具有两种病毒的脉冲时滞传染病SEIR模型的研究
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Ｓ（ ） ０ ０ ＝１ ， Ｏ ＝Ｒ０ （ ） ０ ＝Ｓ ， ） ０ Ｒ（ ） （ ， ０ ：Ｖｏ Ｓ ＋１ ＋Ｒ０ ，０ ０ ＋Ｖｏ ＝Ｎｏ
，
． 、
、
此模 型假设 引 起疾 病 的病原 体有 两 种不 同的表 现形 式 ， 分别 成为 病 毒 １和病 毒 ２ 但 不 存 在 既 被病 ，
ｌ）（ｖｔｋ ， Ｓ）１ （ｔＴ Ｓ，ｋ （＝＿ｓ＝ Ｔ ＿ｔ／ ｔ 一 ｔ （＝ ｄ） ，
㈥ 一
・
３ ０・
广 西 师 范 学 院 学 报 ： 然 科 学 版 自
第２ ８卷
根据 引 理 １ 系统 （ ） ， ５ 存在全 局 渐 近稳定 的正 Ｔ 周期 解
（ ）假 如 盘 ＜ ａ ， ｌ ｘ（ ） ． １ ２￣ ｉ ａ ｒ ｔ ＝０
（ ）假 女 １ ２￣ ｌ ２ 口ｎ ＞口 ，ｌｉ Ｊｍｘ（） ｔ ＝＋Ｏ ． ０ 证 明系统 （） ３ 的无 病 Ｔ 周期 解 （ ｔ ，，） Ｓ（ ）００ 的全 局 吸 ｇ性 ， 先 证 明 Ｔ周 期 解 存 在 ， ｌ 首 即证 明下 列 系 统 正 Ｔ 周 期解 存在 ：
从 生 物学 的角度 出发 ， 下来 所有 的研 究 都在 系统 （ ） 接 ３ 的正 不变 集 Ｄ 中进 行 ， 中 其
Ｄ＝｛Ｓ ｔ ，１ｔ ，２ ｔ） （） ，ｌｔ≥０ Ｊ（ ） ， （ ） １ｔ ＋Ｊ（ ） ｝ （ （ ）Ｊ（ ） （ ） ∈Ｒ Ｉ ｔ≥０ Ｊ（） ，２ｔ≥０ Ｓ ｔ ＋Ｊ （） ２ｔ≤１ ． Ｓ
（ 一 ４ ）
（ ＝ （ ７） “ ， ＜￡ 忌 １ ， 詈一詈一 ｅ ｋ ≤（＋） ） ３ Ｔ Ｔ
其 ＝ 中 詈
（） ｔ ＞０．
．
引理 ２ 对于 方程 ｚ （ ） １ ｔ Ｊ 一ａ （ ）这 里 ｌ ， ２ ，７ ¨ ｔ ＝ｎ ｚ（ — ｒ ） ２ ｔ， ＞０ ａ ＞０ ． ＞０且对 ｔ 一 ｒ０ ， ∈［ ，］
摘 要： 讨论一类具 有两种病毒的脉 冲时滞传染 病 Ｓ Ｉ 型 ， Ｅ Ｒ模 利用脉 冲微分 方程 比较定 理 ， 得到 系统无 病周
期解全局 吸引的充分条件 ．
关键词 ： 时滞微分方程 ； 脉冲效应 ；ＥＩ Ｓ Ｒ模型 ； 全局吸引 ； 周期解
中 图 分 类 号 ： ７ ０１５ 文 献 标 识码 ： Ａ
｛ｔ （ ｔ＝ ， 【： ｘ， ｚ） ） ｋ 三） １） Ｔ －（ｔ Ｔ （：一ｚ， ｄ ≠ （ｔ ｔ ）
根据 引理 １得 到 系统 （ ） 在全 局 渐近 稳 定 的正 Ｔ 周期解 ， ６存
Ａ
＝
一
ｃ ６
（ 一ｚ ｅｄｔ Ｔ Ｔ ＜ ￡≤ （ （ ｋ）ｋ － 忌＋ １ Ｔ， ）
３ 主 要 结 果 及 证 明
引理 １ 考虑 下面 的脉 冲微 分 系统 ：
｛ｔ ａｂ）＝ｋ 【＋ （ｖ， Ｔ 口 ＝－（ ： ｖ） １ ｔｋ ， （＝一ｔ： ’ ＇： ））Ｔ （ｔ （ ｔ ， ／ ｔ＝
