导数综合练习

高二导数练习题及答案文库导数是高中数学中的重要知识点之一，掌握导数的概念和运算方法对学生的数学学习至关重要。

为了帮助高二学生更好地巩固导数知识，提高解题能力，本文整理了一些高二导数练习题及其详细答案，供学生参考和练习。

一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)。

解：根据导数的定义，可得：f'(x) = lim(Δx→0)⁡[f(x + Δx) - f(x)] / Δx代入函数f(x)的表达式，展开并化简：f'(x) = lim(Δx→0)⁡[(3(x + Δx)² - 2(x + Δx) + 1) - (3x² - 2x + 1)] / Δx= lim(Δx→0)⁡[3x² + 6xΔx + 3(Δx)² - 2x - 2Δx + 1 - 3x² + 2x - 1] /Δx= lim(Δx→0)⁡(6xΔx + 3(Δx)² - 2Δx) / Δx= lim(Δx→0)⁡(6x + 3Δx - 2) = 6x - 2所以，函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)为6x - 2。

2. 已知函数g(x) = 4x³ + 2x² - x的导数g'(x)，求g'(1)的值。

解：根据导数的定义，g'(x) = lim(Δx→0)⁡[g(x + Δx) - g(x)] / Δx代入函数g(x)的表达式，展开并化简：g(x + Δx) = 4(x + Δx)³ + 2(x + Δx)² - (x + Δx)= 4x³ + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - x - Δx= 4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx代入导数的定义：g'(x) = lim(Δx→0)⁡[(4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) - (4x³ + 2x² - x)] / Δx= lim(Δx→0)⁡(12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) / Δx= lim(Δx→0)⁡(12x² + 12xΔx + 4(Δx)² + 4x + 2Δx - 1)= 12x² + 4x - 1将x = 1代入上述导数表达式，可得：g'(1) = 12(1)² + 4(1) - 1 = 15所以，g'(1)的值为15。

导数的运算一、单选题（共33题；共66分）1.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B. 3C. 4D. －2.函数的导数为（）A. B. C. D.3.设函数，若，则等于（）A. B. C. D.4.设则等于( )A. B. C. D.5.已知函数的导函数,且满足，则＝( )A. B. C. 1 D.6.已知函数的导函数为，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B.C.D.8.已知函数的值为（）A. B. C. D.9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（）A. B. C. D.11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（）A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin 2xC. 1-2sin 2xD. cos2x-2sin2x12.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D. ＝13.设函数的导函数为，且，则＝( )A. 0B. －4C. －2D. 214.设，若，则（）A. B. C. D.15.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.16.若函数，则的值为（）A. 0B. 2C. 1D. －117.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.18.已知函数，为的导函数，则的值为（）A. B. C. D.19.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B. C. D.21.若，则函数的导函数（）A. B. C. D.22.函数的导数为（）A. B. C. D.23.下列导数式子正确的是（）A. B. C. D.24.已知，则等于（）A. -2B. 0C. 2D. 425.已知函数，则（）A. B. C. D.26.已知，则（）A. B. C. D.27.设，，则x0＝( )A. e2B. eC.D. ln 228.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.29.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为（）A. (0，＋∞)B. (－1，0)∪(2，＋∞)C. (－1，0)D. (2，＋∞)30.下列求导运算正确的是( )A. B. C. D.31.已知，则 ( )A. B. C. D. 以上都不正确32.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A. e2B. eC.D. ln 233.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共11题；共11分）34.已知函数的导函数为，若，则的值为________.35.若函数,则的值为________．36.已知，则________．37.若函数，则________．38.已知函数，则________．39.已知函数，是的导函数，则________．40.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．41.已知在上可导，，则________．42.已知函数的导函数为，且，则________．43.已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=________．44.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是________．三、解答题（共6题；共60分）45.求下列函数的导函数.①②③④⑤⑥46.求下列函数的导函数①②③④⑤⑥47.求下列函数的导数：（1）；（2）.48.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．49.求下列函数的导数．（1）；（2）.50.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：因为，则，所以，故答案为：B.【分析】先由函数，求得导函数，再求即可得解.2.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】因为,则函数的导函数,故答案为：D.【分析】先根据完全平方公式对展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.3.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】，，，解得，故答案为：D,【分析】对函数求导，再由可求出实数的值.4.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】由，得.故答案为：D.【分析】由已知利用导数的运算性质进行计算，即可得结果.5.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得。

完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。

2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。

3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。

4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。

5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。

6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。

7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。

8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。

9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。

答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。

导数的练习题（打印版）### 导数的练习题#### 一、基本概念题1. 定义题：给定函数 \( f(x) = x^2 \)，求 \( f'(x) \)。

2. 求导公式应用：求函数 \( g(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \) 的导数 \( g'(x) \)。

3. 复合函数求导：若 \( h(x) = (2x - 1)^4 \)，求 \( h'(x) \)。

#### 二、基本运算法则题4. 和差法则：求函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) 和 \( g(x) = 3x - 2 \) 的和的导数。

5. 乘积法则：求函数 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = e^x \) 的乘积的导数。

6. 商法则：求函数 \( f(x) = \frac{x}{e^x} \) 的导数。

#### 三、链式法则与反函数求导题7. 链式法则：求函数 \( f(x) = \sin(3x + 2) \) 的导数。

8. 反函数求导：若 \( y = \sqrt{x + 1} \)，求 \( x \) 关于\( y \) 的导数。

#### 四、高阶导数题9. 一阶导数：求函数 \( f(x) = x^3 \ln(x) \) 的一阶导数。

10. 二阶导数：已知 \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \)，求 \( f''(x)\)。

