2018版高中数学人教B版必修三学案：第一单元 疑难规律方法：第一章 算法初步 Word版含答案

1 算法概念的诠释 同学们也许对算法这个概念很陌生，但其实大家在日常生活中已经接触过很多算法了．广义地说，算法就是做某一件事情的步骤或程序．菜谱是做菜肴的“算法”，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的“算法”．算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础，它可理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤． 一、算法的特征 1．确定性 确定性：算法中的每条运算规则必须是明确定义的、可行的，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，运行终止应得到问题的解答或指出问题没有解答． 2．有限性 一个算法必须保证在执行有限步后结束，不能出现无限循环或死循环．这里说的“有限性”一般指算法在合理的范围以内，一般由人们的常识和需要以及计算机性能而定．例如，计算机执行一个算法需要一千年才能结束，这个算法虽然有限，但超过了合理的限度，因而也不是一个有效算法． 二、算法的思想 在数学中，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结论，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步去完成，这就是算法的思想，即程序化思想．它强调的是通性通法，给出一个算法，实际上是给出了一种解决问题(特别是数学问题)的方法． 三、特别提示 1．在算法的理解方面，是指使用一系列运算规则，能在有限步骤内求解某类问题，其中每条 规则必须是明确定义的，可行的． 2．算法中的每一步应该是确定的并且能够有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可，如求的近似值却没有要求近似的精确度，则该问题不能求解． 3．在设计算法时，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的． 4．只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、最简便的方法，比如在写解方程x2－3x－4＝0的算法时，用求根公式来做，步骤则较为简洁． 5．求解某一个问题的算法一般不是唯一的，我们通常选择较为简单的算法． 四、典例分析 例1 已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题． 分析 对于已知等边三角形的边长求面积的题目．同学们已经很熟悉，回顾其中的解题过程不难得到这个问题的算法步骤． 解 算法步骤如下： 第一步，输入a的值． 第二步，计算l＝a3的值． 第三步，计算S＝34×l2的值． 第四步，输出S的值． 例2 下面给出了一个问题的算法： 第一步，输入x. 第二步，若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步． 第三步，输出2x－1. 第四步，输出x2－2x＋3. 这个算法解决的问题是什么？ 分析 依据题目给出的算法步骤依次执行，分别写出其对应的结果就可以很容易解决此题． 解 这个算法先是输入一个变量x，当x≥4时输出2x－1，当x<4时输出x2－2x＋3，不难发

现这个算法解决的问题是求分段函数f(x)＝ 2x－1，x≥4，x2－2x＋3，x<4的函数值． 2 典型算法举例 1．解方程(方程组)、不等式的算法 例1 用自然语言描述求一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根的算法． 思维切入 对于求方程的根，解方程组这样的数值型的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可．因此我们很容易得到下面的算法． 解 用自然语言来描述算法， S1 计算Δ＝b2－4ac；

