号，并用 减去 。
互为相反数的两数相加得 .·一个数同0相加仍得这个数加法交换律：a b b a +=+加法结合律：()()a b c a b c ++=++9. 有理数减法法则：减去一个数等于 这个数的 。
10. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘积仍得 。
有理数乘法运算步骤：（1）先判断积的符号（2）再把绝对值相乘。
有理数的乘法符号法则多个有理数相乘时积的符号由 决定，当 时，积为负；当 时，积为正，积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。
11. 倒数：乘积是1的两个数互为 。
一般地，数a 的倒数是 (a )0≠.12. 乘法交换律：ab ba =乘法结合律：()()ab c a bc =乘法分配律：()a b c ac bc +⨯=+13. 有理数除法法则：·除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 。
·两个有理数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除。
第一讲 有理数的基本概念强化●基础知识讲的主要内容是有理数的有关概念及其运算，有理数是初中数学中的一个重要概念，它是小学算术中数的概念的扩充。
如引入负数后，则减法运算可畅通无阻，相应的有研究有理数四则运算的必要。
本讲还包括数轴的概念与应用，比较有理数大小的方法等，这些都是整个初中数学学习的基础，同时它在物理、化学及日常生活中也有着广泛的应用。
（一）有理数的定义、性质 1. 有理数的定义整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数。
这是数学课本上的定义，除此定义之外，有理数还可以这样定义：能够表示成分数mn（n ≠0，m 与n 均为整数且互质），称为有理数。
2. 有理数的性质（1）有理数具顺序性。
即指任意两个有理数a 与b ，在a>b,a=b,a<b 三种关系中，有且仅有一种是成立的。
（2）有理数的四则运算具有封闭性，即有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数。
（3）有理数具有稠密性，即指任意两个有理数之间都有无穷多个有理数。
3.有理数的分类：按定义分类： 按符号分类：⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数 零 有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 （二）有理数的比较我们知道，负数<0<正数，而两个负有理数比大小，绝对值大的反而小，从数轴上看，数轴左边的数比右边的数小。
（三）有理数的运算 1. 有理数运算（1）对有理数的四则运算法则，要本着“先定符号，后绝对值”的顺序运算，养成良好习惯。
（2）有理数运算仍然满足加法两大定律和乘法三大定律，恰当地运用这些定律，能使计算过程更合理更简便。
注意：计算的每一步都要有根据，切忌想当然，自己“创造”定律，公式等计算。
2. 定义新运算这些运算中指定了符号的含义，只须根据其含义运算即可。
●典型例题（一）正、负数 及其意义例1.若a 与b 的和为负数，则（ ）A.a 与b 都是负数；B.a 、b 两数一正一负C.a 与b 两数中至少有一个为负数D.以上说法都不对 例2．一物体可以在左右移动，设向右为正，则“记作8 m ”，表明向＿＿＿＿＿＿＿，向左移动12m 记作＿＿＿＿＿＿．（二）有理数的分类例3．在有理数的集合里有（ ）A.最小的负整数B.最小的正整数C.最小的整数D.最大的非负数（三）数轴问题例4 （1996年“希望杯”竞赛题）a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）Aba 111<< B.111<<ba C.111<<ab D.ab 111<<例5.（第6届希望杯）数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长1995厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点有（ ） A 1994或1995 B 1994或1996 C 1995或1996 D 1995或1997 例6．一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为3个单位长度，则这个数为（ ） A ．3± B ． 1.5± C ．3 D ．1.5例7．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数为（ ） A ．5 B ．－5 C ． 2.5- D ．2.5 例8．数轴上A 点表示＋7；B ，C 两点表示的数互为相反数，且C 点与A 点的距离为2（ ） A ．5± B ．9± C ．5或－9 D ．－5或－9例9.（人大附中数学考试）数轴上点A 表示的数是-3，那么到A 点的距离是5个单位的点表示的数是多少？（四）相反数、绝对值例10.a 与b 互为相反数，b 与c 互为相反数，那么（ ） A.a c = B.a c =- C.a c -= D.以上答案都不对 例11．若a b =，则a ，b 的关系为（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．相等或互为相反数D ．不同于以上的结论 例12. （人大附中数学考试）如果,x y 表示有理数，且,x y 满足条件5,2,x y x y y x ==-=-，那么x y +的值是（ ）A. -3B. -7C. -3或-7D. ±3或±7例13. （北大附中2005-2006学年度第一学期期中初一年级数学考试）设a, b, c 为实数，且0,,0,a a ab ab c c +==-=化简()b a b c b a c -+--+-（五）有理数的大小比较 例14 .357,,468---的大小顺序是（ ） A. 753864-<-<-B. 735846-<-<- C. 573684-<-<-D. 357468-<-<-例15.（六）近似数与有效数字例16.神舟六号飞船进入轨道飞行后,每90秒钟绕地球飞行一圈,经计算每天约飞行680000公里，飞船的飞行速度是（ ） 公里/小时（保留三位有效数字）例17. 2.954精确到0.1近似数是（ ）,0.021403保留4个有效数字的近似数是（ ） 6.217510⨯精确到（ ）位，有（ ）个有效数字。
