2012年高考必做客观题——函数与导数题

臣翟　萼　

０湖南长沙长郡中学赵攀峰　

函数的图象与性质　

（★★★★）必做１定义在正实　数集Ｒ＋Ａ的函　）满足下列条件：　①存在常数ａ（Ｏ＜ａ＜１），使得厂（。）＝　１；　②对任意实数ｍ，当　∈Ｒ　时，有　Ａｘ　）＝，　）．　（１）求证：对于任意正数　，Ｙ　ｙ）：　ｌ厂（　）＋厂（ｙ）；　（２）￣ｉＥ明；厂（　）在正实数集上单调　递减：　（３）若不等式厂（１ｏｇ：（４－ｘ）＋２）一　＿厂（１ｏ岛（４　）　）≤３恒成立，求实数０的取　值范围．　破解思路本题以抽象函数为　背景，考查函数的性质．第１问利用条　件结合指数函数的性质可证；第２问　通过构造　ｌ＝ｘ２ｔ（ｔ＞１），再运用第ｌ问的　躺　嚣耱　静　帮　强ｌ躺瓣　篪《髑　鬓辩《　

结论证明：第３问先利用函数的单调　性“脱”　再分离ｏ　，结合均值不等　式求ａ的取值范围．　精妙解法　（１）因为　，ｙ均为正　数．且０＜ａ＜１．根据指数函数性质可　知，总有实数ｍ，ｎ使得ｘ＝ａｍ，ｙ＝ａｎ，于是　ｌ厂（１　）＝　。　１扩）＝　ｃｒ　）＝（，ｎ＋ｎ　。）＝ｍ＋ｎ，　又　）　），）　）＋厂（　）＝　口）＋　。）：　ｍ＋ｎ，所　）　）　）．　（２）任设　１，　２∈Ｒ　，　ｌ　２，可令　＝　（ｔ＞１），ｆ：ｎ　（　＜０）．则由（１）　厂（　１）一　ｆ（ｘ　）　）ｆ（ｘ　）－－ｆ（ｘ　）＋，（　）－厂（ｘ２）－－ｆ（ｔ）＝　＿厂（　）＝　Ⅱ）＝　＜０，口叭　）＜厂（　２）．所以　）在正实数集上单调递减．　（３）令ｌｏ　（４　）＝￡，原不等式化为　＿厂（ｔｚ＋２）－ｆ（８ｔ）≤３，其ｔ＞Ｏ．因蝴　）一　，（ｙ）　）　（÷）　（÷）　。）＝１（０＜　１），不等式可进一步化　（　ｔ２＋　２）≤　ｆ（ａ）．又由讹）单调递减　以等≥　对于　＞０恒成立．而—ｔ２＋２：一ｔ＋一１≥　８　８　４ｔ　２＼／寺‘　，　仁　时，　

ｆ　±　１：一　．所以　≤——Ｌ，　＼８ｔ］ｒａｉｎ　２Ｘ／－２－　２Ｘ／２－’　又０＜０＜１．得０＜ｎ≤　２．　极速突击对于抽象函数问题，　我们心中要有具体的初等函数与之　对应．比如此题中的抽象函数便可与　指赭函暂时应　

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观　性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用．因此，我们要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象　变化的一般规律，函数的图象是函数关系的一种表现形式，它从“形”的方面显示了函数的性质，刻画了函数的变化　规律，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性．高考总是以几种基本初等函数的图象为载体来考查函数图象．