#### 五、应用题11. 速度与加速度：若物体的位移函数为 \( s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 5t + 7 \)，求其速度 \( v(t) \) 和加速度 \( a(t) \)。

12. 几何问题：求曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率。

#### 六、隐函数求导题13. 隐函数：方程 \( xy^2 + y\sin(x) = 1 \) 确定 \( y \) 关于\( x \) 的导数。

综合算式专项练习题导数计算1. 题目：计算函数f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + x - 1的导数。

解析：根据导数的定义，函数f(x)的导数可以通过求各项的幂次以及系数的导数来得到。

首先，对于多项式函数来说，幂次降低1，并且求导时将幂次与系数相乘，所以我们可以将每一项按照这个规则求导。

f'(x) = d/dx (3x^4) + d/dx (2x^3) + d/dx (-5x^2) + d/dx (x) + d/dx (-1)计算每一项的导数：d/dx (3x^4) = 4 * 3x^(4-1) = 12x^3d/dx (2x^3) = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2d/dx (-5x^2) = 2 * -5x^(2-1) = -10xd/dx (x) = 1d/dx (-1) = 0将导数合并起来：f'(x) = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 1因此，函数f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + x - 1的导数为f'(x) = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 1。

2. 题目：计算函数g(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)的导数。

解析：对于这个函数来说，我们可以使用求商法来计算导数，即对于分子和分母分别求导，然后利用导数的性质进行计算。

首先，我们计算分子和分母的导数：分子：d/dx (2x^2 - 3x + 1) = 2 * 2x^(2-1) - 3 * 1x^(1-1) + 0 = 4x - 3分母：d/dx (x^2 - 4) = 2x^2 - 0 = 2x利用导数的性质，我们进行计算：g'(x) = (分子的导数 * 分母 - 分子 * 分母的导数) / (分母)^2= (4x - 3) * (x^2 - 4) - (2x) * (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)^2= (4x^3 - 8x - 3x^2 + 12x - 3x + 12 - 4x^3 + 6x^2 - 2x) / (x^2 - 4)^2 = (x^3 + 3x^2 - x + 12) / (x^2 - 4)^2因此，函数g(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)的导数为g'(x) = (x^3 + 3x^2 - x + 12) / (x^2 - 4)^2。

导数练习题及答案导数练习题及答案导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。

一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为( )A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( ) A．37 B．38C．39 D．40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( )A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案] D[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )A．－1a B.2aC．－1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可化为limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义有f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s＝12at2∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0＋ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，limΔx→0－ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，∵limΔx→0－ΔyΔx≠limΔx→0＋ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。