第一讲 有理数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例题示范1、数轴与大小例1已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、 符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示：仿例5，造零。
结论：2003。
例8计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
第1讲有理数有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．预习阶段，我们会针对基础知识部分进行着重讲解，相关难点会在春季班课程中讲解．模块一：有理数的意义知识精讲1、正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．2、有理数的概念整数和分数统称为有理数．3、有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．例题解析【例1】如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？（1）10元；（2）3.5元；（3）100-元；（4）0元．【难度】★【答案】（1）收入10元；（2）收入3.5元；（3）支出100元；（4）没有收入也没有支出．【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量，常见的具有相反意义的量：收入与支出、上升与下降、前进与后退、向东与向西等．【总结】本题考查了正数和负数的意义．【例2】下列说法错误的是（）A．收入200元和支出300元是相反意义的量B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量【难度】★【答案】C【解析】粮食和水是两回事，故C错误．【总结】本题考查了具有相反意义的量．【例3】下列说法中正确的是（）A．正有理数和负有理数组成了全体有理数B．在有理数中，零的意义仅表示没有C．所有的小数都是有理数D．0既不是正数也不是负数【难度】★【答案】D【解析】有理数按正负可分为：正有理数、零、负有理数；有理数按意义可分为：整数和分数；无限不循环小数是无理数．【总结】本题考查了有理数的分类及意义．【例4】把下列各数填入它所属的圈内：10-，69， 1.7-，45，279，0，46%，0．76，23-，158．【难度】★【答案】正数：69、45、279、46%、0.76、158；负数：10-、 1.7-、23-．【解析】根据有理数的分类填写即可．【总结】本题考查了有理数的分类．【例5】 下列各数中，哪些是正数？哪些是整数？哪些是非负数？哪些是有理数？ 8-，0.126，0，227，()2--，4.5，12-，101.0101，π，20． 【难度】★★【答案】正数：0.126、227、()2--、4.5、101.0101、π、20； 整数：8-、0、()2--、20；非负数：0.126、0、227、()2--、4.5、101.0101、π、20； 有理数：8-、 0.126、0、227、()2--、4.5、12-、101.0101、20． 【解析】根据正数、整数、有理数的意义分类填写【总结】本题考查了有理数的意义和分类．【例6】 回答问题：（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？【难度】★★【答案】（1）没有，没有，没有，没有，没有，没有；（2）有，没有，没有，有；（3）没有，有．【解析】正确的有理数分类．【总结】本题考查了有理数的分类及意义．【例7】 改写下列各句，使其不含负数：（1）海平面上升了0.8-米表示_____________________；（2）公交车向北行驶了5-千米表示______________________．【难度】★★【答案】（1）海平面下降了0.8米；（2）公交车向南行驶了5千米．【解析】上升对应的相反意义的量是下降；向北对应的相反意义的量是向南．【总结】本题考查了正负数的意义及具有相反意义的量．【例8】 某市2016年元旦的最高气温为2C ︒，最低气温为8C -︒，那么这天的最高气温比最低气温高______C ︒．【难度】★★【答案】C 10．【解析】由题意最高气温减去最低气温，即可得到答案，()1082=--．【总结】本题考查了有理数的意义及简单运算．【例9】 观察下列数列，填上空缺的数．（1）1，1-，2，2-，3，______，______，______；（2）1，2-，3，4-，5，______，______，______．【难度】★★【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8．【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可；（2）数字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号．【总结】本题考查了按规律填数．【例10】 在一次数学测验中，小智所在班的平均分为87分，把高于平均分的高出部分记为正，（1）小智得了94分，应记作多少分？