　基本初等函数　…　

（★★★★★）必做２　已知函数　）：　＋（６—８）ｘ一。一　（ａ＃Ｏ），当　∈　（一３，２）时，ｆ（ｘ）＞０；当　∈（一∞，一３）Ｕ　（２，＋　）时，　）＜Ｑ　（１）求厂（　）在［０，１］内的值域；　（２）ｃ为何值时，不等式　＋６　＋　Ｃ≤０在［１，４］上恒成立？　破解思路第１问，一３，２是方程　似　＋（６—８）Ｘ－－０，一　＝０的两根，得　）的　解析式；第２问，不等式恒成立问题的　常见解法有数形结合法、分离参数与　主元法．　精妙解法　由题意得　一３和ｘ＝２　是函数＿厂（　）的零点且ａ＜０，则　Ｊ　Ｏ－－ａ’（一３）　（　一８）’（一３）一ｏ＿　，解得　【Ｏ＝－ａ・２２＋（６—８）・２一　， －ｊ’所以　）一３ｘＭ３ｘ＋１８．　｛，一’所　）一　．　【ｂ＝３．　（１）函数厂（　）的对称轴为　＝一—　，　结合图象知，其在［０，１］内单调递减．　＇－３　＝０时，ｙ＝１８；当ｘ＝ｌ时，ｙ＝１２，所以　）在［０，１］内的值域为［１２，１８］．　（２）法１：－￣ｇ（ｘ）＝－３ｘ。＋５ｘ＋ｃ，则　ｇ（ｘ）在ｆ　，＋。。）上单调递减．要使　ｇ（　）≤０在［１，４］上恒成立，则需　ｇ　）～＿ｇ（１）≤０，即一３＋５　≤０，解得　Ｃ≤－２．　法２：不等式一３　２＋５　＋ｃ≤０在［１，　４］上恒成立，即Ｃ＜￣３ｘＺ－５ｘ在［１，４］上　恒成立．令ｇ（ｘ）＝３ｘ２－５ｘ，显然ｇ　）在　［１，４］上单调递增，则ｇ（　）　＝ｇ（１）＝　一２，即当ｃ≤一２时，不等式　＋６　≤０　在［１，４］上恒成立．　误点警示　（１）易忽视对二次项　系数的讨论；（２）不会用独立参数法　求取值范围．　（★★★★）必做３已知二次函　数ｇ（　）对任意实数Ｘ都￣ｚｇ（ｘ－１）＋　ｇ（１　）　２－　一１，且ｇ（１）＝－１．令厂（　）＝　ｇ　）＋ｍ　＋９（ｍ￣Ｒ，ｘ　（１）求宫　）的表达式；　（２）设１＜ｍ≤ｅ，Ｈ　）－－ｆ（ｘ）－（ｍ＋１）・　，证明：对任意　ｌ，　２∈［１，ｍ］，恒有　ＩＨ（ｘ。）－Ｈ（ｘ２）Ｉ＜１．　破解思路本题以二次函数为　背景．考查导数、不等式．第１问用待　定系数法求得ｇ（ｘ）；　第２问运用导数，构造函数、利用　函数的单调性证明．　精妙解法（１）￣ｇ（ｘ）＝ａｘ％ｂｘ＋ｃ，　所以ｇ（１—　）＋ｇ（　一１）＝２ａ（ｘ一１）＋２ｃ＝（　一　１）２－２，所以　÷，ｃ一１．　又ｇ（１）：一１，则ｂ＝－÷，所以ｇ　）＝　＿＿１一　一１．　２　２　’（２）由（１）知，（　）＿ｇ　＋）＋ｍｌｎｘ＋　詈＝　２＋ｍ１眦，日（　）＝　１　２＋ｍｌ似一（ｍ＋　１ｈ，所以日，　）：．（ｘ－１）（ｘ－ｍ），所以对　Ｖｘ∈［１，ｍ］，日　）＝　（　一１）（ｘ－－ｍ）　≤　０，所ｒ＇ＡＨ（ｘ）在［１，ｍ］内单调递减．　于是１Ｈ（　。）一Ｈ（　：）ｌ≤日（１）一　日（咖吉ｍ２－ｍｌｎｍ＿１２，ＩＨ（ｘ　）－Ｈ（ｘ：）ｌ＜　１甘１ｍ２－ｍｌｒｉｍ－１＜ｌ铮　ｍ一１ｎｍ一　２　２　２　＿三＿　２ｍ　（ｍ）＝　ｍ－ｌｎｍ一　（１＜ｍ≤　ｅ　，　…　＋　寻。　

