泰勒公式及应用论文

本科生毕业论文(设计)题目：泰勒公式及其应用学生姓名：康林学号： 200810010207专业班级：应数08102班指导教师：邹庆云完成时间： 2012年5月泰勒公式及其应用数学与应用数学专业学生：康林指导老师：邹庆云目录摘要 (3)关键词 (3)0引言 (4)1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点 (4)1.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式 (4)1.2 带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式 (4)2 泰勒Taylor公式的应用 (5)2.1 利用泰勒公式求极限 (5)2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式 (5)2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限 (6)2.2 泰勒公式在不等式证明中的应用 (7)2.2.1 简单不等式的证明 (7)2.2.2 有关定积分不等式的证明 (8)2.2.3 一般不等式的证明 (9)2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用 (10)2.3.1 近似计算估值 (10)2.3.2 定积分的近似计算 (10)2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用 (11)2.5 估计无穷小量的阶 (13)2.6 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 (15)2.7 泰勒公式在其他方面的应用 (16)2.7.1 利用泰勒公式求函数在点处的高阶导数 (16)2.7.2 求某些微分方程的解 (17)2.7.3 求行列式的值 (18)参考文献： (20)致谢: (18)摘要：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用.本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限，不等式的证明，近似计算，中值问题的证明，估计无穷小量的阶，判定二元极限的存在性以及求高阶导数、求微分方程的解，求解行列式等方面的应用及技巧.通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果.关键词：泰勒公式，应用，微积分，极限，行列式Abstract：Taylor's formula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression of the calculus "approximation" of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This article discusses some of the basic Taylor formula, and the analysis of the main methods used, for example, described in the Taylor formula for the limit, the inequality that approximate calculation, the value of the proven, it isestimated that a small amount of the endless band, the dual determine the limit And the existence of derivatives for high-end, and the solution of differential equations, such as the determinant for the application and skill. Through the above aspects of the study so that we in the special circumstances of a particular ideology, so that problem solving can play a multiplier effect.Key words:Taylor's formula, Applications, Calculus , Limit , Determinant；0引言多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式的特点就在于用一个n 次多项式)(x P n 去逼近一个已知的函数)(x f ，而且这种逼近具有很好的性质，充分体现了微积分“逼近法”的精髓，在数学的多个方面都有运用.1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点1.1 带有佩亚诺（Peano ）型余项的泰勒公式若函数)(x f 在点0x 处n 阶可导，则带Peano 型余项的Taylor 公式为：n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)('))((')()(00)(200000-++-+-+= ])[(0n x x o -+ )(0x x → （1.1）带Peano 型余项的公式Taylor 对函数)(x f 的展开要求较低，它只要求)(x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单.（1.1）说明当0x x →时用左端的Taylor 多项式k n k k n x x k x f x T )(!)()(000)(-=∑=代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0→的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态.但Peano 余项])[(0n x x o -难以说明误差范围，一般不适应对此余项作定量估计.换句话说，带Peano 型余项的Taylor 公式适合于对)(x f 在0x x →时作性态分析.因此，在处理0x x →时的极限计算问题时，可以考虑对有关函数采用这种展开方式，从而达到简化运算的目的.1.2 带有拉格朗日（Lagrange ）型余项的泰勒公式若函数在点的某领域内阶可导，则带Lagrange 型余项的Taylor 公式为：nn x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)('))((')()(00)(200000-++-+-+= n n x x n f )()!1()(0)1(-+++ξ （ξ介于0,x x 之间） （1.2） 带Lagrange 型余项的Taylor 公式对函数)(x f 的展开要求较高，形式也相对复杂，但因为（1.2）对)(0x U x ∈∀均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同）.因此，这反映出函数)(x f 在领域)(0x U 内的全局性态.对Lagrange 余项n n x x n f )()!1()(0)1(-++ξ通常情况下可以作定量估算，确定其大致的误差范围.