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2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·某某某某一模)如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是导学号 25401791( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显然PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.2．若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为导学号 25401792( )A.35 B ．45 C.34 D ．55[答案] B[解析] 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B 1D ⊥平面ACD ，∴B 1D ⊥DC ，故△B 1DC 为直角三角形，设棱长为1，则有AD ＝52，B 1D ＝32，DC ＝52， ∴S △B 1DC ＝12×32×52＝158.设A 到平面B 1DC 的距离为h ，则有VA －B 1DC ＝VB 1－ADC ， ∴13×h ×S △B 1DC ＝13×B 1D ×S △ADC .∴13×h ×158＝13×32×12，∴h ＝25. 设直线AD 与平面B 1DC 所成的角为θ，则sin θ＝h AD ＝45.向量法：如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0,1,0)，B 1(3，0,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)．∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →|·|n |＝45.3．(2015·皖南八校联考)四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V －AB －C 的余弦值的大小为导学号 25401793( )A.23 B ．24C.73D ．223[答案] B[解析] 如图所示，取AB 中点E ，过V 作底面的垂线，垂足为O ，连接OE ，根据题意可知，∠VEO 是二面角V －AB －C 的平面角，因为OE ＝1，VE ＝32－1＝22，所以cos ∠VEO ＝OE VE ＝122＝24，故选B.4．(2015·某某模拟)在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是导学号 25401794( )A.66a B ．306a C.34a D ．63a [答案]A[解析] 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系；A 1(0,0，a )，M (0,0，a 2)，B (a,0,0)，D (0，a,0)，BD →＝(－a ，a,0)，BM →＝(－a,0，a 2)设平面BDM 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0－ax ＋a 2z ＝0，设x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝2∴n ＝(1,1,2)．MA 1→＝(0,0，a 2)，则点A 1到平面MBD 的距离d ＝|a2×2|6＝66a ，故选A.5．如图所示三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上，AD ＝2DA 1，点P 在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→的最小值为导学号 25401795( )A.52 B ．－14C.14 D ．－52[答案] B[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (1,0,2)，B 1(0,1,3)，设P (0,0，z )，则PD →＝(1,0,2－z )，PB 1→＝(0,1,3－z )，∴PD →·PB 1→＝0＋0＋(2－z )(3－z )＝(z －52)2－14，故当z ＝52时，PD →·PB 1→取得最小值为－14.6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB ＝PA ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为导学号 25401796( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝PA ＝1，知A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)由题意得，AD ⊥平面ABP ， 设E 为PD 的中点， 连接AE ，则AE ⊥PD ，又∵CD ⊥平面PAD ，∴AE ⊥CD ， 又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面CDP .∴AD →＝(0,1,0)和AE →＝(0，12，12)分别是平面ABP 和平面CDP 的法向量，而〈AD →，AE →〉＝45°，∴平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为45°. 二、填空题7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为____________________.导学号 25401797[答案]3010[解析] 建立坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线DE 与平面A 1BC 1的夹角的正弦值为____________________.导学号 25401798[答案]155[解析] 设正方体的棱长为2，直线DE 与平面A 1BC 1的夹角为α，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0)，E (0,2,1)，B 1(2,2,2)，∵DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→＝(2,2,2)是平面A 1BC 1的法向量，∵DE →＝(0,2,1)，∴sin α＝cos 〈DB 1→，DE →〉＝4＋24＋4＋4·5＝155. 9．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1；则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于____________________.导学号 25401799[答案]23[解析] 延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23. 10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为____________________.导学号 25401800[答案]3510[解析] 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，F (12，1,0)，D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1→＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1.∴n ＝(1,0,2)．又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.三、解答题11．(2015·新课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .导学号 25401801(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． [答案] (1)略 (2)33[解析] (1)证明：连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位长，建立空间直角坐标系G －xyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，F (－1,0，22)，C (0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝(－1，－3，22)．故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 12．(2015·某某八校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，BF ＝CF ＝AE ＝DE ，EF ＝2，EF ∥AB ，AF ⊥CF .导学号 25401802(1)若G 为FC 的中点，证明：AF ∥平面BDG ； (2)求平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值． [答案] (1)略 (2)15[解析] (1)连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，∵点G 为FC 的中点， ∴OG ∥AF .∵AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ， ∴AF ∥平面BDG .