（2）小智的同学小方得分被记作8-分，他的实际成绩是多少分？【难度】★★【答案】（1）7+分；（2）79分．【解析】根据正负数在日常生活中常用来表示具有相反意义的量；（1）小智得了94分，应记作787-94+=；（2）小方被记作8-分，他实际得分是79887=-．【总结】本题考查了根据正负数的意义解答简单实际问题的能力．【例11】 某中学对初一男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的用负数表示，其中8名男生的成绩如下表：（1）这8名男生有几人达标？（2）达标的百分比是多少？【难度】★★★【答案】（1）达标的成绩为2、0、3、1、0，达标人数有5人；（2）达标率为()%5.62%10085=⨯÷．【解析】（1）根据非负数是达标人数即可；（2）达标人数除以总人数即可．【总结】本题考查了正数和负数及百分数的应用．【例12】 若以45分钟为1个单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如9 : 15记为1-，10 : 45记为1等，依次类推，上午7 : 45应记为（ ）A ． 3.15-B ．3-C ． 2.15-D ．7.45-【难度】★★★【答案】B【解析】 10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个单位时间单位； ∴上午45:7与10时相隔135分，即3个单位；应记为3-．故选B ．【总结】本题考查了正负数的意义．模块二：数轴知识精讲1、 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．零的相反数是零．例题解析【例13】 指出下列数轴上的的点A 、B 、C 、D 分别表示什么数．【难度】★【答案】数轴上的D C B A 、、、各点分别表示113442--、、、． 【解析】任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示．【总结】本题考查了数轴上的点表示数．【例14】 用数轴上的点分别表示4-，5，122-，3.2以及它们的相反数，并用“<”把它们连接起来．【难度】★【答案】如图所示4-，5，122-，3.2的相反数分别是4，5-，122， 3.2-， 大小顺序为：1154 3.222 3.24522-<-<-<-<<<<． 【解析】见上图．【总结】本题考查了数轴上的点表示数以及相反数的概念．【例15】 下列各数中，哪些数是相等的？哪些数互为相反数？2.3，5-，112-，3210，4.5，5，112， 3.2-． 【难度】★【答案】相等的有：3.2与1032；互为相反数的有：5-与5、211-与211． 【解析】相等的量及互为相反数的量定义．【总结】本题考查了有理数的互化及相反数的意义．【例16】 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示：（1）在数轴上作出它们的相反数；321（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）只有符号不同的两个数互为相反数． （2）b a a b <-<<-，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．【总结】本题考查了相反数的定义及有理数的大小比较．【例17】 以下叙述中，正确的是（ ）A ．正数和负数互为相反数B ．表示相反意义的量的两个数互为相反数C ．任何有理数都有相反数D ．任何有理数都有倒数【难度】★★【答案】C【解析】只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数；0没有倒数．【总结】本题考查了正负数的意义及应用．【例18】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离为2个单位，则a =______．【难度】★★【答案】2±．【解析】到原点的距离为2个单位的点即2±．【总结】本题考查了数轴的应用．【例19】 数轴上有A ，B 两点，如果点A 对应的数是2-，且A ，B 两点的距离为3个单位，求点B 对应的数．【难度】★★【答案】1，5-．【解析】解：设点B 对应的数为x ，由题意得：32=--x ，解得：5-=x 或1．【总结】本题考查了数轴的应用及意义．【例20】 如图，如果数a 到原点的距离是数b 到原点的距离的3倍，则数轴的原点可能是A ，B ，C ，D 四点中的哪些点？【难度】★★★【答案】点C 或点D ． 【解析】由题意得：b a 3=，根据图形分以下两种情况讨论，①当31a b =-=，时，数轴的原点为C 点；②当62a b =-=-，时，数轴的原点为D 点．【总结】本题考查了数轴的知识应用．模块三：绝对值知识精讲1、 绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．2、 绝对值的数学表达 用符号a 表示数a 的绝对值．()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．例题解析【例21】 求1.3，7-，355，0，124-的绝对值． 【难度】★ 【答案】33111.3 1.3-775500-225544=====；；；；． 【解析】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．【总结】本题考查了绝对值的计算．【例22】 下列结论中，正确的是（ ）A ．一个数的相反数一定是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值一定是正数D ．一个数的绝对值的相反数一定是负数【难度】★【答案】B 【解析】0≥a ．【总结】本题考查了绝对值的意义．【例23】 绝对值小于3的整数有______个，分别为____________________．