因此，带Lagrange 型余项的Taylor 公式适合于研究)(x f 在区间上的全局性态，例如：用于证明中值问题的等式或不等式关系，等等.2 泰勒Taylor 公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限对有些极限问题，利用带Peano 型余项的泰勒公式求出极限是十分有效的方法，要比诸如洛必达法则，等价无穷小代换的方法来得简便，但需要对一些常用的泰勒公式较熟悉.2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式（1）)(!!212n nx x o n x x x e +++++= （2）)()!12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=-- （3）)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x （4）)()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+++-=+-（5）)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n a x o x n n a a a x a a ax x ++--++-++=+ （6）)(1112n n x o x x x x+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 表示当0→x 时，它是一个较n x 高阶的无穷小，亦即有 0)(lim 0=→nn x x x o ；根据这个定义容易验证：当0→x 时有： （1）)()()(n n n x o x o x o =+ )0(>n（2）)()()(n n m x o x o x o =± )0(>>n m（3）)()()(n m n m x o x o x o +=⋅ )0,(>n m（4）)()(n m n m x o x o x +=⋅ )0,(>n m（5） )()(n n x o x o C =⋅ )0,0(>≠n C2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限例1，求极限4202cos x e x Lim x x -→-解：)(2421cos 542x x x x ++-= )(82154222x x x e x ++-=- )(12cos 5422x x e x x +-=-- 因而求得121)(121cos 45404202-=+-=-→-→x x x Lim x e x Lim x x x利用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法.我们知道，当0→x 时，x x x x ~tan ,~sin 等.这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项.有些问题用泰勒公式方法和我们已经熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化.例2，求1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0---- . 解： 由1sin 2x x x x e ---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+ =34333()()6126o o x x x x x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o x x =+ 于是 1sin 2lim sin cos x x x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+， 可以看出例2这道题，若是用洛必达法则是相当繁琐的，而用泰勒公式和等价无穷小的方法相结合来考虑来做就简单很多.运用泰勒公式方法求极限时，需要注意的一个问题是：将函数展开至多少项才可以呢？其实从例题中不难看出：只需要展开至分子和分母分别经过简化后系数不为零的阶数即可.2.2 泰勒公式在不等式证明中的应用2.2.1 简单不等式的证明例3 当0≥x 时，证明：361sin x x x -≥ 证明：取361sin )(x x x x f +-=，00=x 则 0)0(=f 0)0(='f 0)0(=''fx x f cos 1)(-=''' 0)0(='''f代入泰勒公式，其中 3=n得 3!3cos 1000)(x x x f θ-+++= 当0≥x 时 0!3cos 13≥-x x θ 故 当0≥x 时，得 361sin x x x -≥ . 有时候所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合不等式，不妨作一个辅 助函数并用泰勒公式替代，往往使证明方便简捷.2.2.2 有关定积分不等式的证明例4 设)(x f 在],[b a 上单调增加，且0)(>''x f ，证明： 2)()()()()()(b f a f a b dx x f a f a b b a +-<<-⎰ （2.2.1） 证明：（1）先证 dx x f a f a b ba ⎰<-)()()( 由题意，对],[b a x ∈∀，当a x >时 )()(a f x f >故 )()()(a f a b dx x f ba ->⎰ （2.2.2） （2）再证 2)()()()(b f a f a b dx x f b a +-<⎰ 对],[b a t ∈∀，)(x f 在点x 处的泰勒展开式为 2))((!21))(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ（ξ在t 与x 之间） （2.2.3） 因0)(>''ξf ，所以 ))(()()(x t x f x f t f -'+> （2.2.4）将a t b t ==,分别代入式（2.2.4）并相加，得)(2)()()(2)()(''x xf x f b a x f a f b f -++>+ （2.2.5）对（2.2.5）式的两边在],[b a 上的积分，则⎰⎰⎰-++>-+b a b a ba dx x xf dx x fb a dx x f a b a f b f )(2)()()(2))](()(['' （2.2.6）⇒ ⎰>-+ba dx x f ab a f b f )(4))](()([2 （2.2.7） 故 2)()()()(b f a f a b dx x f b a +-<⎰ （2.2.8） 由式（2.2.2）与式（2.2.8）可知（2.2.1）式成立.利用泰勒公式对定积分不等式进行证明，主要针对的类型是：已知被积函数)(x f 二阶或者二阶以上可导且又知最高阶导数的符号.通过直接写出)(x f 的泰勒展开式，根据题意对展开式进行缩放，从而证明命题.2.2.3 一般不等式的证明例5 在[a,b]上f(x)>0，且()0n x f <，试证明2max ()()b aa xb f x f x dx b a <<<∫- 证明： 任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件()0n x f <可得 ()()f p f x =+()x ´ƒ22()()(2p x p f ξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x - （2.2.9）()()f q f x =+()x ´ƒ222()()(2q x q f ξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x - （2.3.0）（2.2.0）×()q x -+（2.3.0）×()x p -得 ()p ƒ()q x -+()()f q x p -()()f x q p <-所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()q p x dx dx <(q-p)∫ƒ 即 ()()()()2q p f p f q q p x dx +-<∫ƒ （2.3.1） 设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x bx <<ƒ 根据（2.3.1）及()x ƒ >0得 ()()()b c b a a c x dx x dx x dx ∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2f a f c +>+()()()2f c f b b c +-()()()()()()222f c f c f c c a b c b a >-+-=- 即 2max ()()b a a x bf x f x dx b a <<<∫- 利用泰勒公式解决一般不等式的证明，只要适用于题目中的函数)(x f 具有二阶或二阶以上导数且最高阶导数的大小或上下界可知的命题.