1 考研线性代数知识框架图
()000,nTArAnAAAxxAxAAxAAAE可逆
的列（行）向量线性无关
的特征值全不为0
只有零解 ，
0总有唯一解
是正定矩阵
R12,siAppppnBABEABE
是初等阵存在阶矩阵使得 或
注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.
()0ArAnAAAAxA不可逆
0的列（行）向量线性相关
0是的特征值
有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量
注：()()0abraEbAnaEbAaEbAx
0有非零解=-
2 具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()
√ 关于12,,,neee：
①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量152p教材；
②12,,,neee线性无关；
③12,,,1neee；
④tr=En；
⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee线性表示.
行列式的定义 1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa1
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
第一章：行列式
考试内容：
行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理
考试要求：
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
第二章：矩阵
考试内容：
矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵等价 分块矩阵及其运算
考试要求：
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．
4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．
5．了解分块矩阵及其运算．
第三章：向量
考试内容：
向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
向量空间以及相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质
考试要求：
1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．
2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．
3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．
4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系
5．了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．
6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．
线代矩阵知识点总结
一、 矩阵的定义与基本性质
1. 矩阵的定义
矩阵是一个二维数组，其中的元素具有特定的排列方式。一般地，矩阵的元素用小写字母表示，而矩阵本身用大写字母表示。例如，一个矩阵A可以表示为：
A = [a11, a12, ..., a1n]
[a21, a22, ..., a2n]
...
[am1, am2, ..., amn]
其中，a_ij表示矩阵A的第i行、第j列元素。
2. 矩阵的基本性质
（1）相等性：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们具有相同的维度，并且对应位置的元素相等。
（2）加法：两个矩阵A和B的加法定义为它们对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵C。即C = A + B。
（3）数量乘法：矩阵A的数量乘法定义为将A的每一个元素乘以一个标量k，得到一个新的矩阵B。即B = kA。
（4）转置：矩阵A的转置是将A的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
（5）逆矩阵：对于方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB = BA = I（单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
二、 矩阵的运算与性质
1. 矩阵的加法
设矩阵A和B是同样维度的矩阵，则它们的加法定义为将对应位置的元素相加得到一个新的矩阵C。即C = A + B。
性质：
（1）交换律：矩阵加法满足交换律，即A + B = B + A。
（2）结合律：矩阵加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。 （3）零元素：对于任意矩阵A，存在一个全为0的矩阵0，使得A + 0 = 0 + A = A。
2. 矩阵的数量乘法
对于矩阵A和标量k，矩阵A的数量乘法定义为将A的每一个元素乘以k，得到一个新的矩阵B。即B = kA。
性质：
（1）分配律：矩阵的数量乘法满足分配律，即k(A + B) = kA + kB。
（2）结合律：矩阵的数量乘法满足结合律，即(k1k2)A = k1(k2A)。
考研数学线性代数知识点总结
线性代数是考研数学中的重要组成部分，对于很多考生来说，它具有一定的难度。但只要掌握了关键的知识点和方法，就能在考试中取得较好的成绩。以下是对考研数学线性代数的知识点总结。
一、行列式
行列式是线性代数中的基本概念之一。
1、 二阶和三阶行列式的计算方法要熟练掌握，通过对角线法则可以轻松计算。
2、 n 阶行列式的定义和性质需要理解清楚。例如，行列式的某一行（列）元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
3、 行列式按行（列）展开定理也是重点，它可以将高阶行列式转化为低阶行列式来计算。
二、矩阵
矩阵是线性代数的核心内容。
1、 矩阵的运算，包括加法、数乘、乘法以及矩阵的转置。要特别注意矩阵乘法的规则和不满足交换律的特点。 2、 逆矩阵的概念和求法至关重要。判断矩阵是否可逆，以及通过伴随矩阵或初等变换来求逆矩阵。
3、 矩阵的秩是一个关键概念，它反映了矩阵中线性无关的行（列）向量的个数。
4、 分块矩阵的运算和应用也需要掌握，它可以简化一些复杂矩阵的计算。
三、向量
向量是线性代数中的重要工具。
1、 向量组的线性相关性是常见考点。判断向量组是线性相关还是线性无关，以及理解相关和无关的性质。
2、 向量组的秩与极大线性无关组要弄清楚它们的概念和求法。
3、 向量空间的基、维数和坐标等概念也需要了解。
四、线性方程组
线性方程组是线性代数的重点应用。
1、 线性方程组有解的判定条件，通过系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来判断。
2、 齐次线性方程组基础解系的求法，要熟练掌握通过初等行变换将系数矩阵化为行最简形。 3、 非齐次线性方程组的通解结构，由一个特解加上齐次线性方程组的通解组成。
五、矩阵的特征值和特征向量
这部分内容在考研中经常出现。
1、 特征值和特征向量的定义和计算方法，通过求解特征方程来得到特征值，再代入方程求解特征向量。
2、 相似矩阵的概念和性质，相似矩阵具有相同的特征值。