这 里 ａ＞０ ｂ ，＜ ＜ １则该 系统 存在 全 局渐 近稳 定正 丁 周 期解 ， ＞０ ０ ，
小的 ＞０ 使得 ， 』 ｅ幽 （ ＋ ） ９ 一 １ Ｓ ＜ ｄ ＋Ｐ＋ 口 ＋ ｒ ， ２一 （ ＋ ） ｌ １ ｌ卢 ｅ幽２ Ｓ ＜ ｄ＋ 口 ２＋ｒ ． ２
由系统 （ ） ３ 的第 １个方 程 ， 可得 Ｓ （ ） Ａ— ｔ≤ Ｓ（ ） ｔ．
考虑脉冲比较系统
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ４ １２ ．
第２ ８卷 第 ４期
文章 编 号 ：０ ２—８ ４ ｛ ０ １ ０ —０ ２ —０ １０ ７ ３ ２ １ ）４ ０ ８ ４
具 有 两 种 病 毒 的脉 冲 时 滞传 染 病 Ｓ Ｒ模 型 的 研 究 ＥＩ
黄娜 ， 黄健 民
（ 西师 范大 学 ， 西 桂 林 ５ １ ０ ） 广 广 ４ ０ ４
ｔ ＝ ｋＴ
详细讨论之前 ， 首先简化系统（ ） 由于系统的方程 １３ ４ Ｅ（ ）Ｒ（ ） ２． ，， 与 ｔ ， ｔ无关 ， 故只需研究下述系
统：
Ｓ（） ｔ ＝Ａ 一卢 ｔ Ｊ （ ） ２ ｔ Ｉ （ ） Ｓ（ ） １ （ ） １ ｔ 一 （ ） ２ ｔ 一ｄ ｔ Ｓ Ｓ
ｓ（ ）： ￡ 一（ 一Ｓ ｅｄ －Ｔ ｋ ＜ ￡ （ （ ｋ Ｔ ｔ ≤ 足＋１ Ｔ， ）
其 中
。
一 一
！ ２ 二 １ ： 二皇 １
ｄ １一（ ）一 ‘ １一 ｅ
接下来将给出系统 （） ３无病 Ｔ周期解 （ （ ）０ ０ 全局吸引的充分条件 ． ｓ ｔ ，，）
上 模 型研 究 的启发 ， 模 型进 行严谨 假 设 的情况 下 ， 对 建立 本 文所 要研 究 的具 有 两种 病毒 的脉 冲时滞 传 染
病ＳＩ Ｅ Ｒ模 型 ．
２ 脉冲时滞 Ｓ Ｉ Ｅ Ｒ模 型的建立
假 设 Ｓ（）Ｅ（ ） Ｊ（ ）Ｊ（ ）Ｒ（ ） ｔ ， ｔ ， ｔ ， ｔ ， ｔ分别 表示 ｔ 刻种 群 易感者 类 ， 时 潜伏 者 类 ， 受病 毒 １感染 得 到 的染 病 者类 ， 病毒 ２感 染 得 到 的染 病 者类 ， 出 者类 的数 量 ； ， ＝１２ 分别 为 病 毒 １和 病 毒 ２的 感 受 移 ｉ ，，
染率系数 ； ｉ ， ， ｒ，＝１２分别为 ｆ（ ）ｉ ， ， ｔ ， ＝１ ２ 的移 出率系数 ； ｄ是 自然死亡率 ； ｉ ， ａ ， ＝１ ２为 （ ） ｉ ￡， ＝
１２ 的因病 死 亡率 ； ｉ ，， 示 ，（） ｉ ，， ，， ｃ ，＝１２ 表 Ｕ ｔ ， ＝１２ 的潜伏 期 ； 表 示种 群 的 常数输 入 率 ； Ａ ０表示 脉 冲免
定 理 １ 如果 Ｒ。 ， 系统 （） ＜１则 ３ 的无 病 Ｔ 周期 解 （ ｔ ，，） 全 局 吸引 的 ， Ｓ（ ）０ Ｏ是 其 中
Ｒ。 ＝ ｍ ， ．
