2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(陕西卷) Word版(有答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ)理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->,则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后,种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+。

若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点，则FM FNA ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年安徽，理1，5分】i 为虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】由题意()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限，故选B ．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．（2）【2015年安徽，理2，5分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）cos y x = （B ）sin y x = （C ）ln y x = （D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，B 、C 项均不是偶函数，故排除B 、C ，A 、D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D项不存在零点，故选A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．（3）【2015年安徽，理3，5分】设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题． （4）【2015年安徽，理4，5分】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项渐近线方程为2214y x -=，即2y x =±，故选C ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． （5）【2015年安徽，理5，5分】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选D ．【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． （6）【2015年安徽，理6，5分】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C 【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为DX ，则8DX =，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差()22212264D X DX -==⨯，所以其标准差为226416⨯=，故选C ． 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 （7）【2015年安徽，理7，5分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A ）13+ （B ）23+ （C ）122+ （D ）22 【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，1322sin 6022ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=，所以四面体的表面积3212232BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+，故选B ． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．（8）【2015年安徽，理8，5分】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =， 2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4a b BC -⊥【答案】D【解析】依题意，()22BC AC AB a b a b =-=+-=，故2b =，故A 错误，222a a ==，所以1a =，又()2224222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯︒=，所以1a b ⋅=-，故B ，C 错误；设BC 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，所以()4a b BC +⊥，故选D ．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．（9）【2015年安徽，理9，5分】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】由()()2ax b f x x c +=+及图像可知，x c ≠-，0c ->；当0x =时，()200bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=， 所以0bx a=->，所以0a <．故0a <，0b >，0c <，故选C ． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及()0f 的符号是解决本题的关键．（10）【2015年安徽，理10，5分】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【解析】由题意，()()sin f x x ωϕ=A +()0,0,0A ωϕ>>>，22T πππωω===，所以2ω=，则()()sin f x x ωϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()()sin 206f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+时，()f x 取得最大值．要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与6π比较近，-2与56π-比较近，所以当0k =时，6x π=，此时00.526π-=，2 1.476π-=，当1k =-时，56x π=-，此时520.66π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以()()()220f f f <-<，故选A ．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年安徽，理11，5分】731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 （用数字填写答案）．【答案】35【解析】由题意()732141771rrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．（12）【2015年安徽，理12，5分】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 ．【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即()22416x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为3y x =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆心的半径为r ，则圆到直线距离的最大值()2204424613D d r -=+=+=+=+-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（13）【2015年安徽，理13，5分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 ． 【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时， 171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a ，n 的值是解题的关键，属于基础题． （14）【2015年安徽，理14，5分】已知数列{}n a 是递增的等比数列，249a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于 ． 【答案】21n -【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅==⎩，解得11a =，48a =或者18a =，41a =，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，48a =，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和()111221112n n n n a q S q --===---． 【点评】本题考查等比数列的性质，数列{}n a 的前n 项和求法，基本知识的考查．（15）【2015年安徽，理15，5分】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 __．①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==． 【答案】①③④⑤【解析】令()3f x x ax b =++，求导得()23f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以()3f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则()()()233311f x x x x '=-=+-，易知，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在[]1,1-上单调递减，所以()()1132f x f b b =-=-++=+极大，()()11320f x f b b ==-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2015年安徽，理16，12分】在ABC ∆中，4A π=，6AB =，AC =D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．解：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠223626cos 4π=+-⨯⨯1836(36)=+--90=，所以a =．又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠===， 由题设知04B π<<，所以cos B = 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ===-【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． （17）【2015年安徽，理17，12分】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==．（2）χ的可能取值为200，300，400，22251(200)10A P A χ===；31123232353(300)10A C C A P A χ+===； 136(400)1(200)(300)1101010P P P χχχ==-=-==--=． 故χ的分布列为13200300400350101010E χ=⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． （18）【2015年安徽，理18，12分】设*n N ∈，n x 是曲线231n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221221n n T x x x -=，证明14n T n≥． 解：（1）2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +，从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-，令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++． （2）由题设和（1）中的计算结果知22222213211321...()()...()242n n n T x x x n--==， 当1n =时，114T =；当2n ≥时，因为2222212221(21)(21)1221()2(2)(2)2n n n n n n x n n n n n -------==>==； 所以211211()...2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． （19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F ．（1）证明：11//EF B C ；（2）求二面角11E A D B --余弦值．解：（1）由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，于是1//B C 面1A DE ， 又1B C ⊂面11B CD ，面1A DE面11B CD EF =，所以1//EF B C ．（2）11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 为x 轴，y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，111(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D ，而E 点为11B D 的中点，所以E 点的坐标为()0.5,0.5,1．设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =，而该面上向量()10.5,0.5,0A E =，()10,1,1A D =-，由11n A E ⊥，11n A D ⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，()1,1,1-为其一组解，所以可取()11,1,1n =-，设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量()110.5,0.5,0A B =，()10,1,1A D =-，由此同理可得2(0,1,1)n =所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1212||26||||332n n n n ==⨯．【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解：（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OM k =，从而5210b a =，进而得225,2a b c a b b ==-=，、故255c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB 的方程为15x y bb +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+，又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k =-，从而有117441,71x b b b +-++=⎨+⎪=解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数2()f x x ax b =-+．（1）讨论函数(sin )f x 在22ππ(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24az b =-满足1D ≤时的最大值．解：（1）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<，[(sin )](2sin )cos ,22f x x a x x ππ'=--<<，因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<，①2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值； ②2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值；③对于22a -<<，在(,)22ππ-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =，02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π≤<时，函数(sin )f x 单调递增．因此22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．（2）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立．由此可知，0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22ππ-上的最大值为00||||D a a b b =-+-．（3）1D ≤即为||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a zb =-≤．取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=，由此可知，24a zb =-满足条件1D ≤的最大值为1．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．。

