2020高考清华大学自主招生数学试题

属于中档题．
二、选择题
2．非等边三角形 ABC 中，BC＝AC，O，P 分别为△ABC 的外心和内心，D 在 BC 上且 OD
⊥BP，下列选项正确的是（ ）
A．BODP 四点共圆
B．OD∥AC
C．OD∥AB
D．DP∥AC
【考点】三角形五心． 菁优网版权所有
【分析】设 DO∩BP＝R，E 为 AB 中点，推导出∠DRP＝∠CEB＝90°，从而 O，R，E，
对照选项可能 a＝3 或 4， 故选：CD． 【点评】本题考查三角形的面积的求法，以及运算能力和判断能力，属于基础题．
7．P 为双曲线 ﹣y2＝1 上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下
列为定值的是（ ）
A．tanαtanβ
B．tan tan
C．S△PABtan（α+β）
D．DP∥AC
三、解答题
3．A，B，C 均为{1，2，3，…，2020}子集，且 A⊆C，B⊆C，问有序的（A，B，C）共有 多少？
四、选择题
4．a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|，令 A＝| ak|（ ）
A．A 可以等于 0 C．A 可以等于 10
B．A 可以等于 2 D．A 可以等于 12
5．P 为椭圆 + ＝1 上一点，A（1，0），B（1，1），求|PA|+|PB|的最值．
第 7 页（共 16 页）
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形三边
大小关系、三点共线，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
6．△ABC 三边均为整数，且面积为有理数，则边长 a 可以为（ ）
A．1
B．2

2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第1题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 已知x 2+y 2⩽1，求x 2+xy −y 2的最值．2、【来源】设a ，b ，c 均为大于零的实数，若一元二次方程ax 2+bx +c =0有实根，则（ ）． A. max {a,b,c }⩾12(a +b +c) B. max {a,b,c }⩾49(a +b +c) C. min {a,b,c }⩽14(a +b +c) D. min {a,b,c }⩽13(a +b +c)3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第13题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试|a →|⩽1，|b →|⩽1，|a →+2b →+c →|=|a →−2b →|，则|c →|的最值为( ) A. 最大值为4√2 B. 最大值为2√5 C. 最小值为0 D. 最小值为24、【来源】在△ABC 中，AC =1， BC =√3，AB =2，M 为AB 的中点，将△BCM 沿CM 折起，使得三棱锥B −ACM 的体积为√212，则折起后AB 的长可以为（ ）．A. 1B. √2C. √3D. 25、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第5题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为椭圆x24+y23=1上一点，A(1,0)，B(1,1)，求|PA|+|PB|的取值范围．6、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第7题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为双曲线x24−y2=1上一点，A(−2,0)，B(2,0)，令∠PAB=α，∠PBA=β，下列为定值的是()A. tan⁡αtan⁡βB. tan⁡α2tan⁡β2C. S△PAB tan⁡(α+β)D. S△PAB cot⁡(α+β)7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第2题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试非等边三角形ABC中，BC=AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上，OD⊥BP，下列选项正确的是()A. BODP四点共圆B. OD//ACC. OD//ABD. DP//AC8、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第3题已知集合A，B，C⊆{1,2,3,⋯,2020}，且A⊆C，B⊆C，则有序集合组(A,B,C)的个数是（）．A. 22020B. 32020C. 42020D. 520209、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第4题已知数列{a n }满足a 0=1，|a i+1|=|a i +1|(i ∈N )，则A =|∑a k 20k=1|的值可能是（ ）． A. 0B. 2C. 10D. 1210、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第6题 已知△ABC 的三条边长均为整数，且面积为有理数，则|AB |的值可能是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 411、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第8题甲、乙、丙三人一起做同一道题，甲说：“我做错了．”，乙说：“甲做对了．”，丙说：“我做错了．”，而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁可能做对了题目（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 没有人12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第9题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =√3，BC =1，PA→|PA →|+PB →|PB →|+PC →|PC →|=0→，以下正确的是（ ）．