【难度】★【答案】5；012±±，，． 【解析】因为3<a ，且a 为整数；所以012a =±±，，，故有5个．【总结】本题考查了绝对值的意义．【例24】 已知3x =，那么x =______．【难度】★【答案】3±． 【解析】因为3=x ，故3±=x ．【总结】本题考查了绝对值的意义及计算．【例25】 如图，a 、b 为数轴上两点表示的有理数，则在a b +，2b a -，a b -，b a -中，负数有几个？【难度】★★【答案】0个． 【解析】由题意得：00a b a b <><，，；则0>+b a ；02>-a b ；0>-b a ；0>-a b ．故均为正数．【总结】本题考查了有理数绝对值意义及大小比较．【例26】 判断题：（1）a a -=；（ ） （2）a a -=-；（ ）（3）aa a a=（0a ≠）；（ ） （4）若a b =，则a b =；（ ） （5）若a b =，则a b =；（ ） （6）若a b >，则a b >；（ ）（7）若a b >，则a b >；（ ）（8）若a b >，则b a a b -=-．（ ）【难度】★★【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）√．【解析】 0a ≥，由绝对值的性质和意义可得，举反例即可．【总结】本题考查了绝对值的意义．【例27】 设数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，则b a a c c b -+++-化简后的结果为多少？【难度】★★【答案】c 2-．【解析】先判断绝对值里的正负，再由性质进行去绝对值运算；由数轴得：000b a a c c b -<+<-<，，，故原式()()()2b a a c c b c =---+--=-．【总结】本题考查了绝对值的性质．【例28】 已知2x <-，求11x -+化简后的结果．【难度】★★★【答案】x --2．【解析】由2-<x ，则01<+x ，所以111122x x x x -+=++=+=--．【总结】本题考查了含绝对值符号的化简．【例29】 如果3a =，5b =，求a b a b +--的绝对值．【难度】★★★【答案】6．【解析】解：由题意得：35a b =±=±，；分情况讨论：如当3,5a b ==时，原式6=，其绝对值为6；同理即可得其它情况均为6．【总结】本题考查了绝对值的计算及应用．【例30】 化简：（1）x ； （2）2x -； （3）424x x ++-．【难度】★★★【解析】（1） ①当0≥x 时，x x =；②当0<x 时，x x -=．（2） ①当2>x 时，22-=-x x ；②当2=x 时，02=-x ；③当2<x 时，x x -=-22．（3）①当4-<x 时，原式()()x x x 3424-=--+-=；②当24≤≤-x 时，原式()8424+-=--+=x x x ；③当2>x 时，原式x x x 3424=-++=．【总结】本题主要考查零点分段法的运用，解题时注意要分类讨论，综合性较强，老师可以 选择性讲解．随堂检测【习题1】 把下列各数填入它所属的圈内： 17-，12，2-，914，107-，0.5， 2.32-，30-，101，2．333． 【难度】★【解析】【总结】本题考查了整数的分类．【习题2】 填空：（1）某水库的水位上升3米，记作3+米，那么水位下降4米，记作______米；（2）如果规定向东走为正，那么走了5-千米的意义是__________________________；（3）如果20%+表示增加20%，那么5%-表示_________________；（4）时钟的分针顺时针方向旋转了90︒记作90-︒，那么逆时针方向旋转180︒记作______．【难度】★【答案】（1）4-；（2）向西走5千米；（3）降低%5；（4） 180+．【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量．【总结】本题考查了正负数的意义．【习题3】 判断：（1）整数包括正整数和负整数；（ ）（2）比正有理数小的数是负有理数；（ ）（3）a -一定是负数；（ ）（4）一个数的相反数的相反数是它本身．（ ）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√．【解析】有理数按意义可分为整数和分数；按正负可分为正有理数，0，负有理数．【总结】本题考查了有理数的意义和分类．【习题4】 用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来．（1）3的相反数；（2）213的相反数；（3）23-的相反数的倒数；（4）0；（5）4-的绝对值；（6）4-的绝对值的相反数．【难度】★★【答案】见解析．【解析】A 代表3-；B 代表321-；C 代表23；D 代表0；E 代表4；F 代表4-． 423032134<<<-<-<-． 【总结】本题考查了绝对值的意义及大小比较．【习题5】 求下列各数的绝对值：（1）25-； （2）0.35； （3）a （a < 0）；（4）3b （b > 0）； （5）2a -（a < 2）；（6）a b -． 【难度】★★【解析】（1）25；（2）35.0；（3）a -；（4）b 3；（5）a -2；（6）分类讨论：当b a >时，其绝对值为b a -；当b a =时，其绝对值为0； 当b a <时，其绝对值为a b -．【总结】本题考查了绝对值的运算，注意（6）要分类讨论．【习题6】 按一定规律填数：（1）16，8-，4，______，______，12-； （2）1，2，3-，4，5，6-，7，8，9-，_____，_____，…，_______(第2016个数)．【难度】★★【答案】（1）2-，1；（2）10，11，2016-．【解析】符号和数字分开看．【总结】本题考查了按规律填数．【习题7】 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则在a b +、2b a -、b a -、a b -、2a +、4b --中，负数共有几个？