在进行证明时，首先写出比高阶导数低一阶的泰勒展开式，然后恰当地选择等式两边的x 与0x .特别要注意的是：展开点不一定以0x 为最合适，有时以x 为展开点，题目更容易处理.最后，根据所给的最高阶导数的大小或界，对展开式进行缩放，从而使命题得证.2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用2.3.1 近似计算估值例6 计算e 的值，使其误差不超过610-.解：x e x f =)(,由x n e x f =+)()1(,得到),(,10,)!1(!!2112+∞-∞∈<<++++++=+x x n e n x x x e n xn xθθ 有:)!1(!1!2111++++++=n e n e θ故 )!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ,当9=n 时,便有 691036288003!103)1(-<=<R 从而略去)1(9R 而求得的近似值为718285.2!91!31!2111≈+++++≈ e 2.3.2 定积分的近似计算例7 求210x e dx -⎰的近似值,精确到510-.解： 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在x e 的展开式中以2x -代替 x 得24221(1)2!!nx nx x e x n -=-+++-+逐项积分,得242111112000001(1)2!111111(1)32!52n 111111111310422161329936075600n x nn x x e dx dx x dx dx dx n n -=-+-+-+=-+-+-++=-+-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！！上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知2711||0.0000157560011111110.7468363104221613299360x R e dx -≤<≈-+-+-+≈⎰所以能够精确计算定积分的函数，只是大量函数中很少的一部分.事实上，在实际计算定积分时不能得到它的准确值时，即只能求出其近似值时，这时，运用泰勒公式对函数的定积分进行近似计算是一种非常行之有效的好方法.2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用例8 设函数)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且0)1(=-f ,1)1(=f ,0)0(='f , 证明：在)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)(='''ξf .证明：由麦克劳林公式，得32!3)()0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η'''+''+'+= (η在0和x 之间) 分别令1-=x ，1=x ，并将所得的两式相减，得 6)()(21='''+'''ηηf f (011<<-η,102<<η)由)(x f '''的连续性知，)(x f '''在],[21ηη上有最大值M 和最小值m则有 M f f m ≤'''+'''≤)]()([2121ηη由连续函数的介值定理知，至少存在一点 )1,1(],[21-⊂∈ηηξ，使得 3)]()([21)(21='''+'''='''ηηξf f f .例9 证明若)(lim x f x +∞→与)(lim x f x ''+∞→均存在且有限，则0)(lim )(lim =''='+∞→+∞→x f x f x x解法一 用Lagrange 中值定理由)(lim x f x ''+∞→存在，从而)(x f ''在+∞→x 时有界，可记为 M x f ≤'')( ，1A x >∀因此 0>∀ε，令 02>=Mh ε则 1,A x x >'''∀ （h x x <''-'）有 2)()()(εξ<''-'''='''-''x x f x f x f （ξ介于x '，x ''之间） （2.3.2）又 )(lim x f x +∞→ 存在，于是 0)()(lim=-++∞→hx f h x f x由Lagrange 中值定理，应有 )()()(x h x f hx f h x f θ+'=-+ （10<<x θ）从而 0)(lim =+'+∞→x x h x f θ .于是对上述 0>ε，2A ∃ 使得 2A x >∀ 有 2)(εθ<+'x h x f （2.3.3）令),m ax (21A A A =，则对 A x >∀，由式（2.3.2）和式（2.3.3） 得 )()()()(x x x f h x f x f x f θθ+'++'-'≤'εεε=+<22也即有 0)(lim ='+∞→x f x因)(lim x f x '+∞→与)(lim x f x ''+∞→均存在且有限，则 0)(lim =''+∞→x f x解法二 用Taylor 公式同解法一，)(x f ''在+∞→x 时有界，记为M x f ≤'')(， 1A x >∀ 对0>∀h ，由Taylor 公式有 2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，),(h x x +∈ξ 于是有 h f x f h x f h x f )(21)]()([1)(ξ''--+=' （2.3.4）由式（2.3.4）得出 Mh x f h x f h x f 21)()(1)(+-+≤' 对0>∀h ，可令0>=Mh ε，其余证法可仿照解法一写出.相比较而言，前一种方法两次用到Lagrange 中值定理，而在后一种方法中将其归并为一个二阶的Taylor 公式，从而使叙述更为简洁，清晰.2.5 估计无穷小量的阶如何估计无穷小量的阶，对于简单函数可用估猜法，但是对于复杂的函数就无能为力了，但用Peano 型余项的Taylor 公式就可迎刃而解.例10 当0→x 时，函数)1cos 2()sin 1ln(32--++=x x y α是多少阶无穷小量，其中α是参数.解：因为 ))((sin )(sin 21sin )sin 1ln(222222x o x x x +-=+)()!3(21)!3(44323x o x x x x +---=)()!4!2(91)!4!2(311cos)]1(1[cos 2424242313x o x x x x x +---+=-+=-)(241611442x o x x +-+= 所以 )1cos 2()sin 1ln(32--++=x x y α )()2465()61(442x o x x ++-+=αα故 当 6-≠α 时，y 是2阶无穷小量当 6-=α 时，y 是4阶无穷小量 .通过应用泰勒公式对无穷小量的阶进行估计，可以简便有效地判定级数及广义积分的敛散性，下面举例进行说明：例11讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11ln ln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开相呼应,会使判敛容易进行. 解 ： 因为2341111111lnln(1)234n nn n n n nn+=+=-+-+<, 所以<所以0n u=>故该级数是正向级数. 又因为3212n=>==,所以332211)22n u n n =--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.例125dx+∞判断广义积分∫的收敛性。