A. ∠APB =120°B. ∠BPC =120°C. 2BP =PCD. AP =2PC13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第10题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 lim n→∞∑arctan n k=12k 2=( )A. 34π B. π C. 3π2D. 7π314、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第11题从0∼9这十个数中任取五个数组成一个为五位数ABCDE （A 可以为0），则396|ABCDE 的概率是（ ）． A.1396B.1324C.1315D.121015、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第12题随机变量X (=1,2,3,⋯)，Y (=0,1,2)，满足P (X =k )=12k 且Y ≡X (mod3)，则E (Y )=（ ）． A. 47B. 87C. 127D. 16716、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第14题若存在x ，y ∈N ∗，使得x 2+ky ，y 2+kx 均为完全平方数，则正整数k 可能是（ ）． A. 2B. 4C. 5D. 617、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第15题 求值：sin⁡(arctan⁡1+arccos⁡√10+arcsin⁡√5)=（ ）．A. 0B. 12C. √22D. 118、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第16题已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱和底面夹角为β，则（）．A. cos⁡α+tan2⁡β=1B. secα+tan2⁡β=−1C. cos⁡α+2tan2⁡β=1D. secα+2tan2⁡β=−119、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第17题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试已知f(x)=2e xe x+e−x+sin⁡x，x∈[−2,2]，则f(x)上下界之和为．20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第18题已知函数f(x)的图象如图所示，记y=f(x)，x=a，x=t(a<t<c)及x轴围成的曲边梯形面积为S(t)，则下列说法正确的是（）．A. S(t)⩽cf(b)B. S′(t)⩽f(a)C. S′(t)⩽f(b)D. S′(t)⩽f(c)21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第19题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试定义数列{a n }，若∀n ∈N ∗，∃m ∈N ∗，使得S n =a m ，则称数列{a n }为“某数列”，以下正确的是( )A. a n ={1,n =12n−2,n ⩾2，数列{a n }为“某数列”B. a n =kn ，k 为常数，则{a n }为“某数列”C. 存在任意两项均不相同的某数列a n ，且对于任意n ∈N ∗，|a n |<√nD. 对任意等差数列{a n }，存在“某数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第20题求值：∫sin 2xsin 4x+cos 4x2πdx =（ ）．A. πB. √2πC. 2πD. √5π23、【来源】已知f(z)=z 10+z −10+12(z 5+z −5)，则（ ）． A. f(z)=0存在实数解B. f(z)=0共有20个不同的复数解C. f(z)=0复数解的模长都等于1D. f(z)=0存在模长大于1的复数解24、【来源】设多项式f(x)的各项系数都是非负实数，且f(1)=f ′(1)=f ′′(1)=f ′′′(1)=1，则f(x)的常数项的最小值为（ ）． A. 12B. 13C. 14D. 1525、【来源】《红楼梦》《三国演义》《水浒》《西游记》四部书分列在只有四层架子的书柜的不同层上，小赵、小钱、小孙，小李分别借阅了四部书中的一部，现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》陈列在第四层，则（）．A. 《水浒》一定陈列在第二层B. 《西游记》一定陈列在第一层C. 小孙借阅的一定是第三层的书籍D. 小李借阅的一定是第四层的书籍26、【来源】设数列{a n}的前n项和为S n=(−1)n a n+12n+n−3，且实数t满足(t−a n+1)(t−a n)<0，则t的取值范围是（）．A. (−34,11 4)B. (−34,11 5)C. (−35,11 4)D. (−35,11 5)27、【来源】已知实数a，b满足a3+b3+3ab=1，设a+b的所有可能取值构成的集合为M，则（）．A. M为单元素集B. M为有限集，但不是单元素集C. M为无限集，且有下界D. M为无限集，且无下界28、【来源】设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=0相切，则圆C 面积的最小值为（ ）． A. π5B. 2π5C. 4π5D. π29、【来源】设α，β为锐角，且cos⁡(α+β)=sin αsin β ，则tan⁡α的最大值为（ ）． A. √24B. √33 C. 1 D. √230、【来源】设函数f(x)=e x +a(x −1)+b 在区间[1,3]上存在零点，则a 2+b 2的最小值为（ ）． A. e2 B. e C. e 22 D. e 231、【来源】设复数z 满足|3z −7i |=3，令z 1=z 2−2z+2z−1+i，则|z 1|的（ ）．A. 最大值为83B. 最大值为73C. 最小值为43D. 最小值为2332、【来源】在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（ ）． A. 10B. 11C. 12D. 1333、【来源】设实数x 1，x 2，⋯，x 21满足0⩽x i ⩽1（i =1,2,⋯,21），则∑21i=1∑|x i −x k |21k=1的最大值为（ ）． A. 110B. 120C. 220D. 24034、【来源】已知实数x ，y ，z 满足{ 19x 3−13y 2−y =119y 3−13z 2−z =119z 3−13x 2−x =1，则（ ）．A. (x,y,z)只有1组B. (x,y,z)有4组C. x ，y ，z 均为有理数D. x ，y ，z 均为无理数35、【来源】使得nsin⁡1>1+5cos⁡1成立的最小正整数n 的值为（ ）． A. 3B. 4C. 5D. 636、【来源】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点为Z 1，Z 2，O 为坐标原点，若|z 1|=1，5z 12−2z 1z 2+z 22=0，则△OZ 1Z 2的面积为（ ）．