泰勒公式及应用论文

本科生毕业论文(设计)题目：泰勒公式及其应用学生姓名：康林学号： 200810010207专业班级：应数08102班指导教师：邹庆云完成时间： 2012年5月泰勒公式及其应用数学与应用数学专业学生：康林指导老师：邹庆云目录摘要 (3)关键词 (3)0引言 (4)1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点 (4)1.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式 (4)1.2 带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式 (4)2 泰勒Taylor公式的应用 (5)2.1 利用泰勒公式求极限 (5)2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式 (5)2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限 (6)2.2 泰勒公式在不等式证明中的应用 (7)2.2.1 简单不等式的证明 (7)2.2.2 有关定积分不等式的证明 (8)2.2.3 一般不等式的证明 (9)2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用 (10)2.3.1 近似计算估值 (10)2.3.2 定积分的近似计算 (10)2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用 (11)2.5 估计无穷小量的阶 (13)2.6 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 (15)2.7 泰勒公式在其他方面的应用 (16)2.7.1 利用泰勒公式求函数在点处的高阶导数 (16)2.7.2 求某些微分方程的解 (17)2.7.3 求行列式的值 (18)参考文献： (20)致谢: (18)摘要：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用.本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限，不等式的证明，近似计算，中值问题的证明，估计无穷小量的阶，判定二元极限的存在性以及求高阶导数、求微分方程的解，求解行列式等方面的应用及技巧.通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果.关键词：泰勒公式，应用，微积分，极限，行列式Abstract：Taylor's formula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression of the calculus "approximation" of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This article discusses some of the basic Taylor formula, and the analysis of the main methods used, for example, described in the Taylor formula for the limit, the inequality that approximate calculation, the value of the proven, it isestimated that a small amount of the endless band, the dual determine the limit And the existence of derivatives for high-end, and the solution of differential equations, such as the determinant for the application and skill. Through the above aspects of the study so that we in the special circumstances of a particular ideology, so that problem solving can play a multiplier effect.Key words:Taylor's formula, Applications, Calculus , Limit , Determinant；0引言多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式的特点就在于用一个n 次多项式)(x P n 去逼近一个已知的函数)(x f ，而且这种逼近具有很好的性质，充分体现了微积分“逼近法”的精髓，在数学的多个方面都有运用.1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点1.1 带有佩亚诺（Peano ）型余项的泰勒公式若函数)(x f 在点0x 处n 阶可导，则带Peano 型余项的Taylor 公式为：n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)('))((')()(00)(200000-++-+-+= ])[(0n x x o -+ )(0x x → （1.1）带Peano 型余项的公式Taylor 对函数)(x f 的展开要求较低，它只要求)(x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单.（1.1）说明当0x x →时用左端的Taylor 多项式k n k k n x x k x f x T )(!)()(000)(-=∑=代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0→的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态.但Peano 余项])[(0n x x o -难以说明误差范围，一般不适应对此余项作定量估计.换句话说，带Peano 型余项的Taylor 公式适合于对)(x f 在0x x →时作性态分析.因此，在处理0x x →时的极限计算问题时，可以考虑对有关函数采用这种展开方式，从而达到简化运算的目的.1.2 带有拉格朗日（Lagrange ）型余项的泰勒公式若函数在点的某领域内阶可导，则带Lagrange 型余项的Taylor 公式为：nn x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)('))((')()(00)(200000-++-+-+= n n x x n f )()!1()(0)1(-+++ξ （ξ介于0,x x 之间） （1.2） 带Lagrange 型余项的Taylor 公式对函数)(x f 的展开要求较高，形式也相对复杂，但因为（1.2）对)(0x U x ∈∀均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同）.因此，这反映出函数)(x f 在领域)(0x U 内的全局性态.对Lagrange 余项n n x x n f )()!1()(0)1(-++ξ通常情况下可以作定量估算，确定其大致的误差范围.因此，带Lagrange 型余项的Taylor 公式适合于研究)(x f 在区间上的全局性态，例如：用于证明中值问题的等式或不等式关系，等等.2 泰勒Taylor 公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限对有些极限问题，利用带Peano 型余项的泰勒公式求出极限是十分有效的方法，要比诸如洛必达法则，等价无穷小代换的方法来得简便，但需要对一些常用的泰勒公式较熟悉.2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式（1）)(!!212n nx x o n x x x e +++++= （2）)()!12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=-- （3）)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x （4）)()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+++-=+-（5）)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n a x o x n n a a a x a a ax x ++--++-++=+ （6）)(1112n n x o x x x x+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 表示当0→x 时，它是一个较n x 高阶的无穷小，亦即有 0)(lim 0=→nn x x x o ；根据这个定义容易验证：当0→x 时有： （1）)()()(n n n x o x o x o =+ )0(>n（2）)()()(n n m x o x o x o =± )0(>>n m（3）)()()(n m n m x o x o x o +=⋅ )0,(>n m（4）)()(n m n m x o x o x +=⋅ )0,(>n m（5） )()(n n x o x o C =⋅ )0,0(>≠n C2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限例1，求极限4202cos x e x Lim x x -→-解：)(2421cos 542x x x x ++-= )(82154222x x x e x ++-=- )(12cos 5422x x e x x +-=-- 因而求得121)(121cos 45404202-=+-=-→-→x x x Lim x e x Lim x x x利用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法.我们知道，当0→x 时，x x x x ~tan ,~sin 等.这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项.有些问题用泰勒公式方法和我们已经熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化.例2，求1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0---- . 解： 由1sin 2x x x x e ---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+ =34333()()6126o o x x x x x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o x x =+ 于是 1sin 2lim sin cos x x x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+， 可以看出例2这道题，若是用洛必达法则是相当繁琐的，而用泰勒公式和等价无穷小的方法相结合来考虑来做就简单很多.运用泰勒公式方法求极限时，需要注意的一个问题是：将函数展开至多少项才可以呢？其实从例题中不难看出：只需要展开至分子和分母分别经过简化后系数不为零的阶数即可.2.2 泰勒公式在不等式证明中的应用2.2.1 简单不等式的证明例3 当0≥x 时，证明：361sin x x x -≥ 证明：取361sin )(x x x x f +-=，00=x 则 0)0(=f 0)0(='f 0)0(=''fx x f cos 1)(-=''' 0)0(='''f代入泰勒公式，其中 3=n得 3!3cos 1000)(x x x f θ-+++= 当0≥x 时 0!3cos 13≥-x x θ 故 当0≥x 时，得 361sin x x x -≥ . 有时候所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合不等式，不妨作一个辅 助函数并用泰勒公式替代，往往使证明方便简捷.2.2.2 有关定积分不等式的证明例4 设)(x f 在],[b a 上单调增加，且0)(>''x f ，证明： 2)()()()()()(b f a f a b dx x f a f a b b a +-<<-⎰ （2.2.1） 证明：（1）先证 dx x f a f a b ba ⎰<-)()()( 由题意，对],[b a x ∈∀，当a x >时 )()(a f x f >故 )()()(a f a b dx x f ba ->⎰ （2.2.2） （2）再证 2)()()()(b f a f a b dx x f b a +-<⎰ 对],[b a t ∈∀，)(x f 在点x 处的泰勒展开式为 2))((!21))(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ（ξ在t 与x 之间） （2.2.3） 因0)(>''ξf ，所以 ))(()()(x t x f x f t f -'+> （2.2.4）将a t b t ==,分别代入式（2.2.4）并相加，得)(2)()()(2)()(''x xf x f b a x f a f b f -++>+ （2.2.5）对（2.2.5）式的两边在],[b a 上的积分，则⎰⎰⎰-++>-+b a b a ba dx x xf dx x fb a dx x f a b a f b f )(2)()()(2))](()(['' （2.2.6）⇒ ⎰>-+ba dx x f ab a f b f )(4))](()([2 （2.2.7） 故 2)()()()(b f a f a b dx x f b a +-<⎰ （2.2.8） 由式（2.2.2）与式（2.2.8）可知（2.2.1）式成立.利用泰勒公式对定积分不等式进行证明，主要针对的类型是：已知被积函数)(x f 二阶或者二阶以上可导且又知最高阶导数的符号.通过直接写出)(x f 的泰勒展开式，根据题意对展开式进行缩放，从而证明命题.2.2.3 一般不等式的证明例5 在[a,b]上f(x)>0，且()0n x f <，试证明2max ()()b aa xb f x f x dx b a <<<∫- 证明： 任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件()0n x f <可得 ()()f p f x =+()x ´ƒ22()()(2p x p f ξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x - （2.2.9）()()f q f x =+()x ´ƒ222()()(2q x q f ξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x - （2.3.0）（2.2.0）×()q x -+（2.3.0）×()x p -得 ()p ƒ()q x -+()()f q x p -()()f x q p <-所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()q p x dx dx <(q-p)∫ƒ 即 ()()()()2q p f p f q q p x dx +-<∫ƒ （2.3.1） 设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x bx <<ƒ 根据（2.3.1）及()x ƒ >0得 ()()()b c b a a c x dx x dx x dx ∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2f a f c +>+()()()2f c f b b c +-()()()()()()222f c f c f c c a b c b a >-+-=- 即 2max ()()b a a x bf x f x dx b a <<<∫- 利用泰勒公式解决一般不等式的证明，只要适用于题目中的函数)(x f 具有二阶或二阶以上导数且最高阶导数的大小或上下界可知的命题.在进行证明时，首先写出比高阶导数低一阶的泰勒展开式，然后恰当地选择等式两边的x 与0x .特别要注意的是：展开点不一定以0x 为最合适，有时以x 为展开点，题目更容易处理.最后，根据所给的最高阶导数的大小或界，对展开式进行缩放，从而使命题得证.2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用2.3.1 近似计算估值例6 计算e 的值，使其误差不超过610-.解：x e x f =)(,由x n e x f =+)()1(,得到),(,10,)!1(!!2112+∞-∞∈<<++++++=+x x n e n x x x e n xn xθθ 有:)!1(!1!2111++++++=n e n e θ故 )!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ,当9=n 时,便有 691036288003!103)1(-<=<R 从而略去)1(9R 而求得的近似值为718285.2!91!31!2111≈+++++≈ e 2.3.2 定积分的近似计算例7 求210x e dx -⎰的近似值,精确到510-.解： 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在x e 的展开式中以2x -代替 x 得24221(1)2!!nx nx x e x n -=-+++-+逐项积分,得242111112000001(1)2!111111(1)32!52n 111111111310422161329936075600n x nn x x e dx dx x dx dx dx n n -=-+-+-+=-+-+-++=-+-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！！上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知2711||0.0000157560011111110.7468363104221613299360x R e dx -≤<≈-+-+-+≈⎰所以能够精确计算定积分的函数，只是大量函数中很少的一部分.事实上，在实际计算定积分时不能得到它的准确值时，即只能求出其近似值时，这时，运用泰勒公式对函数的定积分进行近似计算是一种非常行之有效的好方法.2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用例8 设函数)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且0)1(=-f ,1)1(=f ,0)0(='f , 证明：在)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)(='''ξf .证明：由麦克劳林公式，得32!3)()0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η'''+''+'+= (η在0和x 之间) 分别令1-=x ，1=x ，并将所得的两式相减，得 6)()(21='''+'''ηηf f (011<<-η,102<<η)由)(x f '''的连续性知，)(x f '''在],[21ηη上有最大值M 和最小值m则有 M f f m ≤'''+'''≤)]()([2121ηη由连续函数的介值定理知，至少存在一点 )1,1(],[21-⊂∈ηηξ，使得 3)]()([21)(21='''+'''='''ηηξf f f .例9 证明若)(lim x f x +∞→与)(lim x f x ''+∞→均存在且有限，则0)(lim )(lim =''='+∞→+∞→x f x f x x解法一 用Lagrange 中值定理由)(lim x f x ''+∞→存在，从而)(x f ''在+∞→x 时有界，可记为 M x f ≤'')( ，1A x >∀因此 0>∀ε，令 02>=Mh ε则 1,A x x >'''∀ （h x x <''-'）有 2)()()(εξ<''-'''='''-''x x f x f x f （ξ介于x '，x ''之间） （2.3.2）又 )(lim x f x +∞→ 存在，于是 0)()(lim=-++∞→hx f h x f x由Lagrange 中值定理，应有 )()()(x h x f hx f h x f θ+'=-+ （10<<x θ）从而 0)(lim =+'+∞→x x h x f θ .于是对上述 0>ε，2A ∃ 使得 2A x >∀ 有 2)(εθ<+'x h x f （2.3.3）令),m ax (21A A A =，则对 A x >∀，由式（2.3.2）和式（2.3.3） 得 )()()()(x x x f h x f x f x f θθ+'++'-'≤'εεε=+<22也即有 0)(lim ='+∞→x f x因)(lim x f x '+∞→与)(lim x f x ''+∞→均存在且有限，则 0)(lim =''+∞→x f x解法二 用Taylor 公式同解法一，)(x f ''在+∞→x 时有界，记为M x f ≤'')(， 1A x >∀ 对0>∀h ，由Taylor 公式有 2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，),(h x x +∈ξ 于是有 h f x f h x f h x f )(21)]()([1)(ξ''--+=' （2.3.4）由式（2.3.4）得出 Mh x f h x f h x f 21)()(1)(+-+≤' 对0>∀h ，可令0>=Mh ε，其余证法可仿照解法一写出.相比较而言，前一种方法两次用到Lagrange 中值定理，而在后一种方法中将其归并为一个二阶的Taylor 公式，从而使叙述更为简洁，清晰.2.5 估计无穷小量的阶如何估计无穷小量的阶，对于简单函数可用估猜法，但是对于复杂的函数就无能为力了，但用Peano 型余项的Taylor 公式就可迎刃而解.例10 当0→x 时，函数)1cos 2()sin 1ln(32--++=x x y α是多少阶无穷小量，其中α是参数.解：因为 ))((sin )(sin 21sin )sin 1ln(222222x o x x x +-=+)()!3(21)!3(44323x o x x x x +---=)()!4!2(91)!4!2(311cos)]1(1[cos 2424242313x o x x x x x +---+=-+=-)(241611442x o x x +-+= 所以 )1cos 2()sin 1ln(32--++=x x y α )()2465()61(442x o x x ++-+=αα故 当 6-≠α 时，y 是2阶无穷小量当 6-=α 时，y 是4阶无穷小量 .通过应用泰勒公式对无穷小量的阶进行估计，可以简便有效地判定级数及广义积分的敛散性，下面举例进行说明：例11讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11ln ln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开相呼应,会使判敛容易进行. 解 ： 因为2341111111lnln(1)234n nn n n n nn+=+=-+-+<, 所以<所以0n u=>故该级数是正向级数. 又因为3212n=>==,所以332211)22n u n n =--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.例125dx+∞判断广义积分∫的收敛性。