证 明 由于 Ｒｏ ， 得 １ 一 － ＜ｄ＋ｌ＋ａ ＋ｒ ， ｅ 幽 ＜ｄ＋ａ ＋ｒ ， ＜１ 可 ｅ如 Ｓ Ｄ １ ｌ 一ｚ Ｓ ２ ２ 因此 可 以选 择 足够
（ ７ ）
进一 步 ， 由系统 （ ） ２个 方 程 ， ｔ Ｔ（ ３第 当 ＞ｋ ｋ＞忌 ）ｔ 。ｗ ，
，ｌ ｔ ≤ ｌ一 １ ； ｔ Ｊ （ １ 一 （ ＋Ｐ＋ 口 十 ｒ ） ｌ ｔ ． （ ） ｅ幽 （ ） １ ｔ一 ） ｄ Ｓ １ １，（ ）
其 中
ｚ Ｓ ＝ ，
根据脉冲微分方程 比较定理 ， 对充分小的 ＞０ 存在一个整数 ｋ ＞０ 使得 ， ，
Ｓ（ ）＜ ｚ（ ） ， Ｔ ＜ ≤ （ ｔ ｔ＋ ｋ 是＋１ Ｔ， ） 惫＞ 惫 ， ｔ
即
Ｓ（ ）＜ ｚ（ ）＋ ≤ Ｓ ＋ ＝ ｔ ｔ
今
＋ ｓｋ＜ ≤ 忌 １ ， ｋ Ｔ ￡ （ ）ｋ ， ＋Ｔ ＞ ．
］
Ｅ） （ ¨ ） ， ＿ （
Ｒ（） ￡ ＝∑ ， ～ Ｒ ｔ ） ｄ （） （
ｉ＝ １
～ｚ一 ） ）
Ｉ是 ｆ丁 ≠
ｌ
（） ２
Ｊ （） １ 幽 （）ｌ￡ Ｕ） ｄ＋Ｉ １ １Ｊ（） ￡ ＝ｐｅ １ ￡Ｊ（ 一ｃ 一（ Ｄ ｌ 一 Ｓ １ ＋ａ ＋ｒ）１￡
］
Ｊ （） ｅ幽 Ｓ（）ｌｔ 叫） （ ＋Ｄ ａ＋ｒ）１ｔ ｔ＝ １ － ｔ工（一 １一 ｄ Ｉ １ １ （） ｌ 一 ＋
，ｚ ） （ Ｓ（ ） １ ） ｔ １ ｔ ＝（ 一 Ｓ（ ）
｝／ Ｔ ｔ ｋ ＝ ＝
．
ｅ 如 （ －０ ） ＋ ＋ｒ ） （ ） （ ） 一 ２ （ ） ｚ ｔ ０ 一（ ２ ２ － ＋ ｌ ｓ ２ ｆＪ
毒１ 感染又被病毒 ２ 感染的个体 ， 并假设病毒 １ 可以向病毒 ２变异 ， 变异率为 ｐ Ｖ（ ） ｔ ． ｔ 为 时刻接种疫 苗类 ， 接种 疫苗 率 为 ． 据 我们 所 知 ， 于 多重病 原 体 引发 的流行 病 的研 究 很少 ， 关 需要 考 虑 的 因素 也很 多 、 复 杂 ． 于 以 很 基
（） ３
Ｊ（ ＝，（） １ｔ ） １ｔ
Ｉ （ ） ２ ｔ ２ ｔ ＝Ｉ （ ） 系统 （ ） ３ 的初 始条 件为
｝＝ｋ ． Ｔ
Ｊ
（ （ ， （ ， （ ） １ Ｅ） ２ Ｅ） ３ Ｅ） ∈Ｃ＋ ＝ｃ（ 一∞ ０ ， ＋ ， ＝ ｘ １∞ ｝ （ ＞０ ｉ ， ，． ［ ， ］Ｒ３ ６ ｍａ ｛ ， ２ ， Ｅ） ，＝１２３ ）０
２１ 年 １ ０１ ２月
广西师范 学院学报 ： 自然 科学版
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｉ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｎＵｎｖｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ｏ ｒ ａ ｆＧｕ ｎ ｘ ｃ ｅｓＥ ｕ ａｉ ｉｅｓｔ ： ｔｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｎ Ｔｅ ｏ Ｓ ｉ