【难度】★★【答案】3．【解析】由数轴得：0,0><b a ，b a >，则0<+b a ，02>-a b ，0<-a b ， 0>-b a ，02>+a ，04<--b ；所以负数有3个．【总结】本题考查了绝对值的性质．【习题8】 3x -和2y +互为相反数，求x y +的值．【难度】★★★【答案】1． 【解析】由题意得：023=++-y x ，所以3=x ，2-=y ；所以1=+y x ．【总结】本题考查了绝对值的意义及性质，绝对值为非负数．【习题9】 a ，b ，c 三点在数轴上的位置如图所示：试判定a b a b -+，a b a b +-，a bc a bc+-之间的大小关系．【难度】★★★【答案】ba b a cb a cb a b a b a -+<-+<+-． 【解析】由数轴，得：a b bc <<，因为b a cb a cb a b a +<-<+<-<0，所以：1;1<-+<+--+<+-<cb a cb a b a b a b a b a cb a cb a ，所以：ba b a cb a cb a b a b a -+<-+<+-． 【总结】本题考查了对数轴上的点的理解，以及有理数的大小比较．【习题10】 如图所示，在数轴上有6个点，且AB = BC = CD = DE = EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是多少？【难度】★★★【答案】1【解析】由F A 、两点所表示的数可知，16511=+=AF ，EF DE CD BC AB ==== ，2.3516=÷=∴EF ，∴E 点表示的数为8.72.311=-；点C 表示的数为：4.12.32.38.7=--；∴与点C 所表示的数最接近的整数是1．【总结】本题综合性较强，注意解题时认真分析，主要是利用线段间的关系，从而得到相应 的数．。
第一讲有理数考点综述：有理数是初中数学的基础内容，中考试题中是必考内容之一，主要题型以填空、选择、计算为主，主要考查有理数及其相关概念，如：相反数、绝对值、倒数，会用数轴比较大小，有理数的混合运算，科学记数法的意义以及表示方法，近似数和有效数字的意义，还有会按照题目要求取近似数。
知识点1.有理数的意义：数轴,相反数,倒数,绝对值,近似数与有效数字。
2.有理数的运算：加减乘除，乘方,有理数的大小比较,科学记数法.中考课标要求考点精析考点1 有理数的有关概念（1）有理数：整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类正整数正整数整数 0 正数负整数正分数①有理数②有理数 0正分数负整数分数负数负分数负分数（3）数轴①定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
注意：数轴包含三个方面：①数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，缺一不可。
②数轴是一条直线，可以向两边无限延伸。
③原点的选定、正方向的取定、单位长度大小的确定都是根据需要“规定”的。
②数轴的用途a、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
b、正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点左边的点表示。
c、数轴上两个点所表示的数，右边的数总比左边的数大（规定数轴的正方向为右）。
d、正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
（4）绝对值①绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离，数a的绝对值记作“a”。
表示0的点到原点的距离是0，所以00=。
②绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的代数意义可以用式子表示为：()()()()()()()⎩⎨⎧≤->=⎩⎨⎧<-≥=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=aaaaaaaaaaaaaaaaa或或（5）相反数①相反数的几何意义：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的两旁，并且与原点的距离相等。
第一讲有理数内容概述本讲的主要内容是学习有理数的有关概念及其运算.有理数是初中数学的一个重要基础知识，它是小学算术中数的概念的扩充.引入负数后，使运算更加多元化.本讲是在同学们拥有一定的有理数相关基本概念的基础上的提高，我们本着“源于课本且高于课本”的理念，帮助同学们站在一个“高点”，使你们更加清晰的了解相应中学阶段的知识体系！下面的“数形”分析图是我们本节课的主体讲解内容！⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩有理数的定义及基本性质基本概念及性质数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数科学记数法、近似数与有效数字加、减、乘、除运算有理数的运算乘方及综合运算有理数相消数形结合作差比较法有理数大小比较作商比较法综合方法有理数的基本概念※※※有理数的定义：⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数（按定义分类）正分数分数有限小数和无限循环小数负分数另一种定义：能够表示成分数n m n nm 与,0(≠均为整数且互质），称为有理数.※※※ 有理数的性质：（1）具有顺序性：任意两个有理数a 与b ，在b a b a b a <=>,,三种关系中，有且仅有一种是成立的； （2）具有稠密性：任意两个有理数之间都有无穷多个有理数；（3）四则运算具有封闭性：有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数.