数学试卷 第1页（共32页） 数学试卷 第2页（共32页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共60分）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求（本大题共12小题,每小题5分,共60分）. 1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N = ( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) A .93 B .123 C .137D .1673.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++,据此函数可知,这段时间水深（单位:m ）的最大值为 ( )A .5B .6C .8D .104.二项式*(1)()nx n +∈Ν的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .7B .6C .5D .45.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( ) A .3π B .4π C .2π+4D .3π+46.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A .|a b |≤|a ||b |B .|a -b |≤||a |-|b ||C .(a +b )2=|a +b |2D .(a +b )(a -b )=a 2-b 28.根据如图所示的程序框图,当输入x 为2 006时,输出的y =( )A .2B .4C .10D .289.设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .p r q =<C .q r p =>D .p r q =>10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12 万元B .16 万元C .17 万元D .18 万元 11.设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ,若||1z ≤,则y x ≥的概率为( )A .3142π+ B .112π+ 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共32页） 数学试卷 第4页（共32页）C .112π- D .1142π- 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A .1-是()f x 的零点B .1是()f x 的极值点C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上第二部分（共90分）二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. 13.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .14.若抛物线22(0)y p xp =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p = .15.设曲线xy e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 .16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共70分）. 17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ()a =与n (cos ,sin )A B =平行. （Ⅰ）求A ;（Ⅱ）若a =2b =,求ABC △的面积.18.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,π2BAD ∠=,1AB BC ==,2AD =,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到1A BE △的位置,如图2.（Ⅰ）证明:CD ⊥平面1A OC ;（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ,求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值.19.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100（Ⅰ）求T （Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ,原点O 到经过两点(,0)c ,(0,)b 的直线的距离为12c .（Ⅰ）求椭圆E 的离心率;（Ⅱ）如图,AB 是圆M :225(2)(1)2x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.21.（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列,x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的各项和,其中0x >,n ∈Ν,2n ≥.（Ⅰ）证明:内有且仅有一个零点（记为n x ）,且,其各项和为()n g x ,比较()n f x 与()n g x 的大小,并加以证明.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,AB 切O 于点B ,直线AO 交O 于D , E 两点,BC DE ⊥,垂足为C . （Ⅰ）证明:CBD DBA ∠=∠;（Ⅱ）若3AD DC=,BC =求O 的直径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点,数学试卷 第5页（共32页） 数学试卷 第6页（共32页）x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为ρθ=. （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程;（Ⅱ）P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知关于x 的不等式||b x a +<的解集为{|24}x x <<. .数学试卷 第7页（共32页）数学试卷 第8页（共32页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题 1.【答案】A【解析】由2{|}{0,1},M x x x M ==⇒=N {|lg 0}N {|01}x x x x =≤⇒=<≤所以[0,1]MN =．【提示】求解一元二次方程化简M ，求解对数不等式化简N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】初中部女教师的人数为11070%77⨯=；高中部女教师的人数为40150%60⨯=，∴该校女教师的人数为7760137+=，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数． 【考点】收集数据的方法．4.【答案】B【解析】二项式(1)n x +的展开式的通项是1r rr n T C x +=，令2r =得2x 的系数是2n C ，因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =5 / 16【提示】由题意可得215nC =，解关于n 的方程可得． 【考点】二项式定理的应用． 5.【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为2π1π1222V =+⨯⨯+⨯g 几何体3π4=+【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】A【解析】22cos20cos sin 0ααα=⇒-=(cos sin )(cos sin )0αααα⇒-+=所以sin cos sin =cos αααα=-或【提示】由22cos2cos sin ααα=-，即可判断出． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 7.【答案】B【解析】因为||||cos ,||||a b a b a b a b =<>≤r r r r r r r rg ，所以选项A 正确；当a r 与b r 方向相反时，||||||a b a b -≤-r r r r不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-r r r r r r 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 20062004x x ==，满足条件02002x x ≥=， 满足条件02000x x ≥=， ……满足条件00x x ≥=，数学试卷 第11页（共32页）数学试卷 第12页（共32页）满足条件0x ≥， 不满足条件010x y ≥=， 输出y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当2x =-时不满足条件0x≥，计算并输出y 的值为10. 【考点】程序框图 9.【答案】B【解析】p f ==ln22a b a b q f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()11()()ln 22r f a f b ab =+==函数()ln f x x =在(0,)+∞上单调递增，因为2a b+2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以q p r >=即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元7 / 16【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 顿，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值． 【考点】简单线性规划的应用4242π12.【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b a c a=-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠， 所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A【提示】可采取排除法．分别考虑A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断是否为非零整数，数学试卷 第15页（共32页）数学试卷 第16页（共32页）即可得到结论．