本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。

本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。

对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。

关于泰勒公式的论文
泰勒公式是一个强大的数学工具，可以用来计算函数在其中一点的极
限或求解微分方程。

它最初由英国数学家约翰·泰勒于1715年发明，已
经被广泛使用了近300年。

从统计学、物理学和控制工程到经济学、医学
研究，泰勒公式都可以起到巨大的作用。

由于泰勒公式的重要性，关于它的研究也越来越多。

从1825年以来，论文和文章就一直在研究该公式和它的应用，以便更好地理解它背后的原理。

今天，有关泰勒公式的文献有数不清，可以用来帮助研究者们更好地
理解该公式。

首先，1825年，英国数学家兼物理学家莱斯利·卡罗尔发表了他的
论文“泰勒公式:一种新的数学理论”，该论文发表在英国物理学家詹姆斯·牛顿的《英国科学院学报》上。

这是关于泰勒公式的最早研究，主要
介绍了泰勒公式的原理，以及如何使用这一理论来解决复杂的数学问题。

随后，1945年，美国数学家蒂姆·麦克法兰发表了他的论文“基于
泰勒公式的信号分析技术”，该论文发表在《应用数学评论》上。

麦克法
兰的论文主要讨论了使用泰勒公式来进行信号分析的新技术，从而为计算
信号波形提供了一种新的方法。

此外，2024年，美国数学家胡安·德鲁伊斯·戈麦斯发表了他的论
文“泰勒公式在理论物理学中的应用”。

毕业论文文献综述数学与应用数学函数泰勒展开式的应用1、本课题研究的意义多项式是最简单的函数。

因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。

如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。

通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。

除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。

2、目前国内的研究现状本人以 1999—2010 十一年为时间范围，以“泰勒公式”“泰勒公式的应用”、为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到 30 余篇文章，发现国内外对泰勒公式及其研究进展主要分配在:1、带不同型余项泰勒公式的证明；2、泰勒公式的应用举例。

3、本课题的研究方向和重点泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容, 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数, 而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论在高等数学教材中, 一般只讲泰勒公式, 对其在解题中的应用介绍很少。

但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用。

一、带不同型余项泰勒公式的证明，即：1.带皮亚诺余项的泰勒公式；2.带拉格朗日余项的泰勒公式；3.带积分型余项的泰勒公式的证明。

二、泰勒公式的应用举例。

本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中, 不定式极限的计算始终为我们所注意, 因为这是比较困难的一类问题。

计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。

但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解, 会更简单明了。

我将在论文中就例题进行探讨。

2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；泰勒公式是微分学中值定理推广。

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor ）公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如(())no x x -的余项称为佩亚诺型余项. 特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

本科学生毕业论文泰勒公式在若干数学分支中的应用黑龙江工程学院The Graduation Thesis for Bachelor's Degree Taylor formula in several branches ofmathematicsHeilongjiang Institute of Technology摘要泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用。

它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使问题简单化。

它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学、线性代数、概率等数学学科中都有着重要的应用。

本论文概述了泰勒公式的产生及发展现状；介绍了一元函数泰勒公式的定义及其几个常见函数的展开式；归纳总结了一元函数泰勒公式五个方面的应用，即利用泰勒公式求极限、泰勒公式在证明等式及不等式中的应用、泰勒公式求不定积分、泰勒公式在近似计算中的应用及利用泰勒公式计算行列式。

介绍了二元函数泰勒公式的定义，并利用泰勒公式证明极值的充分条件、判定二元函数极限的存在条件、利用泰勒公式求近似值、判定级数和广义积分的敛散性及概率当中严森不等式的证明。

关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项ABSTRACTTaylor Formula is an important formula in mathematical analysis, and it plays a necessary partr in problem-solving. It simplifies the problems via making some complicated functions into simple polynomial functions approximately. It embodies the essence of approximation in calculus, and possesses important applications in Mathematics subject such as calculus, linear algebra, the probability, etc.This paper outlines the produce and the development status of Taylor Formula. It introduces the definition of Unary Function Taylor Formula and expanded form of several common functions. It summarizes the applications of Unary Function T aylor Formula in five aspects, that is, getting the limit value, proving the equation and inequalities, evaluating the indefinite integral, applying the approximate calculation and calculating the determinant by Taylor Formula. Moreover, it introduces the definition of Binary Function Taylor Formula, and applies the sufficient basis of proving the limit value by Taylor Formula to determine the existence conditions of Binary F unction’ extremum, to get the approximate value, to Judge the progression and the divergence of improper integral and to prove the Yan Sen Inequality in probability.Key words: Taylor formula；Peano remainder；Lagrange Remainder目录摘要 (I)Abstract (I)第1章绪论 (1)1.1 泰勒公式背景的概述 (1)1.2 课题的研究现状 (2)1.3 课题的研究意义 (2)1.4 本文研究的工作 (2)第2章一元函数泰勒公式及其应用 (4)2.1 一元函数泰勒公式 (4)2.1.1一元函数泰勒公式的定义 (4)2.1.2常见函数的展开式 (5)2.2 利用泰勒公式求极限 (6)2.3 泰勒公式在证明等式、不等式中的应用 (8)2.3.1有关定积分等式的证明 (8)2.3.2有关定积分不等式的证明 (9)2.3.3一般不等式的证明 (11)2.4 利用泰勒公式求不定积分 (12)2.5 利用泰勒公式进行近似计算 (13)2.6 利用泰勒公式计算行列式 (14)第3章二元函数泰勒公式及其应用 (18)3.1 二元函数泰勒公式 (18)3.1.1问题的提出 (18)3.1.2二元函数的泰勒公式 (18)3.2 利用二元函数泰勒公式证明极值的充分条件 (24)3.3 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 (28)3.4 利用二元函数泰勒公式求近似值 (30)3.5 利用二元函数泰勒公式判定级数和广义积分敛散性 (31)3.6 二元随机变量的严森不等式 (31)结论 (33)参考文献 (34)致谢 (35)附录 (36)第1章 绪 论1.1 泰勒公式背景的概述泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭，1701年泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习，1709年他获得法学学士学位，1714年获得法学博士学位。

本科毕业论文（设计）文献综述泰勒公式的展开及其应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2012级1 班学号： ********** 学生姓名：**指导教师：***2016年5月25日《泰勒公式的展开及其应用》文献综述报告摘要前言：早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。

直至Taylor展开思想的提出：利用n次多项式来逼近函数f,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。

我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。

这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor公式成为高等数学的核心内容之一。

本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor公式的应用，本文最大的特点是让Taylor公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor公式的认识和理解。

关键词：泰勒公式；余项；展开式一、正文：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。

1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。

他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。

同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。

1717年，他以泰勒定理求解了数值方程.最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的这个定理——泰勒定理：式子内v为独立变量的增量，及为流数.他假定z随时间均匀变化，则为常数。

