抽象函数定义域、值域、解析式

抽象函数的定义域总结解题模板1.已知 f ( x) 的定义域，求复合函数f [g x ] 的定义域由复合函数的定义我们可知， 要构成复合函数， 则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f (x) 的定义域为 x a, b ，求出 f [ g( x)] 中 a g( x) b 的解 x 的范围，即为 f [ g(x)] 的定义域。

2.已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，求f ( x) 的定义域 方法是：若 f [g x ] 的定义域为 xa,b ，则由 a x b 确定 g( x) 的范围即为 f(x) 的定义域。

3.已知复合函数 f [ g( x)] 的定义域，求 f [ h(x)] 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义域。

4.已知 f ( x) 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的， 其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例 1 已知函数f ( x) 的定义域为15， ，求 f (3 x 5) 的定义域．分析：若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g ( x) 中， a ≤ g (x) ≤ b ，从中解得 x 的取值范围即为 f g( x) 的定义域．本题该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数，其中 x 是自变量，u 是中间变量，由于f ( x) 与 f (u) 是同一个函数，因此这里是已知1≤ u ≤ 5 ，即 1≤ 3x 5 ≤ 5，求 x 的取值范围．解： f (x) 的定义域为 15， ， 1≤ 3x 5≤5， 4 ≤ x ≤ 10．3 3 故函数 f (3x 5) 的定义域为4 103 ， ．3变式训练：若函数y f ( x)的定义域为1，则(log ) 的定义域为。

抽象函数知识精要：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx )y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