本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。

本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。

对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。

关于泰勒公式的论文
泰勒公式是一个强大的数学工具，可以用来计算函数在其中一点的极
限或求解微分方程。

它最初由英国数学家约翰·泰勒于1715年发明，已
经被广泛使用了近300年。

从统计学、物理学和控制工程到经济学、医学
研究，泰勒公式都可以起到巨大的作用。

由于泰勒公式的重要性，关于它的研究也越来越多。

从1825年以来，论文和文章就一直在研究该公式和它的应用，以便更好地理解它背后的原理。

今天，有关泰勒公式的文献有数不清，可以用来帮助研究者们更好地
理解该公式。

首先，1825年，英国数学家兼物理学家莱斯利·卡罗尔发表了他的
论文“泰勒公式:一种新的数学理论”，该论文发表在英国物理学家詹姆斯·牛顿的《英国科学院学报》上。

这是关于泰勒公式的最早研究，主要
介绍了泰勒公式的原理，以及如何使用这一理论来解决复杂的数学问题。

随后，1945年，美国数学家蒂姆·麦克法兰发表了他的论文“基于
泰勒公式的信号分析技术”，该论文发表在《应用数学评论》上。

麦克法
兰的论文主要讨论了使用泰勒公式来进行信号分析的新技术，从而为计算
信号波形提供了一种新的方法。

此外，2024年，美国数学家胡安·德鲁伊斯·戈麦斯发表了他的论
文“泰勒公式在理论物理学中的应用”。

毕业论文文献综述数学与应用数学函数泰勒展开式的应用1、本课题研究的意义多项式是最简单的函数。

因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。

如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。

通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。

除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。

2、目前国内的研究现状本人以 1999—2010 十一年为时间范围，以“泰勒公式”“泰勒公式的应用”、为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到 30 余篇文章，发现国内外对泰勒公式及其研究进展主要分配在:1、带不同型余项泰勒公式的证明；2、泰勒公式的应用举例。