Ｄ ｃ ２ １ ｅ．０ １
１ 引 言
传染病的数学理论 中， 传染病模型的研究已经成为一个重要 的领域 ． 多传染病 （ 许 例如肺结核 、 麻
疹 、 滋病 和 Ｓ Ｒ 艾 Ａ Ｓ等 ） 有 潜伏 期 ． 都 易感 者被 感 染后 经 过 一 个 潜伏 期 后 变 为 染 病 者 ． 近年 来 ， 多传 很 染病模型都考虑了时滞 因素… ， 利用时滞描述疾病的潜伏期 ， 使得模型更符合实际 ． 在传染病的预防方 面 ， 狂犬 病 、 如 黄热 病 、 Ｂ型肝 炎 、 Ｂ型脑 炎等 方 面 ， 冲 接种 已经 被证 明是 非 常有 效 的方 法 ． 脉 谢 丽 红等讨 论 了一 类带 接 种疫 苗 的两病 毒 流行 病模 型 ： Ｓ （） ｔ ＝Ａ — ｔ Ｊ ｔＩ ｔ 一（ ＋ Ｓ（ ） １ ｌ ） （ ）Ｎ（ ） ） ｔ ＋（ 一ｚ） Ｔ ｔ 一ｊ ｔＪ ｔ／ ｔ Ｓ（ ｐＥ（） ９Ｓ（） （ ）Ｎ（ ） ２ Ｅ （） 一（ ＋７ Ｅ（ ） １ ｔ Ｊ ｔ／ ｔ ＋卢 Ｉ ｔ Ｖ（）Ｎ（ ） ｔ＝ ） ｔ ＋ ） （ ）Ｎ（ ） １ （ ） ｔ／ ｔ Ｓ（ ８ ｆ（ ） １ ） ｔ Ｊ ｔ／ ｔ ＋ｑ Ｅ ｔ 一（ ＋ｌ Ｊ ｔ ｔ ＝（ 一ａ １ ） （ ）Ｎ（ ） （ ） ０ （ ） Ｓ（ ） Ｊ （ ） ９Ｓ（ ） （ ）Ｎ（ ） （） Ｉ ｔ ｔ ＝ｌ ｔＪ ｔ／ ｔ 一． ｔ ＋ｐ （） ２ Ｖ ｔ ＝ （ ） Ｓ（ ） 】 （） （）Ｎ（ ） Ｅ（ ） （ ） ｔ 一 ｔ ｔ／ ｔ ＋ｚ ｔ一 ｔ
，
． 、
、
此模 型假设 引 起疾 病 的病原 体有 两 种不 同的表 现形 式 ， 分别 成为 病 毒 １和病 毒 ２ 但 不 存 在 既 被病 ，
ｌ）（ｖｔｋ ， Ｓ）１ （ｔＴ Ｓ，ｋ （＝＿ｓ＝ Ｔ ＿ｔ／ ｔ 一 ｔ （＝ ｄ） ，
㈥ 一
・
３ ０・
广 西 师 范 学 院 学 报 ： 然 科 学 版 自
第２ ８卷
根据 引 理 １ 系统 （ ） ， ５ 存在全 局 渐 近稳定 的正 Ｔ 周期 解
（ ）假 如 盘 ＜ ａ ， ｌ ｘ（ ） ． １ ２￣ ｉ ａ ｒ ｔ ＝０
（ ）假 女 １ ２￣ ｌ ２ 口ｎ ＞口 ，ｌｉ Ｊｍｘ（） ｔ ＝＋Ｏ ． ０ 证 明系统 （） ３ 的无 病 Ｔ 周期 解 （ ｔ ，，） Ｓ（ ）００ 的全 局 吸 ｇ性 ， 先 证 明 Ｔ周 期 解 存 在 ， ｌ 首 即证 明下 列 系 统 正 Ｔ 周 期解 存在 ：
从 生 物学 的角度 出发 ， 下来 所有 的研 究 都在 系统 （ ） 接 ３ 的正 不变 集 Ｄ 中进 行 ， 中 其
Ｄ＝｛Ｓ ｔ ，１ｔ ，２ ｔ） （） ，ｌｔ≥０ Ｊ（ ） ， （ ） １ｔ ＋Ｊ（ ） ｝ （ （ ）Ｊ（ ） （ ） ∈Ｒ Ｉ ｔ≥０ Ｊ（） ，２ｔ≥０ Ｓ ｔ ＋Ｊ （） ２ｔ≤１ ． Ｓ
