2019-2020学年高中数学学科会议专题讲座 立体几何一轮复习建议 新人教版.doc

2、文科复习不必在空间角上浪费时间，关键 要把空间平行和垂直关系的论证捋清楚，对于 文科生来说，立体几何的得分比理科生更困难 些。（需要注意的是空间直角坐标系、空间中 两点间的距离文科生是要求的）
（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）一个四 面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视 图可以为
一、考试说明分析
（ 2 ）以立体几何的上述定义、公理和定理为出 发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与 判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两 个平面互相垂直.
“立体几何”
高三第一轮复习建议
成都七中 肖国红
立体几何是高中数学的重要组成部分， 每一次课程改革这个板块都作出了一些调整 和变化，（上上次课改引进了空间向量，上 次课改有了三视图，没了三垂线）但是立体 几何的核心内容永远不会改变，老师们对这 部分内容也是熟烂于心，对于这块无论是新 课的教学还是高三的复习，都有一套自己的 教学方法和经验。
一、考试说明分析
空间向量与立体几何（文科不作要求） （ 5 ）能用向量语言表述线线、线面、面面的平 行和垂直关系. （ 6 ）能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的一些定理（包括三垂线定理）. （ 7 ）能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在 研究几何问题中的应用.
一、考试说明分析
空间向量与立体几何（文科不作要求） （ 1 ）了解空间向量的概念，了解空间向量的基 本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. （ 3 ）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能 用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （4）了解直线的方向向量与平面的法向量.

2019-2020年高考数学一轮总复习 10.8 立体几何综合问题教案 理 新人教A 版典例精析题型一 线面、面面平行与垂直【例1】 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ；(3)求二面角B －DE －C 的大小【解析】方法一：(综合法)(1)设AC与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点.连接EG ，GH ，又H 为BC 的中点，所以GH 12AB.又EF 12AB ，所以EFGH.所以四边形EFHG 为平行四边形. 所以EG ∥FH.而EG ⊂平面EDB ，所以FH ∥平面EDB.由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，所以EF ⊥BC.而EF ⊥FB ，所以EF ⊥平面BFC ，所以EF ⊥FH ，所以AB ⊥FH.又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，所以FH ⊥BC.所以FH ⊥平面ABCD. 所以FH ⊥AC.又FH ∥EG ，所以AC ⊥EG.又AC ⊥BD ，EG∩BD＝G ，所以AC ⊥平面EDB.(3)EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，所以BF ⊥平面CDEF.在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ，则∠FKB 为二面角B －DE －C 的一个平面角.设EF ＝1，则AB ＝2，FC ＝2，DE ＝ 3.又EF ∥DC ，所以∠KEF ＝∠EDC.所以sin ∠EDC ＝sin ∠KEF ＝23.所以FK ＝EFsin ∠KEF ＝23，tan ∠FKB ＝BF FK ＝ 3. 所以∠FKB ＝60°.所以二面角B －DE －C 为60°.方法二：(向量法)因为四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC.又EF ∥AB. 所以EF ⊥BC ，又EF ⊥FB ，所以EF ⊥平面BFC.所以EF ⊥FH ，所以AB ⊥FH.又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，所以FH ⊥BC.所以FH ⊥平面ABCD.以H 为坐标原点，为x 轴正向，为z 轴正向，建立如图所示坐标系.设BH ＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0).D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).(1)设AC 与BD 交点为G ，连接GE ，GH ，则G(0，－1,0)，所以＝(0,0,1)，又＝(0,0,1)，所以∥.GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，所以FH ∥平面EBD.(2) ＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，＝0，所以AC ⊥GE.又AC ⊥BD ，EG∩BD＝G ，所以AC ⊥平面EDB.(3) ＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2,0)，设平面BDE 的法向量为n1＝(1，y1，z1).则n1＝－1－y1＋z1＝0，n1＝－2－2y1＝0，所以y1＝－1，z1＝0，即n1＝(1，－1,0).＝(0，－2,0)， ＝(1，－1,1).设平面CDE 的法向量为n2＝(1，y2，z2)，则n2＝0，y2＝0，n2＝0, 1－y2＋z2＝0，z2＝－1，故n2＝(1,0，－1).cos 〈n1，n2〉＝＝12×2＝12， 所以〈n1，n2〉＝60°，即二面角B －DE －C 为60°.【点拨】(1)本题主要考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算能力.(2)空间角、空间的平行与垂直是高考必考内容之一，处理方法为推理论证或借助向量知识解决分析几何问题.【变式训练1】已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离都相等，则正确的结论是( )A.平面ABC 必不垂直于αB.平面ABC 必平行于αC.平面ABC 必与α相交D.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内【解析】选D题型二 空间角求解【例2】 (xx 浙江)在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.(1)求二面角A′－FD －C 的余弦值；(2)若点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A′重合，求线段FM 的长.【解析】(1)取线段EF 的中点H ，连接A′H，因为A′E＝A′F 及H 是EF 的中点，所以A′H ⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF ，及A′H ⊂平面A′EF，所以A′H⊥平面BEF.如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A′(2,2,22)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0). 故＝(－2,2,22)， ＝(6,0,0).设n ＝(x ，y ，z)为平面A′FD 的一个法向量，所以取z ＝2，则n ＝(0，－2，2).又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1).故cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33. 所以二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，则M(4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A′重合，所以CM ＝A′M，故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(22)2，得x ＝214，经检验，此时点N 在线段BC 上. 所以FM ＝214. 【点拨】(1)本例主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力.(2)折叠问题是立体几何中的一个重要题型，解题中要将折叠前后的图形相互联系，使得解题有章可循.【变式训练2】已知二面角α－l －β为60°，平面α内一点A 到平面β的距离为AB ＝4，则B 到平面α的距离为____________.【解析】2.题型三 线面位置探索性问题【例3】已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2.(1)求PC 与平面PBD 所成的角；(2)在线段PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.【解析】如图建立空间直角坐标系D －xyz ，因为PD ＝AD ＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，O(1,1,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，P(0,0,2).(1)在正方形ABCD 中，OC ⊥DB.因为PD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥OC.又因为DB∩PD＝D ，所以OC ⊥平面PBD.所以∠CPO 为PC 与平面PBD 所成的角.因为＝(0,2，－2)，＝(1,1，－2)，所以cos 〈，〉＝＝32， 所以PC 与平面PBD 所成的角为30°.(2)假设在PB 上存在点E ，使PC ⊥平面ADE. 则＝λ.因为＝(2,2，－2)，所以＝(2λ，2λ，－2λ)，而＝(－2,0,2)，所以＝(2λ－2,2λ，2－2λ).要PC ⊥平面ADE ，即PC ⊥AE ，即＝8λ－4＝0，即λ＝12，所以E(1,1,1)， 所以存在点E 且E 为PB 的中点时PC ⊥平面ADE.【点拨】对于存在性问题，一般先假设存在，若能求出符合条件的解，则存在，若不能求出符合条件的解，则不存在.【变式训练3】ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，又SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SAB 所成二面角的正切值为 . 【解析】22. 题型四 立体几何综合问题【例4】圆柱OO1内有一个三棱柱ABC －A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径.(1)求证：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)设AB ＝AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC －A1B1C1内的概率为p.①当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；②记平面A1ACC1与平面B1OC 所成的角为θ(0°＜θ≤90°).当p 取最大值时，求cos θ的值.【解析】(1)因为A1A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以A1A ⊥BC.因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC.又AC∩A1A＝A ，所以BC ⊥平面A1ACC1，而BC ⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(2)①设圆柱的底面半径为r ，则AB ＝AA1＝2r ，故三棱柱ABC －A1B1C1的体积V1＝12AC ·BC ·2r ＝ACBCr. 又因为AC2＋BC2＝AB2＝4r2.所以AC ·BC≤AC2＋BC22＝2r2，当且仅当AC ＝BC ＝2r 时等号成立. 从而V1≤2r3，而圆柱的体积V ＝πr2·2r ＝2πr3，故p ＝V1V ≤2r32πr3＝1π， 当且仅当AC ＝BC ＝2r ，即OC ⊥AB 时等号成立.所以p 的最大值等于1π. ②由①可知，p 取最大值时，OC ⊥AB.于是，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz(如图)，则C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r,2r).因为BC ⊥平面A1ACC1，所以＝(r ，－r,0)是平面A1ACC1的一个法向量.设平面B1OC 的法向量n ＝(x ，y ，z)，取z ＝1，得平面B1OC 的一个法向量为n ＝(0，－2,1)，因为0°＜θ≤90°，所以cos θ＝|cos 〈n ，〉|＝＝|2r5×2r |＝105. 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想.【变式训练4】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2).有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；②将容器侧面水平旋转时，水面也恰好过点P；③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满.其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)【解析】②④.总结提高空间向量和空间坐标系的引入，大大降低了学生对空间想象能力和推理能力的要求，因此，运用向量法解决立体几何题，是同学们需引起足够重视和彻底掌握的地方.由此，也可体会到向量法的魅力所在！。