导数练习题（ B）1．（本题满分 12 分）已知函数 f ( x)ax3bx2(c3a2b) x d 的图象如图所示．（ I）求c, d的值；（ II ）若函数 f (x)在x 2处的切线方程为3x y110 ，求函数 f (x) 的解析式；（ III ）在（ II ）的条件下，函数y f (x) 与 y 1f ( x)5x m 的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围．32．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) a ln x ax3(a R) ．（ I）求函数f (x)的单调区间；（ II ）函数f (x)的图象的在x4处切线的斜率为3若函数132m23）上不是单调函数，求m 的取值范围．323．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) x3ax2bx c 的图象经过坐标原点，且在x 1 处取得极大值．（ I）求实数a的取值范围；（ II ）若方程 f ( x)(2a3)2恰好有两个不同的根，求 f ( x) 的解析式；9（ III ）对于（ II ）中的函数 f (x) ，对任意、R ，求证： | f ( 2sin ) f ( 2sin ) | 81 ．4．（本小题满分 12 分）已知常数 a0 ，e为自然对数的底数，函数 f ( x) e x x ， g( x) x 2aln x ．（ I）写出 f (x) 的单调递增区间，并证明 e a a ；（ II ）讨论函数y g (x) 在区间 (1,e a ) 上零点的个数．5．（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) ln( x 1) k( x 1) 1 ．（I）当k 1时，求函数 f (x)的最大值；（II ）若函数 f ( x)没有零点，求实数k的取值范围；6．（本小题满分 12 分）( x2ax 2a 3)e x的一个极值点（ e 2.718已知 x 2 是函数 f ( x)）．（ I）求实数a的值；（ II ）求函数f ( x)在x[ 3,3] 的最大值和最小值．27．（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) x24x (2 a) ln x,( a R, a 0)（I）当 a=18 时，求函数f ( x)的单调区间；（I I ）求函数f (x)在区间[e,e2]上的最小值．8．（本小题满分 12 分）已知函数f ( x) x( x6)aln x 在x (2,)上不具有单调性．．．．（ I）求实数a的取值范围；（ II ）若f( x) 是 f (x)的导函数，设g( x)f(x) 62x1、 x2，x2，试证明：对任意两个不相等正数不等式 | g (x1 )g (x2 ) | 38| x1x2 | 恒成立．279．（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) 1 x2ax ( a 1) ln x, a 1.2（I ）讨论函数f ( x)的单调性；（II ）证明：若a5, 则对任意 x1 , x2 (0,), x1x2f ( x1 ) f ( x2 ),有 1.x1x210．（本小题满分14 分）已知函数 f (x)1x2 a ln x, g( x)(a 1)x, a1．2（ I ）若函数f ( x),g ( x) 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a 的取值范围；（ II ）若a(1, e] (e 2.71828L ) ，设 F ( x) f ( x)g( x) ，求证：当 x1 ,x2[1,a] 时，不等式| F (x1 ) F (x2 ) |1成立．11．（本小题满分12 分）设曲线 C ：f (x)ln x ex （e 2.71828），f ( x)表示 f ( x)导函数．（ I）求函数 f (x) 的极值；（ II ）对于曲线C 上的不同两点A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， x1x2，求证：存在唯一的x0(x1, x2 ) ，使直线 AB的斜率等于 f ( x0 ) ．12．（本小题满分14 分）定义 F (x, y) (1 x) y , x, y (0,) ，（ I）令函数 f (x) F (3,log 2 (2 x x24)) ，写出函数 f ( x) 的定义域；（ II ）令函数g( x) F (1,log2( x3ax2bx 1))的图象为曲线 C ，若存在实数 b 使得曲线 C 在x0 ( 4 x0 1) 处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；（ III ）当x, y N * 且 x y 时，求证 F ( x, y) F ( y, x) ．导数练习题（ B ）答案1．（本 分 12 分）已知函数 f ( x) ax 3bx 2(c3a 2b) xd 的 象如 所示．（ I ）求 c, d 的 ；（ II ）若函数 f (x) 在 x2 的切 方程 3xy 11 0 ，求函数 f (x) 的解析式；（ III ）在（ II ）的条件下，函数yf (x) 与 y1f ( x) 5x m 的 象有三m 的取 范 ．3个不同的交点，求解：函数 f (x) 的 函数 f ' ( x) 3ax 22bx c 3a 2b⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）（ I ）由 可知函数 f (x) 的 象 点（0， 3），且 f ' (1)得d 3d 3⋯⋯⋯⋯ （4 分）3a 2b c3a 2bc（ II ）依 意f ' ( 2)3 且 f ( 2)512a 4b 3a 2b 3 8a 4b 6a 4b3 5解得 a 1, b 6 所以 f ( x) x 3 6x 2 9x 3⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）（ III ） f(x)3x 212x9 ．可 化 ： x 36x 29x 3x 24x 35x m 有三个不等 根，即： g xx 37 x 2 8xm 与 x 有三个交点；g x 3x 214 x 8 3x 2 x 4 ，x22 2，4 4， ,3433g x+-+g x增极大减极小增268 m,g 416m ．⋯⋯⋯⋯ （ 10 分）g273当且 当 g2 68 m 0且g 416 m0 ，有三个交点，327故而，16m 68⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）所求．