※※※ 数轴、相反数、倒数、负倒数数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可；一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不是都代表有理数；数轴的引用使数与直线上的点联系起来，这是数与形的初步结合，数形结合是学习数学的一个重要方法.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数.特别地，0的相反数是0；相反数是成对出现的，不能单独存在，例如-5不能叫做相反数，而应说-5是5的相反数；如果a 与b 互为相反数，则有0a b =+，反之亦然.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数.倒数： 乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数 ；,a b 互为倒数，则有1ab =，反之亦然.；倒数是它本身的数是1±，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数.负倒数：乘积为－1的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；,a b 互为负倒数，则有1ab =-，反之亦然.※※※ 科学记数法、近似数与有效数字科学记数法：把N 写成10n a ⨯（其中110a ≤<）的表示方法叫科学记数法.近似数： 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，直到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.【例1】我来检测基本概念！（1）请你说出一个常见的不是有理数的数；（2）请你找找最大的负整数和最大的负数； （3）（第17届江苏省竞赛题）数轴上有A 、B 两点，如果A 点对应的数是-2，且A 、B 两点间的距离为3，那么B 点对应的数是多少？（4）（07北京中招课标卷改编）－3的负倒数是 ；（5）若a 与4b互为相反数，且b ≠0，则a 的负倒数的是 ；（6）相反数与倒数互为相反数的有理数是 .<分析>：在基础班和提高班设置此题的主要目的是请老师能帮助孩子们系统的复习或学习一遍前面的基础知识.您可以采用多种形式让孩子们进入有理数的思想环境，可根据自己班级的情况采用提问式、学生讲解等多种形式调动课堂！（1）π，无限不循环小数不是无理数 ； 针对本班级情况适当复习基础知识中的“按定义分类的有理数框架”； （2）最大的负整数是－1，最大的负数不存在，它比0小，且无限接近0 . 同理最小的正整数是1，没有最小的正数和最小的整数 ；（3）1和－5 ；本题帮助教师考察学生正确画出数轴的能力，同时请您根据本班情况以提问的方式将有关数轴的基础知识复习一下； （4）13，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；正数的负倒数是负数，负数的负倒数是正数； （5）4b；（6）1和－1，一般对于这类题目我们考虑的对象是：1、－1和0，逐一验证.【巩固】（1）（北大附中2005-2006学年初一年考试）倒数等于它本身的有理数是___1±____，平方是4的数是__2±_____；（2）在0和－1之间有没有负数？若有，有多个？（有无数个.）（3）全体整数的和是 0 ，绝对值不大于2004的所有有理数的和是0 ，这些数字的乘积是 0 ；（4）一个数大于它的相反数，则这个数是 正数 ；（5）若m 的相反数是最大的负整数，n 是绝对值最小的有理数，则m+n= 1 ； （6）是整数而不是正数的是 零和负整数 .（7）a b c--+；+-的相反数是：a b c（8）绝对值是它本身的数是：非负数 .这样的题目有很多，您可以让孩子们自己出这类题目，帮助他们加深理解.对于基础班的孩子，请教师在基础知识上多花些时间！【例2】（07北京中招课标卷改编）国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积为260000平方米，将260000用科学记数法表示（保留三位有效数字）.<分析>： 2.60×105 . 此类的题目是中考的必考题目，所以学生在此多加用心，很容易将它吃透.【巩固】用四舍五入法，按括号内的要求求出下列各数的近似值：（1）4.79651(精确到百分位) 4.80 ；（2）4.79651(精确到0.1) 4.8 ；（3）479651(精确到百位) 4.797×105；（4）47.9651 (保留三位有效数字) 48.0 ；（5）19823960(保留六位有效数字) 1.98240×107；（6）0.035741(精确到万分位) 0.0357 ．【例3】（第16届希望杯1试）以下四个论断中不正确的是（）A. 在数轴上，关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数．B. 两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称．C. 两个有理数不等，则它们的绝对值不等．D. 两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等．<分析>： C中互为相反数的两个数不相等，但是它们的绝对值是相等的.有理数的运算※※※有理数的加、减、乘、除、乘方对有理数的四则运算法则，要本着“先定符号，后绝对值”的顺序运算，养成良好习惯.有理数运算仍然满足加法交换律和结合律两大定律和乘法交换律、分配率、结合律三大定律.计算的每一步都要有根据，切忌想当然，自己“创造”定律、公式等计算.