3、本课题的研究方向和重点泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容, 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数, 而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论在高等数学教材中, 一般只讲泰勒公式, 对其在解题中的应用介绍很少。

但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用。

一、带不同型余项泰勒公式的证明，即：1.带皮亚诺余项的泰勒公式；2.带拉格朗日余项的泰勒公式；3.带积分型余项的泰勒公式的证明。

二、泰勒公式的应用举例。

本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中, 不定式极限的计算始终为我们所注意, 因为这是比较困难的一类问题。

计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。

但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解, 会更简单明了。

我将在论文中就例题进行探讨。

2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；泰勒公式是微分学中值定理推广。

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor ）公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如(())no x x -的余项称为佩亚诺型余项. 特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

本科学生毕业论文泰勒公式在若干数学分支中的应用黑龙江工程学院The Graduation Thesis for Bachelor's Degree Taylor formula in several branches ofmathematicsHeilongjiang Institute of Technology摘要泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用。

它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使问题简单化。

它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学、线性代数、概率等数学学科中都有着重要的应用。

本论文概述了泰勒公式的产生及发展现状；介绍了一元函数泰勒公式的定义及其几个常见函数的展开式；归纳总结了一元函数泰勒公式五个方面的应用，即利用泰勒公式求极限、泰勒公式在证明等式及不等式中的应用、泰勒公式求不定积分、泰勒公式在近似计算中的应用及利用泰勒公式计算行列式。

介绍了二元函数泰勒公式的定义，并利用泰勒公式证明极值的充分条件、判定二元函数极限的存在条件、利用泰勒公式求近似值、判定级数和广义积分的敛散性及概率当中严森不等式的证明。

关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项ABSTRACTTaylor Formula is an important formula in mathematical analysis, and it plays a necessary partr in problem-solving. It simplifies the problems via making some complicated functions into simple polynomial functions approximately. It embodies the essence of approximation in calculus, and possesses important applications in Mathematics subject such as calculus, linear algebra, the probability, etc.This paper outlines the produce and the development status of Taylor Formula. It introduces the definition of Unary Function Taylor Formula and expanded form of several common functions. It summarizes the applications of Unary Function T aylor Formula in five aspects, that is, getting the limit value, proving the equation and inequalities, evaluating the indefinite integral, applying the approximate calculation and calculating the determinant by Taylor Formula. Moreover, it introduces the definition of Binary Function Taylor Formula, and applies the sufficient basis of proving the limit value by Taylor Formula to determine the existence conditions of Binary F unction’ extremum, to get the approximate value, to Judge the progression and the divergence of improper integral and to prove the Yan Sen Inequality in probability.Key words: Taylor formula；Peano remainder；Lagrange Remainder目录摘要 (I)Abstract (I)第1章绪论 (1)1.1 泰勒公式背景的概述 (1)1.2 课题的研究现状 (2)1.3 课题的研究意义 (2)1.4 本文研究的工作 (2)第2章一元函数泰勒公式及其应用 (4)2.1 一元函数泰勒公式 (4)2.1.1一元函数泰勒公式的定义 (4)2.1.2常见函数的展开式 (5)2.2 利用泰勒公式求极限 (6)2.3 泰勒公式在证明等式、不等式中的应用 (8)2.3.1有关定积分等式的证明 (8)2.3.2有关定积分不等式的证明 (9)2.3.3一般不等式的证明 (11)2.4 利用泰勒公式求不定积分 (12)2.5 利用泰勒公式进行近似计算 (13)2.6 利用泰勒公式计算行列式 (14)第3章二元函数泰勒公式及其应用 (18)3.1 二元函数泰勒公式 (18)3.1.1问题的提出 (18)3.1.2二元函数的泰勒公式 (18)3.2 利用二元函数泰勒公式证明极值的充分条件 (24)3.3 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 (28)3.4 利用二元函数泰勒公式求近似值 (30)3.5 利用二元函数泰勒公式判定级数和广义积分敛散性 (31)3.6 二元随机变量的严森不等式 (31)结论 (33)参考文献 (34)致谢 (35)附录 (36)第1章 绪 论1.1 泰勒公式背景的概述泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭，1701年泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习，1709年他获得法学学士学位，1714年获得法学博士学位。

