例谈能量守恒定律的应用

例谈能量守恒定律的应用
魏国荣
(江苏省南菁高级中学,江苏江阴 214400)
能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为别的形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中其总量不变,这就是能量守恒定律.能量守恒定律不仅是自然界普遍遵守的规律,也是研究自然科学的强有力的武器.
能量守恒的思想始终贯穿整个高中的物理教学,同时也是高考的重点与热点之一.运用能量守恒定律处理问题时,首先要熟悉常见的能量形式:机械能、内能、电磁能等;其次要理解常见的能量转化形式:如克服重力(弹力)做功由动能转化为重力(弹性)势能、克服阻力做功或通过碰撞由机械能转化为内能、克服安培力做功由机械能转化为电能、再通过电流做功转化为焦耳热等,更为重要的是要认真分析题中所给出的物理过程或物理现象,仔细推敲每一个过程或现象中能量如何转化,这是分析解决问题和提高解题能力的有效途径之一.1
能量向何处去
图1
例1.如图1所示,光滑绝缘杆上套有两个完全相
同、质量都是m 的金属小球a 、b,a 带电荷量为q (q >0),b 不带电.M 点是ON 的中点,且OM =M N =L ,整个装置放在与杆平行的匀强电场中.开始时,b 静止在杆上M N 之间的某点P 处,a 从杆上O 点以速度v 0向右运动,到达M 点时速度为3
4v 0
,再到P 点与b 球相碰并粘合在一起(碰撞时间极短),运动到N 点时速度恰好为零.求:
(1)电场强度E 的大小和方向;(2)两球碰撞中损失的机械能;(3)a 球碰撞b 球前速度v 的大小.
本题的研究对象为小球a 、小球b.过程分析是:第1个过程小球a 在电场力的作用下做匀减速直线运动,第2个过程a 球与b 球碰撞(碰撞过程中动量和电荷量守恒),第3个过程a 球与b 球结合成一个整体在电场力作用下减
速至N 点速度为零.能量分析:初状态动能为1
2
mv 02,末
状态动能为0,损失的动能向何处去?一是克服电场力做功转化为a 球增加的电势能,二是碰撞过程中转化为内能.
解析:(1)对a 球由动能定理:
-EqL =
12
m (34v 0)2-12mv 02,得E =7mv 02
32qL
,场强方向向左.
(2)设碰撞过程中损失的能量为$E,由能量守恒得1
2
mv 02=Eq #2L +$E,得 $E =116
mv 02
.(3)设a 球碰撞前的速度v ,由动量守恒和能量守恒
得:
mv =2mu, 12mv 2=12
(2m)u 2+$E,解得 v =
12v 0
.图2例2.如图2所示,固定
的水平光滑金属导轨,间距为L ,左端接有阻值为R 的电阻.处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中,质
量为m 的导体棒与固定弹簧
相连,放在导轨上,导轨与导体棒的电阻均可忽略.初始时
刻,弹簧恰好处于自然长度,导体棒具有水平向右的初速度v 0.在沿导轨往复运动的过程中,导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触.
(1)若导体棒从初始时刻到速度第1次为零时,弹簧的
弹性势能为E p ,则这一过程中安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少?
(2)导体棒往复运动,最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中,电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少?
本题所涉及到的研究对象是导体棒、金属弹簧.过程分析:第1个过程,导体棒在弹簧弹力和安培力作用下,以速度v 0向右做减速运动,至弹簧压缩到最短时速度减为0.第2过程,导体棒在弹力和安培力作用下向左运动至弹簧伸长到最长时,速度减为0,以后来回往复运动直至最终静止在弹簧处于原长的地方.
能量分析:在第1个过程中,导体棒的初动能为1
2
mv 02,末动能为0.损失的动能一方面通过克服弹力做功转化为弹簧的弹性势能;另一方面通过安培力做功转化为电能,再通过电流做功转化为焦耳热Q ,故由能量守恒
1
2mv 02=E p +Q 1,得W 1=Q 1=12
mv 02-E p .
综观全部过程,只要导体棒运动,就要克服安培力做功,就有焦耳热生成.所以由导体棒和弹簧组成的系统机械能不断减小,表现在弹簧伸长的最大值或压缩的最大值在不断减小.每当经过弹簧处于原长时,导体棒的动能再一次不断减小,最后静止,速度为0,安培力为0,则弹簧的弹力必为0,以保证导体棒的合外力为0,故静止在原长处.至此初动能全部转化为焦耳热.由能量守恒得
)
56)Vol.29No.11(2008) 物 理 教 师 PH YSICS T EACHER
第29
卷第11期
2008年
Q =
1
2
mv 02.2
能量从何处来
图3
例3.在场强为B 的水平匀强磁场中,一质量为
m 、带正电q 的小球在O 静止释放,小球的运动曲线如图3所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到z 轴距离的2倍,重力加速度为g.求:
(1)小球运动到任意位置P(x ,y )的速率v.