272．（本小 分 12 分）已知函数 f ( x)a ln x ax 3(a R) ．（ I ）求函数 f (x) 的 区 ；（ II ）函数f (x)的 象的在x 4 切 的斜率3 若函数 1 32m2323）上不是 函数，求 m 的取 范 ．解：（I ） f '( x)a(1 x)( x 0) （2 分）x当 a 0时 , f ( x)的单调增区间为 0,1 ,减区间为 1,当 a 0时, f ( x)的单调增区间为 1, , 减区间为 0,1 ;当 a=1 ， f ( x) 不是 函数（5 分）（II ） f ' (4)3a 3 2, f ( x)2 ln x 2x 34得 a2g( x)1 x 3 ( m2)x 2 2x, g' (x) x 2 (m 4)x 2 （ 6 分）3 2g( x)在区间 (1,3)上不是单调函数 , 且 g' (0) 2g' (1) 0,m3,19 ,（8 分）19 （ 10 分） m( 3)（12分）g' (3)0.m, 333．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x)x 3 ax 2bx c 的 象 坐 原点，且在x 1 取得极大 ．（ I ）求 数 a 的取 范 ；（ II ）若方程 f ( x)(2a 3)2恰好有两个不同的根，求f ( x) 的解析式；9（ III ） 于（ II ）中的函数f (x) ， 任意 、 R ，求 ： | f ( 2sin ) f ( 2sin ) | 81 ．解：（I ） f (0) 0 c 0,f ( x ) 3 x 2 2 ax ,(1) 0 b 2a 3b f f ( x)3x 2 2ax (2a 3) ( x 1)(3x 2a 3),由 f ( x)0 x 1或x 2a 3 1 取得极大 ，3 ，因 当 x2a 3所以1 a3 ，所以 a 的取值范围是 : (, 3)；3⋯⋯⋯⋯ （4分）（ II ）由下表：x(,1)1(1, 2a 3) 2a 3( 2a 3, )f (x)3 33+- 0-f ( x)极大值极小值递增递减a 6(2a 3)2递增a227依 意得：a6( 2a 3) 2(2a 3)2 ，解得： a 9279 所以函数 f ( x) 的解析式是：f ( x) x 3 9x 2 15x,22sin2, 2 2 sin2,⋯⋯⋯⋯ （10分）（ III ） 任意的 数都有在区 [-2， 2]有： f (2)8 36 30 74, f (1) 7, f (2) 8 36 30 2f ( x)的最大值是 f (1) 7, f (x)的最小值是 f ( 2) 8 36 3074函数 f ( x)在区间 [ 2,2] 上的最大 与最小 的差等于 81，所以 | f ( 2sin) f ( 2sin ) | 81 ．⋯⋯⋯⋯ （14分）4．（本小 分 12 分）已知常数 a0 ， e 自然 数的底数，函数f ( x) e xx ， g( x) x 2aln x ．（ I ）写出 f (x) 的 增区 ，并 明e a a ；（ II ） 函数y g (x) 在区 (1,e a ) 上零点的个数．解：（I ） f ( x)e x 1 0 ，得f (x) 的 增区 是(0, ) ， ⋯⋯⋯⋯ （2分）∵ a0 ，∴ f (a) f (0) 1 ，∴ e a a 1 a ，即 e a a ． ⋯⋯⋯⋯ （4 分）a 2( x2a)( x2a )2a2 2（ II ） g ( x)2x，由 g ( x)0 ，得 xxx，列表2x ( 0,2a ) 2a (2a , )222g ( x)-0 +g( x)减极小增当 x2a ，函数 y g(x) 取极小 g(2a ) a(1 ln a) ，无极大 ．2222⋯⋯⋯⋯ （ 6分）e 2 ae aa，∴ e a2a由（ I ） e aa ，∵a ，∴ e 2 aa222g(1) 1 0 ， g(e a ) e 2 aa 2 ( e a a)(e aa) 0 ⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）（ i ）当2a 1，即 0 a 2 ，函数 yg (x) 在区 (1,e a ) 不存在零点2（ ii ）当2a1 ，即 a22若 a(1 ln a)0，即 2a 2e ，函数 yg(x) 在区 (1,e a ) 不存在零点22若 a(1 ln a ) 0 ，即 a 2e ，函数 yg (x) 在区 (1,e a ) 存在一个零点 xe ；22若 a(1 ln a )0 ，即 a2e ，函数 yg(x) 在区 (1,e a ) 存在两个零点；22上所述， yg (x) 在 (1, a)上，我 有 ：e当 0a 2e ，函数 f (x) 无零点；当 a 2e ，函数 f ( x) 有一个零点；当 a 2e ，函数 f (x) 有两个零点．⋯⋯⋯⋯ （ 12分）5．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) ln( x 1)k( x 1) 1 ．（ I ）当 k 1 ，求函数f (x) 的最大 ；（ II ）若函数 f ( x) 没有零点，求 数k 的取 范 ；解：（I ）当 k 1 ， f(x)2 xx 1f ( x)1+2），令 f ( x) 0,得 x 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （分）定 域 （ ，∵当 x (1,2)时 , f ( x) 0 ，当 x(2, )时, f ( x) 0 ，∴ f ( x) 在(1,2) 内是增函数， 在(2,) 上是减函数∴当 x2 ， f ( x) 取最大 f (2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）（ II ）①当 k0时 ，函数 yln( x 1) 象与函数 yk( x 1) 1 象有公共点，∴函数 f ( x) 有零点，不合要求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）②当 k0时 ， f ( x)1k1 k kxk ( x 1 kk )⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）x 1x 1x 1令 f (x)0,得 xk 1 ，∵ x (1,k1)时, f ( x) 0, x(1 1 ,)时, f ( x)0 ，k kk∴ f ( x) 在(1,11) 内是增函数， 在[11 , ) 上是减函数，kk∴ f ( x) 的最大 是 f (1 1 ) ln k ，k∵函数 f ( x) 没有零点，∴ ln k 0 ， k1 ，因此，若函数f ( x) 没有零点， 数k 的取 范 k(1, ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10 分）6．