本科毕业论文（设计）文献综述泰勒公式的展开及其应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2012级1 班学号： ********** 学生姓名：**指导教师：***2016年5月25日《泰勒公式的展开及其应用》文献综述报告摘要前言：早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。

直至Taylor展开思想的提出：利用n次多项式来逼近函数f,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。

我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。

这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor公式成为高等数学的核心内容之一。

本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor公式的应用，本文最大的特点是让Taylor公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor公式的认识和理解。

关键词：泰勒公式；余项；展开式一、正文：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。

1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。

他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。

同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。

1717年，他以泰勒定理求解了数值方程.最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的这个定理——泰勒定理：式子内v为独立变量的增量，及为流数.他假定z随时间均匀变化，则为常数。

上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。

附件1：贵州师范学院毕业论文（设计）规范格式学科分类号本科毕业论文题目（中文）：泰勒公式及其使用（英文）：Taylor formula and its application姓名吴青青学号0906020630260院（系）数学和计算机科学学院专业、年级09级数学和使用数学指导教师黄黎明职称二0一二年六月泰勒公式及其使用吴青青摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是使用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其使用在数学领域上的几个使用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的使用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的使用做详细的介绍.关键词：泰勒公式；极限；敛散性；凸凹性；拐点；展开式；近似计算AbstractThe Taylor formula is the important part of the theory of mathematical analysis, it has become an indispensable tool in the study of the limit of function and estimation error etc., embodies the essence of calculus " approach ", which is a generalization of the calculus mean value theorem, is also an important tool to be used in high order derivative function of the state, it is so widely used. Several applications in the field of mathematics, this paper introduces the application of Taylor formula are discussed . In this paper, in addition to the Taylor formula in the common approximate calculation, limit, inequality, extrapolation and the demand curve asymptote equation for solution is proved, in particular, the Taylor formula of convex function and turning point judgment, generalized integral convergence applications, bounded estimation and the uniqueness of the 4 applications in detail.Keywords：Taylor formula；the maximum；Convergence and divergence；convexity concavity；inflection point；expansion；approximation目录第一章绪论1.1 研究《泰勒公式及其使用》现状、动机和意义 (1)1.2 章节安排 (1)第二章泰勒公式2.1 泰勒公式的背景 (3)2.2 泰勒公式 (3)2.3 常见函数的展开式 (4)第三章泰勒公式在高等数学学习中的使用3.1 利用泰勒公式求极限 (6)3.2 利用泰勒公式求近似值 (7)3.3 利用泰勒公式讨论级数和广义积分的敛散性 (8)3.4 利用泰勒公式证明不等式 (9)第四章泰勒公式在实际生活中的使用4.1 泰勒公式在地采金属矿山中的使用的发展 (11)4.2 泰勒公式的实例测算 (12)归纳总结 (13)参考文献 (14)致谢 (15)第一章绪论1.1 研究《泰勒公式及其使用》现状、动机和意义泰勒公式是《数学分析》的重要组成部分，也是作为求极限，近似计算，讨论积分的敛散性，求高阶导数，求麦克劳林公式中最基础的知识和不可取代的重要部分，泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际使用中是一种重要的使用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.作为一个数学专业的数学生来说，这无疑是一个很大的诱惑，对其基础理论的探讨和研究，和其在对其他科目的作用和意义以及其在现实生活中的使用也是我对这个课题感兴趣的主要原因。

泰勒公式及其应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。

本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。

关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的着作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。