（1）有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；较小的绝对值；③一个数同0相加，仍得这个数.（2）有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11 .（3）有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.（4）有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1(0)a b a bb÷=⨯≠；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.（5）有理数的乘方求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数.当n为奇数时，()n na a-=-；而当n为偶数时，()n na a-= .特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.(-2)7表示7个-2相乘，而-27则表示7个2相乘积的相反数.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，任何不为0的数的0次幂都是“1”.（6）基本运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.实际解题时需要认真观察算式结构灵活决定运算顺序.【例4】（2006年扬州市中考题）电车公司抢修队，乘汽车去检修线路，如果电车在一条直路上开，向东行驶记为正，向西行驶记为负，某天这辆抢修车从A地出发一天所走的路程为：（单位：千米）-15，-2，5，-1，10，-3，-2，12，-5，6（1）收工时这辆车距A地有多远？（2）若每千米耗油0.33m，问：这一天这辆车共耗油多少3m？<分析>：（1）（-15）＋（-2）＋（5）＋（-1）＋（10）＋（-3）＋（-2）＋（12）＋（-5）＋（6）＝5（千米）. 计算小技巧：负数和负数相加，正数和正数相加，而后求两数的和．＋｜6｜｝×0.3=18.3( 3m ).【巩固】A 市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A 市 某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：2.3 、-7.2 、-6.1 、8 、9.3 、 -1.8 （单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？<分析>：毛收入：（3+8+7+8+10+2）×2=76（元）， 汽油成本：（2.3+|-7.2|+|-6.1|+8+9.3+|-1.8|）×0.1×4=13.88（元），收入62.12元. 他最后距离出发点的距离：|2.3-7.2-6.1+8+9.3-1.8|=4.5（公里）.【例5】（07北京中招课标卷）北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）A. 28ºCB. 29ºCC. 30ºCD. 31ºC<分析>：答案为B. 当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”，（基准数尽量选用这组数的中间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用30为“基准数”，那么平均值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）÷7=29（ºC ）； 其总和=30×7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（ºC ）.【巩固】10箱苹果，如果每箱以20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，每箱的质量记录如下：+2，+1，0，-1，-1.5，-0.5，+1，+1.5，+1，-0.5，这10箱苹果的总质量是多少千克？<分析>： +2+1+0-1-1.5-0.5+1+1.5+1-0.5=3（千克），总质量：20×10+3=203（千克），若进一步计算 平均质量时我们还可以这样算：20+3÷10=20.3（千克）.【巩固】 如果两数相加，其和小于每一个加数，则两数一定是 两个加数同为负数【巩固】（1）0,0a b ><，则a b - ＞ 0；（2）0,0a b <>，则a b - ＜ 0；（3）0,0a b <<，则()a b -- ＜ 0；（4）0,0a b <<，且||||a b <，则a b - ＞ 0.【例6】（1）如果0,0ac bc b><，且()0a b c ->，试确定,,a b c 的符号.（2）用“＞”或“＜”填空① 如果0,0ab ac c><，那么b 0 ；② 如果0,0abb c><，那么ac 0 . （3）如果0ac <，那么下面的不等式：22330,0,0,0,0a ac a c ac a c c<<<<<，中必定成立的有哪几个？<分析>：（1）0bc <说明,b c 异号，那么0c b<；又因为0ac b>，所以0a <；因为()0a b c ->，所以0b c -<，进而得b c <，且0bc <，所以0,0b c <>. （2）①b ＜ 0 ；② 那么ac ＜ 0 . （3）必定成立的有330,0,0a ac a c c<<<【巩固】 设0m <，则31m - ＜ 21m +，1(3)5m - ＜ 1(3)6m -.【巩固】,,a b c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ A ）A. 0a >，,b c 同号B. 0,,b a c >异号C. 0,,c a b >异号D. ,,a b c 同号【巩固】若,,,a b c d 是互不相等的整数，且9abcd =则a b c d +++的值为（ ） A ． 