（本小 分 12 分）已知 x2 是函数 f ( x) ( x 2 ax 2a 3)e x 的一个极 点（ e2.718 ）．（ I ）求 数 a 的 ；（ II ）求函数f ( x) 在 x [ 3,3] 的最大 和最小 ．(x 223)e x 可得解：（I ）由 f ( x)ax 2af (x)(2 x a)e x (x 2 ax 2a3)e x [ x 2 (2 a)x a 3]e x ⋯⋯ （ 4 分） ∵ x2 是函数 f ( x) 的一个极 点，∴ f (2) 0∴ (a 5)e 20 ，解得 a5⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）（ II ）由 f( x) ( x 2)( x1) e x0 ，得 f ( x) 在 ( ,1) 增，在 (2,) 增，由 f (x) 0 ，得 f ( x) 在在 (1,2) 减∴ f ( 2)e 2是 f ( x) 在 x[ 3,3] 的最小 ；7 e 232e 37 e 23f ( 3)， f (3) e 3 ∵ f (3) f ( 3) 2 4 3,3] 的最大 是 2 4∴ f ( x) 在 x [ f (3) e 3 ．2 7．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) x 2 4x (2 a) ln x,( a R, a 0)（ I ）当 a=18 ，求函数 f ( x) 的 区 ；（ II ）求函数 f (x) 在区 [e,e 2 ] 上的最小 ．解：（Ⅰ） f ( x)x 2 4x 16 ln x ，f ' (x) 2 x416 2(x 2)( x 4)x x⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）1e 23( 4e e 7) 0, f ( 3) f ( 3)42⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）2 分由 f ' ( x) 0 得 ( x 2)( x 4) 0 ，解得 x 4 或 x 2注意到 x 0，所以函数 f (x) 的 增区 是（ 4， +∞） 由 f '( x) 0 得 ( x 2)( x 4) 0 ，解得 -2＜ x ＜ 4，注意到 x 0，所以函数f (x) 的 减区 是 (0,4] .上所述，函数f (x) 的 增区 是（4， +∞）， 减区 是 (0,4]6 分（Ⅱ）在 x[e, e 2 ] ， f ( x) x 2 4 x (2 a) ln x所以 f ' ( x) 2x 2 a 2x 2 4x 2 a4 x ，2x 2 xg( x) 4x 2 a当 a 0 ，有 △ =16+4 ×2 (2 a)8a 0 ，此g(x)0 ，所以 f ' (x)0 ， f (x) 在 [e, e 2 ] 上 增，所以 f ( x) min f (e)e 2 4e 2 a 8 分当 a0 ， △=164 2(2a)8a0 ，令 f ' ( x)0 ，即 2x 24x2 a 0 ，解得 x 12a 或 x 12a ；22令 f '( x)0 ，即 2 x 24x 2 a 0 ，解得 12a x 12a .22①若 12a ≥ 2，即 a ≥2(e 21)2 ，2ef (x) 在区 [e,e 2] 减，所以f ( x) minf (e 2 )e 4 4e 24 2a .②若 e 12a e 2 ，即 2(e 1)2a2(e 2 1) 2 ，2f (x) 在区 [e,12a [12a , e 2 ] 上 增， 2 ] 上 减，在区2所以 f (x) minf (12a ) a2a 3 ( 2 a) ln(12a) .222③若 12a ≤e ，即 0a ≤2(e1) 2， f ( x) 在区 [ e, e 2 ] 增，2e 2所以 f ( x) min f (e)4e 2 a上所述，当 a ≥2(e 2 1) 2 ， f (x)min a 4 4e 24 2a ；当 2(e 1) 2a2( e 2 1) 2 ， f ( x) mina 2a 3 ( 2 a) ln(12a ) ；1) 2， f ( x) min e 22 2当 a ≤2(e 4e 2a14 分8．（本小 分 12 分）已知函数 f ( x) x( x 6)aln x 在 x (2, ) 上不具有 性．．．．（ I ）求 数 a 的取 范 ；（ II ）若 f( x) 是 f (x) 的 函数， g( x)f (x) 62 ， 明： 任意两个不相等正数 x 1、 x 2 ，x 2不等式 | g (x 1 ) g (x 2 ) |38| x 1 x 2 | 恒成立．27 2x 2解：（I ） f ( x)2x 6a6xa，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）xx∵ f ( x) 在 x(2,) 上不具有 性，∴在x (2,) 上 f (x) 有正也有 也有0，．．．即二次函数 y 2x26x a 在 x (2, ) 上有零点⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）∵ y2x 2 6x a 是 称 是 x3 ，开口向上的抛物 ，∴ y2 22 6 2a 0的 数 a 的取 范 (,4) 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）（II ）由（ I ）g( x) 2xa2xx2 ，方法 1： g( x)f ( x)2 6a 2(x 0) ，x22xx2x2x 3∵ a4 ，∴ g (x)2 a4 2 4 4 4x 4 ，⋯⋯⋯⋯ （8 分）x 2 x 3x 2x 3x 3h( x) 24 48 12 4(2 x 3)x 2x 3 ， h (x)x 3 x 4x 4h( x) 在 (0, 3) 是减函数，在 (3,) 增函数，当 x3， h( x) 取最小382 2227∴从而 g ( x)38 ，∴ ( g( x) 38 x) 0 ，函数 y g( x) 38x 是增函数，2727 38 27 38x 1、 x 2 是两个不相等正数，不妨x 1x 2 ， g( x 2 ) x 2 g ( x 1 ) x 127 27 ∴ g( x 2 ) g( x 1 )38(x 2 x 1 ) ，∵ x 2 x 10 ，∴ g (x 1 ) g( x 2 ) 3827x 1 x 227∴ g( x 1 ) g (x 2 ) 38 ，即 | g( x 1 ) g( x 2 ) | 38 | x 1 x 2 |⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （12 