上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。

附件1：贵州师范学院毕业论文（设计）规范格式学科分类号本科毕业论文题目（中文）：泰勒公式及其使用（英文）：Taylor formula and its application姓名吴青青学号0906020630260院（系）数学和计算机科学学院专业、年级09级数学和使用数学指导教师黄黎明职称二0一二年六月泰勒公式及其使用吴青青摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是使用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其使用在数学领域上的几个使用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的使用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的使用做详细的介绍.关键词：泰勒公式；极限；敛散性；凸凹性；拐点；展开式；近似计算AbstractThe Taylor formula is the important part of the theory of mathematical analysis, it has become an indispensable tool in the study of the limit of function and estimation error etc., embodies the essence of calculus " approach ", which is a generalization of the calculus mean value theorem, is also an important tool to be used in high order derivative function of the state, it is so widely used. Several applications in the field of mathematics, this paper introduces the application of Taylor formula are discussed . In this paper, in addition to the Taylor formula in the common approximate calculation, limit, inequality, extrapolation and the demand curve asymptote equation for solution is proved, in particular, the Taylor formula of convex function and turning point judgment, generalized integral convergence applications, bounded estimation and the uniqueness of the 4 applications in detail.Keywords：Taylor formula；the maximum；Convergence and divergence；convexity concavity；inflection point；expansion；approximation目录第一章绪论1.1 研究《泰勒公式及其使用》现状、动机和意义 (1)1.2 章节安排 (1)第二章泰勒公式2.1 泰勒公式的背景 (3)2.2 泰勒公式 (3)2.3 常见函数的展开式 (4)第三章泰勒公式在高等数学学习中的使用3.1 利用泰勒公式求极限 (6)3.2 利用泰勒公式求近似值 (7)3.3 利用泰勒公式讨论级数和广义积分的敛散性 (8)3.4 利用泰勒公式证明不等式 (9)第四章泰勒公式在实际生活中的使用4.1 泰勒公式在地采金属矿山中的使用的发展 (11)4.2 泰勒公式的实例测算 (12)归纳总结 (13)参考文献 (14)致谢 (15)第一章绪论1.1 研究《泰勒公式及其使用》现状、动机和意义泰勒公式是《数学分析》的重要组成部分，也是作为求极限，近似计算，讨论积分的敛散性，求高阶导数，求麦克劳林公式中最基础的知识和不可取代的重要部分，泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际使用中是一种重要的使用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.作为一个数学专业的数学生来说，这无疑是一个很大的诱惑，对其基础理论的探讨和研究，和其在对其他科目的作用和意义以及其在现实生活中的使用也是我对这个课题感兴趣的主要原因。

泰勒公式及其应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。

本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。

关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的着作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。

第3章
泰勒公式的应用 ........................................................................... 6
3.1 运用泰勒公式证明不等式 ................................................................................. 6 3.2 运用泰勒公式求函数极限 ................................................................................. 7 3.3 运用泰勒公式进行近似计算 ............................................................................. 8 3.4 运用泰勒公式求解行列式 ................................................................................ 9 3.5 运用泰勒公式证明中值定理 .......................................................................... 11 3.6 运用泰勒公式求函数的界 .............................................................................. 12 3.7 运用泰勒公式判别级数的敛散性 .................................................................. 13 3.8 运用泰勒公式求函数在某一点的高阶导数 .................................................. 14 3.9 运用泰勒公式将初等函数化成 (x x 0 ) n 的形式 ............................................ 14