（ 一 ４ ）
（ ＝ （ ７） “ ， ＜￡ 忌 １ ， 詈一詈一 ｅ ｋ ≤（＋） ） ３ Ｔ Ｔ
其 ＝ 中 詈
（） ｔ ＞０．
．
引理 ２ 对于 方程 ｚ （ ） １ ｔ Ｊ 一ａ （ ）这 里 ｌ ， ２ ，７ ¨ ｔ ＝ｎ ｚ（ — ｒ ） ２ ｔ， ＞０ ａ ＞０ ． ＞０且对 ｔ 一 ｒ０ ， ∈［ ，］
摘 要： 讨论一类具 有两种病毒的脉 冲时滞传染 病 Ｓ Ｉ 型 ， Ｅ Ｒ模 利用脉 冲微分 方程 比较定 理 ， 得到 系统无 病周
期解全局 吸引的充分条件 ．
关键词 ： 时滞微分方程 ； 脉冲效应 ；ＥＩ Ｓ Ｒ模型 ； 全局吸引 ； 周期解
中 图 分 类 号 ： ７ ０１５ 文 献 标 识码 ： Ａ
｛ｔ （ ｔ＝ ， 【： ｘ， ｚ） ） ｋ 三） １） Ｔ －（ｔ Ｔ （：一ｚ， ｄ ≠ （ｔ ｔ ）
根据 引理 １得 到 系统 （ ） 在全 局 渐近 稳 定 的正 Ｔ 周期解 ， ６存
Ａ
＝
一
ｃ ６
（ 一ｚ ｅｄｔ Ｔ Ｔ ＜ ￡≤ （ （ ｋ）ｋ － 忌＋ １ Ｔ， ）
３ 主 要 结 果 及 证 明
引理 １ 考虑 下面 的脉 冲微 分 系统 ：
｛ｔ ａｂ）＝ｋ 【＋ （ｖ， Ｔ 口 ＝－（ ： ｖ） １ ｔｋ ， （＝一ｔ： ’ ＇： ））Ｔ （ｔ （ ｔ ， ／ ｔ＝
这 里 ａ＞０ ｂ ，＜ ＜ １则该 系统 存在 全 局渐 近稳 定正 丁 周 期解 ， ＞０ ０ ，
小的 ＞０ 使得 ， 』 ｅ幽 （ ＋ ） ９ 一 １ Ｓ ＜ ｄ ＋Ｐ＋ 口 ＋ ｒ ， ２一 （ ＋ ） ｌ １ ｌ卢 ｅ幽２ Ｓ ＜ ｄ＋ 口 ２＋ｒ ． ２
由系统 （ ） ３ 的第 １个方 程 ， 可得 Ｓ （ ） Ａ— ｔ≤ Ｓ（ ） ｔ．
考虑脉冲比较系统
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ４ １２ ．
第２ ８卷 第 ４期
文章 编 号 ：０ ２—８ ４ ｛ ０ １ ０ —０ ２ —０ １０ ７ ３ ２ １ ）４ ０ ８ ４
具 有 两 种 病 毒 的脉 冲 时 滞传 染 病 Ｓ Ｒ模 型 的 研 究 ＥＩ
黄娜 ， 黄健 民
（ 西师 范大 学 ， 西 桂 林 ５ １ ０ ） 广 广 ４ ０ ４
ｔ ＝ ｋＴ
详细讨论之前 ， 首先简化系统（ ） 由于系统的方程 １３ ４ Ｅ（ ）Ｒ（ ） ２． ，， 与 ｔ ， ｔ无关 ， 故只需研究下述系
统：
Ｓ（） ｔ ＝Ａ 一卢 ｔ Ｊ （ ） ２ ｔ Ｉ （ ） Ｓ（ ） １ （ ） １ ｔ 一 （ ） ２ ｔ 一ｄ ｔ Ｓ Ｓ
ｓ（ ）： ￡ 一（ 一Ｓ ｅｄ －Ｔ ｋ ＜ ￡ （ （ ｋ Ｔ ｔ ≤ 足＋１ Ｔ， ）
其 中
。
一 一
！ ２ 二 １ ： 二皇 １
ｄ １一（ ）一 ‘ １一 ｅ
接下来将给出系统 （） ３无病 Ｔ周期解 （ （ ）０ ０ 全局吸引的充分条件 ． ｓ ｔ ，，）
