傅里叶变换

傅里叶变换的变换对

对于N点序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为 ? x [k ]

= N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π – – – – – N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e

是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即 ? x = Fx

离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为： x[n ] = 1 –– N N - 1 Σ k = 0

e i 2 π ––––– N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为： x = F -1 ?

x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成1/ √ ––

N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散

连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。 数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。 x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N

- 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为 ? x discrete ( ω) =

N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 –– T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2

π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。 类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号? x ( ω) 应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为 1/T ––––– 1/L = N 即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为 { ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT频域上采样： ? x

[k ] = ? x discrete ( ω k ) = 1 –– T N - 1 Σ n = 0 f[n ]e - i 2 π

– – – – – N n k 令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。

DFT与CT

下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系。 Fx ( ω) = ? x ( ω) =

1 –– L ∫ L 0 x (t)e - i ω t dt 其采样为 ? x ( ω k ) = 1

–– L ∫ L 0 x (t)e - i ω k t dt 将这个积分以黎曼和的形式近似，有 ? x

( ω k ) ≈ 1 –– L N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1 –– N ?

x [k ]

DFT与DTFT

参见离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT为： ? x (e i ω ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i n ω 对? x (e

i ω ) 在离散的频点{ ω k = k 2 π ––––– N } 0 ≤ k < N 上采样 ?

x [k ] = ? x (e i ω k ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ]e - i 2 π – – – – –

N k n k = 0, …,N-1 即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。? x [k ] 实际上是这个周期序列的主值序列。 栅栏效应

N 点序列的DFT只能在有限的N个频点上观察频谱，这相当于从栅栏的缝隙中观察景色，对于了解信号在整个频域上的特性是不够的。为了观察到其他频率的信息，需要对原信号x[n]做一些处理，以便在不同的频点上采样。 将原来在DTFT频域上的采样点数增加到M 点，这样采样点位置变为{ ω ' k = e i k 2 π – – – – – M } 0 ≤ k < M 。则对应的DFT成为 ? x '[k ] = ? x (e ik ω ' k ) = N - 1 Σ n

= 0 x[n ]e - i 2 π – – – – – M k n 若在序列x[n] 之后补上M-N个零，设为x'[n]，则上式变为 ? x '[k ] = M - 1 Σ n = 0 x '[n ]e - i 2 π – – – – –

M k n = Fx ' 因此将x[n]补零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他频率上的值，相当于移动了栅栏，因而能够从其他位置进行观察。

频谱分辨率

N 点DFT的频谱分辨率是2 π/N。一节指出可以通过补零观察到更多的频点，但是这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。这是因为x[n] 实际上是x(t) 采样的主值序列，而将x[n]补零得到的x'[n] 周期延拓之后与原来的序列并不相同，也不是x(t) 的采样。因此?

x ' 与? x 是不同离散信号的频谱。对于补零至M点的x'的DFT，只能说它的分辨率2 π/M仅具有计算上的意义，? x ' 并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能通过提高采样频率实现。 从空间的角度分析 周期为N的离散信号构成一个N 维欧氏空间C N 。在这一空间上两个信号x 和y 的内积定义为 〈 x,y 〉 = N - 1 Σ n = 0 x[n ]y *[n ] 下面给出C N 上的一组正交基：

{ e k [n ] = e i 2 π ––––– N kn } 0 ≤ k < N 将信号x 在这组正交基上分解，得

x = N - 1 Σ k = 0 〈 x,e k 〉 ––––––––––– ‖ e k ‖ 2 e k 令 ?

x [k ] = 〈 x, e k 〉 = N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i 2 π – – – – – N k n

此即为离散傅里叶变换。又 | e k | 2 = N 则有 x[n ] = 1 –– N N - 1

Σ k = 0 ? x [k ]e i 2 π ––––– N kn 此即为离散傅里叶变换的逆变换。 由此可知，在正交分解的角度上说，离散周期信号x的离散傅里叶变换? x

实质上是x在正交基 {e k } 上的分量。而从线性变换的角度上说， {e k } 是圆周卷积的特征向量，? x 则是对应的特征值。

编辑本段离散傅里叶变换的基本性质

1.线性性质 如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N) 式中A,B为常数，取N=max【N1,N2]，则Y(N）地N点DFT为 Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1; 2.循环移位特性 设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为 Y(N)=X((N+M))下标nR（N） 式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)

第三章离散傅立叶变换(DFT)

3．1 引言

有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。

(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。)

一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）

设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：

可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。

二、连续时间，离散频率------傅里叶级数

设f(t)代表一个周期为T1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，f(t)和组成变换对，表示为:

（）

注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T表示（采样间隔）。采样脉冲信号的频率为 连续，

可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱

三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换

正变换：DTFT[x(n)]=

反变换：DTFT-1

级数收敛条件为||=

可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱 连续，周期 （时

四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换

上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。因为从数字计算角度，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换。

时域抽样间隔T，频域周期s=2/T，

时域周期T1，频域抽样间隔1=2/T1

周期序列的离散傅里叶级数（DFS）

设是周期为N的一个周期序列，即，r为任意整数。和连续时间周期信号一样，周期序列可用离散傅里叶级数来表示。 离散，非周期 （离散时