【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题 13.【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为a ，由题意和等差数列的性质可得201510102a +=⨯ 解得5a =【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列 14.【答案】【解析】抛物线22(0)y pxp =>的准线方程是2p x =-， 双曲线221x y -=的一个焦点1(F ， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点， 所以p-=p =9 / 16∴点()1,1P【提示】利用x y e =在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程17.【答案】（Ⅰ）π3A = 2sin sin 3B =，从而sin B =，数学试卷 第19页（共32页）数学试卷 第20页（共32页）又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+πsin 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33B B =+ 所以ABC ∆的面积为1sinbc A =18.【答案】（Ⅰ）见解析 ，取1)1(0n =，，，11 / 16332ET =（分钟）（Ⅱ）0.91数学试卷 第23页（共32页）数学试卷 第24页（共32页）（Ⅱ）221x y +=【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程13 / 1622.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求O的直径．数学试卷第27页（共32页）数学试卷第28页（共32页）15 / 1623.【答案】（Ⅰ）22(3x y +=（Ⅱ）()3,0P24.【答案】（Ⅰ）31a b =-⎧⎨=⎩数学试卷第31页（共32页）数学试卷第32页（共32页）。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )A. B. C. D.2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.23.已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.5.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )8.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .14.(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.D 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,也可借助数轴或韦恩图解决.2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.3.C 设{a n}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得a n=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.方法总结已知条件中有具体的a n、S n的值时,通常用基本元素法处理,即在a1、d、n、a n、S n这5个量中知三求二.4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为=.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-=.5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴①或②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为×πR3,即π=×πR3,解得R=2.故其表面积为×4π×22+3××π×22=17π.选A.7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0<x<x0时, f '(x)<0;当x0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1.故选D.8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c>b c,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴b c-1>a c-1,又ab>0,∴ab·b c-1>ab·a c-1,即ab c>ba c,B错;易知y=log c x是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D错;由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;x=,y=6,此时x2+y2>36,输出x=,y=6,满足y=4x.故选C.10.B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),则x1==,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.11.A 如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连结AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60°,其正弦值为.选A.疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置或它们相对正方体中的棱、对角线的相对位置关系.为此适当扩形是常用策略.向右、向前扩展(补形)两个全等的正方体,则m、n 或其平行线就展现出来了.12.B 依题意,有(m、n∈Z),∴又|φ|≤,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,由f(x)在上单调,得≥-,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈, f(x)不单调,不合题意.故选B.解后反思本题要求ω的最大值,正面入手运算量偏大,不妨对ω取特殊值进行检验.二、填空题13.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.14.答案10解析T r+1=(2x)5-r·()r=25-r·,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.15.答案64解析设{a n}的公比为q,于是a1(1+q2)=10,①a1(q+q3)=5,②联立①②得a1=8,q=,∴a n=24-n,∴a1a2…a n=23+2+1+…+(4-n)==≤26=64.∴a1a2…a n的最大值为64.16.答案216 000解析设生产产品A x件,产品B y件,依题意,得设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为此时E max=216 000.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(Ⅱ)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,S△ABC=absin C.18.解析(Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分)(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分)又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,,4).则cos <n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.(12分)方法总结对于立体几何问题的求解,首先要熟练掌握平行与垂直的判定与性质,尤其是面面垂直的证明,寻找平面的垂线往往是几何证明的关键.19.解析(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)解后反思本题重点考查相互独立事件的概率、简单随机变量的分布列及期望.求解本题的关键在于认真分析题干中的事件,确定事件间的相互关系,根据分析内容,找到解题的突破口.20.解析(Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)解后反思本题重点考查圆锥曲线的几何性质,以及直线与椭圆、圆的位置关系,尤其是对“弦长”问题的考查,更是本题考查的重点.解决此类问题,除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外,对计算能力的要求也非常高.21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a).(2分)(i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln ,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(8分)(Ⅱ)不妨设x1<x2.由(Ⅰ)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x 2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x2-(x2-2).(10分)设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g '(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.(12分)22.证明(Ⅰ)设E是AB的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O的半径,所以直线AB与☉O相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)23.解析(Ⅰ)消去参数t得到C 1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(5分)(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分)a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分)所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.(9分)所以|f(x)|>1的解集为.(10分)。

