切线的判定定理

切线的证明方法如下：
1、用判定定理，这是证明切线最多见的方法，也就是如果直线和圆之间有交点，连接交点和圆心，得出半径，只要证明这条半径和这条直线是垂直的就行了。

2、当不确定直线和圆的交点个数或是交点所处的位置的时候，能够通过圆心作出直线的垂线，然后证明从圆心到直线的距离和圆的半径相等就行了。

在几何中，切线是指一条刚好碰触到曲线上某个点的直线。

当切线经过曲线上的某个点，也就是切点的时候，切线的方向和曲线上这个点的方向一样。

在平面几何里面，把和圆只有一个公共交点的直线称作圆的切线。

在高等数学中，对一个函数而言，假设函数的某个地方有导数，那么这里的导数就是经过这里的切线的斜率，这个点和斜率所构成的直线就是这个函数的一个切线。

切线的性质定理是：圆的切线垂直于经过这个切点的圆的半径，经过圆的半径的不是圆心的一端，而且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

切线的判定定理是：一条直线如果和一个圆有交点，而且连接交点和圆心的直线和这条直线是垂直的关系，那么这条直线就是圆的切线。

（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。

”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

记为“见切线，连半径，得垂直。

”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。

B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。

圆的切线判定定理
圆的切线判定定理是一个用于判断一条直线是否为圆的切线的准则。

根据该定理，当一条直线与圆相切时，该直线与圆的切点之间的线段与圆的半径垂直。

具体来说，如果一条直线与圆相交，且通过与圆的切点，与圆的半径垂直相交，那么这条直线就是圆的切线。

换句话说，这条直线切到了圆的边界，只与圆相交于切点。

这个定理可以用一个简单的几何证明来解释。

假设有一个圆和一条直线，直线通过圆的切点，并且与圆的半径垂直相交。

我们可以证明这条直线是圆的切线，因为根据几何定理，直线与圆的边界只能相交于两个点，而这两个点中的一个就是切点。

因此，这条直线与圆的边界只有一个交点，这就是切点，所以这条直线是圆的切线。

总之，圆的切线判定定理告诉我们，当一条直线与圆相交，且通过切点与圆的半径垂直相交时，这条直线就是圆的切线。

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l l ⊥⊥OA OA，，点A 在⊙O 上∴直线l 是⊙O 的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA 是⊙O 的半径，直线l 切⊙切⊙O O 于点A∴l l ⊥⊥OA OA（切线性质定理）（切线性质定理）推论1 1 经过圆心且垂直于切经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2 2 经过切点且垂经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA PA、、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点∴PA=PB PA=PB，∠，∠，∠APO=APO=APO=∠∠BPO BPO（切线长定理）（切线长定理）证明：连结OA OA、、OB∵直线PA PA、、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点∴OA OA⊥⊥AP AP、、OB OB⊥⊥PB∴∠OAP=OAP=∠∠OBP=90OBP=90°°在△OPA和△OPB中：中：OAP=∠∠OBP∠OAP=OP=OPOA=OB=rHL））（HL∴△OPAOPB（OPA≌△≌△OPB∠BPOAPO=∠∴PA=PBPA=PB，∠，∠APO=弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；所在的射线；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可准，三者缺一不可 （4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理对的圆周角等于所夹的AC)对的圆周角等于所夹弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角很完整，图中没有连结OC]几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC弦切角定理） ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等，弧MN =MN =弧弧PQPQ ，弧，∠2所夹的是PQ几何语言：∵∠1所夹的是弧MNMN ，∠2∴∠1=∠2AD⊥EC证明：作AD⊥ECADC=90°∵∠ADC=90°ACD+∠CAD=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点CED∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD OCA=∠CAD∵OC=OA=r OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC OCA=∠OAC∴∠COA=180°COA=180°--∠OCA OCA--∠OAC=180°OAC=180°--2∠CAD 2∠CAD又∵∠ACD=90°ACD=90°--∠CAD ∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA COA=1/2=1/2弧AC 的度数的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A∴l ⊥OA（切线性质定理）推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）证明：连结OA、OB∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴OA⊥AP、OB⊥PB∴∠OAP=∠OBP=90°在△OPA和△OPB中：∠OAP=∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA≌△OPB（HL）∴PA=PB，∠APO=∠BPO弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ∴∠1=∠2证明：作AD⊥EC∵∠ADC=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点C∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD∵OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD又∵∠ACD=90°-∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。