A. 1B. √3C. 2D. 2√31 、【答案】见解析;2 、【答案】 B;C;D;3 、【答案】 B;C;4 、【答案】 B;C;5 、【答案】[4−√5,4+√5];6 、【答案】 A;C;7 、【答案】 A;D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;D;10 、【答案】 C;D;11 、【答案】 A;B;12 、【答案】 A;B;C;D;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 B;16 、【答案】 C;D;17 、【答案】 D;18 、【答案】 D;19 、【答案】 2;20 、【答案】 A;C;21 、【答案】 A;B;C;D;22 、【答案】 B;23 、【答案】 B;C;24 、【答案】 B;25 、【答案】 C;D;26 、【答案】 A;27 、【答案】 B;28 、【答案】 C;29 、【答案】 A;30 、【答案】 D;31 、【答案】 A;D;32 、【答案】 C;33 、【答案】 C;34 、【答案】 A;D;35 、【答案】 C;36 、【答案】 A;第11页，共11页。

2020年清华大学强基计划招生考试数学试题金石为开教研部整理1.已知122≤+y x ，22y xy x -+求的最值_________.2.非等边三角形ABC 中，AC BC =，P O ,分别为ABC ∆的外心和内心，D 在BC 上BP OD ⊥，下列选项正确的是（）.A.C.3.,B A 4.0=a A.A C.A 5.P 6.∆A.17.P 4β，下列为定值的是（）.A.βαtan tanB.2tan 2tanβαC.()βα+∆tan PAB S D.()βα+∆cos PAB S 8.甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（）.A.甲对B.对C.丙对D.以上说法均不对9.ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，3=AB ，1=BC0=+PC PB PA ，以下说法正确的是（）.A.︒=∠120APBB.︒=∠120BPC C.PCBP =2 D.PCAP 2=10.∞→n lim A.π4311.从39612.望()Y E 13.A.214.y x ,A.x 2+B.x y y x 4422++与可以均为完全平方数C.x y y x 5522++与可以均为完全平方数D.x y y x 6622++与可以均为完全平方数15.⎪⎭⎫ ⎝⎛++51arcsin 103arccos 1arctan sin =_________.16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为α，侧棱与底面夹角为β，问一个βtan 与αcos 的关系，设高为h ，底面边长为a ，余弦定理刻画αcos 即可.17.()x ee e xf x x xsin 2++=-，[]2,2-上()x f 上下界之和为_________.18.()x f 的图像如图所示，()t x a x x f ==,与直线，x 轴围成图形的面积为()t S ，问()t S '的最大值为_________，()x f '的最大值为__________.19.定义数列{}n a ，若*N n ∈∀，*N m ∈∃，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”，以下正确的是（）.A.{11222=≥-=n n n n a ，，，数列{}n a 为“某数列”B.kn a n =，k 为常数，则{}n a 为“某数列”C.忘记了D.任意的等差数列{}n a ，存在“某数列”{}n b ,{}n c ，使nn n c b a +=。

2020年清华大学强基计划数学试题共35道选择题，为不定项选择题．1．若221x y +，则22x xy y +-的取值范围是（）．A．3322⎡-⎢⎣⎦B．[]1,1-C．5522⎡-⎢⎣⎦D．[]2,2-2．设a ，b ，c 为正实数，若一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则（）A．{}()1max ,,2a b c a b c ++ B．{}()4max ,,9a b c a b c ++ C．{}()1min ,,4a b c a b c ++ D．{}(),m n 1,3i a b c a b c ++ 3.在非等边ABC △中，BC AC =，若O 和P 分别为ABC △的外心和内心，D 在线段BC 上，且满足OD BP ⊥，则下列选项正确的是（）．A．B ，D ，O ，P 四点共圆B．OD AC ∥C．OD AB∥D．PD AC∥4．已知集合{},,1,2,3,,2020A B C ⊆ ，且A B C ⊆⊆，则有序集合组(),,A B C 的个数是（）．A．20202B．20203C．20204D．202055．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk A a==∑的值可能是（）．A．0B．2C．10D．126．已知点P 在椭圆22143x y +=上，()1,0A ，()1,1B ，则PA PB +的最大值是（）．A．4B．4C．4+D．67．已知P 为双曲线2214x y -=上一点（非顶点），()2,0A -，()2,0B ，令PAB α∠=，PBA β∠=，下列表达式为定值的是（）．A．tan tan αβB．tan tan22αβC．()tan PAB S αβ+△D．()cot PAB S αβ+△8．甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”丙说：“我做错了．”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎了”，则根据以上信息可以推断（）．A．甲做对了B．乙做对了C．丙做对了D．无法确定谁做对了9．在Rt ABC △中，π2ABC ∠=，AB =1BC =，PA PB PC PA PB PC++=0 ，则下列说法正确的是（）．A．2π3APB ∠=B．2π3BPC ∠=C．2PC PB =D．2PA PC=10．求值：212lim arctan nn k k →+∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）．A．π2B．3π4C．5π4D．3π211．从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数abcde （a 可以等于0），则396abcde 的概率为（）．