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2018年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。

) 1、设z=，则∣z ∣=（）A 。

0B.C.1D.2、已知集合A={x|x 2-x —2>0｝,则A =（）A 、{x ｜-1〈x 〈2｝B 、｛x ｜—1≤x ≤2｝C 、｛x ｜x<-1｝∪{x ｜x>2}D 、｛x|x ≤-1｝∪｛x ｜x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n ｝的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4，a 1=2,则a 5=（)建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例A、—12B、—10C、10D、125、设函数f（x)=x3+（a—1）x2+ax。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）理科综合能力侧试一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列叙述错误．．的是A.DNA与ATP中所含元素的种类相同B.一个tRNA分子中只有一个反密码子C.T2噬菌体的核酸由脱氧核糖核苷酸组成D.控制细菌性状的基因位于拟核和线粒体中的DNA上2. 下列关于植物生长素的叙述,错误．．的是A.植物幼嫩叶片中的色氨酸可转变为生长素B.成熟茎韧皮部中的生长素可以进行非极性运输C.幼嫩细胞和成熟细胞对生长素的敏感程度相同D.豌豆幼苗切段中乙烯的合成受生长素浓度的影响3. 某同学给健康实验兔静脉滴注0.9%的NaCl溶液(生理盐水)20mL后，会出现的现象是A.输入的溶液会从血浆进入组织液B.细胞内液和细胞外液分别增加10mLC.细胞内液Na+的增加远大于细胞外液Na+的增加D.输入的Na+中50%进入细胞内液,50%分布在细胞外液4. 下列关于初生演替中草本阶段和灌木阶段的叙述，正确的是A.草本阶段与灌木阶段群落的丰富度相同B.草本阶段比灌木阶段的群落空间结构复杂C.草本阶段比灌木阶段的群落自我调节能力强D.草本阶段为灌木阶段的群落形成创造了适宜环境5. 人或动物PrP基因编码一种蛋白(PrP c),该蛋白无致病性。

PrP c的空间结构改变后成为PrP Bc(朊粒)，就具有了致病性。

PrP Bc可以诱导更多PrP c的转变为PrP Bc，实现朊粒的增——可以引起疯牛病.据此判——下列叙述正确的是A.朊粒侵入机体后可整合到宿主的基因组中B.朊粒的增殖方式与肺炎双球菌的增殖方式相同C.蛋白质空间结构的改变可以使其功能发生变化D. PrP c转变为PrP Bc的过程属于遗传信息的翻译过程6. 抗维生素D佝偻病为X染色体显性遗传病，短指为常染色体显性遗传病，红绿色盲为X染色体隐性遗传病，白化病为常染色体隐性遗传病。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+， 解得2λ=． 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。