(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离y m .(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为E(E >mg q
)的匀强电场时,小球从O 静止释放后获得的最大速率v m .
本题研究对象为小球.过程1分析:小球在重力与洛伦兹力作用下做曲线运动.由其受力特点可知,其轨迹既不为圆,也不为抛物线,但至最低点时速度为水平方向,由题意可知,在最低点可看做半径为2y m 的圆周运动的一部分.过程1的能量分析:小球初动能为0,从初位置到最低点的过程中,动能越来越大.洛伦兹力不做功,只有重力做功.故小球的机械能守恒,通过重力做功将重力势能转化为动能.
第(1)问与第(2)问的解答如下:(1)由动能定理:mgy =12
mv 2,得v =2gy .
(2)设最低点的速度大小为v m ,则由动能定理及圆周运动的规律
mgy m =12mv m 2
, Bqv m -mg =m v m 22y m ,
得 y m =2m 2g
B 2q
2.
图4
过程2分析:小球在重力、电场力、洛伦兹力作用下做曲线运动,由于电场力大于重力,小球向左上方偏转,其轨迹如图4.
过程2能量分析:小球在至最高点的过程中,动能不断增大,电场力做正功,电势能减小;重力
做负功,重力势能增加.由于电场力大于重力,减小的电势能大于增加的重力势能.其减小的电势能一方面转为增加的重力势能,另一方面转为增加的动能.
第(3)问解答如下:
设小球上升的最大距离为y m ,最高点速度为v m .由能量守恒及圆周运动规律可知
qEy m =mgy m +
1
2
mv m 2,Bqv m +mg -Eq =mv m 22y m ,
得 v m =2(Eq -mg)
.
3 能量如何分配
例4.如图5所示,光滑水平面上质量为2m 的小球B
连接着轻质弹簧,处于静止状态;质量为m
的小球A 以初图5
速度v 0向右匀速运动,接着逐渐压缩弹簧并使B 运动,过一段时间,A 与弹簧分
离.设小球A 、B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失,弹簧始终处于弹性限度以内.若开始时在小球B 的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出),在小球A 与弹簧分离前使小球B 与挡板发生正撞,并在碰后立刻将挡板撤走.小球B 与固定挡板的碰撞时间极短,碰后小球B 的速度大小不变,但方向相反.设此后弹簧弹性势能的最大值为E pm ,试求E p m 可能值的范围.
本题研究对象是小球A 、小球B 及弹簧.过程分析:若没有挡板,小球A 以速度v 0向右运动,从接触弹簧起开始做减速运动.而小球B 则开始做加速运动,至弹簧压缩最短时,两球获得共同速度,弹簧上弹性势能最大.此后在弹力作用下A 球继续减速,B 球继续加速,至弹簧再次恢复原长时,B 球速度最大,而A 可能反向.如果B 球在某一时刻与挡板碰撞后向左运动,同样也是在两球获得共同速度时,弹性势能最大.能量分析:由于B 球与挡板碰撞无能量损失,故小球A 、小球B 与弹簧组成的系统机械能守恒,即总能量为12
mv 02.要使E p m 最大,则A 、
B 两球总动能应最小,那么获得共同速度时,总动量应为最小.反之亦然,要使E p m 最小,则A 、B 两球总动能最大,获得共同速度时,总动量最大.
解析:若无挡板,设弹簧再次恢复原长时两球的速度分别为v A 、v B ,则由动量守恒和机械能守恒
mv 0=mv A +2mv B ,12mv 02=12mv A 2+1
2#2mv B 2,
得 v A =-13v 0,v B =2
3v 0
.设B 球的大小为v B 1时与挡板相碰,碰后E pm 最大,则A 、B 两球的总动能最小,总动量也应最小.则应有碰前
mv 0=mv A 1+2mv B 1,且mv A 1=2mv B 1,
即v B 1=
14v 0<2
3v 0
.碰后A 、B 两球矢量和为0,当弹簧压缩至最短时,总
动能为0,初动能全部转化为弹性势能,E pm =1
2mv 02为最
大值.当弹簧再次恢复原长,即当v B 2=2
3v 0
时与挡板相
碰,碰后A 、B 两球的矢量和最大,当弹簧压缩至最短时,A 、B 两球的动能最大,则E p m 有最小值.m (-
1
3
v 0)+2m (-23v 0)=(m +2m)u,12mv 02=12
(m +2m )u 2+E pm ,得 E pm =127mv 02,所以 127mv 02[E p m [12
mv 02.
(收稿日期:2008-06-24)
)
57)第29卷第11期2008年 物 理 教 师 PHYSICS T EACHER
Vol.
29No.11
(2008)。