上 模 型研 究 的启发 ， 模 型进 行严谨 假 设 的情况 下 ， 对 建立 本 文所 要研 究 的具 有 两种 病毒 的脉 冲时滞 传 染
病ＳＩ Ｅ Ｒ模 型 ．
２ 脉冲时滞 Ｓ Ｉ Ｅ Ｒ模 型的建立
假 设 Ｓ（）Ｅ（ ） Ｊ（ ）Ｊ（ ）Ｒ（ ） ｔ ， ｔ ， ｔ ， ｔ ， ｔ分别 表示 ｔ 刻种 群 易感者 类 ， 时 潜伏 者 类 ， 受病 毒 １感染 得 到 的染 病 者类 ， 病毒 ２感 染 得 到 的染 病 者类 ， 出 者类 的数 量 ； ， ＝１２ 分别 为 病 毒 １和 病 毒 ２的 感 受 移 ｉ ，，
染率系数 ； ｉ ， ， ｒ，＝１２分别为 ｆ（ ）ｉ ， ， ｔ ， ＝１ ２ 的移 出率系数 ； ｄ是 自然死亡率 ； ｉ ， ａ ， ＝１ ２为 （ ） ｉ ￡， ＝
１２ 的因病 死 亡率 ； ｉ ，， 示 ，（） ｉ ，， ，， ｃ ，＝１２ 表 Ｕ ｔ ， ＝１２ 的潜伏 期 ； 表 示种 群 的 常数输 入 率 ； Ａ ０表示 脉 冲免
定 理 １ 如果 Ｒ。 ， 系统 （） ＜１则 ３ 的无 病 Ｔ 周期 解 （ ｔ ，，） 全 局 吸引 的 ， Ｓ（ ）０ Ｏ是 其 中
Ｒ。 ＝ ｍ ， ．
证 明 由于 Ｒｏ ， 得 １ 一 － ＜ｄ＋ｌ＋ａ ＋ｒ ， ｅ 幽 ＜ｄ＋ａ ＋ｒ ， ＜１ 可 ｅ如 Ｓ Ｄ １ ｌ 一ｚ Ｓ ２ ２ 因此 可 以选 择 足够
（ ７ ）
进一 步 ， 由系统 （ ） ２个 方 程 ， ｔ Ｔ（ ３第 当 ＞ｋ ｋ＞忌 ）ｔ 。ｗ ，
，ｌ ｔ ≤ ｌ一 １ ； ｔ Ｊ （ １ 一 （ ＋Ｐ＋ 口 十 ｒ ） ｌ ｔ ． （ ） ｅ幽 （ ） １ ｔ一 ） ｄ Ｓ １ １，（ ）
其 中
ｚ Ｓ ＝ ，
根据脉冲微分方程 比较定理 ， 对充分小的 ＞０ 存在一个整数 ｋ ＞０ 使得 ， ，
Ｓ（ ）＜ ｚ（ ） ， Ｔ ＜ ≤ （ ｔ ｔ＋ ｋ 是＋１ Ｔ， ） 惫＞ 惫 ， ｔ
即
Ｓ（ ）＜ ｚ（ ）＋ ≤ Ｓ ＋ ＝ ｔ ｔ
今
＋ ｓｋ＜ ≤ 忌 １ ， ｋ Ｔ ￡ （ ）ｋ ， ＋Ｔ ＞ ．
］
Ｅ） （ ¨ ） ， ＿ （
Ｒ（） ￡ ＝∑ ， ～ Ｒ ｔ ） ｄ （） （
ｉ＝ １
～ｚ一 ） ）
Ｉ是 ｆ丁 ≠
ｌ
（） ２
Ｊ （） １ 幽 （）ｌ￡ Ｕ） ｄ＋Ｉ １ １Ｊ（） ￡ ＝ｐｅ １ ￡Ｊ（ 一ｃ 一（ Ｄ ｌ 一 Ｓ １ ＋ａ ＋ｒ）１￡
］
Ｊ （） ｅ幽 Ｓ（）ｌｔ 叫） （ ＋Ｄ ａ＋ｒ）１ｔ ｔ＝ １ － ｔ工（一 １一 ｄ Ｉ １ １ （） ｌ 一 ＋
，ｚ ） （ Ｓ（ ） １ ） ｔ １ ｔ ＝（ 一 Ｓ（ ）
｝／ Ｔ ｔ ｋ ＝ ＝
．
ｅ 如 （ －０ ） ＋ ＋ｒ ） （ ） （ ） 一 ２ （ ） ｚ ｔ ０ 一（ ２ ２ － ＋ ｌ ｓ ２ ｆＪ