目录1引言 (2)2泰勒级数 (3)2.1泰勒公式 (3)2.2泰勒级数 (3)2.3泰勒展开式(幂级数展开式) (4)3泰勒级数的应用 (6)3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式 (6)3.2近似计算 (7)3.3证明不等式 (10)3.4应用泰勒级数计算积分 (10)参考文献 (12)泰勒级数及其应用（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070）摘要: 本文主要介绍了泰勒级数及其应用, 泰勒级数是一种常用的数学工具, 在很多时候利用泰勒级数解题是非常方便的. 本文就是对泰勒级数及其应用的一些叙述,主要是对泰勒级数在初等函数展为幂级数、近似计算、证明不等式、计算积分等方面展开讨论.关键词: 泰勒公式;泰勒级数;泰勒展开式;近似;不等式;积分中图分类号: O171Taylor series and its applicationsWANG Yi(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University,Lanzhou 730070, China）Abstract:This thesis mainly introduces Taylor series and its applications. Taylor series is a kind of frequently-used mathematical tool, which makes it much more convenient to solve problems. In this thesis, Taylor series and its applications are discussed, which includes some use of Taylor series, referring to the expansion from non-elementary function to power series, approximate calculation, inequality proof, calculation of integral and so on.Keywords:Taylor formula; Taylor series; Taylor expansion; approximate; inequality; integral1引言泰勒级数以在1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒来命名, 在数学分析中, 泰勒级数是利用无限项相加来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得.泰勒级数的相关知识不仅具有重大的理论意义, 而且具有广泛的实用价值. 它与泰勒公式有着密切的联系, 但也存在着一些实质性的区别, 因此, 在学习这部分内容时, 应该明确地掌握泰勒公式和泰勒级数的相关定义. 就泰勒级数而言, 它对于一些非线性问题来说是一个很好的解题工具. 利用它解题的主要思想是将非线性问题线性化, 即将一些函数展开成它的泰勒级数, 然后利用所展开的泰勒级数联系实际问题最终解决问题.下面就对泰勒级数及其应用做一个简要的介绍.2泰勒级数 2.1泰勒公式若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数, 在()b a ,内存在1+n 阶导函数, 则对任意给定的0,x x []b a ,∈, 至少存在一点ξ()0,x x ∈, 使得).(!))((!2))(())(()()(00)(200000x R n x x x f x x x f x x x f x f x f n nn +-++-''+-'+= ()1则称()1为f 在0x 的泰勒公式. 其中, )!1())(()(10)1(+-=++n x x f x R n n n ξ为Lagrange 余项.2.2泰勒级数若在(1)中抹去余项)(x R n , 那么在0x 附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 如果函数f 在0x x =处存在任意阶的导数, 这时称形式为+-++-''+-'+!))((!2))(())(()(00)(200000n x x x f x x x f x x x f x f nn ()2的级数为函数f 在0x 的泰勒级数.在实际应用中, 我们更多的是讨论函数在00=x 处的泰勒级数, 这时(2)式可以写作()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !020!1002！, 称为麦克劳林级数. 例1 写出下列函数的麦克劳林级数()1 ()x +1ln ,解 因()()x x f +=1ln , ()00=f , ()()()()(),1!111nn n x n x f +--=-()()()()!1101--=-n f n n . 所以()x +1ln 的麦克劳林级数为() +-++-+--nx x x x x nn 14321432.()2 ()αx +1.解 因()()()10,1=+=f x x f α, 当α为正整数时利用二项式定理就可以写出它的麦克劳林级数; 当α不为正整数时, 由于()()()()()nn x n x f -++--=αααα111 ,所以()()()()110+--=n f n ααα . 于是()αx +1的麦克劳林级数为()()()++--++-++n x n n x x !11!2112αααααα.□由上述几道例题知, 一个函数()x f 只要在0x 点有任意阶导数, 就有对应的泰勒级数.2.3泰勒展开式 (幂级数展开式)定理[]11 设f 在点0x 具有任意阶导数, 那么f 在区间(r x r x +-00,)内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是: 对一切满足不等式r x x <-0的x , 有0)(lim =∞→x R n n .这里)(x R n 是f 在0x 处的泰勒公式余项.根据上述的定理我们就会知道, 对于一个具有任意阶导数的函数, 它的泰勒级数是否能够收敛到函数本身, 与函数f 在0x 的泰勒公式余项有着密切的联系.下面我们给出泰勒展开式(幂级数展开式)的概念.若函数f 能在0x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函数, 则称函数f 在0x 的这一邻域内可以展开成泰勒级数, 并称等式+-++-''+-'+=!))((!2))(())(()()(00)(200000n x x x f x x x f x x x f x f x f nn的右边为f 在0x x =处的泰勒展开式, 或称为幂级数展开式.下面我们主要研究函数展开成麦克劳林级数. 因为麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数, 即当00=x 时的泰勒级数. 它不但研究起来更加的方便, 而且也能够体现出泰勒级数的相关性质.例2 求下列初等函数的展开式 (1) ;x e (2) sinx.解 ()1 因()x e x f =, ()10=f , ()()()()10,,==∈∀n x n f e x f N n ,(n=1,2,…).所以f 的拉个朗日余项为).10()!1()(1≤≤+=+θθn xn x n e x R 下面我们对余项进行放缩并求出它的极限()11)!1()!1(+++≤+=n xn x n x n e x n e x R θ,而0)!1(lim 1=++∞→n xn x n e , 因而可以知道0)(lim =∞→x R n n . 由定理1知=xe +++++!!212n x x x n, ),(+∞-∞∈x . ()2 因(),sin x x f = (),00=f ()().,2,1,2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x x f n π()()()⎩⎨⎧-=-,1,001m n f.12.2-==m n m n 同上题一样, 经验证正弦函数的拉格朗日余项的极限为0.于是x sin =()() +--+++---!121!5!312153n x x x x n n , ),(+∞-∞∈x .□3泰勒级数的应用3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式一般来说, 只有一些相对简单的初等函数, 其幂级数展开式能直接从定义出发, 并根据定理1可求得. 但对于大多数一般的函数来说, 可以从已知的初等函数的泰勒展开式出发, 恰当的应用变量代换、 逐项求导、 逐项求积以及四则运算等方法, 间接地求得一般函数的幂级数展开式.熟记一些常用初等函数的泰勒展开式对我们把其它函数展开成幂级数有很大的帮助, 也会提高解决问题的效率.下面就利用泰勒级数来解决具体的问题.例3 求非初等函数()dt e x F xt ⎰-=03的幂级数展开式.解 因为x e 的泰勒级数是++++++!!3!2132n x x x x n.而当()+∞∞-∈,x 时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即+++++=!!212n x x x e nx,以3x -来代替x e 展开式中的x , 可得()()+∞∞-∈+-++-+-=-,,!1!3!2!1139633x n x x x x ennx .在对上式逐项求积就得到()x F 在()+∞∞-,上的展开式()() ++-++-+-==+-⎰13!110!317!2141113107403n x n x x x x dt e x F n nxt ！.□例[]24 将函数()dt tt x x f sin 0⎰=展为x 的幂级数并求收敛半径.解 因为t sin 的泰勒级数为()() ++-+-+-+!121!5!31253n t t t t n n .而当+∞<<∞-t 时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即()() ++-++-=+!121!3sin 123n t t t t n n, +∞<<∞-t ,所以()() ++-+-+-=!121!5!31sin 242n t t t t t n n, ()0≠t .由逐项积分定理得()() ++-+++-=⎰⎰⎰⎰⎰dt n t xdt t x dt t x dt x dt t tx n n !1201!50!300sin 0242()()() ++⋅+-++⋅+⋅-=+!12121!55!331253n n x x x x n n.显然, 收敛半径.+∞=R □3.2近似计算泰勒级数是解决近似计算问题的一个有力的工具. 首先选择一个合适的函数对利用泰勒级数解决近似计算问题来说是非常重要的, 所以我们应该熟记一些初等函数的泰勒级数, 其次就是利用泰勒公式余项近似的估计出某些问题的近似值.下面就通过一些具体的例题来研究一下到底应该如何使用泰勒级数进行近似计算.例5 求π的近似值, 计算到小数点后第三位(误差不超过310-). 解 已知函数x arctan 的麦克劳林级数是=x arctan () ++-+++-+121531253n x x x x n n , 11≤<-x . 令(]1,131-∈=x , 则有=6π()31121131|121|arctan =--∞==--=∑x n n n x n x x ()()()()++-+-+-=+125331121135133131n nn ，则()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+-⋅+⋅-= n nn 31213513311322π. 利用Leibniz 级数的余和估计12131211+⋅=≤++n a r n n n . 若要10001<n r , 只需1000112131<+n n , 由此便可得应取的项数5≥n , 即至少取5项满足题意, 当5=n 时143.37291189145191132≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-≈π. □ 例[]26 求e 的近似值并估计误差. 解 已知x e 的麦克劳林级数是+++++==∑∞=!!2!11!20n x x x n x e nn n x,R x ∈.令1=x 有+++++==∑∞=!1!21!111!10n n e n ,这就是e 的级数表示, 用它的部分和∑==nk n k S 0!1近似代替e , 则误差为 ∑∑∑=∞==-=-=-n k k nk n k k k e S e 000!1!1!1()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=++++++=321211!11!31!21!11n n n n n n n()()()nn n n n n n !11111!1111111!112=+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++<. 取10=n 时, 即用10S 近似代替数e , 即!101!21!111++++≈ e , 其误差不超过61036136288000110!101⨯<=. □ 例[]37 近似计算2ln 并求误差.解 已知对数函数()x +1ln 的麦克劳林级数是()() +-++-=+-nxx x x nn 12121ln , (]1,1-∈x .将上式中的x 用x -代替可得() -----=-nx x x x n21ln 2, [)1,1-∈x .将上面两式相减即得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-+ 7532-1ln 1ln 753x x x x x x , 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎭⎫⎝⎛-+ 753211ln 753x x x x x x , ()1,1-∈x . ()3 令()+∈∈+=N n n x ,1,1-121, 有 n n n n x x 11211121111+=+-++=-+. 将121+=n x 带入()3中可得 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+ 531251123112121ln n n n n n , 或()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=+ 312311212ln 1ln n n n n . ()4 令,1=n 已知,01ln = 由级数()4得⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+= 533513313122ln ， 只计算上式前4项部分和, 即有69313.03713513313122ln 753≈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯+≈. 其误差不超过5119119107391391231113912⨯<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯ . □ 3.3证明不等式泰勒级数是将函数展开成幂级数的形式, 可以应用于证明不等式. 例8 证明不等式()+∞∞-∈≤+-,,222x e e e x x x . 证明 因为()!2220n x e e n n xx ∑∞=-=+, ()!!2222022n x e n n x ∑∞-=, 而()()!!2!222n x n x nn ≤, 故222x x x e e e ≤+-.□3.4应用泰勒级数计算积分对于一些复杂的积分直接计算很难求出结果, 有时候利用泰勒级数能给某一类复杂积分的计算带来一些转机, 适当的将被积函数中的某一个或某几个函数展开成它的泰勒级数, 可以使原本复杂的问题简单化.例[]49 计算积分dx xx 21ln 01-⎰. 解 通过变形 xdx x x xdx xdx x x x dx x x ln 101ln 01ln 11011ln 0122222-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰.因为x x x x x xdx n n ln ln 1,1ln 012122∑⎰∞==--=, 因此原式xdx x n n ln 01121∑⎰∞=+-=. 对于级数x x n n ln 21∑∞=来说, 它在()1,0内不一致收敛, 但在[]1,0上却逐项可积,证明如下首先当1=x 时级数通项()0|ln 112===x n n x x u . 当10<<x 时, x x n n ln 21∑∞=为等比级数, 所以和函数()⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=.1,0,10,ln 122x x x x x x S 由此可见()()()()()()12111-1-1ln 0121lim -S x x x x S x ≠=-+=-→. 故该级数非一致收敛.其次因为()n n kn k n x x x x x x x x x x R 222222211ln ln 1ln ⋅-=-==+∞+=∑, 其中2201ln lim x x x x -+→及2211ln lim xx x x -→都存在有限极限, 且221ln x x x -在()1,0内连续, 所以221ln x x x -在()1,0内有界. G x x x t s G ≤->∃221ln .,0 则 ()n n x G x R 2⋅≤,()()0120101012→+=≤≤⎰⎰⎰n G dx x G dx x R dx x R n n n . 当∞→n 时即表明()001lim =⎰∞→dx x R n n .从而级数可逐项求积分，原式()()()()2122120202121121211211211211ln 011n n n n n xdx x n n n n n n n ∑∑∑∑∑⎰∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-=+--=+-= 8246121122221221πππ-=+-=+-=∑∑∞=∞=n n n n .□ 通过上面一系列对泰勒级数及其应用的学习, 我们能够清晰的认识到泰勒公式与泰勒级数之间的一些联系与区别, 并且在初步掌握了泰勒展开式, 以及应用泰勒级数及其相关知识解决了一些实际问题, 从而深刻的体会到了利用泰勒级数来解决某些问题是非常方便的.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析下册(第三版)[M].北京: 高等教育出版社, 2001.[2] 范秋君, 沈锡文, 刘芸, 傅珉. 数学分析下册[M].北京: 北京师范学院出版,1991.[3] 周性伟, 刘立民. 数学分析下册[M].天津：南开大学出版社,1987.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法(第二版)[M].北京: 高等教育出版社,2006.。

