一填空题(每小题4分,共20分)
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一.填空题(每小题4分,共20分)
1. 9dx 2. 210xy 3. 0 4. 10,4(答10,4也对) 5. 0xyz
二.单项选择题(每小题4分,共20分)
1. C 2. B 3. A 4. B 5. B
三.解答题(每小题6分,共24分)
1. 解:证明存在性 设5()1fxxax,则()fx在0,1上连续,且 (0)10f,(1)0fa,由闭区间上连续函数的零点定理知,方程510xax至少有一个实根,介于0与1之间. (3分)
唯一性(反证法) 设方程在0,1内有两个不同的实根1x和1x,即12()()0fxfx.由罗尔定理知,必存在一点12(,)xx,使'4()50fa,显然矛盾,故方程在0,1内只有一个实根.(6分)
注:由'4()50fxxa,()fx单调增加,证明方程只有一个实根者,也给3分.
2. 解:2211112.21dyttdxtt (3分)
22222311()1dytddydxtdtdxdtttdxt(6分)
3. 解:对1()arccos2fxdxxC求导得21()21fxx (2分)
故有221()xdxxxdxfx =1222(1)(1)xdx=3222(1)3xC (6分)
4. 解:令2ux,则dxdu,当1x时,1u;当3x时,1u. 从而有
3111(2)()fxdxfudu (3分)
=0110()()fudufudu=01210(1)uuduedu=173e (6分)
四.(9分)
设(0,0,)CZ为Z轴上任一点,则ABC的面积
12SACXAB =1102121ijkZ=215252ZZ (5分)
2110222525dSZdZZZ,当0dSdZ时,得15Z.当Z在15附近变动时,S都增大,故知当C的坐标为10,0,5时,ABCS取最小值且min305S. (9分) 注:从25124()2525SZ看出当15Z时ABCS取最小值者给满分.
五.(9分)
解:211arctan1arctanxdxxdxx =12111arctan(1)xdxxxx (5分)
=211lim()41bbxdxxx =21ln2limln421bbb
=1ln242 (9分)
六.(12分)
(1)分别对yax和lnyx求导,得'2ayx和'12yx.
由于两曲线在点00(,)xy有公共切线,故有00122axx,得021xa.
将021xa分别代入两曲线方程,得022111ln2yaaa,
于是有1ae,2021xea,20011yaxee,
从而所求切点为2,1e. (4分)
(2)两曲线与x轴围成的平面图形的面积为
12222011()62yAeeydye (8分)
(3)旋转体体积
2222011()(ln)eexVxdxxdxe
=22221lnln2421eeexxxdx =2 (12分)
七.(6分)
证明:因()0fa,'()fxM,由拉格朗日中值定理得
'()()()()()fxfxfafxa (,)ax
()Mxa (3分)
从而有21()()()2bbaafxdxMxadxMba (6分)