分）x 1 x 2 2727方法 2： M ( x 1 ,g (x 1)) 、 N (x 2 , g( x 2 )) 是曲 yg( x) 上任意两相异点，g (x 1 ) g( x 2 )2( x 1 x 2 )a ， Q x 1x 2 2 x 1 x 2 ，x 1 x 22x 1 x 2 a 4x 12 x 222( x 1 x 2 )a4a44 2x 12 x 222( x 1 x 2 )3 x 1 x 22⋯⋯⋯ （8 分）x 1 x 2( x 1 x 2 )3x 1 x 2t1 , t 0 ，令 k MN u(t)2 4t 34t 2 ， u (t ) 4t(3t 2) ，x 1x 2由 u (t)0 ，得 t2, 由 u (t) 0 得 0 t2 ,33u(t) 在 (0, 2) 上是减函数，在( 2, ) 上是增函数，33u(t) 在 t2 取极小 38 ， u(t )38 ，∴所以 g( x 1 ) g( x 2 )3832727x 1 x 2 27即 | g( x 1 ) g( x 2 ) |38 x 2 |⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）| x 1279．（本小 分12 分）已知函数 f ( x)1 x2 ax ( a 1) ln x, a 1.2（I ） 函数 f ( x) 的 性；（II ） 明：若 a5, 则对任意 x 1 , x 2(0, ), x 1f ( x 1 ) f ( x 2 )x 2 ,有x 2x 1 （ 1） f ( x) 的定 域 (0,) ， f '( x)x aa 1 x 2ax a 1 ( x 1)( x xxx2 分（ i ）若 a1 1,即 a 2，f ' (x)( x 1)2 . 故 f ( x) 在 (0,) 增加．x（ ii ）若 a1 1, 而 a 1, 故1 a 2,则当 x (a 1,1)时 , f ' (x) 0.当 x (0, a 1)及 x (1, )时, f '( x) 0,故 f ( x)在 (a 1,1) 减少，在（ (1, ) 增加． （ iii ）若 a 1 1,即 a 2,同理可得 f ( x)在 (1,a 1)单调减少 , 在 (0,1), (a 1,增加．1.1 a)0， a-1），)（ II ）考 函数 g (x) f ( x)x1 x2 ax (a 1) ln x x.2由 g ' ( x) x (a 1)a 1 2 x a1( a 1) 1 ( a 1 1)2 .x x由于 a a5,故 g' (x)0,即 g(x)在 (0,)单调增加 ，从而当 x 1g( x 1 ) g ( x 2 ) 0,即 f ( x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2 0, f ( x 1 ) f ( x 2 ) 1，当 0f (x 1 ) f (x 2 ) 故 x 2x 1 x 2 ，有 x 2 x 1x 1 10．（本小 分14 分）x 2 0 有f (x 2 ) f ( x 1 )x 2x 11已知函数 f (x) 1 x 2 a ln x, g( x) (a 1)x , a 1 ．2（ I ）若函数 f ( x), g ( x) 在区 [1,3] 上都是 函数且它 的 性相同，求 数a 的取 范 ；（ II ）若 a(1, e] (e 2.71828L ) ， F ( x)f ( x) g( x) ，求 ：当 x 1 ,x 2[1,a] ，不等式| F (x 1 ) F (x 2 ) | 1成立．解：（I ）f ( ) x a ,g ( x ) a 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）x x∵函数 f (x), g( x) 在区 [1,3] 上都是 函数且它 的 性相同，∴当 x[1,3] ， f ( x)g (x)(a 1)(x 2a)0 恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）x即 ( a 1)(x 2a) 0 恒成立，a 1x [1,3] a1 在 x [1,3] 恒成立，∴a在 恒成立，或x 2x 2a∵ 9x1 ，∴ a1 或 a9⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）（ II ） F ( x)1 x2 a ln x, (a 1)x ， F ( x) x a ( a 1) ( x a)( x 1)2 xx ∵ F ( x) 定 域是 (0, ) ， a (1, e ] ，即 a 1∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数，在 (1,a) 减函数，在 ( a, ) 是增函数∴当 x1 ， F ( x) 取极大 MF(1)a 1 ，2当 xa ， F ( x) 取极小 mF ( a)a ln a 1 a 2 a ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）2∵ x 1 , x 2 [1,a] ，∴ | F ( x 1 ) F ( x 2 ) | | M m | M m⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 10 分）G (a) Mm 1 a 2 aln a1， G ( a) a ln a 1 ，1 2 2∴ [ G (a)] 1 ，∵ a (1, e] ，∴ [ G (a)] 0a∴ G (a) a ln a 1 在 a (1, e] 是增函数，∴ G (a) G (1) 0∴ G (a)1 a2 a ln a 1 在 a (1, e] 也是增函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）2 2∴ G (a) G (e) ，即 G (a)1 e2 e 1 (e 1)21，2 2 2而 1e 2e 1 (e 1)21 (3 1)21 1，∴ G (a) M m 122 22∴当 x 1 ,x 2[1,a] ，不等式 | F (x 1)F (x 2 ) |1成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 14 分）11．（本小 分12 分）ex （ e2.71828曲 C ： f (x) ln x ）， f ( x) 表示 f ( x) 函数．（ I ）求函数 f (x) 的极 ；（ II ） 于曲 C 上的不同两点A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， x 1 x 2 ，求 ：存在唯一的 x 0(x 1, x 2 ) ，使直 AB 的斜率等于 f ( x 0 ) ．