湖北省武汉市武昌区2018届高三元月调研考试数学(文)试题Word版含解析
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武昌区2018届高三年级元月调研考试文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，故.
2. 已知复数满足，则
A. B. C. D.
【答案】B
3. 奇函数在单调递增，若，则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据奇函数的性质有，故原不等式等价与，解得.
4. 设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. -3 B. -2 C. 1 D. 2
【答案】C
..................
5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的依次为2，2，5时，输出的为17，那么在框中，可以填入
A. ？ B. ？
C. ？ D. ？
【答案】B
【解析】输入，，判断否，，判断否，，判断是，输出，故选.
6. 函数的部分图像如图所示，给出以下结论：
①的周期为2；
②的一条对称轴为；
③在，
上是减函数；
④的最大值为A.
则正确结论的个数为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】由图可知，但这是最小正周期，周期应为，故①错误.函数的最大值为，故④错误.由于函数周期是，四分之一周期是，故函数的对称轴是，②错误.由图像可知③正确.故选.
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】有三视图可知，几何体为如下图所示的三棱锥，故体积为.
8. 在中，，，分别是角，，的对边，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由余弦定理得，化简得，再由余弦定理可得.
9. 已知点在双曲线上，轴（其中为双曲线的焦点），点 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】不妨设，两渐近线为，依题意有，
，，故离心率为.
10. 已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画出圆锥的截面如下图所示，设球的半径为，则，由勾股定理得，解得.故表面积为.
11. 过抛物线：的焦点的直线与抛物线C交于，两点，与其准线交于点，且，则
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】画出图像如下图所示，根据抛物线的定义，，根据相似三角形，结合已知有.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查共线向量等知识.由于抛物线的标准方程给出，所以先画出抛物线的图像，包括准线.画出图像后依题意画出直线的图像，这里需要尝试，根据向量共线的知识，可得到比值，结合抛物线的定义可以得到相似三角形，利用相似比可求得的长.
12. 已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则，依题意与在区间上有两个不同的交点，也即图像有两个不同的交点.，故在上递增，在上递减，且，，由于，故的最小值为，直到与图像相切时，观察选项可知，只有选项正确.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，已知零点求参数的取值范围.零点问题的一般方法是令函数值为零，然后变成两个函数图像的交点个数的问题来解决.本题中变为一条曲线和一条直线，其中曲线需要我们求导，利用导数求出单调性来画图像.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若，则________．
【答案】
【解析】原式，分子分母同时除以得到.
14. 设，，，则，，的大小关系是__________.
【答案】6
【解析】，而，故.
15. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则5个剩余分数的方差为________．
【答案】 【解析】依题意，解得.则方差为.
【点睛】本题主要考查茎叶图的分辨，考查平均数的计算，考查方差的计算.从茎叶图可以看出最低分是，最高分是，去掉这两个分数后，可利用平均数的公式列方程来求出的值.根据前面求出的值再利用方差的计算公式来计算方差.
16. 在矩形ABCD中，AB=2，AD=1.边DC上（包含D、C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】以为原点建立平面直角坐标系，则，设，则，，，故最小值为.
【点睛】本题主要考查向量运算，考查坐标法计算向量的数量积，考查二次函数求最值.由于题设所给的图形为矩形，这是一个很好的建系的模型，故以点为原点建立平面直角坐标系.建立坐标系后写出相关点的坐标，代入所求数量积，然后利用配方法求出最小值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分.
17. 已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】【试题分析】（1）利用公式，可求得数列的通项公式.（2）化简的表达式，由于它是由一个等差数列乘以一个等比数列组合而成，故用错位相减法来求其前项和.
【试题解析】
（1）当时，，所以.
当时，.
于是，即.
所以数列是以为首项，公式的等比数列.
所以.
（2）因为，
所以，
于是，
两式相减，得，
于是.
18. 如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】【试题分析】（1）取的中点，连接，利用等边三角形的性质，得到，通过计算证明，由此证明平面，从而得到平面平面.（2）利用（1）的结论，以为高，计算体积
【试题解析】
（1）取AC的中点O，连接BO，PO.
因为ABC是边长为2的正三角形，
所以BO⊥AC，BO=.
因为PA⊥PC，所以PO=.
因为PB=2，所以OP2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.
因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.
又OB⊂平面ABC，
所以平面PAB⊥平面ABC．
（2）因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，
所以.
由（1）知BO⊥平面PAC.
所以.
19. 在对人们的休闲方式的一次调查中，用简单随机抽样方法调查了125人，其中女性70人，男性55人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为性别与休闲方式有关系?
（3）在休闲方式为看电视的人中按分层抽样方法抽取6人参加某机构组织的健康讲座，讲座结束后再从这6人中抽取2人作反馈交流，求参加交流的恰好为2位女性的概率.
附： P（ ） 0.05 0.025 0.010
k 3.841 5.024 6.635
休闲方式
性别 看电视 运动 合计
女
男
合计
【答案】(1)答案见解析；(2)在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”.(3)0.4.
【解析】【试题分析】（1）根据题目所给已知条件填写好联表；（2）通过计算，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”. （3）按分层抽样，则男性有人，女性有人，通过列举法可求得基本事件总数有种，符合要求的有种，故概率为.
【试题解析】
(1) 列联表为：
休闲方式
性别 看电视 运动 合计
女 40 30 70
男 20 35 55 合计 60 65
125
（2）假设“休闲方式与性别无关”，计算
．
因为，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”.
（3）休闲方式为看电视的共60人，按分层抽样方法抽取6人，则男性有2人，可记为A、B，女性4人，可记为c，d，e、f.
现从6人中抽取2人，基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同的方法，恰是2女性的有cd、ce、cf、de、df、ef共6种不同的方法，故所求概率为．
20. 已知椭圆C：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线：与椭圆C交于两个不同的点A，B，求面积的最大值（O为坐标原点）．
【答案】(1)；(2).
【解析】【试题分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率和，列方程组，求出的值.由此求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理和判别式.根据弦长公式和点到直线距离公式，求得面积的表达式，最后利用基本不等式求最大值.
【试题解析】
（1）由题意，知考虑到，解得
所以，所求椭圆C的方程为.