毒１ 感染又被病毒 ２ 感染的个体 ， 并假设病毒 １ 可以向病毒 ２变异 ， 变异率为 ｐ Ｖ（ ） ｔ ． ｔ 为 时刻接种疫 苗类 ， 接种 疫苗 率 为 ． 据 我们 所 知 ， 于 多重病 原 体 引发 的流行 病 的研 究 很少 ， 关 需要 考 虑 的 因素 也很 多 、 复 杂 ． 于 以 很 基
（） ３
Ｊ（ ＝，（） １ｔ ） １ｔ
Ｉ （ ） ２ ｔ ２ ｔ ＝Ｉ （ ） 系统 （ ） ３ 的初 始条 件为
｝＝ｋ ． Ｔ
Ｊ
（ （ ， （ ， （ ） １ Ｅ） ２ Ｅ） ３ Ｅ） ∈Ｃ＋ ＝ｃ（ 一∞ ０ ， ＋ ， ＝ ｘ １∞ ｝ （ ＞０ ｉ ， ，． ［ ， ］Ｒ３ ６ ｍａ ｛ ， ２ ， Ｅ） ，＝１２３ ）０
２１ 年 １ ０１ ２月
广西师范 学院学报 ： 自然 科学版
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｉ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｎＵｎｖｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ｏ ｒ ａ ｆＧｕ ｎ ｘ ｃ ｅｓＥ ｕ ａｉ ｉｅｓｔ ： ｔｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｎ Ｔｅ ｏ Ｓ ｉ
Ｄ ｃ ２ １ ｅ．０ １
１ 引 言
传染病的数学理论 中， 传染病模型的研究已经成为一个重要 的领域 ． 多传染病 （ 许 例如肺结核 、 麻
疹 、 滋病 和 Ｓ Ｒ 艾 Ａ Ｓ等 ） 有 潜伏 期 ． 都 易感 者被 感 染后 经 过 一 个 潜伏 期 后 变 为 染 病 者 ． 近年 来 ， 多传 很 染病模型都考虑了时滞 因素… ， 利用时滞描述疾病的潜伏期 ， 使得模型更符合实际 ． 在传染病的预防方 面 ， 狂犬 病 、 如 黄热 病 、 Ｂ型肝 炎 、 Ｂ型脑 炎等 方 面 ， 冲 接种 已经 被证 明是 非 常有 效 的方 法 ． 脉 谢 丽 红等讨 论 了一 类带 接 种疫 苗 的两病 毒 流行 病模 型 ： Ｓ （） ｔ ＝Ａ — ｔ Ｊ ｔＩ ｔ 一（ ＋ Ｓ（ ） １ ｌ ） （ ）Ｎ（ ） ） ｔ ＋（ 一ｚ） Ｔ ｔ 一ｊ ｔＪ ｔ／ ｔ Ｓ（ ｐＥ（） ９Ｓ（） （ ）Ｎ（ ） ２ Ｅ （） 一（ ＋７ Ｅ（ ） １ ｔ Ｊ ｔ／ ｔ ＋卢 Ｉ ｔ Ｖ（）Ｎ（ ） ｔ＝ ） ｔ ＋ ） （ ）Ｎ（ ） １ （ ） ｔ／ ｔ Ｓ（ ８ ｆ（ ） １ ） ｔ Ｊ ｔ／ ｔ ＋ｑ Ｅ ｔ 一（ ＋ｌ Ｊ ｔ ｔ ＝（ 一ａ １ ） （ ）Ｎ（ ） （ ） ０ （ ） Ｓ（ ） Ｊ （ ） ９Ｓ（ ） （ ）Ｎ（ ） （） Ｉ ｔ ｔ ＝ｌ ｔＪ ｔ／ ｔ 一． ｔ ＋ｐ （） ２ Ｖ ｔ ＝ （ ） Ｓ（ ） 】 （） （）Ｎ（ ） Ｅ（ ） （ ） ｔ 一 ｔ ｔ／ ｔ ＋ｚ ｔ一 ｔ