中国网络大学CHINESE NETWORK UNIVERSITY 毕业设计(论文)院系名称：百度网络学院专业：百度学生姓名：百度学号：123456789指导老师：百度中国网络大学教务处制2019年3月1日论文题目：泰勒公式的应用目录内容摘要 (1)1 泰勒公式 (2)1.1 泰勒公式的一般形式 (2)1.2 Maclaurin公式 (2)2 泰勒公式的应用 (3)2.1 求极限 (3)2.2 近似计算 (3)2.3求高阶导数 (4)2.4求解含有小参数近似根的摄动法 (4)f x y的极限不存在 (5)2.5判定二元函数(,)2.6泰勒公式在证明不等式中的应用 (7)2.7广义积分收敛性中的应用 (9)2.8泰勒多项式的行列式表示 (11)参考文献 (15)致谢 (16)图表格式要求 (17)后记(为何选这篇文章为模板) (19)注意事项 (20)内容摘要：本篇文章论述了泰勒公式作为一种工具对于解其它数学题的应用。

介绍了泰勒公式的形式和应用是本文主要内容，如求极限中的的应用，求近似值上的应用，求高阶导数上的应用，判定二元函数极限不存在，在证明不等式上的应用，以及广义积分收敛性中的应用，涵盖了分析数学中比较常见的问题。

其中,在判定二元函数极限不存在和广义积分收敛性中的应用中补充了巧妙的方法，使得原本复杂问题简单化。

关键词：泰勒公式极限近似计算高阶导数二元函数极限不存在收敛Abstract：This article discusses the Taylor formula as a tool for solving other mathematical problems. The form and application are mainly introduced, such as the application in limitation, in approximate computation, in high-order derivation computation, in determinate the non-exist of dual function, in inequality proving, and the application of generalized integral convergence , which covers more common problems mathematical analysis. Furthermore, clever methods are added in a judgment on binary function limit non-exist and generalized integrals convergence, which makes original complex problem simple.Key words:Taylor formula Limitation Approximate computationHigh-order Derivation Binary function Convergence注：1、摘要主要反映作者论文创作的目的、问题研究所采用的数学方法和思想、得到了什么结论，以及相应的研究结果和价值。

摘要：文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性，判断函数的极值，求初等函数的幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值，求行列式的值。

关键词：泰勒公式，极限，不等式，敛散性，根的唯一存在性，极值展开式近似计算行列式。

英文题目Abstract:Taylor’s formula is an important knowledge in the mathematical analysis ．This paper discusses some basic contents about the Taylor’s formula ，In this paper ，we discuss its applications in the mathematical analysis and reality life from 9 facets in general： we can use the Taylor’s formula to prove the equation and inequality，solve the limit and the value limit，There are some applications in the functional equations and linear interpolation，besides we may use it to search the extreme value and study the partial shape of the function’s graph，as well as the application of approximate calculation,this can help us to know the importance of theTalorsformulaKey words:Taylor's formula The remaining of the Pia no The remaining of the Lagrangian Application1．引言：泰勒公式是高等 数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算其中少数难度较大的题目，证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结，由于本文的主要内容是介绍应用所以本文会以大量的例题进行讲解说明。