专题复习：抽象函数一、知识要点函数是高中数学和高考的重要内容，而抽象函数（不带解析式的函数）往往与函数的奇偶性、单调性、周期性、函数图象的对称性及凹凸性等诸多性质联系在一起，以它抽象、多变和难以理解等特征成为函数的重点和难点内容．解决抽象函数问题，可以将它与学过的具体函数联系起来，“化抽象为具体”，寻求函数方程的变化方向，但要处理好特殊与一般的关系；适当的“赋值法”也是得到一些基础结论的好方法． 1．常见的抽象函数与相应模型函数2．函数的“五性” （1）奇偶性对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． （2）单调性一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数． （3）周期性对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+成立，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期．（4）函数图像的对称性①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-⇔()()f a x f a x -=+；②函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称⇔()(2)2f x f a x b +-=⇔()()2f a x f a x b -++=．（5）函数图像的凹凸性①函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凹函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++<； ②函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凸函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++>． 二、例题解析例1．若函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+成立， 已知(8)4f =，求(2)f 的值．例2．已知函数()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，试判断()f x 有在(,0)-∞上的 单调性，并证明你的结论．例3．若函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且()f x 的图像关于直线(0)x a a =>对称． 求证：()f x 是周期函数．例4．)(x f 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对一切0,0x y >>都有等式)()()(y f x f yx f -=成立．（1）求)1(f 的值； （2）若1)2(=f ，解不等式2)1()3(<-+xf x f ．例5．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，且0)1(>=a f ．（1）求1()2f 和1()4f 的值； （2）证明：)(x f 是周期函数．例6．已知定义在R 上函数()y f x =满足：()0f x ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈， 都有()()()f a b f a f b +=．（1）证明：(0)1f =； （2）证明：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）证明：函数()y f x =是R 上的增函数； （4）解不等式2()(2)1f x f x x ->．三、巩固练习1．已知(21)y f x =+是偶函数，则函数(2)y f x =图像的对称轴为（ ）A ．1x =B ．21=x C ．21-=x D ．1-=x 2．已知定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的函数)(x f 是偶函数，并且在(,0)-∞上为增函数， 若0)3(=-f ，则0)(<xx f 的解集为（ ） A ．(3,0)(3,)-+∞U B ．(3,0)(0,3)-U C ．(3,)+∞ D ．(,3)-∞-3．设()f x 是R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，已知12120,0,||||x x x x <<<，那么（ ）A ．12()()f x f x -<-B ．12()()f x f x ->-C ．12()()f x f x -=-D ．1()f x -与2()f x -大小不定4．已知)(x f 在区间(,)-∞+∞上是增函数，若,a b R ∈，且0≤+b a ，则下列式子中正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 5．若函数)(x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对于任意的x R ∈，都有)()4(x f x f =+；②对于[0,2]内任意12,x x ，若21x x <，则有12()()f x f x <； ③函数)(x f y =的图象关于y 轴对称．则)5.4(f ，(6.5)f ，)7(f 的大小顺序是____________________．6．定义在R 上的函数()f x 满足11()()222f x f x ++-=，则127()()()888f f f +++=L ________． 7．已知()f x 是定义在R 上的函数，且[](1)1()1()f x f x f x +-=+，(1)3f =， 则(2)f =__________，(2005)f =____________．8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且(2)()f x f x +=，当01x ≤≤时，有()f x x =， 则(3.5)f =__________．9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，又22(21)(321)f a a f a a ++<-+， 求实数a 的取值范围．10．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对任意的,a b R ∈都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)0(f ，)1(f 的值； （2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论．11．已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，且对任意的,(1,1)x y ∈-，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+． 证明：()f x 在(1,1)-上是奇函数．小结：随着高考研究的不断深入，高等数学知识的“下放”，抽象函数的题型将会增加，只要我们深刻理解函数的定义域、值域、对应法则“f ”的含义，把握住题设条件，运用函数的四性和题目涉及的有关知识，借助变量代换，取特殊值，递推归纳，广泛联想，化归转化等，就能顺利地制定出解答策略来．专题复习：抽象函数例习题答案二．例题解析例1．解：因为(8)2(4)4(2)f f f ==，所以1)8(41)2(==f f . 例2．证明：任取021<<x x ，则120x x ->->，因为)(x f 在),0[+∞是增函数，且)(x f 是偶函数，所以12()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，因此)(x f 在(,0)-∞上是减函数．例3．证明：由于)(x f 关于直线a x =对称，所以)2()(x a f x f -=．由)(x f 是R 上的奇函数， 所以)2()()(x a f x f x f +=-=-，所以)2()2()2(a x f x a f x a f -=--=+， 则(4)()f a x f x +=，即)(x f 是以4a 为周期的函数．例4．解：（1）因为(1)()()()0xf f f x f x x==-=，所以(1)0f =； （2）因为4()(4)(2)2f f f =-，(4)2(2)2f f ==，所以由题意可得：)4()]3([)1()3(f x x f x f x f <+=-+，即3010(3)4x xx x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解之得：01x <<，所以，原不等式的解集为 {01}x x |<<．例5．（1）解：因为21(1)()02f f a ==>，211()()24f f =，211()()48f f =，所以1()2f =，1()4f =（2）证明：因为)(x f 关于直线1=x 对称，所以)()2(x f x f =-， 由于)(x f 在R 上是偶函数，所以，)2()()(x f x f x f -==- 即)()2(x f x f =+，所以)(x f 是以2为周期的函数．例6．（1）证明：令0a b ==得：2(0)(0)f f =，又()0f x ≠Q ，(0)1f ∴=； （2）证明：当0x >时，()10f x >>；当0x =时，()10f x =>； 令,a x b x ==-得：(0)()()1f f x f x =-=，所以1()()f x f x -=，当0x <时，0x ->，得到()10f x ->>，所以1()0()f x f x =>-， 即当0x <时，也有()0f x >；综合可知：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；（3）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，所以21()1f x x ->， 令21,a x b x ==-得：221211()()()()1()f x f x x f x f x f x -=-=>，又()0f x >， 所以12()()f x f x <，即函数()y f x =是R 上的增函数；（4）解：由已知，不等式2()(2)1f x f x x ->等价于2[(2)]1(0)f x x x f +->=， 因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以22(2)30x x x x x +-=->， 解之得：03x <<，所以原不等式的解集为{03}x x |<<．三．巩固练习答案1．B 2．A 3．B 4．B 解析：1．将函数(21)f x +的图象向右平移12个单位，得到函数(2)f x 的图象． 2．利用函数图像，结合函数单调性和偶函数的性质．3．2121210,0x x x x x x ->-<<<有，，且)(x f 在),0+∞（上是减函数． 4．由a b b a -≤-≤有,。

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。