S2 如果Δ<0，则原方程无实数解，否则(Δ≥0)x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a. S3 输出x1，x2或无实数解的信息． 评注 第二步中包含了一个判断Δ＝b2－4ac是否小于零的条件，并根据判断结果进行不同的处理，在算法中称作条件分支结构． 例2 写出解x2－4x＋3<0的算法． 思维切入 只要把平时的固定解法有条理地写出来，即为解不等式的算法． 解 S1 求出对应方程的根x1＝1，x2＝3； S2 确定根的大小x1S3 写出解集{x|12．套用公式求值的算法 例3 已知摄氏温度C与华氏温度F的关系是F＝C×95＋32，写出由摄氏温度求华氏温度的算法． 思维切入 这是一个函数求值问题，给C赋值再代入解析式求F. 解 S1 输入摄氏温度C； S2 代入F＝C×95＋32； S3 输出华氏温度F. 评注 平时计算我们只注重第二步，其他步骤往往忽略了，算法却讲究“按部就班”，这类问题的算法一般分为三步：第一步输入值，第二步套用公式，第三步输出结果． 3．判断性质型问题的算法 例4 试描述判断圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0位置关系的算法． 思维切入 直线与圆的关系有三种：相离、相切、相交，如果圆心到直线的距离d>r，则直线与圆相离，d＝r则直线与圆相切，d离d，然后再和r比较． 解 S1 输入圆心的坐标、直线方程的系数和半径r； S2 计算z1＝Ax0＋By0＋C； S3 计算z2＝A2＋B2； S4 计算d＝|z1|z2； S5 如果d>r则相离；如果d＝r则相切；如果d评注 算法要求分解成简单计算，不要直接计算 d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2. 4．累加、累乘问题的算法 例5 用自然语言描述求解mul＝1×2×3×4×5×6问题的算法． 思维切入 根据算法的特点，我们学过的加、减、乘、除运算法则都是算法，只要按照具体的规则有步骤地描述过程，便有了该题的算法． 解 S1 计算1×2，得2； S2 将S1中的运算结果2与3相乘得6； S3 将S2中的运算结果6与4相乘得24； S4 将S3中的运算结果24与5相乘得120； S5 将S4中的运算结果120与6相乘得720. 评注 一眼就看出答案来了，为什么还一步一步地做，太枯燥了，但是相乘的数小、数少还能看出，如果数多了，数大了没有这样的步骤就很难解决这一类问题． 思维拓展 该算法包含一个重复操作的过程是循环结构，我们可将算法改造得更为简练、科学． 解 S1 设i＝1，P＝1； S2 如果i≤6执行S3，否则执行S5； S3 计算P×i并将结果代替P； S4 将i＋1代替i，转去执行S2； S5 输出P. 评注 i称作计数变量，每一次循环它的值增加1，由1变到6，P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，然后新的结果代替原值．

3 程序框图画法全知晓 一、画程序框图的基本步骤 第一步，设计算法，因为算法的设计是画程序框图的基础，所以画程序框图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本逻辑结构(顺序结构、条件分支结构、循环结构)完成． 第二步，把算法步骤转化为对应的程序框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程． 第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上起、止框，得到整个表示算法的程序框图． 二、画程序框图的规则 1．使用标准的框图符号． 2．框图一般按从上到下、从左到右的方向来画． 3．除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号． 4．在图形符号内描述的语言要简练清楚． 三、典例分析 1．顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不 开的结构．若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画程序框图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉及顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述． 2．条件分支结构 设计程序框图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入条件分支结构． 例1如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x(0分析 先根据题意写出算法，再根据算法画出程序框图．即 第一步，按照题意，y与x的关系满足分段函数：

y＝ 2x，0第二步，用合适的含条件分支结构的程序框图表示该分段函数． 解 程序框图如图所示．

点评 该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应．同时，在画程序框图时，要特别注意图形符号的规范性． 3．循环结构 如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决． 例2某机械厂为增加产值进行了技术革新．据统计2014年的生产总值为500万元，技术革新后预计每年的生产总值比上一年增加5%，求最早要到哪一年生产总值才能超过600万元，试用程序框图表示． 分析 用变量n，a分别表示所经过的年数和生产总值的数量，注意变量的初始值以及递加的值是多少．由题意知第n年后的生产总值为a＝500(1＋0.05)n，此时为(2014＋n)年．由于题中进行了重复的运算，故应引入循环结构． 解 程序框图如图所示． 点评 在本例中，给出了一种循环结构的框图，另一种循环结构(先执行循环体，再判断条件是否成立)，同学们可以自行完成．

4 例说条件分支结构 条件分支结构是三种基本逻辑结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等．下面就其应用略举两例，供同学们学习时参考． 一、分段函数求值问题

例1已知函数y＝ －x＋1，x>0，0，x＝0，x＋3，x<0，请设计程序框图，要求输入自变量x，输出函数值y. 分析 输入自变量x的值，首先判断x与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值． 解 程序框图如图．