导数与构造函数证明不等式的技巧

导数之构造函数法证明不等式

1、移项法构造函数

【例1】 函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有

xxx)1ln(111

【解】1111)(xxxxf

∴当01x时，0)(xf，即)(xf在)0,1(x上为增函数

当0x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为减函数

故函数()fx的单调递增区间为)0,1(，单调递减区间),0(

于是函数()fx在),1(上的最大值为0)0()(maxfxf，因此，当1x时，0)0()(fxf，即0)1ln(xx∴xx)1ln( 〔右面得证〕，

现证左面，令111)1ln()(xxxg， 22)1()1(111)(xxxxxg则

当0)(,),0(;0)(,)0,1(xgxxgx时当时 ，

即)(xg在)0,1(x上为减函数，在),0(x上为增函数，

故函数)(xg在),1(上的最小值为0)0()(mingxg，

∴当1x时，0)0()(gxg，即0111)1ln(xx

∴111)1ln(xx，综上可知，当xxxx)1ln(111,1有时

2、作差法构造函数证明

【例2】函数.ln21)(2xxxf 求证：在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方；

【解】设)()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，

那么xxxxF12)(2=xxxx)12)(1(2

当1x时，)(xF=xxxx)12)(1(2

从而)(xF在),1(上为增函数，∴061)1()(FxF

∴当1x时 0)()(xfxg，即)()(xgxf， 故在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方。

函数与导数中的不等式证明之“构造函数法”

新课标下，对数学的基本知识，思想方法，解题技巧的考察仍是高考的重要内容。在我们的函数解答题中，通常会涉及到用导数研究函数的性质，以及导数与不等式，方程，数列的交汇问题。这部分题目能够很好的反映学生的分析问题，解决问题的能力，巧妙构造函数，结合函数的单调性是解决这类题目的一种重要方法。

标签：函数导数；构造思想；不等式

下面借助于教学过程中的几个例子，通过构造函数的方法来解决这类不等式的证明问题。

例1.已知m∈R函数f（x）=mx--lnx，g（x）=+lnx

（1）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调递增函数，求实数m的取值范围

（2）证明：+++…+0）若斜率为k的直线与y=f’（x）曲线

交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：x10），k=

=要证x11，lnt>0

故考虑证lnt1）则g’（t）=1->0

故g（t）在（1，∞）上是增函数

所以当t>1时， g（t）=t-1-lnt>g（1）=0，即lnt0，（t>1）

h（t）在（1，∞）上是增函数，∴当t>1时，

h（t）=tlnt-（t-1）>h（1）=0，即t-10

则f（x）在（0，1]上为单调递增函数，从而f（x）>f（0）=0

即x>ln（1+x），（019时，不等式91时，令x=，则x>1，故f（）=+ln=-+ln>0

∴ln>

∴+++…+=+++…+>++++++…+>+（+）+（+++）+…（+…+）>++…+=+9>9 故不等式成立。

例4.设函数f（x）=mlnx，h（x）=x-a

（1）当m=2时，若函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；

（2）证明：当n≥2，n∈N*时，loge

2+loge

3+loge

4+…+loge

n>

解析（1）

函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点等价于方程x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根

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不等式的证明之一构造辅助函数法

作者：朱小春

来源：《教育周报·教育论坛》2018年第23期

摘要：不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式數学中的构造不是无中生有，而是根据需要和可能。通过类比联想改造，变通等技法把原有的“材料”零部件“组装成有利用解决问题的新事物，因此数学中的构造即不神秘，也不是难以捉摸，而龙源期刊网

是有章可循，目的性和方向性都很强的一种操作技能和技巧。本文就“构造函数法”证明不等式问题归纳总结出构造辅助函数的证明不等式的一般归律。

关键词：直接法 ;类比法 ;和谐法 ;;转化法

（一）直接法

要证明不等式f（x）

要证明0

例1：已知函数f（x）=ln x（a>0），求证证明：令，则.

当，，上为增函数，当时，，在（0.1）上为减函数.所以在时，取得最小值，∴.

例2、已知定义在正实数集上的函数

其中a>0，且， 求证：.

解：设则，，∴ 当时，，故在上为减函数，在上为增函数，于是函数;在上的最小值是，故当时，有，即.

（二）类比法

有的不等式具有与基本不等式类比的结构特征，传人很自然地联想到某些基本不等式的性质，这叫做类比法。

例3，若，求证：

分析：由不等式，可知。若和为定值，积为最大值，乘积为定值，和为最小值。

证明：∵，∴，∴

（三）和谐法

对于一些含有二元的式子，直接法和类比法难以凑效的时候，应考虑将待证式子进行适当的变形，然后再构造辅助函数。

例4，已知，且，求证： 龙源期刊网

分析：待证不等式两侧均含有，通过移项，让分居不等式两侧，于是就显得对称、整齐、简洁、和谐，辅助函数则跃然纸上。

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构造函数证明二元不等式

作者：官增文

来源：《新课程·教师》2013年第12期

二元不等式即同时存在两个变量的不等式.利用函数证明此类不等式是近几年高考比较热衷的题型之一，此类问题的特点为：问题以不等式形式呈现，而“主角”往往却是导数，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”.如何有效合理地构造函数是使不等式获得证明的关键.下面通过具体的实例谈谈构造函数的几种策略.

一、把二元不等式中的两个变量独立分开到不等式的两边

1.若两边可以看做同一个函数的两个函数值，则可构造对应的函数，利用单调性证明

总之，利用函数做“嫁衣”证明一些复杂的二元不等式的关键是构造合理的函数，熟练掌握用导数研究函数的性质，并且能利用函数思想解决数学问题是重中之重。

编辑 谢尾合