0 B ．4 C ．8 D ．无法确定．<分析>： ,,,a b c d 4个数是1,3±±，所以a b c d +++=0.【例7】（1）计算()()2007200822-+-的结果为：（2）计算：20072007(0.125)(8)⨯-<分析>：（1）()()200720082007200820072007200722222222-+-=-+=⨯-=（2）从乘方的概念入手讲解，可得答案为－1.在此帮助学生巩固规律：221(1)1,(1)1nn --=-=-，（n 为正整数）.【巩固】 有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20072007ab+=？<分析>：由有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，可以得到：1a =±，0b =，（1）若1a =，20072007a b +=1；（2）若1a =-，20072007ab +=－1.【巩固】当n 为 奇 数时，()()n2n110-+-=；当n 为 偶 数时，()()n2n112-+-=【例8】 用简便办法计算：（1）111111(1)()2346936-+-+--÷- （2）2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯（3）()222213110.332⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-÷⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）（四中06学年期中测验）计算20052)1(5]6)2()436183(212[-⨯÷⨯-⨯-+-（5）11121314151617(1)(1)|1|(1)(1)(1)[(1)].-----+---+----<分析>： （1）原式11111(1)(36)1812964364923469=-+-++⨯=-+-++=；（2）原式2125(13130.340.34)13.343377=-⨯+⨯+⨯+⨯=-.（3）原式23931002(41)254162100293⎛⎫⎛⎫=--⨯-÷=⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）原式53131513[()24](1)[(9418)](1)28645252=-+-⨯⨯⨯-=-+-⨯⨯-=-.（5）原式11111113=----++-=-【例9】 2001减去它的12，再减去剩余数的13，再减去剩余数的14，……依次类推，一直到减去剩余数的12001，问最后剩余的数是什么？<分析>：最后剩余的数是：111112320002001(1)(1)(1)...(1)2001 (1234)20012342001⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=.【巩固】 （第十届“希望杯”竞赛题）1111(1)(1)(1).....(1)_______1998199719961000----= <分析>：1199711996119951,1,1,199819981997199719961996-=--=--=…19991.10001000-=-把这999个式子相乘, 99911119991【巩固】 计算：11111(1)(1)(1)(1)(1)4916252500-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-<分析>：原式=11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233445050-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+13243546495122334455505013243546495115151223344555050250100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯=-＝（-）（-）（-）（-）（-）【例10】（人大附中单元练习）若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式2cd m a b m--+的值为多少？<分析>：当2m =时，2211()40422cd cd m a b m a b m m --+=-++=-+=；当2m =-时，2211()40322cdcdm a b m a b m m --+=-++=--=.【巩固】 (2004年海淀区中招考试题改编)已知,a b 互为相反数,,c d 互为倒数,x 的绝对值等于2,试求:220032003()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值.<分析>： 由题意可知0,1,2a b c d x +===±, 所以当2x =时, 220032003()()()x a b cd x a b cd -+++++-=1 当2x =-时, 220032003()()()x a b cd x a b cd -+++++-=5【巩固】 有理数a 和b ，已知5a +与21b -互为相反数，且1b +的相反数等于它本身，则a 和b 的值分别为多少？<分析>：1b +的相反数等于它本身，那么10b +=，1b =-；5a +与21b -互为相反数，则(5)(21)0a b ++-=， 可得2a =-.有理数大小的比较（1）利用数轴比较大小：右边的数总比左边的大；负数＜0＜正数；两数同负，绝对值大的反而小.（2）做差比较法：0 a b a ba b a ba b a b>⇔->⎧⎪=⇔-=⎨⎪<⇔-<⎩（3）做商比较法常用来比较两正数的大小：10,011aa bbaa b a bbaa bb⎧>⇔>⎪⎪⎪>>=⇔=⎨⎪⎪<⇔<⎪⎩。