（　一÷）　＋÷＞。，所以函数　ｃｍ　＝　１　ｍ—ｌｎｍ－＿三－在（１，ｅ］上是单调增函　２　２ｍ—‘　数，所　（ｍ）　（ｅ）　号－１—２３。　竺二　！　！　＜０．所以命题成立．　极速突击证明函数单调性的　方法：　１．定义法：设　１，　２∈Ａ＿Ｅｘ１　２；作　差厂（　，）－ｆ（ｘ：）（一般结果要分解为若干　个因式的乘积，且每一个因式的正或　负号能清楚地判断出）：判断正负号．　２（多项式函数）用导数证明：　若｜，（　）在某个区间Ａ内有导数，则　厂　（　）≥０（　∈Ａ）　厂（　）在Ａ内为增函　数：　尸　）≤０　∈Ａ）仁　）在Ａ内为减　函数　

二次函数作为最基本的初等函数，可以它为素材来研究函数的单调　性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；　作为抛物线，可以联系其他平面曲线讨论相互之间的关系．三个“二次”　一

直是高考数学的热点　导数及其应用　

（★★★★★）必做４　设函数　ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ是奇函数，它的图　象记为曲线Ｃ，Ｐ（１，ｌ厂（１））是曲线ｃ　ｔ－　的一点，以助切点与曲线Ｃ相切的直　线方程是Ｚ：　一２ｘ＋２．　（１）求函　）的解析式．　（２）过Ｐ与曲线Ｃ相切的直线除了　，还存在其他直线吗？若有，请再求　出一条来；若没有，请说明理由．　（３）是否存在这样的实数ｔ，使过　点Ｑ（１，￡）可以作三条直线与曲线ｃ？Ｈ　切？若存在，求出实数ｔ的取值范围；若　不存在。请说明理由．　破解思路“三次型”函数的导　数是二次函数．我们往往可以通过研　究二次函数的根的分布来解决此类　问题．　精妙解法（１　）—　，　由厂（　）是奇函数知．，（　）＝＿，（　）对一切　实数　恒成立．从而ｂ＝ｄ＝０。所以　ｆ（　）：似　＋ｃｘ，ｆ　（ｘ）＝３ａｘ　＋ｃ．点Ｐ在Ｚ　上，则村（１）＝０，即ａ＋ｃ＝０．　（１）＝　３帆－＿２，解得　ｌ，ｃ＝ｌ，所以＿厂（　）＝－－Ｘ　，ｆ　（　）：一３ｘ　＋１．　（２）存在其他切线ｍ过点　设切　点Ｔ（　０，一　＋　ｏ）且　ｏ≠ｌ，贝４　ｋｐｒ＝　，，（　。），即—－ｘ—￣＋　ｘｏ一３　。２＋１，，一２　１：　０，ＸＯ＝１（合去），或ＸＯ＝一　１，切点为　（一　，一詈），可得切线方程为　一４ｙ一　１＝Ｑ　（３）同（２），切点为Ｔ（ｘ０，　慨０），　则有　（　。），即　－－ｘ￣４－Ｘ广ｏ－ｔ＝－３小１，￡＝　一３Ｘ２ｏ＋１．设ｇ（ｓ）＝２ｓ３　３ｓ　＋ｌ－ｔ，三条　直线与曲线Ｃ相切，则函数ｇ（ｓ）＝２ｓ。一　３ｓ　＋１－ｔ必有三个不同的零点，也即　