(2)取AD 的中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则MQ ∥AB ∥EF ，∴M ，Q ，F ，E 共面．作FP ⊥MQ 于P ，EN ⊥MQ 于N ，则EN ∥FP 且EN ＝FP . 连接EM ，FQ ，∵AE ＝DE ＝BF ＝CF ，AD ＝BC ，∴△ADE 和△BCF 全等，∴EM ＝FQ ， ∴△ENM 和△FPQ 全等，∴MN ＝PQ ＝1， ∵BF ＝CF ，Q 为BC 中点， ∴BC ⊥FQ ，又BC ⊥MQ ，FQ ∩MQ ＝Q ， ∴BC ⊥平面MQFE ， ∴PF ⊥BC ， ∴PF ⊥平面ABCD .以P 为原点，PM 为x 轴，PF 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (3,1,0)，B (－1,1,0)，C (－1，－1,0)，设F (0,0，h )，则AF →＝(－3，－1，h )，CF →＝(1,1，h )． ∵AF ⊥CF ，∴AF →·CF →＝0，解得h ＝2. 设平面ABF 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， AF →＝(－3，－1,2)，BF →＝(1，－1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AF →＝0n 1·BF →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1－y 1＋2z 1＝0x 1－y 1＋2z 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝2，同理得平面BCF 的一个法向量为n 2＝(－2,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝15×5＝15，∴平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值为15.B 组 能力提升1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 1的中点，则DE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值为导学号 25401803( )A.62B ．63 C. 2 D ．22[答案] C[解析] 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以D 为原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵E 为BC 1的中点， ∴D (0,0,0)，E (1,2,1)， ∴DE →＝(1,2,1)，设DE 与平面BCC 1B 1所成角的平面角为θ， ∵平面BCC 1B 1的法向量n ＝(0,1,0)， ∴sin θ＝|cos 〈DE →，n 〉|＝|26|＝63，∴cos θ＝1－632＝33，∴tan θ＝6333＝ 2. 2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝AA 1＝4，点D 是AA 1的中点，则点A 1到平面DBC 1的距离是导学号 25401804( )A. 2B ．22 C. 3 D ．32[答案] A[解析] 过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝AA 1＝4，点D 是AA 1的中点， ∴B (23，2,0)，C 1(0,4,4)，D (0,0,2)，A 1(0,0,4)， ∴DB →＝(23，2，－2)，DC 1→＝(0,4,2)，DA 1→＝(0,0,2)， 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，∴⎩⎨⎧23x ＋2y －2z ＝0，4y ＋2z ＝0，∴n ＝(3，－1,2)，∴点A 1到平面DBC 1的距离d ＝|n ·DA 1→||n |＝|0＋0＋4|3＋1＋4＝ 2.故选A.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为导学号 25401805( )A.12 B ．23 C.33D ．22[答案] B[解析] 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1. 则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝(1,0，－12)．设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝1，AA 1＝2，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1.导学号 25401806(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求直线C 1D 与平面ABC 所成角的正弦值．[答案] (1)略 (2)35555 [解析] (1)由题意知tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22，注意到0＜∠ABD ，∠AB 1B ＜π2，所以∠ABD ＝∠AB 1B ，所以∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝π2， 所以AB 1⊥BD .又CO ⊥侧面ABB 1A 1，所以AB 1⊥CO .又BD 与CO 交于点O ，所以AB 1⊥平面CBD .又BC ⊂平面CBD ，所以BC ⊥AB 1.(2)如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (0，－33，0)，B (－63，0,0)，C (0,0，33)，B 1(0，233，0)，D (66，0,0)． 因为CC 1→＝2AD →，所以C 1(63，233，33)． 所以AB →＝(－63，33，0)，AC →＝(0，33，33)，DC 1→＝(66，233，33)． 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AB →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －63x ＋33y ＝033y ＋33z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，2，－2)．设直线C 1D 与平面ABC 所成的角为α，则sin α＝|DC 1→·n ||DC 1→||n |＝35555. 5．(2015·某某)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.导学号 25401807如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值． [答案] (1)是，∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB (2)22[解析] 解法一：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ，所以PB ⊥DE .又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以PB ⊥DG .因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG .而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD .故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2，在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPF ＝∠FDB ＝π3， 则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD PD＝1＋λ2＝3，解得λ＝ 2. 所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.图1 图2解法二：(1)如图2，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0)，C (0,1,0)． PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，所以E (0，12，12)，DE →＝(0，12，12)， 于是PB →·DE →＝0，即PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因为PC →＝(0,1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ，所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ，所以DP →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量；由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以BP →＝(－λ，－1,1)是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3， 则cos π3＝|BP →·DP →|BP →|·|DP →||＝|1λ2＋2|＝12， 解得λ＝ 2.所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.。