本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析 ;导数Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHuaAbstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications.Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.目录1引言 (1)2泰勒公式 (1)3泰勒公式在解题中的应用 (2)3.1利用泰勒公式求近似值 (2)3.2利用泰勒公式求极限 (4)3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 (7)3.3.1判断级数的敛散性 (7)3.3.2判断广义积分的敛散性 (9)3.4利用泰勒公式证明等式与不等式 (10)4结论及展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉 指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．2泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质 各异．定性的余项为佩亚诺余项))((0n x x o -，仅表示余项是n x x )(0-，即当)(0x x →时高阶的无穷小．定量的余项是拉格朗日型余项10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ（ξ也可以写成)(00x x x -+θ10<<θ）， 定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．定理1(泰勒定理)：设)(x f 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个领域，对于领域中的任一点x ，成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= （1）其中余项)(x r n 满足)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ，ξ在x 与0x 之间．上述公式（1）称为)(x f 在0x x =处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日余项．若不需要余项的精确表达式时，余项)(x r n 也可也成))(()(0n n x x o x r -=．此时，上述公式（1）则称为)(x f 在0x x =处的带有佩亚诺余项的泰勒公式．它的前1+n 项组成的多项式：''()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-称为)(x f 的在0x x =处的n 次泰勒多项式．当00=x 时，上式记为nn x n f x f x f x f f x f !)0(!3)0(!2)0()0()0()()(3'''2'''+++++=该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数)(x f 的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对)(0x U x ∈∀均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同），因此这反映出函数)(x f 在邻域)(0x U 内的全局性．带佩亚诺余项的泰勒公式对函数()x f 的展开要求较低，它只要求()x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单．（1）式说明当0x x →时用右端的泰勒多项式)(x p n 代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0-的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态．3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．3.1利用泰勒公式求近似值由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用．在现今社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的一个重要环节．泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说是轻松而又方便的．但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差．利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''++++≈例1 求e 的近似值分析 因为e 介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到e 的值．解 首先令()xe xf =，则x n e x f x f x f ====)()()('''把0=x 带入，得1)0()0()0()('====n f f f于是得到x e 的近似式!!212n x x x e nx++++≈上式中令1=x ，有!1!31!2111n e +++++≈ 由此可以求出e 的近似值．例2 求dx e x ⎰-12的近似值，精确到510-分析 因为dx ex ⎰-12中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），我们可以考虑利用泰勒公式和逐项积分的方法求dx e x ⎰-12的近似值．解 在x e 的展开式中用2x -代替x 得+-+++-=-!)1(!212422n x x x en n x 逐项积分，得() +-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰-dx n x dx x dx x dx dx enn x 1021412101!1!212++⋅-+-⋅+-=121!1)1(51!21311n n n +-+-+-+-=75600193601132912161421101311 上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项n R 的估计式知000015.07560017<≤R所以746836.09360113201216142110131112≈+-+-+-≈⎰-dx e x 我们不妨再看一例，例3 计算积分dx x x⎰10sin 的近似值分析 因为xxsin 不是初等函数，所以不能直接用牛顿——莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰勒公式求其近似值．解 由泰勒公式可得753!7)27sin(!5!3sin x x x x x x πθ⋅+++-= 所以642!7)27sin(!5!31sin x x x x x x πθ⋅-++-= 因此dx x x x x dx x x ⎰⎰⋅+++-=1064210)!7)27sin(!5!31(sin πθ 107537!7)27sin(5!53!3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅++⋅+⋅-=x x x x x πθ 7!7)27sin(5!513!311⋅⋅++⋅+⋅-=πθx 由此得到9461.05!513!311sin 10≈⋅+⋅-≈⎰dx x x 3.2利用泰勒公式求极限对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求．但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效．对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:（1） 运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁．（2） 分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式．（3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难．当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的阶数．如果分母( 或分子) 是n 阶, 就将分子( 或分母) 展开为n 阶麦克劳林公式．若分子, 分母都需要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数．例4 求4202cos limxex x x -→- 分析 这是一个0待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次．但若用泰勒公式计算就简单得多了．解 4202cos limx e x x x -→-44224420)()2(!21)2(1)(!4!21lim x x o x x x o x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=→ 4440)(121lim x x o x x +-=→ 121-=例5 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2xx x x x 的极限分析 当∞→x 时，此函数是∞-∞型未定式，虽然可以通过变换把它转换成0型，再用洛必达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将)11ln(x+展开，再求其极限． 解 ))1(()1(211)11ln(22xo x x x +-=+ 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∞→))1(211(lim 222x o x xx x x 21=在高等数学的学习中利用等价无穷小替换来求解极限问题一直是我们学习的难点，即使在学习了教材后仍然对等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错． 究其原因主要有两个: 一是平时不够努力，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类问题缺少练习; 二是对于等价无穷小替换的实质还没有透彻的理解，表现在对一些等价无穷小替换的法则只知其然而不知其所以然． 如做练习时有这样的题目:例6 xxx x 3sin lim0-→分析 由于0→x ，根据无穷小量替换得到，x x →sin ，则03lim 3sin lim 00=-=-→→x x x xx x x x 从解答过程中我们可以看到，我们在解这道题时不管条件是否满足而生搬硬套地使用了等价无穷小的替换法则，反映出我们对于无穷小的替换原则并未达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活性．下面我们利用泰勒公式来重新理解无穷小替换的法则和原理（假设所有极限问题涉及的自变量过程变化都趋向于零）．性质一：)(~ααββαo +=⇔首先来理解)(~ααββαo +=⇔，在最初的学习过程中我们容易产生两个误区: 其一，在学习时容易被左边形式迷惑，潜意识里往往误认为α，β都是单独不相关的一项；其二，对于右边的式子中()αo 我们会觉得比较抽象难以理解．根据这些容易产生的理解上的偏差，我们可以结合泰勒公式来形象直观地理解．以正弦函数的泰勒公式为例:+-+-=753!71!51!31sin x x x x x 如果β取x sin -，那么α可以取x ，也可以取3!31x x -，甚至53!51!31x x x +-也行，相应的)(αo 分别为：,!71!51!31753 +-+-x x x ,!71!5175 +-x x +-7!71x ， 这样我们可以知道)(αo 并不是抽象的符号，它代表的是具体的表达式，而且该表达式可以很复杂，比如可以由多个式子组成; 另一方面，由于这些式子中的每一项都是幂函数，我们能非常直观地看出它们分别是)(),(),(642x o x o x o ，那是)!51!31(),!31(),(5332x x x o x x o x o +--接着讨论)(~ααββαo +=⇐，本质上它是等价无穷小的又一个性质——和差取大原则：αβααβ-±⇒=)(o ，取,!71!51!31,753 +-+-==x x x x βα则),(αβo =x x x x x sin !71!51!31753=+-+-=+ βα，可理解成：正弦函数由α与β两部分组成，其中α是函数的主部项，它对函数的大小和变换趋势起主要作用，β是函数的次要项或者剩余项，由()αβo =可知，β实质上是相对于主部项α的小扰动项，对整个函数的数值及变化趋势起次要的作用．