５２　轴　器鞠　８　ｌ　ｌ　Ｏ　镑　

ｇ（ｓ）的极大值为正，极小值为负．由　ｇ　（ｓ）＝６ｓ　一　＝６ｓ（ｓ一１）知，ｇ（Ｓ）在　（一ｏ。，０），（１，＋。。）上递增，在（０，１）上　递减，则｛ｇ（ｏ）＞０，即ｆ　＞０，０　＜１，即　【ｇ（１）＜０，　【－ｔ＜Ｏ，　存在ｔ∈（０，１）使过ｐ点可以作三条直　线与曲线Ｃ相切．　误点警示求曲线的切线要注　意“过点Ｐ的切线”与“点Ｐ处的切线”　的差异，在过点Ｐ的切线中，点Ｐ不一　定是切点．也不一定在已知曲线上．　极速突击　求函　）图象上点　Ｐ（ｘ。，ｆ（ｘ。））处的切线方程的关键在于　确定该点切线处的斜率ｋ．由导数的　几何意义知　（　。），故当厂　（ＸＯ）存在　时，切线方程为　ｏ）　（　ｏ）（　ｏ）．　（★★★★★）必做５已知函数　，（ｘ）＝ｌｎ（２ａｘ＋１）＋　２－２眦（。∈Ｒ）．　（１）若ｘ＝２￣ｆ（ｘ）的极值点，求实　数ａ的值：　（２）若ｙ＝ｆ　）在［３，＋∞）上为增函　数，求实数ａ的取值范围；　（３）当　一÷时，方程厂（１　）＝　

．ｔ－—垒＿有实根．求实数６的最大　３　值．　破解思路本题考查运用导数　的工具性研究函数的性质及方程的　根．第１１＂－３利ｍｆ　（２）＝Ｏ求值；第２问由　厂（　）＞／０在区间［３，＋∞）上恒成立，分　类讨论求得ａ的取值范围：第３问先分　离ｂ＝ｘｌｎｘ＋ｘ　，再构造函数ｇ　）＝　ｌ眦慨２＿　３转化为求ｇ　）的值域．　精妙解法　（１　）＝　慨乙　

一２。：—ｘ［２ａｘ２＋（１－４ａ—）ｘ－（４ａ＝＋２）］．因　２ａｘ＋１　）４２ｘ＝２为ｆ（ｘ）的极值点，所　（２）－－０．　即　－２Ⅱ＝ｏ，解得锄又当。：ｏ时，　４叶１　（　）　一２），从而　＝２为厂（　）的极值　点．成立．　（２）因为＿厂（　）在区间［３，＋∞）　上为增函数，所以ｆ　（　）＝　ｘ［２ａｘ２＋（１－４ａ）ｘ一（４ａ２＋２）］　＞１０在区间　２ａｘ＋ｌ　［３，＋　）上恒成立．　①当　Ｏ时，ｆ　（　）　一２）１＞０在　［３，＋∞）上恒成立，所以　厂（　）在［３，＋。。）　上为增函数．故　０符合题意．　②当。≠０时，由函　（　）的定义　域可知．必须有２ａｘ＋ｌ＞Ｏ对　≥３恒成　立，故　０，所以２戳　＋（１　。　一（４ａ２＋２）　≥０　∈［３：＋ｏ。）上恒成立．　令ｇ（ｘ）＝２ａｘ＝＋（１－４ａ）ｘ一（４　＋２），　其对称轴为　：１一　，因为　０，所以１一　＜　，从而ｇ　）≥０在［３，＋∞）上恒成　立．只－￣ｇ（３）≥０即可．　因为ｇ（３）＝一４　＋６叶１　ｔ＞０，解得　—３－ｘ／７３≤ｎ≤—３＋ｖｑ３．　４　４　又　．所以０＜。≤　．综上　憾ｎ的取值范围为［。，　】．　

（３）若　一÷时，方　（１　）＝　

＋　可化为，ｌ眦一（１　）２＋（１　）：　ｂ　问题转化为ｂ＝ｘｌｎｘ－ｘ（１　）　（１一　ｘ）＝ｘｌｎｘ＋ｘ￣－ｘ　在（０，＋ｏ。）上有解，即求　函数ｇ　）　ｌ似帆２＿　的值域．　以下给出两种求函数ｇ　）值域的　方法．　法１：因为ｇ（ｘ）＝　（１　＋　—ｘ。），