A．1396B．1324C．1315D．121012．随机变量()1,2,3,X = ，()0,1,2Y =，满足()12kP X k ==，且()mod3Y x ≡，则()E Y =（）．A．47B．87C．127D．16713．已知向量a ，b ，c 满足1a ，1b ，22++=-a bc a b ，则下列说法正确的是（）．A．c 的最大值为B．c 最大值为C．c 的最小值为0D．c 的最小值为214．若存在x ，*y ∈N ，使得2x ky +与2y kx +均为完全平方数，则正整数k 可能取值为（）．A．2B．4C．5D．615．sin arctan1arccosarcsin⎛+= ⎝（）．A．0B．12C．2D．116．已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱与底面夹角为β，则（）．A．2cos tan 1αβ+=B．2sec tan 1αβ+=-C．2cos 2tan 1αβ+=D．2sec 2tan 1αβ+=-17．已知函数()[]()e 2e sin 2,2exx x f x x x -=+∈-+，则()f x 的最大值与最小值的和是（）．A．2B．eC．3D．418．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x 的图像与直线x a =，()x t a t c =<<，x 轴围成图形的面积为()S t ，则下列说法正确的是（）．A．()()S t cf b <B．()()f S t a ' C．()()f S t b ' D．()()f S t c '19．我们称数列{}n a 为“好数列”，若对任意*n ∈N 存在*m ∈N ，使得n m a S =，其中1nn ii S a ==∑，则下列说法正确的是（）．A．若21,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨⎩，则数列{}n a 为“好数列”B．若n n a k （k 为常数），则数列{}n a 为“好数列”C．若{}n b ，{}n c 均为“好数列”，则n n n a b c =+为等差数列D ．对任意等差数列{}n a ，存在“好数列”{}n b ，{}n c ，使()*n n n a b c n =+∈N 20．22π440sin d sin cos xx x x=+⎰（）．A．πC．2π21.在ABC △中，1AC =，BC =2AB =，设M 为AB 中点，现将ABC △沿CM折起，使得四面体B ACM -的体积为212，则折起后AB 的长度可能为（）A．1D．222．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，若11z =，221212520z z z z +-=，则12OZ Z △的面积为（）A．1C．2D．23．使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 等于（）A．3B．4C．5D．624．已知实数x ，y ，z 满足323232111931119311193x y y y z z z x x ⎧--=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪--=⎪⎩，则（）A．(),,x y z 有1组B．(),,x y z 有4组C．x ，y ，z 均为有理数D．x ，y ，z 均为无理数25．设实数1221,,,x x x 满足()011,2,,21i x，则212111i k i k x x ==-∑∑的最大值为（）A．110B．120C．220D．24026．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（）A．10B．11C．12D．1327．设复数z 满足37i 3z -=，则2221iz z z -+-+的（）A．最大值为83B．最大值为73C．最小值为43D．最小值为2328．设α，β为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）A．24B．33C．129．已知函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为（）A．e2B．eC．2e 2D．2e 30．设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A．π5B．2π5C．4π5D．π31．已知实数a ，b 满足3331a b ab ++=，设a b +的所有可能值构成的集合为M ，则（）A．M 为单元素集B．M 为有限集，但不是单元素集C．M 为无限集，且有下界D．M 为无限集，且无下界32．已知数列{}n a 的前n 项和()1132n n n nS a n =-⋅++-，且实数t 满足()()10n n t a t a +--<，则t 的取值范围是（）A．311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．311,45⎛⎫- ⎪⎝⎭C．311,54⎛⎫- ⎪⎝⎭D．311,55⎛⎫- ⎪⎝⎭33．《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》和《西游记》四部书分列在四层架子的书柜的不同层上．小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部．现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》在第四层．则（）A．《水浒传》一定陈列在第二层B．《西游记》一定陈列在第一层C．小孙借阅的一定是第三层的书籍D．小李借阅的一定是第四层的书籍34．设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且()()()()11111f f f f ''''''====，则()f x 的常数项的最小值为（）A．12B．13C．14D 15．35．已知()1051051112f z z z z z ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（）A．()0f z =存在实数解B．()0f z =共有20个不同的复数解C．()0f z =复数解的模长均为1D．()0f z =存在模长大于1的复数解答案：（1）C（2）AD（3）AC（4）BC（5）BD （6）AC（7）AD（8）A（9）D（10）C (11)AD（12）C（13）C（14）D（15）AD （16）ABCD（17）A（18）C(19）D（20）ABD (21)A（22）C（23）B（24）C（25）B （26）A（27）A（28）CD(29）D（30）BC (31)B（32）A（33）B（34）CD（35）BC。