解：（I ） f( x) 1 1 ex，得 x1xe0 ex当 x 化 ， f( x) 与 f ( x) 化情况如下表：x(0, 11 1)e( , )eef (x)＋ 0 －f (x)增极大减∴当 x1 ， f ( x) 取得极大 f ( 1)2 ，没有极小 ；⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）ee（ II ）（方法 1）∵ f (x 0 )即 x 0lnx2(x 2 x 1 )x 1g( x 1 ) x 1 lnx 2(x 2x 1∵ x 1x 2 ，∴ g( x 1 )k AB ，∴ 1e ln x 2 ln x 1 e( x 2x 1 )，∴x 2x1lnx2x 0 x 2 x 1x 0x 10 ， g (x) x lnx 2(x 2 x 1 )x 1x 1) ， g( x 1 )/ ln x 21 0 ， g (x 1) 是 x 1 的增函数，x 1x 1g( x 2 ) x 2 lnx 2(x 2 x 2 ) 0；x 2x 2 lnx 2/lnx 2g( x 2 )( x 2x 1 ) ，g (x 2 )x 21 0 ， g( x2 ) 是 x 2 的增函数，x 1x 1∵ x 1x 2 ，∴ g( x 2 ) g( x 1 ) x 1 lnx 1(x 1 x 1) 0 ，x 1∴函数 g (x)x lnx 2( x 2 x 1 ) 在 ( x 1, x 2 ) 内有零点 x 0 ，⋯⋯⋯⋯ （ 10 分）x 1又∵x21, ln x20 ，函数 g (x)x lnx 2( x 2 x 1 ) 在 (x 1, x 2 ) 是增函数，x 1x 1x 1∴函数 g (x)x 2 x 1 lnx2在 (x 1, x 2 ) 内有唯一零点 x 0 ，命 成立 ⋯⋯⋯⋯ （12 分）xx 1（方法2）∵ f ( x 0 )k AB ，∴ 1 e ln x 2 ln x 1 e( x 2 x 1) ，x 0 x 2 x 1即 x 0 ln x 2x 0 ln x 1 x 1 x 2 0 ， x 0 ( x 1 , x 2 ) ，且 x 0 唯一g( x) xln x 2x ln x 1 x 1 x 2 ， g (x 1) x 1 ln x 2 x 1 ln x 1x 1 x 2 ， 再 h(x) xln x 2 x ln x x x 2 ， 0 xx 2 ，∴ h (x) ln x 2 ln x 0∴ h( x)x ln x 2 x ln x x x 2 在 0 xx 2 是增函数∴ g( x 1 ) h( x 1 ) h(x 2 ) 0 ，同理 g( x 2 ) 0∴方程 x ln x 2x ln x 1x 1 x 2 0 在 x 0 ( x 1 , x 2 ) 有解⋯⋯⋯⋯ （10 分）∵一次函数在 (x 1 , x 2 ) g( x)(ln x 2 ln x 1) x x 1 x 2 是增函数∴方程 x ln x 2 x ln x 1x 1 x 2 0 在 x 0 ( x 1 , x 2 ) 有唯一解，命 成立 ⋯⋯⋯ （ 12 分）注： 用函数 性 明，没有去 明曲C 不存在拐点，不 分．12．（本小 分 14 分）定 F (x, y)(1 x) y , x, y(0, ) ，（ I ）令函数 f (x)F (3,log 2 (2 x x 24)) ，写出函数 f ( x) 的定 域；（ II ）令函数g( x)F (1,log 2 ( x 3 ax 2 bx 1)) 的 象 曲C ，若存在 数b 使得曲C 在x 0 ( 4 x 01) 有斜率 －8 的切 ，求 数 a 的取 范 ；（ III ）当 x, yN * 且 x y ，求 F ( x, y)F ( y, x) ．解：（I ） log 2 (2 xx 24) 0 ，即2 x x 2 4 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）得函数 f ( x) 的定 域是 ( 1,3) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）（ II ） g ( x) F (1,log 2 ( x 2ax 2 bx 1)) x 3 ax 2bx 1,曲 C 在x 0 ( 4 x 0 1)有斜率 － 8 的切 ，又由 log2 ( x3 ax2bx1) 0,g ( x ) 3 x 22 ax,b3x 02 2ax 0b 8①∴存在 数 b 使得4x 01② 有解，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）x 03ax 02bx 01 1 ③由①得b8 3x2 2,代入③得 2ax 08 0 ，ax 02x 0由 2x 02ax 0 8 0有解，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）4 x 0 1方法 1： a 2( x 0 ) 8 ，因 4 x 01 ，所以 2(x 0 )8 ( x 0 )[8,10) ，( x 0 )当 a 10 ，存在 数 b ，使得曲 C 在 x 0 (4x 01) 有斜率 － 8 的切方法 2：得 2 ( 4)20或2 ( 1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10 分）a (4) 8a ( 1) 80 ，a 10或a 10, a 10.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 10 分） 方法 3：是2 ( 4)2a ( 4) 8 0的 集，即 a 10⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10 分）2 ( 1)2 a( 1) 8 0（ III ）令 h(x)ln(1 x) , xx又令 p(x)xln(1 1 xp( x)在[ 0, ) 减当 x 0时有 p( x) p(0)xx)ln(11,由 h (x)1 x2x11 xx), x 0,p ( x)0 ，(1 x)21 x(1 x)2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12）分0, 当x1时有 h( x)0,h( x)在[1, ) 减，1 xy 时,有 ln(1 x)ln(1y), y ln(1 x)x ln(1 y), (1 x) y(1 y) x ，xy当 x, y N 且 x y 时 F ( x, y) F ( y, x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （14 分）。