具体到求极限的问题中就是极限问题的结果取决于分子分母中多项式的最低次项．性质二（和差代替规则）：若''~,~ββαα，并且βα,不等价，则''~βαβα--，并且'''limlim γβαγβα-=- 故对于例4，由于 +-=3!31sin x x x ，从而,61sin 3 +=-x x x 此时,61~sin 3+-x x x 所以0361lim 3sin lim 300==-→→x xxx x x x 对于表面上差异较小的问题但运用等价无穷小替换法则大相径庭，而这样的问题往往能够用泰勒公式统一解决． 说明在求极限问题的解题思路中泰勒公式比等价无穷小替换法则更普遍、更一般，在解决问题时往往倾向接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，因此利用泰勒公式来理解等价无穷小替换的实质也就更容易被大家理解和掌握．3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 3.3.1判断级数的敛散性在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数∑∞=1n na是否收敛，我们通常找一个较简单的级数∑∑∞=∞==111n pn n nb )0(>p ，再用比较判定法来判定．在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的∑∞=11n p n )0(>p 中的p 值，例如 （1）当2=p ，此时∑∞=121n n 收敛，但+∞=∞→21lim n a nn ． （2）当1=p ，此时∑∞=11n n发散，但01lim =∞→na n n ． 这里我们无法判定∑∞=1n n a 的敛散性，为了有效地选取∑∞=11n p n 中的p 值，可以应用泰勒公式研究通项0→n a )(+∞→n 的阶，据此选择恰当的p 值使l n a pnn =+∞→1lim，并且保证+∞<<l 0，再由比较判定法（极限形式）就可以判定∑∞=1n na的敛散性．下面我们来举例说明：例7 判定级数∑+∞=--+111)2(n nnaa()0>a 的敛散性． 解 因)1(ln 121ln 1222ln no a n a x e a xx x+++==， 故)1(ln 1!21ln 112221no a n a n a n+++= )1(ln 1!21ln 112221n o a n a n an++-=-因此)1(ln 1)2(22211n o a n a a a nnn +=-+=-从而有a n a n n 22ln 11lim=∞→，0→n a 是关于)1(n 的2阶．，即 ∑+∞=--+111)2(n nnaa 与∑+∞=121n n同收敛 评注：当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便于利用判敛准则．例8 讨论级数∑∞=+-1)1ln 1(n n n n的敛散性分析 直接根据通项去判断该项级数是正项级数还是非正项级数是比较困难的，因而也就无法恰当地选择判敛方法．在上式中我们注意到，)11ln(1lnn n n +=+这个式子中，若将其泰勒展开为n1的幂的形式，开二次方后恰与n1相呼应，会使判敛更容易进行． 解 )11ln(1ln nn n +=+ +-+-=4324131211n n n nn1<∴n n n 11ln<+ ∴01ln 1>+-=n n nu n故该级数是正项级数． 又)1(312111ln332no n n n n n ++-=+ 2322332211)211(4111nn n n n n n -=-=+->∴232321)211(11ln 1n nn n n n n u n =--<+-=∑∞=12321n n 收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛．例9判断级数∑∞=-1)1(n n n 的敛散性分析 对于级数∑∞=-1)1(n nn ，运用比较法，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法难以直接判断其敛散性．因此我们可以考虑先把n n 进行泰勒展开，再运用上述方法进行判别．解 由泰勒公式有)ln 1(ln 1122ln 1n no n n en n nn++==所以)ln 1(ln 1122n n o n n n n+=-，而∑∑∞=∞=≥111ln 1n n nn n 发散，又)(0ln 12322∞→→n n n n所以n n n 212ln 1∑∞=收敛，故∑∞=-1)1(n n n 发散．3.3.2判断广义积分的敛散性在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定是有界的．但在理论上或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念广为（i ）无限区间上的积分； （ii ）无界函数的积分； 在判定广义积分dx x f a⎰+∞)(的敛散性时，通常选取广义积分)0(1>⎰+∞p dx x ap进行比较，在此通常研究无穷小量)()(+∞→x x f 的阶来有效地选择dx x f a⎰+∞)(中的p 值，从而判定敛散性．（注意到：如果dx x f a⎰+∞)(收敛，则dx x f a⎰+∞)(收敛．） 例10 判断广义积分dx x x xx ⎰-10sin sin 的敛散性 分析 我们可以知道dx xx xx ⎰-10sin sin 是属于无界函数广义积分，在)1,0(上运用定积分的知识很判断出该积分是否收敛，那么我们可以考虑是否可以运用泰勒公式将x sin 展开，然后再进行计算．解 ()0sin sin <-=xx xx x f ，(]1,0∈x ，即被积函数在积分区间上不变号．)(61)(611)(!31)(!31sin sin 433224343x o x x o x x x o x x x x o x x x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-[])(16)(611)(61)(61132232x o x x o x x o x x o x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++-=)(6x o x+=故有1)6sin sin (lim 0=-→x x x x x x ，又由于广义积分dx x⎰106发散，因此用比式判别法知原广义积分收敛．例11 研究广义积分dx x x x ⎰+∞--++4)233(的敛散性分析 我们可以初步判断dx x x x ⎰+∞--++4)233(属于无限区间上的积分，在区间),4(+∞不易运用定积分的知识进行判断该积分是否收敛．那么同样我们可以考虑运用泰勒公式将其展开再进行讨论．解 我们已经学过()αx +1的泰勒展开式为),(!2)1(1)1(22x o x x x n+-++=+ααα则x x x x f 233)(--++=2)31()31(2121--++=xx x)2)1(1891231()1()1891231(2222-+⋅-⋅-++⋅-⋅+=x o x x x o x x x)1(1492323xo x +⋅-= 因此491)(lim23=+∞→x x f x ，即0)(→x f 是)(1+∞→x x 的23阶，而⎰+∞4231dx x 收敛，故dx x f ⎰+∞4)(收敛，从而dx x x x ⎰+∞--++4)233(收敛．3.4利用泰勒公式证明等式与不等式关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法．如果函数)(x f 存在二阶及二阶以上的导数并且有界，那么利用泰勒公式去证明这些不等式，一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的x 与0x ；4结论及展望泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具．本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性以及证明等式与不等式等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果．值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索．本文通过几个例子也仅仅说明其中的几方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题．参考文献[1]胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[J].内蒙古科技与经济，2009(24):73．[2]刘鹏.浅谈泰勒公式及其应用.科技信息[J],2011(09):521-522.[3]齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报，2003,31(09):24-25.[4]费德霖.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院学报，2001,17(04):84-86.[5]潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报,2010,10(02):16-21.[6]董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用.科技信息,2010,(31):243.[7]冯平、石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用.新疆职业大学学报,2003,11(04):64-66.[8]陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用.宁德师专学报(自然科学报),2007,19(02):155-156.[9]刘萍、王文锦.谈泰勒公式在微分有关证明题中的应用.科技信息,2009(11):235.[10]/faculty/kaliakin/appendix_Taylor.pdf[11]/~robbin/221dir/taylor.pdf[12]/wiki/Taylor_series[13]/wiki/Taylor's_theore致谢四年的大学生活即将在这个季节画上一个句号，而于我的人生只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始．时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，离校的日期已日趋临近，毕业论文的完成也随之进入尾声．在本文即将完成之时，谨此向我的导师徐华讲师致以衷心的感谢和崇高的敬意．本文的顺利完成离不开徐华老师的悉心指导，老师以她敏锐的洞察力，渊博的知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风给我留下了深刻的印象，使我获益匪浅．我还要真诚地感谢我的室友张天闻同学，他不仅在学术上给我指引，而且在生活中也给予我帮助，从他身上我学到了很多．我还要感谢我的母校杭州师范大学钱江学院，这里严谨的学风，优美的校园环境使我的大学四年过得很充实也很愉快．最后我要感谢我的父母，当自己怀着忐忑的心情完成这篇论文的时候，自己也从当年一个刚走进大城市的懵懂少年变成了一个成熟的青年．十几年的求学之路，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易．首先，从小学到大学的生活费及学费就不是个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，没有他们的支持和鼓励，我是无论如何也完成不了我的大学生活．书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺．生命不息，学习不止，人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！。