高三第一轮复习指导：数学立体几何学习方法一、逐渐提高逻辑论证能力论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。

符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。

切忌条件不全就下结论。

其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出。

二、立足课本，夯实基础直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。

例如：三垂线定理。

定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。

但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。

掌握好定理有以下三点好处：（1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

（2）培养空间想象力。

（3）得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。

对后面的学习也打下了很好的基础。

三、“转化”思想的应用我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。

例如：（1）两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。

斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

（2）异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。

而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

（3）面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。

而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。

同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

（4）三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

2019-2020学年高三数学一轮复习立体几何教案教学目标了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；教学重难点柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式的使用教学参考教材,教参,学案，优化探究授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、主干知识梳理1．侧面积公式：S=直棱柱侧，S=正棱锥侧，S=正棱台侧，S=圆台侧，S=圆柱侧，S=圆锥侧．2．体积公式：V=长方体= ，V=柱体，V=锥体，V=台体．3．球：V=球体，S=球面．二、基础自测自评1．若一个球的体积为π34，则它的表面积为_______．2．已知圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积是．3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为23π，则圆锥的体积为3cmD．v≤40 km/B．v＞40 km/ D．v≤40 km/h D．a＋c＞b学生课前预习师生共同回顾主干知识通过小题巩固公式的记忆及使用教学过程设计 教 学 二次备课三、典例分析【例1】（1）一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2，则(1)圆台高 为 (2)截得此圆台的圆锥的母线长为 ．（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 .（3）三棱柱的一个侧面面积为S ，此侧面所对的棱与此面的距离为h ，则此棱柱的体积为 ．【例2】 例2如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥；（3）求三棱锥1B EFC V -的体积．四、课堂小结：了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；练习：1．一个球的外切正方体的全面积等于26cm ，则此球的体积为 .2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．课外作业 优化探究变式训练1教 学 小 结C DB FE D 1C 1B 1A A 1。