圆的计算和证明练习(二)

1 1、已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．

2、已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为55，求该圆的方程．

3、求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程．

解1、 方法一 设圆的方程为：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①

将P、Q的坐标分别代入①，得 4D－2E＋F＝－20 ②D－3E－F＝10 ③

令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0， ④

由已知|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程④的两根．

∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ⑤

解②③⑤联立成的方程组，

得 D＝－2E＝0F＝－12或 D＝－10E＝－8F＝4.

故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.

方法二 求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. ①

∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a－1)，

又圆C的半径r＝CP＝a－42＋a＋12 . ②

由已知圆C截y轴所得的线段长为43，而圆C到y轴的距离为|a|.

r2＝a2＋4322，

代入②并将两端平方，

得a2－6a＋5＝0，

解得a1＝1，a2＝5.

∴r1＝13，r2＝37.

2 故所求的圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.

解2、 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则圆心C(a，b)到x轴与y轴距离为|b|，|a|.

由条件②得圆C被轴所截得劣弧所对的圆心角为90°，

从而圆C截x轴所得弦长为2r，所以r2＝2b2.

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（）

专题07圆的有关计算与证明问题

【考点1】圆中有关角的计算问题

【例1】（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为 ．

【例2】（2019•温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（𝐸𝐷𝐹̂）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．

【考点2】切线的有关线段计算问题

【例3】（2019•舟山）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）

A．2 B．√3

C．√2 D．12

【例4】（2019•台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）

A．2√3 B．3 C．4 D．4−√3

【考点3】扇形与弧长的有关计算问题

【例5】（2019•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）

A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm

【例6】（2019•绍兴）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2√2，则𝐵𝐶̂的长为（ ）

A．π B．√2π C．2π D．2√2π

【考点4】圆锥的有关计算问题

【例7】（2019•湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（

）

A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2

【例8】（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）

圆的有关计算与证明(50题)

一、单选题

1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的

面积是()

A.12πB.6πC.4πD.2π

2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直

径向外作半圆．若AB=4,BC=5，则阴影部分的面积是()

A.414π-20B.412π-20C.20πD.20

3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O是这段弧所在圆

的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m，则AC的长为()

A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm

4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个

等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()

A.14πcm2B.13πcm2C.12πcm2D.πcm2

·1·5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为

12的正方形，曲线DA1B1C1D1A2⋯

是由多段90°的圆心角的圆心为C，半径为CB1；C1D1的圆心为D，半径为DC1⋯,DA1、A1B1、B1C1、

C1D1⋯的圆心依次为A、B、C、D循环，则A2023B2023�的长是()

A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π

6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部

分的面积是()

A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-47.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半圆上，CD=DB，连接OC,CA,OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1,△OBE的面积为S2，

2022中考数学圆综合大题证明切线的两种常用方法

类型1 直线与圆有交点

方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切

线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．

【例1】 如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．

1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD.

(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．

2．(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD

的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长；

(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．

3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC

边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC. (1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．

第 1 页类型2 不确定直线与圆是否有公共点

方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距

离相等．

【例2】 如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相

切．

4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC

相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．

5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，

DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.

(1)求证：AC是⊙D的切线；

(2)求线段AC的长．