泰勒公式及其应用 目 录 摘要 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 英文摘要 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 第一章 绪论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 第二章 泰勒公式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 1.1泰勒公式的意义 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 1.2泰勒公式余项的类型„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 1.3泰勒公式 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 第三章 泰勒公式的实际应用 „„„„„„„„„„„„„„„„„„7 2.1利用泰勒公式求极限 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7 2.2利用泰勒公式进行近似计算 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 2.3在不等式证明中的应用 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 2.4泰勒公式在外推上的应用 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10 2.5求曲线的渐近线方程 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用„„„„„„„„„„„„13 2.7在广义积分敛散性中的应用 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 2.8泰勒公式在关于界的估计 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15 2.9泰勒公式展开的唯一性问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15 结束语„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16 致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„17 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18 泰勒公式及其应用 (河南城建学院数理系 河南 平顶山 467044) 摘 要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰 勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍. 关键词 泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 1 Abstract Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp-ression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema-tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the inflection point of the function to judge, Generalized Integral Converg-ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction. Keywords: Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder 2 第一章 绪论 1.1综述 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒， 的.泰勒将函数展开成级数从而在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来 得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点x存在直到阶的导数，由这些导数fn0 构成一个次多项式 n ()n,,,fxfxfx()()()2n000 Txfxxxxxxx()()()()(),,，,，,，，,n00001!2!!n