（线性代数） （ A 卷）
专业年级： 学号： 姓名：
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的
n m A ⨯0=Ax )(A A T
(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；
(D) 无关条件。
2．已知为四维列向量组，且行列式 ，
32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式
1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) 。
4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线
s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是
(A) 向量组线性无关；
s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是
n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。
A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则
A n )2(>n *
A A 题 号一
二
三
总 分总分人
复分人
得 分
得分评卷人
√
√
(A) ；
(B) ；A A A 1
1||)(-*-=A A A ||)(1=*
-(C) ；
(D) 。
11
1|
|)(--*
-=A A A 1
1||)(-*
-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6．列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=2135
212b a A λ则＝ ，＝ ，＝ 。
λa b 7．设阶向量，；矩阵 ,
n T
x x )00(，，，， =α0E A αα-=且 ，则___ ______。T x
E A αα1
1+
=-=x 8．已知实二次型正定,则常数的
32212
32
22
132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=a 取值范围为________________。
9．设矩阵，是中元素的代数余子式，，
33)(⨯=j i a A j i A ||A j i a j i j i A a =，已知，则 。
13121132a a a ==011>a =11a 10．设，，已知向量与线性相关，则＝ 。⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40321
2221A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=11a ααA αa 三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)
11． (1) 求方程的根，其中 ；0)(=x f 2
12311236
2543122)(2
2--+-----=x x x f 得分评卷人
得分评卷人
(2) 计算阶行列式。n n
n n n n
n n
n x x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D 121121121121----++++=
12．设实向量，其中，，矩阵()T
a a a 32
1
=α01≠a 3=ααT T
E A αα-=(1)试说明矩阵能相似于对角阵； (2) 求可逆矩阵，使为对角阵，
A P AP P 1
-并写出此对角阵； (3) 求行列式。
||E A +
13．已知线性方程组 ，试讨论：⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=++
=+-+2
)1(2221)1(321
321321kx x k kx x kx kx x x k kx (1) 取何值时，方程组无解； (2) 取何值时,方程有唯一解，并求出其解；k k (3) 取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。
k 14. 设实二次型 ，32312
3212
22
1321845452)(x x x x x x x x x x x x f --+++=，，
求：正交变换，将化为标准型。
y Q x =f
15. 设的基为 ，， 。
3
R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112β⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0013β(1) 试由构造的一个标准正交基 ；321βββ，，
3
R 321ααα，，(2) 求由基 的过渡矩阵；
321321βββααα，，到
，，P (3) 已知向量，求向量在基下的坐标。321βββα++=α321ααα，，