导数求导题目练习题导数是微积分中的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。

本文将提供一些导数求导的练习题，帮助读者巩固和加深对导数的理解。

1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数f'(x)。

解答：首先，我们需要知道求导的基本规则。

对于多项式函数，求导对每一项进行操作即可。

根据求导的基本规则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。

2. 求函数g(x) = ln(x)的导数g'(x)。

解答：对于自然对数函数ln(x)，其导数的规则是g'(x) = 1/x。

因此，g'(x) = 1/x。

3. 求函数h(x) = sin(x)的导数h'(x)。

解答：对于三角函数中的正弦函数sin(x)，其导数的规则是h'(x) = cos(x)。

因此，h'(x) = cos(x)。

4. 求函数i(x) = e^x的导数i'(x)。

解答：对于指数函数e^x，其导数的规则是i'(x) = e^x。

因此，i'(x)= e^x。

5. 求函数j(x) = 2x³ + 5x² - 4x + 1的导数j'(x)。

解答：根据多项式函数的求导规则，我们可以得到j'(x) = 6x² + 10x- 4。

通过以上练习题，我们可以看到不同类型的函数在求导后的结果。

求导是一个基本的技巧，通过不断练习和掌握求导的规则，我们可以更好地理解函数的变化趋势和性质。

在实际应用中，导数有着广泛的应用，例如在物理学中，速度和加速度可以通过导数来描述；在经济学中，边际成本和边际收益可以通过导数来分析。

因此，掌握求导的方法对理解和解决实际问题非常重要。

总结起来，求导是微积分中的重要概念，通过练习题可以加深对导数的理解和运用能力。

在学习过程中，需要熟悉导数的基本规则，并通过不断的实践来巩固和掌握求导的能力。

通过深入理解导数的概念和应用，我们可以更好地应对实际问题，提高数学和科学领域的应用能力。

高中数学导数大题练习(详细答案)1 ．已知函数的图象如图所示．（ I ）求的值；（II ）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（ III ）在（ II ）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．2 ．已知函数．（ I ）求函数的单调区间；（ II ）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（ 1 ， 3 ）上不是单调函数，求 m 的取值范围．3 ．已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．（ I ）求实数的取值范围；（ II ）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（ III ）对于（ II ）中的函数，对任意，求证：．4 ．已知常数，为自然对数的底数，函数，．（ I ）写出的单调递增区间，并证明；（ II ）讨论函数在区间上零点的个数．5 ．已知函数．（ I ）当时，求函数的最大值；（ II ）若函数没有零点，求实数的取值范围；6 ．已知是函数的一个极值点（）．（ I ）求实数的值；（ II ）求函数在的最大值和最小值．7 ．已知函数（ I ）当 a=18 时，求函数的单调区间；（ II ）求函数在区间上的最小值．8 ．已知函数在上不具有单调性．（ I ）求实数的取值范围；（ II ）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．9 ．已知函数（ I ）讨论函数的单调性；（ II ）证明：若10 ．已知函数．（ I ）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II ）若，设，求证：当时，不等式成立．11 ．设曲线：（），表示导函数．（ I ）求函数的极值；（ II ）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．12 ．定义，（ I ）令函数，写出函数的定义域；（ II ）令函数的图象为曲线 C ，若存在实数 b 使得曲线 C 在处有斜率为－ 8 的切线，求实数的取值范围；（ III ）当且时，求证．答案1 ．解：函数的导函数为………… （2 分）（ I ）由图可知函数的图象过点（ 0 ， 3 ），且得………… （ 4 分）（ II ）依题意且解得所以………… （ 8 分）（ III ）．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；，+ 0 - 0 +增极大值减极小值增．………… （ 10 分）当且仅当时，有三个交点，故而，为所求．………… （ 12 分）2 ．解：（ I ）（ 2 分）当当当 a=1 时，不是单调函数（ 5 分）（ II ）（ 6 分）（ 8 分）（ 10 分）（ 12 分）3 ．解：（ I ）由 ，因为当 时取得极大值，所以，所以；（ II ）由下表：+ 0 - 0 -递增极大值递减极小值递增依题意得： ，解得：所以函数的解析式是：（ III ）对任意的实数 都有在区间 [-2 ， 2] 有：函数 上的最大值与最小值的差等于 81 ，所以． 4 ． 解：（ I ） ，得 的单调递增区间是 ， ………… （ 2分） ∵， ∴， ∴，即． ………… （ 4 分）（ II ） ，由 ，得 ，列表- 0 +单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值．由（ I ），∵ ，∴ ，∴，………… （ 8 分）（ i ）当，即时，函数在区间不存在零点（ ii ）当，即时若，即时，函数在区间不存在零点若，即时，函数在区间存在一个零点；若，即时，函数在区间存在两个零点；综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．5 ．解：（ I ）当时，定义域为（ 1 ， + ），令，∵ 当，当，∴ 内是增函数，上是减函数∴ 当时，取最大值（ II ）① 当，函数图象与函数图象有公共点，∴ 函数有零点，不合要求；② 当，……………… （ 6 分）令，∵ ，∴ 内是增函数，上是减函数，∴ 的最大值是，∵ 函数没有零点，∴ ，，因此，若函数没有零点，则实数的取值范围6 ．解：（ I ）由可得…… （ 4 分）∵ 是函数的一个极值点，∴∴ ，解得（ II ）由，得在递增，在递增，由，得在在递减∴ 是在的最小值；…………… （ 8 分），∵∴ 在的最大值是．7 ．解：（Ⅰ），2 分由得，解得或注意到，所以函数的单调递增区间是（ 4 ，+∞ ）由得，解得 -2 ＜＜ 4 ，注意到，所以函数的单调递减区间是.综上所述，函数的单调增区间是（ 4 ，+∞ ），单调减区间是 6 分（Ⅱ）在时，所以，设当时，有△=16+4×2 ，此时，所以，在上单调递增，所以 8 分当时，△= ，令，即，解得或；令，即，解得.① 若≥ ，即≥ 时，在区间单调递减，所以.② 若，即时间，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.③ 若≤ ，即≤2 时，在区间单调递增，所以综上所述，当≥2 时，；当时，；当≤ 时， 14 分8 ．解：（ I ），∵ 在上不具有单调性，∴ 在上有正也有负也有 0 ，即二次函数在上有零点……………… （ 4 分）∵ 是对称轴是，开口向上的抛物线，∴的实数的取值范围（ II ）由（ I ），方法 1 ：，∵ ，∴ ，………… （ 8 分）设，在是减函数，在增函数，当时，取最小值∴ 从而，∴ ，函数是增函数，是两个不相等正数，不妨设，则∴ ，∵ ，∴∴ ，即……………… （ 12 分）方法 2 ：、是曲线上任意两相异点，，，……… （ 8 分）设，令，，由，得由得在上是减函数，在上是增函数，在处取极小值，，∴ 所以即9 ．（ 1 ）的定义域为，（ i ）若，则故在单调增加．（ ii ）若单调减少，在（0 ，a-1 ），单调增加．（ iii ）若单调增加．（ II ）考虑函数由由于，从而当时有故，当时，有10 ．解：（ I ），∵ 函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，∴ 当时，恒成立，即恒成立，∴ 在时恒成立，或在时恒成立，∵ ，∴ 或（ II ），∵ 定义域是，，即∴ 在是增函数，在实际减函数，在是增函数∴ 当时，取极大值，当时，取极小值，∵ ，∴设，则，∴ ，∵ ，∴∴ 在是增函数，∴∴ 在也是增函数∴ ，即，而，∴∴ 当时，不等式成立．11 ．解：（ I ），得当变化时，与变化情况如下表：＋0 －单调递增极大值单调递减∴ 当时，取得极大值，没有极小值；（ II ）（方法 1 ）∵ ，∴ ，∴即，设，，是的增函数，∵ ，∴ ；，，是的增函数，∵ ，∴ ，∴ 函数在内有零点，又∵ ，函数在是增函数，∴ 函数在内有唯一零点，命题成立（方法 2 ）∵ ，∴ ，即，，且唯一设，则，再设，，∴∴ 在是增函数∴ ，同理∴ 方程在有解∵ 一次函数在是增函数∴ 方程在有唯一解，命题成立……… （ 12 分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分．12 ．解：（ I ），即得函数的定义域是，（ II ）设曲线处有斜率为－ 8 的切线，又由题设∴ 存在实数 b 使得有解，由① 得代入③ 得，有解，…………………… （ 8 分）方法 1 ：，因为，所以，当时，存在实数，使得曲线 C 在处有斜率为－ 8 的切线……………… （ 10 分）方法 2 ：得，方法 3 ：是的补集，即（ III ）令又令，单调递减. …………………… （ 12 ）分单调递减，，。